3.- Límites y continuidad

Transcripción

1 3.- ímites y ontinuidad El límite de una unión está íntimamente unido a su representaión gráia y a la interpretaión de la misma debido a que lo que nos india es el omportamiento o tendenia de la gráia. Por esta razón, el onepto de límite es básio en el Análisis Matemátio. as primeras deiniiones de límite apareen en la obra de Jonh Wallis y en ella se utiliza por primera vez el símbolo ininito. Con posterioridad Jean e Rond D'Alembert pereionó la deiniión de límite. Fue Ausgustin Cauhy quien dio la deiniión de límite que utilizamos hoy en día. 3.1 deiniión de ite Deiniión de ite según Heine

2 Es deir que si y sólo si ualquiera sea el entorno de que esojamos, eiste un entorno de, que no ontiene a tal que ver la igura 3. Figura 3: Deiniión de límite según Weierstrass Eisten uatro tipos undamentales de disontinuidad: Disontinuidad evitable Esta disontinuidad tiene lugar si eiste el límite pero la unión en, o no está deinida, o no oinide on el límite. Es evitable pues en podemos redeinir la unión de la tal orma que.

3 Figura 4: Funión on disontinuidad evitable en. Disontinuidad no evitable o esenial de salto inito Esta disontinuidad tiene lugar si eisten los límites laterales eisten pero son dierentes. Por tanto, no eiste el límite de y en. Además en este aso es imposible redeinir la unión de la tal orma que. Figura 5: Funión on disontinuidad de salto inito en. Disontinuidad no evitable o esenial de salto ininito Esta disontinuidad tiene lugar si alguno de los límites laterales es igual a, o sea, si o. Por tanto, no eiste el límite

4 inito de en. Además en este aso también es imposible redeinir la unión. Figura 6: Funión on disontinuidad de salto ininito en. Disontinuidad no evitable o esenial Este aso orresponde uando la unión esta bien deinida en todo el entorno de pero no eisten los límites laterales no son siquiera. Figura: a unión en izquierda y en dereha. Muy distinto es el aso de la unión,,.

5 Figura: a unión en izquierda y en dereha. 3. Propiedades de los ites Propiedades de límites Sean b, números reales y n un número entero positivo. 1 3 b b 4 4 Ej. 5 Ej 5 5 n n Ej. 5 n n 5

6 4 Si ] [ y K g ] [ entones a b b ] [ Ej. 3 ] [3 b K g ± ± ] [ Ej. 3 5 ] 3 5 [ K g ] [ Ej. 3 5 ] 3 5 [ d K g K 0 Ej e n n ] [ Ej ] [ 5] [ Funión Polinomial Si p es una unión polinomial, un número real,

7 p p 6 Funión raional Si r q p, q 0, q p r 7 Funión radial Sea n un entero positivo. n n siempre que n sea impar o para >0 si n es par 8 Funión ompuesta Sean y g dos uniones tales que g y entones: g

8 9Funiones trigonométrias Sea un número real en el dominio de la unión trigonométria dada. sen sen os os tan tan s s se se ot ot 10 Sea un número real y sea g para toda en un intervalo abierto que ontiene a. Si eiste el y g, entones también eiste el de g

9 11 Funiones trigonométrias espeiales a 0 sin 1 b 0 1 os 0 1 Teorema del enaje Si h g para toda en un intervalo abierto que ontenga a, eepto posiblemente en. Si h y g, entones 3.3. imites laterales Diremos que el límite de una unión uando tiende haia a por la izquierda es, si y sólo si para todo ε > 0 eiste δ > 0 tal que si a+δ, a, entones - <ε. Diremos que el límite de una unión uando tiende haia a por la dereha es, si y sólo si para todo ε > 0 eiste δ > 0 tal que si a, a + δ,, entones - <ε.

10 El límite de una unión en un punto si eiste, es únio. En este aso vemos que el límite tanto por la izquierda omo por la dereha uando tiende a es 4. El límite de la unión es 4 aunque la unión no tenga imagen en. Para alular el límite de una unión en un punto, no nos interesa lo que suede en diho punto sino a su alrededor. Ejemplo Dada la unión: Hallar.

11 Como no oiniden los límites laterales, la unión no tiene límite en Asíntotas as asíntotas son retas a las uales la unión se va aproimando indeinidamente, uando por lo menos una de las variables o y tienden al ininito. Una deiniión más ormal es: DEFINICIÓN Si un punto,y se desplaza ontinuamente por una unión y de tal orma que, por lo menos, una de sus oordenadas tienda al ininito, mientras que la distania entre ese punto y una reta determinada tiende a ero, esta reta reibe el nombre de asíntota de la unión. as asíntotas se lasiian en: a. Asíntotas vertiales paralelas al eje OY Si eiste un número a tal, que : a reta a es la asíntota vertial. Ejemplo:

12 es la asíntota vertial. b. Asíntotas horizontales paralelas al eje OX Si eiste el límite: : a reta y b es la asíntota horizontal. Ejemplo: es la asíntota horizontal.

