Resolución de ecuaciones no lineales

Transcripción

1 Resolució de ecuacioes o lieales Solucioa ecuacioes o lieales tipo f()= Normalmete cada método tiee sus requisitos Métodos so iterativos Métodos iterativos para resolver f()= E geeral métodos iterativos cosiste e 1. Obteer ua aproimació iicial 2. Refiar la aproimació iicial mediate ua fórmula iterativa que geera uevos valores 1, 2,, que, idealmete, covergerá a la solució buscada *. 3. Establecer u criterio de parada o test de fializació, satisfecho el cual, se detiee el proceso de obteció de iterados. se llama iterado esimo y el error de esta aproimació viee determiado por ε = - * Método de puto fijo Resuelve la ecuació g()= Cocepto de iteració. Repetir u proceso hasta que se obtiee u resultado. Idea del método: Partiedo de puto iicial aplicado la formula o fució g() calcularemos los térmios sucesivos: : g( ) g( ) 1 g( 1 g( ) )

2 Defiició. U puto fijo de ua fució g() es u umero real P tal que P = g ( P ). Defiició. La iteració g ) para =, 1, se llama iteració de puto fijo. ( 1 Ejemplos: 1) La ecuació se puede trasformar e. 2) La ecuació se puede trasformar e. Covergecia del método puto fijo. Teorema de puto fijo. Supogamos que (i) g g Ca b, ',, (ii) K es ua costate positiva, (iii) ( a, ) b (iv) g( ) a, b para todo a, b. Etoces hay u puto fijo P de g e [a,b]. Si g '( ) K 1 para todo a, b g, etoces P es el úico puto fijo de g e [a,b] y la iteració ) coverge a dicho puto fijo ( 1 P. E este caso, se dice que P es u puto fijo atractivo. Si g'( ) 1 y P etoces la iteració g( 1) o coverge a P. E este caso se dice que P es u puto fijo repulsivo y la iteració preseta divergecia local.

3 Ejemplos: E el ejemplo 1, claramete se cumple la codició de que g '( ) 1 e el itervalo [,1]. Por lo tato el método sí coverge a la raíz. E el ejemplo 2, e [,1]. E este caso,. Por lo tato, el método o coverge a la raíz. Iterpretació grafica de la iteració de puto fijo:

4

5 Ejemplo (verificar): 1. Para la fució g( ) 1/ 2(1 ) 3 1/ 2 g '(2) 2.12 o hay covergecia a puto fijo. 2. Empezado co =1.5 y cambiado (dismiuyedo) itervalo a [1,1.5]. Aquí g siga decreciete y además '(1.5).66 g, etoces hay covergecia. Ejercicio. Hallar la raíz de la ecuació = 2cos partiedo desde = 1 por el método de puto fijo, estudiar el valor de la derivada. Ejercicio: Usar el método de iteració del puto fijo para aproimar la raíz de, comezado co. Hacer 5 iteracioes. Ejercicio: Averiguar si hay covergecia a puto fijo para la fució g( ) (1/(4 )) 1/ 2 e el itervalo [1,2] Formula adicioal: el error de la iteració -esima esta acotado por * K K para >=2 Método de bisecció. Se usa para resolver ecuacioes o lieales f()= Teorema. Ua fució f() moótoa y cotiua tiee el úico cero e el itervalo [a,b] si y solo si ella tiee sigos diferetes e los etremos de este itervalo. Vetaja es que siempre coverge si partimos de itervalo que cotiee la raíz. Li para leer descripció del método:

6 Ejemplo (completar líeas): Resolver la ecuació o lieal: h( ) se( ) 1,,2 K a Puto medio c b f( c ) Ejercicios: 1. Ecotrar la raíz de la ecuació Respuesta: e [1,2]. 2. Sea 3 f ( ) ( 2)( 1) ( 1) ( 2). A cual cero de f coverge el método de biseccioes los siguietes itervalos? a) [-3, 2.5] Rta: 2 b) [-2.5, 3] Rta: Dibujar la grafica de g(), la recta y = y el puto fijo dado P e u mismo sistema de coordeadas. Usado el valor iicial dado p calcular p, p. Basádose e su dibujo determiar geométricamete si la iteració 1 2 de puto fijo correspodiete coverge. Verificar eso aalíticamete basádose e el teorema de puto fijo. 1/ 2 g( ) (6 ), P 3 y p 7 Tarea Casa: 1. Para la siguiete fució halle u itervalo [a,b] de maera que f(a) y f(b) tega distito sigo. f ( ) cos( ) 1 2. Dibujar la grafica de g(), la recta y= y el puto fijo dado P e u mismo sistema de coordeadas. Usado el valor iicial dado p calcular p1, p 2. Basádose e su dibujo determiar geométricamete si la iteració de puto fijo correspodiete coverge. Verificar eso aalíticamete basádose e el teorema de puto fijo.

7 g P y p 2 ( ) /3, Solució Si despejamos la del térmio lieal, vemos que la ecuació equivale a de dode, E este caso, teemos que. U vistazo a la gráfica, os covece que, para, lo que es suficiete para deducir que el método sí coverge a la raíz buscada. Aplicado la fórmula iterativa, teemos:

8 Aplicado uevamete la fórmula iterativa, teemos: Resumimos los resultados e la siguiete tabla: Apro. a la raíz De dode vemos que la aproimació buscada es: