Matemáticas y Estadística para Finanzas Prof.: H. Ernesto Sheriff, PhD(c) M.Sc.

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1 Matemáticas y Estadística para Finanzas Prof.: H. Ernesto Sheriff, PhD(c) M.Sc. Sesión 3 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA 1

2 Estadística Aplicada a los Negocios Motivación: usos de la estadística Encuestas Estimación Predicciones económicas Toma de decisiones Estadística Aplicada a los Negocios Qué es la estadística? estadística. (Del al. Statistik). 1. f. Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas. 2. f. Conjunto de estos datos. 3. f. Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. 2

3 Estadística Aplicada a los Negocios Una estadística puede ser cualquier cifra o dato numérico sobre cualquier realidad. Estadísticas económicas: número de parados, tasa de la inflación Estadísticas demográficas: tasa de nacimientos, edad media Estadísticas deportivas: goles marcados, tarjetas rojas Estadísticas meteorológicas: temperatura, lluvia Estadística Aplicada a los negocios Variables Una variable es una característica de la población que se quiere estudiar. La afiliación política de los bolivianos: MAS, PODEMOS, UN u otro La situación de trabajo de los paceños: desempleo, tiempo parcial, tiempo completo. Número de diarios que compran los lectores de prensa diaria de Santa Cruz Gastos de los municipios en Bolivia Diferentes tipos de variables requieren distintos tratamientos. 3

4 Estadística Aplicada a los negocios Tipos de variables Una variable cualitativa o un atributo es una característica o rasgo no cuantitativo de la población que se quiere estudiar. Una variable cuantitativa es aquella que podemos medir y expresar numéricamente. Estadística Aplicada a los negocios Variables cualitativas o atributos Variables cualitativas pueden ser nominales o ordinales. La afiliación política La situación de trabajo: desempleo, tiempo parcial, tiempo completo. 4

5 Estadística Aplicada a los negocios Variables cuantitativas Variables cuantitativas pueden ser discretas o continuas. a) Discretas : aquellas cuyos valores se interrumpen o separan. b) Continuas: aquellas cuyos valores posibles no tienen interrupción. Número de diarios que compran los lectores de prensa diaria Gastos de los municipios. Estadística Aplicada a los negocios Ejercicio Clasificar las siguientes variables: Lugar de nacimiento Ingresos totales Número de miembros de la familia Grado escolar Número de camas en un hospital Número de teléfono Nivel de estudios Código Postal de su dirección 5

6 Estadística Aplicada a los negocios Esquema general del planteamiento de un estudio Hipótesis de trabajo Objetivos Diseño de estudio Selección de variables Definición de variables Escala de medida Protocolo de recogida de datos Construcción de bases de datos Depuración de los datos Análisis Resultados Conclusiones Estadística: Herramienta indispensable Estadística Aplicada a los negocios Esquema del proceso de obtener conclusiones a partir de los datos OBJETIVO Materia Prima DATOS Procesamiento ORGANIZACION Y ANALISIS Producto CONCLUSIONES 6

7 Estadística Aplicada a los negocios El caso de análisis Una empresa dedicada al alquiler de campos y producción de girasol recibe el ofrecimiento de 4 lotes para alquiler ubicados en 4 localidades diferentes. Todos los lotes ofrecidos tienen la misma superficie, los costos de producción son idénticos y se precisa obtener un rendimiento mínimo de 15 quintales/ha para obtener un resultado económico positivo. Se dispone de información sobre los rendimiento del girasol en los últimos 12 años de las 4 localidades donde se ubican los lotes ofrecidos. Usted es el asesor técnico de la empresa y se le pide que, a partir de dicha información, recomiende un lote para alquilar. Estadística Aplicada a los negocios Objetivos del análisis de los datos Para producir la recomendación pedida, deberá analizar los datos de modo de contestar la siguiente pregunta general: Cómo fueron los rendimientos de girasol de los últimos 12 años en cada una de las cuatro localidades? En relación con esta pregunta general, interesará establecer y documentar, mediante gráficos y medidas, los siguientes puntos para cada localidad: Los rendimientos fueron altos o bajos? Los rendimientos fueron parejos entre años? Los resultados económicos negativos fueron frecuentes o raros? Los resultados económicos sobresalientes fueron frecuentes o raros? 7

8 Estadística Aplicada a los negocios Datos: rendimientos de girasol [kg/ha] Año Loc. A Loc. B Loc. C Loc. D Estadística Aplicada a los negocios En la actualidad el conjunto de métodos que la estadística brinda para atender todos los problemas hace que se la divida en 2 grandes campos, Estadística Descriptiva e Inferencial. Clasificación de la estadística moderna Descriptiva Cuadros representación de datos Tablas Gráficos Reducción de datos Promedios Dispersiones Inferencial Trabajo en base a muestras Predice, infiere Decide sobre las poblaciones 8

9 Estadística Aplicada a los negocios Definiciones básicas Población es un conjunto de elementos definidos en el tiempo y en el espacio, sobre los cuales se realizarán las observaciones en el caso de una encuesta exhaustiva o censo, o a los cuales se referirán los resultados de la investigación en el caso de un estudio por muestreo. Muestra es el subconjunto de unidades seleccionadas de la población definida. En esta recae la realización de las observaciones. Valores poblacionales Parámetros Estimadores Estadísticos El proceso de inferencia POBLACION N (finita o infinita) Media ( ) Dispersión ( ) Proporciones ( ) Otras características MUESTRA n (siempre finita) Media muestral (X) Dispersión muestral (s) Proporciones muestrales (p) Otros estimadores 9

10 La muestra El tamaño de la muestra A ser resuelto con la teoría del muestreo A veces el costo obliga a tomar muestras más chicas. A veces el problema de investigación determina adicionalmente velocidad en la toma de datos u otros factores. La representatividad de la muestra El tamaño de la muestra no es el único factor que contribuye a hacer una muestra representativa. También está el carácter aleatorio de la muestra Pueden ser las muestras siempre aleatorias? Los tipos de muestra Cortes transversales (censos, encuestas, experimentos) Series de tiempo Datos de panel Los tipos de muestra Cortes transversales Lo más acercado a la teoría tradicional En ciencias sociales incluso un censo tiene márgenes de error. Series de tiempo Los datos ya vienen en un orden y tamaño predeterminados Podemos achicar la muestra pero no expandirla Las observaciones no son independientes Datos de panel Solamente se los usa para aumentar la muestra? Diferencias entre periodos y entre individuos. El sesgo de selectividad. Si los individuos son mayores que los periodos o viceversa es indiferente? 10

11 Las variables La medición de las variables Reflejan realmente lo que se quiere medir? Maltrato infantil Calidad de las instituciones Riesgo El tipo de medición afecta el proceso de inferencia Los tipos de variables Variables discretas Variables continuas Variables no observables Variables latentes Variables dicotómicas Variables censuradas Variables truncadas Hay otro mundo fuera de la estadística? La existencia de información extra muestral La opinión de expertos Estudios especializados aplicados a otras geografías o en otros periodos Es posible o recomendable incorporar esta información? La existencia de información a priori Hay algún estudio que empieza de la nada? Es posible incorporar esta información en el proceso? La evidencia sólo puede ser utilizada para modificar la información inicial solamente? La inexistencia, ausencia, ambigüedad de datos La ausencia de distribuciones Sin distribución no se puede hacer un test de hipótesis clásico 11

12 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Estadística Aplicada a los negocios Presentaciones visuales, reducción de datos Tablas, Gráficos y Distribuciones Qué representación mental le sugiere la palabra estadística a la mayor parte de la gente? Una tabla es una ordenación de datos en filas y columnas utilizada para documentar o comunicar información. Desde este punto de vista de su uso, existen dos tipos de tablas a saber : Tablas generales o de Referencia y Tablas Específicas o de Resumen 12

13 Distribución de una variable cuantitativa discreta Veamos con un ejemplo la tabla de distribución de frecuencias. En 13 cajones de huevos se contó la cantidad de huevos desechables por cajón: Huevos rotos por caja Número de cajas (f) DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Es el estudio de datos ordenados a través de los cuales se conoce información mas a fondo, de una muestra de valores dados, basado en la frecuencia de veces en que los valores caen dentro de un intervalo dado. 13

14 Análisis de frecuencias Frecuencia simple (f) Frecuencia acumulada (F) Frecuencia relativa (fr) Frecuencia porcentual (fp) HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ,5 1797,5 1801,5 1805,5 1809,5 histograma Polígono de frecuencias 14

15 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Determinamos que el rango en los que se mueven los valores es: Ra = Xmax - Xmin El Numero de intervalos es arbitrario, pero se recomienda que sea entre 4 y 12 dependiendo del valor del rango (K). Determinando la amplitud que tendrán cada uno de los intervalos, seria: A= R / K, El limite inferior del que se partirá, deberá ser igual al valor menor menos un medio de la unidad mínima de medición. Huevos rotos por caja Número de cajas (f) fr=f/n frp=fr*100 F % % % % % % 13 n % 15

16 Distribución de una variable cuantitativa continua Ahora si lo que nos interesa son los índices de Productividad ponderado de 20 establecimientos estamos frente a una variable cuantitativa continua. En este caso los valores individuales carecen de interés, por la propia naturaleza de dicha variable, por lo tanto se los agrupa en los llamados intervalos de clase. La cantidad de intervalos necesarios para construir una distribución de frecuencias no se puede determinar por alguna regla precisa, depende de la experiencia y el sentido del investigador, generalmente se utilizan entre Distribución de una variable cuantitativa continua El límite inferior del primer intervalo debe ser algo menor que el valor más pequeño de la variable, y el límite superior del último intervalo algo mayor al dato más grande. Definiendo: x máx = valor extremo superior de la variable x mín = valor extremo inferior de la variable La diferencia entre estos dos valores nos da la amplitud total A=x máx -x mín Si creemos que la cantidad de intervalos conveniente es h entonces la amplitud de los intervalos será aproximadamente a=a/h 16

17 Distribución de una variable cuantitativa continua Veamos por ejemplo... X= valor de índice de Productividad de 20 establecimientos. 45,0 55,0 48,9 40,5 42,8 52,0 49,0 52,5 51,7 50,0 50,0 56,5 57,0 52,0 45,0 49,0 44,3 41,0 59,2 46,3 Vemos cuál es el valor extremo inferior x mín =40,5 y el extremo superior, x máx =59,2 Para obtener a= amplitud del intervalo a Los intervalos se construyen de tal forma que contienen al extremo inferior pero no al superior. Intervalo de clase f i F i f ri F ri 40,0-44, /20=0,15 3/20=0,15 44,0-48, /20=0,20 7/20=0,35 48,0-52, /20=0,30 13/20=0,65 52,0-56, /20=0,20 17/20=0,85 56,0-60, /20=0,15 20/20=1, ,00 17

18 FRECUENCIAS La representación gráfica que corresponde a la distribución de frecuencias simples o relativas de una variable cuantitativa continua es el HISTOGRAMA HISTOGRAMA 0 40,0-44,0 44,0-48,0 48,0-52,0 52,0-56,0 56,0-60,0 X En Excel 18

19 Excel: cont. Salida Excel 19

20 Salida Excel cont. Medidas que resumen información Promedios y Dispersión Mediana Medidas de tendencia Central Modo Promedios Media Aritmética Media Geométrica Media Armónica Rango Medidas de variabilidad y concentración Desvío medio- Varianza Desvío típico (estándar) Rango intercuartilar Coeficiente de Variación 20

21 Medidas descriptivas Las medidas descriptivas más comunes de tendencia central o localización son: la media aritmética y la mediana Existen otras medidas de tendencia central que en ocasiones pueden resultar de interés: la moda, los cuartiles, los deciles, los percentiles, la media armónica, la media geométrica y la media ponderada.) Media muestral La media aritmética o simplemente promedio (también llamada media muestral ya que generalmente se calcula en relación a una muestra) Se calcula de la siguiente forma: si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1, x 2,,x n entonces X x 1 x 2... x n n n i 1 n x i 21

22 Característica de la Media Es intuitiva y fácil de calcular. Su valor puede que no coincida con ninguno de los valores de la muestra La suma de las diferencias de cada valor de la muestra con la media su resultado es cero, es decir, n i 1 ( x i x) 0 La mediana se suele definir como el valor más intermedio una vez que los datos han sido ordenados en forma creciente. Se suele denotar por Me. La forma más general de calcular la mediana es la siguiente: x Me x x 2 n 2 ( n 2) 1 n 1 2 si n es impar si n es par 22

23 Características de la mediana La mediana es aquel valor que deja el cincuenta por ciento de los datos por debajo y otro cincuenta por encima. Cabe destacar que es preferible el uso de la mediana como medida descriptiva del centro cuando se quiere reducir o eliminar el efecto de valores extremos en un conjunto de datos (muy grandes o muy pequeños). Moda o valor modal Es una medida de tendencia central que se puede utilizar sea cual sea el tipo de variable a estudiar. La moda de un conjunto de observaciones es el valor que más se repite, aquel cuya frecuencia absoluta es máxima. Puede ser única, que haya más de una, o que no exista 23

24 Media geométrica Se define como la raíz n-ésima del producto de todos los valores numéricos, es decir, n X n n G x1. x2... xn ( xi ) i 1 Media armónica Se define como el número de observaciones de la muestra dividido por la suma del inverso de cada una de las observaciones, es decir, X A n i 1 n (1/ x ) i 24

25 Algunas consideraciones La localización o tendencia central de un conjunto de datos no necesariamente proporciona información suficiente para describirlos adecuadamente. Debido a que no todos los valores son semejantes, la variación entre ellos se considera importante. Se puede decir que un conjunto de datos tiene una dispersión reducida si los mismos se aglomeran estrechamente en torno a alguna medida de localización de interés y se dice que tiene una dispersión grande si se esparcen ampliamente alrededor de alguna medida de localización de interés. Medidas de variación Las medidas descriptivas más comunes de dispersión son: el rango la varianza, la desviación estándar rango intercuartílico. 25

26 Rango El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; Se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña : r x max x min Alcances y limitaciones Aunque es una medida muy fácil de calcular, ignora toda la información de la muestra entre las observaciones más grande y más pequeña. Sin embargo, vale la pena resaltar que el rango se utiliza mucho en aplicaciones estadísticas al control de calidad, donde lo común es emplear muestras con tamaños n = 4 o n = 5 ya que en estos casos la pérdida de información no se considera relevante. 26

27 Varianza y Desviación estándar En general, se desea una medida de variabilidad que dependa de todas las observaciones y no sólo de unas pocas; así que parece razonable medir la variación en términos de las desviaciones relativas a alguna medida de localización (generalmente esta medida es la media) Para el conjunto de datos x 1, x 2,.,x n Las diferencias ( 2 x 1 x),( x x),...,( x n x) Determinan las desviaciones de la media. Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones. 27

28 Varianza Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independiente se conviene en dividir entre n- 1, es decir, s n 2 i 1 ( x x) i n 1 2 Características de la varianza Como S 2 no tiene las mismas unidades que los datos, se define la desviación estándar como la raíz cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una medida en las mismas unidades de los datos; La desviación estándar es útil para comparar dispersión entre dos poblaciones, pero también lo es para calcular el porcentaje de la población que pueden localizarse a menos de una distancia específica de la media. 28

29 Coeficiente de variación Si el CV 5% ----> datos muy homogéneos, Media aritmética muy representativa Si el 5% CV 20% ----> datos con homogeneidad aceptable. La media aritmética es representativa Si el CV 20% ----> datos heterogéneos, la media aritmética es poco representativa CV s X 29