REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

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1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DOMINIO - Polinomio : D = R - Cocientes : D = R {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = {Lo de dentro de la raíz 0} - Raíces de índice impar : D = R - Logaritmos : D = {Lo de dentro del logaritmo > 0} - Eponenciales : D = R - Trigonométricas : Seno y coseno D = R ; El resto se estudia como un cociente - Arcoseno y arcocoseno : D = {-1 Lo de dentro del arco 1} PUNTOS DE CORTE - Con el eje OX : y = 0 = 0 P( 0,0) - Con el eje OY : = 0 y = y 0 P(0,y 0 ) SIMETRÍA - Simétrica respecto del OY o par: (-) = () - Simétrica respecto del Origen o impar : -(-) = () - No simétrica SIGNO DE LA FUNCIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio = a,... - Se resuelve la ecuación () = 0 = 0, = 1,... - Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = () se obtiene el signo de la unción ASÍNTOTAS - Asíntotas verticales: Puntos donde la unción se va al ininito: y, = a - Cocientes: Puntos que anulan el denominador - Logaritmos : Puntos que anulan lo de dentro del logaritmo - Aproimación a la asíntota : Calcular ites laterales - Asíntotas horizontales : Puntos donde la se va al ininito :, y = b - Cálculo : lim () = b y = b - Aproimación (±100) - Asíntotas oblicuas - Cálculo : y = m + n; m = > b La unción por encima de la asíntota < b La unción por debajo de la asíntota () lim - Aproimación (±100) Asínt(±100) ; n = lim[ () m] > 0 La unción por encima de la asíntota < 0 La unción por debajo de la asíntota

2 MONOTONIA Y PUNTOS CRÍTICOS - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio = a,... - Se resuelve la ecuación () = 0 = 0, = 1,... - Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = () se obtiene el signo de la unción - Si (a) > 0 la unción es creciente en dicho intervalo, y si es < 0 es decreciente. - Máimo relativo : P(a,(a)) : = a es el punto del dominio donde la unción pasa de creciente a decreciente. - Mínimo relativo : P(a,(a)) : = a es el punto del dominio donde la unción pasa de decreciente a creciente. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio = a,... - Se resuelve la ecuación () = 0 = 0, = 1,... - Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = () se obtiene el signo de la unción - Si (a) > 0 la unción es convea en dicho intervalo, y si es < 0 es concava. - Puntos de inleión : P(a,(a)) : = a es el punto del dominio donde la unción cambia la curvatura. TABLA DE VALORES Dando valores a la se calculan los correspondientes de la y sustituyendo en la unción REPRESENTACIÓN GRÁFICA 11. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS F() = P() DOMINIO: D() = R PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: OX: y = 0 = 0 P( 0,0) OY: = 0 y = y 0 Q(0,y 0 ) RAMAS INFINITAS DE LA FUNCIÓN (No hay asíntotas) lim () = ± lim () = ± + MONOTONÍA Y EXTREMOS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA (Y tabla de valores)

3 11. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES F() = g() / h() DOMINIO: D() = R { / h() = 0} PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: OX: y = 0 = 0 P( 0,0) OY: = 0 y = y 0 Q(0,y 0 ) ASÍNTOTAS O RAMAS INFINITAS DE LA FUNCIÓN MONOTONÍA Y EXTREMOS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA (Y tabla de valores) 11. REPRESENTACIÓN DE OTRO TIPO DE FUNCIONES RAÍCES DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados ASÍNTOTAS OBLICUAS: Hacer por separado en el más ininito y en el menos ininito. LOGARITMOS y = log (()) DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados ASÍNTOTAS HORIZANTALES: () = 0 EXPONENCIALES y = a () ASÍNTOTAS: hacer por separado en el más ininito y en el menos ininito. TRIGONOMÉTRICAS DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados PERIODICIDAD: - seno y coseno: π ó 60º - tangente: π ó 180º

4 TEMA 11 - REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO 1 : Estudia y representa las siguientes unciones: 8 a) b) c) 9 d) () ( ) e e) g) y = ln( - 9) h) ) ln 1 i) y = ln 1 j) k) () = e + l) m) n) ln e 1 e 1 ñ)y = o) y = p) q) 6 r) y s) y u) y 1 t) v) w) ( ) 1 1 ) y = ( -1)e y) () = e z) y = + sen, [0, ] 1) y = sen + sen, [0, ] ) () = sen - sen, [0, ] ) () = cos + cos, [0, ] ) () = cos + sen, [0, ] 5) y = e 1-

5 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EJERCICIO 1 : Representa gráicamente la unción: 18 1 Dominio R 18 respecto al origen. 1 Simetrías:. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni Ramas ininitas: ; Puntos singulares: 1 ' ' Puntos singulares:, ;, 9 Cortes con los ejes: - Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) - Con el eje X y , 7 0 6,8 Puntos: (0, 0); (5,; 0) y (6,8; 0) '' ; '' 0 Punto, 6 7 Gráica: Puntos de inleión: EJERCICIO : Dibuja la gráica de la siguiente unción: Dominio R {0} Simetrías: () (). Es impar: simétrica respecto al origen. 0 Asíntotas verticales: 0 Asíntota horizontal: 1 0 es asíntota vertical. 0 si, 0 y 0 es asíntota horizontal. 0 si, 0