13 . Asíntotas obliuas inlinadas Si eisten los límites: : a reta y m+n es la asíntota obliua.. ota-1

14 as asíntotas horizontales y obliuas son eluyentes, es deir la eistenia de unas, implia la no eistenia de las otras. ota- En el álulo de los límites se entiende la posibilidad de alular los límites laterales dereho, izquierdo, pudiendo dar lugar a la eistenia de asíntotas por la dereha y por la izquierda dierentes o solo una de las dos. Posiión relativa de la unión on respeto a la asíntota Para estudiar la posiión relativa de la unión on respeto a la asíntota, primero alularemos los puntos de orte de ambas resolviendo el sistema: Estos puntos determinan los ambios de posiión de la unión respeto de la asíntota. Estos ambios quedarán peretamente estableidos estudiando el SIGNO[-Asíntota]. Ejemplo: a unión tiene por asíntota obliua la reta Calulamos los puntos de interseión de ambas: El punto de orte de las dos uniones es P/3, 8/3. Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

15 Esto nos india que en el intervalo asíntota y en el intervalo la unión está por enima de la la unión está por debajo de la asíntota imites espeiales Dos límites espeiales En esta seión se alula el límite los que apareen uniones trigonométrias. y se utiliza para alular otros límites en Un límite espeial: Reuerde que el dominio de las uniones sen y os es todo R, el dominio de tan y se es el dominio de ot y s es R R - { np / n Z} A partir de las gráias de las uniones trigonométrias podemos deduir que ellas son ontinuas en todo su dominio, de manera que si pertenee al dominio de la unión orrespondiente, entones se tiene: sen sen tan tan se se os os ot ot s s Por otra parte, si no pertenee al dominio de la unión entones el límite no eiste.

16 Ejemplo 1.Cálulo de límites on uniones trigonométrias Como una apliaión de lo anterior tenemos, por ejemplo, que sen sen p 0 os os tan tan se se Por otra parte, deir que no eiste vea la gráia de y tan pero sí podemos y También tenemos que: Ejemplo.Cálulo de un límite de uniones trigonométrias on algebraias y Calular + os.

17 Soluión: Utilizando las propiedades de los límites estudiadas en apítulos anteriores, tenemos: + os +. os p + p -1 p - p Tenemos, igual que antes: si al evaluar no enontramos problemas entones obtenemos el límite diretamente. Pero, también, aquí podemos enontrar problemas. Piense en el siguiente límite: Tenemos una situaión espeialmente diíil puesto que al evaluar obtenemos la orma indeterminada 0/0; on un agravante: no podemos ni atorizar, ni raionalizar, ni operar omo lo haíamos antes. Es evidente que aquí debemos utilizar otros métodos. Dentro de un momento aprenderemos uál es el valor de ese límite y podremos utilizarlo para alular otros pareidos. Pero para llegar a ese valor antes veremos un teorema que nos será de muha utilidad.

18 Otro límite espeial 3.6 deiniión de ontinuidad Diremos que una unión es ontinua en un punto a si se umplen las tres ondiiones siguientes: 1. Eiste a. Eiste 3. Disontinuidades: Si una unión no es ontinua en un punto se die que es disontinua en ese punto, la disontinuidad puede ser: Evitable. si eisten a y es un número real, pero no oiniden. Se evita la disontinuidad haiendo No evitable, ésta a su vez se divide en disontinuidad de primera espeie, eisten los ites laterales en el punto pero no oiniden y de segunda espeie, no eiste alguno de los límites laterales. o Disontinuidad de primera espeie: Salto inito, los dos límites laterales son un número real, el salto es la dierenia entre los límites laterales. Salto ininito, uno de los límites laterales es ininito. 3.7 propiedades de la ontinuidad Si b es un número real y, g son ontinuas en, entones: 1 b es ontinua en múltiplo esalar ± g es ontinua en suma o dierenia 3 g es ontinua en produto

19 4 g es ontinua en si g 0 oiente Funiones ontinuas en su dominio: 1 Funiones polinomiales Funiones raionales 3 Funiones radiales 4 Funiones trigonométrias Teorema-Funión ompuesta Si g es ontinua en y es ontinua en g, entones o g g es ontinua en.

20 Bibliograia Introduión al análisis matemátio; uis Osín. Calulus, Volumen I; Tom M. Apostol. Manual de matemátias para ingenieros y estudiantes; I. Bronshtein, K. Semendiaev. Aritmétia 3; C. Repetto, M. inskens, H. Fesquet. Análisis matemátio; Tom M. Apostol. Análisis matemátio, Volumen I; J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo. Matemátias 3; C. Amigo, P. Peña, A. Pérez, A. Rodríguez, F. Sivit. Apuntes de análisis matemátio IIdel urso del proesor F. Forteza; A. Dieste, C. Pei. Apuntes de análisis matemátiode las lases del proesor R. Ciganda; Santiago Mihelini. Problemas y ejeriios de análisis matemátio; B. Demidovih.