6 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: 1 ' 6 6 ' 0 0 Signo de '(): 6 6 es decreciente en (, Tiene un mínimoen ( ; 0,8) ) (, ); es crecienteen ( y un máimoen Cortes con los ejes: - No corta al eje Y, pues en 0 no está deinida. ( ; 0,8)., 0) (0, - Con el eje X y Puntos (1, 0) y (1, 0). Gráica: ). EJERCICIO : Estudia la siguiente unción y dibuja su gráica: Dominio R {1, 1} Simetrías: () (). Es impar: simétrica respecto al origen. Asíntotas verticales: 1 1 es asíntota vertical. 1 Asíntota oblícua: y 1 1 Posición de la curva respecto a la asíntota: () < 0 si (curva por debajo). () > 0 si (curva por encima). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' 1 ( 1) ( 1) y 1 1 es asíntota oblícua. ( 1) 0 0 0,, ' Signo de '(): 1 1 es asíntota vertical. es creciente en (, Tiene un máimoen ) ( Solo corta a los ejes en el punto (0, 0). Gráica:, ); es decreciente en (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, ( ;,6); un punto de inleión en (0, 0) y un mínimoen ( ;,6). )

7 EJERCICIO : Representa la unción: Dominio R 8 8 Simetrías:. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Ramas ininitas: ; Puntos singulares: 1 ' 6 0 ' 0 0 Puntos singulares: (0, 0) y (, ) Cortes con los ejes: - Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y Puntos de inleión: ''() 9 1 ( ) ' ' 0 0, 8 0 Puntos 0, 0 y, 6 7 Puntos 0, 0 y, Gráica: EJERCICIO 5 : Halla los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la unción: () cos, [0, ] Dominio [0, ] Puntos de corte con los ejes: - Con el eje Y 0 y 1 Punto (0, 1) - Con el eje X y 0 cos 0 cos cos No tiene solución No corta al eje X. Utilizando la inormación obtenida, represéntala gráicamente. Máimos y mínimos: '() cos (sen ) cos sen cos 0, ' 0 cos sen 0 sen 0 0,, Estudiamos el signo de ''() [cos sen ] en esos puntos: y '' < 0 en 0, y Máimos: (0, 1), (, 1), (, 1) y'' 0 en y Mínimos :, ;, Gráica:

8 EJERCICIO 6 : Estudia y representa esta unción: Dominio (, 1) (, ) Asíntotas: Asíntotas verticales: 1 es asíntota 1 vertical. ln 1 ln ln Asíntotas horizontales ln ln y 0 es asíntota horizontal. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 '() 0 para todo. Signo de '(): es asíntota vertical. () es creciente en su dominio. No corta a los ejes. Gráica: EJERCICIO 7 : Representa la siguiente unción: Dominio R Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales 0 y 0 ; e 1 es asíntota horizontalcuando y 0. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: Rama parabólica.

9 e 1 e e 1 e 1 ' ( 1) ( 1) '() 0 1 '() > 0 para todo 1 () es creciente. e Hay un punto de inleión en 1,. Corta al eje Y en (0, 1). No corta al eje X. Gráica: ( 1) 1 EJERCICIO 8 : Estudia y representa la unción: Dominio (, ) (0, ) 1 Simetrías: No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Asíntotas: Asíntotas verticales: es asíntota vertical. Asíntotas horizontales: 0 y 0 es asíntota horizontal ( () > 0 para todo ). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' 1 1 '() 0 1 (no vale; pues () no está deinida en 1). () no tiene puntos singulares. Signo de ' (): es asíntota vertical. () es creciente en (, ) y es decreciente en (0, ). () no corta a los ejes. Gráica: EJERCICIO : Representa gráicamente la siguiente unción: () (1 ) e Dominio R Asíntotas: No tiene asíntotas verticales.

10 1 e Asíntotas horizontales: 1 e 0 y 0 es asíntota horizontal cuando (y > 0). Ramas ininitas: ; Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: '() e (1 ) e (1 1 ) e e '() 0 0 Signo de '(): Rama parabólica. () es creciente en (, 0); es decreciente en (0, ). Tiene un máimo en (0, 1). Puntos de corte con los ejes: - Con el eje Y 0 y 1 Punto (0, 1) - Con el eje X y 0 1 Punto (1, 0) Gráica: EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente unción: Dominio R {, } Simetrías: () (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas verticales: es asíntota vertical. 1 es asíntota vertical. Asíntota horizontal: 1 y 1 es asíntota horizontal. Si y si, () < 1 La curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ( ) '() Signo de ' (): 1 () es decreciente en (, ) (, 0); es creciente en (0, ) (, ). Tiene un mínimoen 0,. Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto 0, - Con el eje X y ; 1 Puntos (1, 0) y (1, 0) Gráica: