Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

Transcripción

1 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados: ) f ( ) 4 f ( ) es una función polinómica y, por tanto, no tiene asíntotas. ) f ( ) Dom( ) R { f / } R {} ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) f ( ) f ( ) y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la asíntota y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

2 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ) f ( ) Dom( f ) R { / } R {,} ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) f ( ) de f ( ) f ( ) ( Ι) f ( ) ( Ι) y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por encima de la asíntota y por la derecha está por debajo. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

3 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 4) f ( ) Dom( f ) R { / } R {} ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) f ( ) f ( ) No hay asíntotas horizontales ( Ι) ( Ι) ( ) ( ) ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () ambos lados. es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por y m n f ( ) m ( Ι) n [ f ( ) m] ( ) ( Ι) n m Por tanto, y es A.O.de f () POSICIÓN Izquierda ( ) ( ) Función y y 99 99, f ( ) está por encima de la A.O.

4 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS Derecha () () 98 Función y, 97 f ( ) está por debajo de la A.O. y 5) f ( ) Dom( f ) R { / } R {, } ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) f ( ) es A.V. de f ( ) 4

5 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) ( Ι) f ( ) ( Ι) y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 6) f ( ) Dom( f ) R { / } R ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. f ( ) ( Ι) f ( ) ( Ι) 5

6 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la asíntota y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 4 7) f ( ) Dom( f ) R { / 8 ASÍNTOTAS VERTICALES 8 } R { } 4 f ( ) de f () 4 f ( ) ( Ι) 8 4 f ( ) ( Ι) 8 y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 6

7 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 8) f ( ) Dom( f ) R { / ASÍNTOTAS VERTICALES } R {,} f ( ) de f ( ) f ( ) Observación f ( ) f () ( )( ) ( Ι) ( ) Discontinuidad evitable ( punto en blanco ) NO de f ( ) f ( ) f ( ) ( Ι) ( Ι) y es A.H. de f ( ) 7

8 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS POSICIÓN ( ) Función y Izquierda ( ) ( ) y 9999,99 f ( ) está por debajo de la A.H. () Función y Derecha () y , f ( ) está por encima de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la asíntota y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 8

9 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 9) f ( ) Dom( f ) R {} ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) es A.V. de f ( ) f ( ) ( Ι) f ( ) ( Ι) No hay asíntotas horizontales () () ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () ambos lados. es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por y m n f ( ) m ( Ι) m n [ f ( ) m] 5 ( 5) 5 n ( Ι) Por tanto, y 5 es A.O.de f () POSICIÓN Izquierda ( Función y ) ( ) 99 5,9 98 f ( ) está por debajo de la A.O. y ( ) 5 5 9

10 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS Derecha () Función y ) () ,9 f ( ) está por encima de la A.O. y () ) 5 95 ) f ( ) Dom( f ) R { /( ) ( ) ASÍNTOTAS VERTICALES } R { / } R {} f ( ) ( ) ( ) ( ) de f ( ) f ( ) ( )

11 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) ( ) y es A.H. de f ( ) ; tanto por la izquierda como por la derecha la función está por debajo de la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. ) f ( ) Dom( f ) R { /( ) } R { / } R { } ( ) ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) ( ) ( ) ( ) de f ( ) f ( ) ( ) ( Ι)

12 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) ( ) ( Ι) y es A.H.de f ( ) POSICIÓN ( ) Función y Izquierda ( ) y () Función y Derecha ( ) y 9998, ,98 f ( ) está por debajo de la A.H. f ( ) está por encima de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

13 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ) ( ) f Dom( ) R ( ) f { /( ) } R { / } R { } ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) ( ) ( ) ( ) de f () f ( ) ( ) ( Ι) f ( ) ( ) ( Ι) No hay asíntotas horizontales ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () ambos lados. y m n es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por f ( ) m n [ f ( ) m] ( Ι) ( Ι) ( ) n m Por tanto, y es A.O.de f ( ) POSICIÓN ( ) Función y, Izquierda ( ) y.( ) f ( ) está por debajo de la A.O.

14 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS () Función y 98, Derecha ( ) y 98 f ( ) está por encima de la A.O. 7 ) f ( ) Dom( ) R 5 f { / ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) } R { 5,5} de f () f ( ) de f ( ) 4

15 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 7 7 f ( ) f ( ) 5 y es A.H. de f ( ) ; tanto por la izquierda como por la derecha f ( ) está por encima de la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 4 4) f ( ) Dom( f ) R { / 4 4 } R ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. f ( ) 4 ( Ι) 4 4 5

16 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 4 f ( ) ( Ι) 4 4 No tiene A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () ambos lados. es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por y m n m f ( ) ( Ι) 4 4 no hay A.O. f ( ) ± f ( ) ± f ( ) tiene tanto por la izquierda como por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) 4 5) f ( ) Dom( f ) R { / 6 ASÍNTOTAS VERTICALES 6 } R { 4,4} 4 f ( ) es A.V. de f ( ) 6

17 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 4 f ( ) de f () 4 f ( ) 6 4 f ( ) 6 y es A.H.de f ( ) ( Ι) Ι) ( ( ) ( ) POSICIÓN 4 ( ) Función y Izquierda ( ) 6 y 9996, 9984 f ( ) está por debajo de la A.H. 4 () Función y Derecha () 6 y 9996, 9984 f ( ) está por debajo de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; tanto por la izquierda como por la derecha está por debajo de la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 7

18 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 6) f ( ) Dom( f ) R { / } R ± 4 solución real ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. f ( ) ( Ι) f ( ) ( Ι) y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 8

19 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 7) f ( ) Dom( f ) R { / ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) } R {, } de f ( ) f ( ) es A.V. de f ( ) ( ) f ( Ι) f ( ) ( Ι) y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 9

20 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 5 8) f ( ) Dom( f ) R { / ASÍNTOTAS VERTICALES } R {, } 5 4 f ( ) de f ( ) 5 f ( ) 5 5 es A.V. de f ( ) 5 f ( ) 5 f ( ) y es A.H.de f ( ) ( Ι) ( Ι)

21 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS POSICIÓN Izquierda ( ) 5 Función y ( ) ( ) y ,98 f ( ) está por encima de la A.H. () 5 Función y Derecha () () y ,99 f ( ) está por debajo de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 9) f ( ) Dom( f ) R { / ASÍNTOTAS VERTICALES: No tiene A.V. } R

22 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) f ( ) ( Ι) y es A.H.de f ( ) Ι) ( POSICIÓN Izquierda ( ) ( ) Función y ( ) y,96 f ( ) está por encima de la A.H. () () Función y Derecha () y 99,99 f ( ) está por debajo de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

23 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ) f ( ) Dom( f ) R { / } R {} ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) f ( ) ( Ι) f ( ) ( Ι) No hay asíntotas horizontales ( ) ( ) ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () ambos lados. es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por y m n f ( ) m n [ f ( ) m] ( ) ( ) n ( Ι) ( ) m ( Ι) Por tanto, y es A.O.de f () POSICIÓN ( ) Función y 97, Izquierda ( ) y ( ) 97 f ( ) está por encima de la A.O.

24 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS () Función y, Derecha () 99 y () f ( ) está por debajo de la A.O ) f ( ) Dom( f ) R { / 4 6 : ± 4 6 ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) } R {,} ± de f ( ) f ( ) de f ( ) 4

25 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) f ( ) No tiene A.H ( Ι) ( Ι) 4 6 ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () ambos lados. es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por y m n m f ( ) ( Ι) 4 6 no hay A.O. f ( ) ± f ( ) ± f ( ) tiene tanto por la izquierda como por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) 5

26 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ) f ( ) Dom( f ) R { / 9 ASÍNTOTAS VERTICALES 9 } R {,} f ( ) de f ( ) 6 f ( ) de f ( ) f ( ) 9 f ( ) 9 ( Ι) ( Ι) No hay asíntotas horizontales ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () ambos lados. es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por y m n f ( ) m 9 ( ) Ι 9 n [ f ( ) m] ( Ι) n 9 m Por tanto, y es A.O.de f ( ) 6

27 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS POSICIÓN Izquierda ( ) ( ) 9997 Función y,6 ( ) f () está por debajo de la A.O. y Derecha () () Función y,6 () f ( y ) está por encima de la A.O. ) f ( ) Dom( f ) Dom y R {} ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) por la derecha 7

28 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) f () "punto en blanco" ( ) f ( ) f y es A.H.de f ( ) POSICIÓN Izquierda Función y Asíntota y,99 f ( ) está por debajo de la A.H. 99 Derecha Función y Asíntota y,7 f ( ) está por encima de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 8

29 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 4) f ( ) Dom( f ) { / ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. } (, ] [, ) f ( ) f ( ) ( ( ) ) f () NO tiene A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () no tiene A.H. puede que tenga A.O. m f ( ) [ ] y m n ( ) n [ f ( ) m] ( ( Ι) [ ( ) ( Ι) n ] [ ] [ )( ) ( ( ) ) m ] ( ) ) Por tanto, y es A.O.por la izquierda de f ( ) POSICIÓN Función y ( ) 99,9 f ( ) está por debajo de la A.O. Asíntota y ( ) y m n m f ( ) ( Ι) m 9

30 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS n [ f ( ) m] ( )( ) [ n ( ] [ ] [ ] ) ) ( Ι) Por tanto, y es A.O.por la derecha de f ( ) POSICIÓN Función y () 99,9 f ( ) está por debajo de la A.O. Asíntota y 5) f ( ) Dom( f ) / (,] (, ) ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) por la derecha

31 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) ( ) ( ) ( Ι) f ( ) ) ( ) ( Ι) ( y es A.H.de f ( ) POSICIÓN Función y,995 Izquierda y f ( ) está por debajo de la A.H. Función y,5 Derecha y f ( ) está por encima de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f () tiene A.H. no tiene A.O.

32 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 6) f ( ) Dom( f ) [, ) (, ) y Dominio { / } [, ) y Dominio R ya que anula al denominador ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) de f ( ) No hay pues Dom ( f ) [,) (, ) f ( ) y es A.H.de f ( ) por la derecha y la función está por encimade la asíntota

33 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ASÍNTOTAS OBLICUAS: No hay pues Dom ( f ) [,) (, ) Como f () tiene A.H. no tiene A.O. ( ) 7) f ( ) Dom( f ) R { / ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.H. } R ( ) f ( ) ( ) f ( ) y es A.H.de f ( ) ( Ι) ( Ι)

34 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS POSICIÓN ( ) Función y, Izquierda ( ) y f ( ) está por encima de la A.H. ( ) Función y Derecha () y 98,98 f ( ) está por debajo de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 8) f ( ) Dom( f ) R { } ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) f ( ) f () "punto en blanco" de f ( ) por la izquierda f ( ) 4

35 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) y es A.H.de f ( ) POSICIÓN Izquierda Función y y, f ( ) está por encima de la A.H. Derecha Función y y,98 f ( ) está por debajo de la A.H. y es A.H. de f ( ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. 5

36 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 9) f ( ) Dom( f ) R ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. f ( ) f ( ) y es A.H.de f ( ) y tantopor la izquierdacomo por la derechala función está por encimade la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. ln ) f ( ) Dom( f ) (, ) ASÍNTOTAS VERTICALES ln de f ( ) por la derecha f ( ) No hay pues Dom ( f ) (, ) 6

37 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ln f ( ) ( Ι) ( ) (*) Las potencias de son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. ASÍNTOTAS OBLICUAS: No hay pues Dom ( f ) (, ) Como f () y es A.H. de f ( ) por la derecha y la función está por encima de la asíntota tiene A.H. no tiene A.O. ) f ( ) Dom( f ) (,) (, ) ln ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) ln ln ln de f ( ) No hay pues Dom ( f ) (,) (, ) f ( ) ( Ι) f () NO tiene A.H.de por la derecha ln Las potencias de son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. 7

38 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ASÍNTOTAS OBLICUAS: No hay pues Dom ( f ) (,) (, ) Como no hay A.H. puede que haya A.O. f ( ) ln m NO hay A.O.por la derecha ln ln f ( ) f ( ) f ( ) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de abscisas (eje OX) ) f ( ) ln( 4) Dom( f ) { / ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) ln( 4 > } (, ) (, ) 4) ln( ) de f ( ) por la izquierda f ( ) ln( 4) ln( ) de f ( ) por la derecha f ( ) ln(( ) 4) ln( 4) f ( ) f ( ) es PAR y, por tanto,su comportamiento en es el mismo que en f ( ) ± ln( ± 4) f () NO tiene A.H. 8

39 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ASÍNTOTAS OBLICUAS: f ( ) ln(( ) 4) ln( 4) f ( ) f ( ) es PAR y, por tanto,su comportamiento en es el mismo que en f ( ) ln( 4) m ( Ι) f ( ) NO tiene A.O. Las potencias de son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. ± ± f ( ) f ( ) f ( ) tiene por ambos lados una rama parabólica en la dirección del eje de abscisas (eje OX) ) f ( ) e Dom( f ) R ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. f ( ) e ( ) e f ( ) f ( ) es PAR y, por tanto, su comportamiento en es el mismo que en ± f ( ) ln e ± e y es A.H.de f ( ); y la función está por encima de la asíntota por por ambos lados ASÍNTOTAS OBLICUAS: : Como hay A.H. no hay A.O. 9

40 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 4) f ( ) e f ( ) Dom ( f ) R e ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. f ( ) f () NO tiene A.H.por la izquierda e e f ( ) e ( ) (*) Las funciones eponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de. y es A.H.de f ( ) por la derecha y la función está por encimade la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n f ( ) e m ( Ι) f ( ) NO tiene A.O. e e ( ) (*) Las funciones eponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de. 4

41 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) f ( ) f ( ) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de abscisas (eje OX) Como hay A.H. no hay A.O. 5) f ( ) e Dom( f ) R ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. e ( ) f ( ) e ( Ι) ( Ι) e e L Hôpital e y es A.H.de f ( ) por la izquierda y la función está por debajo de la asíntota ( ) (*) Las funciones eponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de. 4

42 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) e ( ) ( ) f ( ) NO tiene A.H.por la derecha ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) e e e f () NO tiene A.O.por la derecha f ( ) f ( ) f ( ) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) e 6) f ( ) e f ( ) Dom ( f ) R {} ASÍNTOTAS VERTICALES e f ( ) e e de f ( ) 4

43 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) f ( ) e e y es A.H. de f ( ) por la izquierda y la función está por debajo de la asíntota e e ( Ι ) f ( ) NO tiene A.H.por la derecha (*) Las funciones eponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O. Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n ( ) e f ( ) e m ( Ι) f ( ) NO tiene A.O.por la derecha ( ) (*) Las funciones eponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de. f ( ) f ( ) f ( ) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) 4

44 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 7) f ( ) e f ( ) Dom ( f ) R e ASÍNTOTAS VERTICALES: : No tiene A.V. f ( ) f () NO tiene A.H. por la izquierda e e f ( ) e (*) Las funciones eponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de. y es A.H.de f ( ) por la derecha y la función está por encima de la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) e e e e f ( ) NO tiene A.O.por la izquierda. f ( ) f ( ) f ( ) tiene por la izquierda una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) Como hay A.H. no hay A.O. 44

45 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 8) f ( ) e Dom( f ) R { } ASÍNTOTAS VERTICALES e e e e f ( ) e e e de f ( ) por la derecha e e e Simplificar e e ( )( Ι) L Hôpital f ( ) f () "punto en blanco" f ( ) e ( ) e ( ) e ( ) f ( ) NO tiene A.H. por la izquierda 45

46 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) e ( ) e ( ) e ( ) f ( ) NO tiene A.H. por la derecha ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) e e n [ f ( ) m] e e e e e n m ( e ) ( ) ( Ι) e ( ) Ι L Hôpital Por tanto, y es A.O.por la izquierda de f ( ) POSICIÓN Función y e 99,5 f ( ) está por debajo de la A.O. Asíntota y 99 Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) e e n [ f ( ) m] e e e e e n m ( e ) ( ) ( Ι) e ( ) Ι L Hôpital Por tanto, y es A.O.por la derecha de f ( ) 46

47 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS POSICIÓN Función y e,5 f ( ) está por encima de la A.O. Asíntota y 9) f ( ) ln Dom( f ) (, ) ASÍNTOTAS VERTICALES ln f ( ) ln ( )( Ι) NO de f ( ) ( Ι) L Hôpital ( ) f ( ) f () "punto en blanco" f () NO tiene A.V. No hay ya que Dom ( f ) (, ) 47

48 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) ln ( ) ( ) f ( ) NO tiene A.H.por la derecha ASÍNTOTAS OBLICUAS: No hay ya que Dom( f ) (, ) Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) f ( ) f ( ) ln ln f ( ) NO tiene A.O. por la derecha f ( ) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) 4) f ( ) ln Dom( f ) (, ) ASÍNTOTAS VERTICALES ln f ( ) ln ( )( Ι) NO de f ( ) ( Ι) L Hôpital f () NO tiene A.V. f ( ) f () "punto en blanco" No hay ya que Dom ( f ) (, ) 48

49 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) ln ( ) ( ) f ( ) NO tiene A.H.por la derecha ASÍNTOTAS OBLICUAS: No hay ya que Dom( f ) (, ) Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) f ( ) f ( ) ln ln ( ) ( ) f ( ) NO tiene A.O. por la derecha f ( ) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) 49

50 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS Determina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados: ) si f ( ) Dom ( f ) R si > ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) es A.V. por la derecha de f ( ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES f ( ) no tiene f ( ) y es A.H. por la derecha y f ( ) está por encima de la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS f () es una función constante no hay A.O.por la izquierda Como hay A.H. no hay A.O. A.H. por la izquierda 5

51 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ) f ( ) si si < Dom ( f ) R ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES f ( ) ( Ι) y es A.H. por la izquierda Función y,99 Posición: y f ( ) ( ) por la izquierda f ( ) está por debajo de la A.H. y es A.H. por la derecha y f ( ) está por encima de la A.H. ASÍNTOTAS OBLICUAS Como hay A.H. no hay A.O. Como hay A.H. no hay A.O. 5

52 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ) si < f ( ) Dom ( f ) R { } si ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES f ( ) f ( ) ( Ι) ASÍNTOTAS OBLICUAS Como hay A.H. no hay A.O. Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m y es A.H. por la izquierda y f ( ) está por debajo de la A.H. f ( ) ( Ι) no hay A.H.por la derecha n [ f ( ) m] m n Por tanto, y es A.O.por la derecha de f ( ) Función y 99,99 Posición: f ( ) está por debajo de la A.O. y 5

53 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 4) f ( ) si si si < < < Dom ( f ) R {,,} ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) f ( ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES f ( ) ( Ι) y es A.H.por la izquierda ( ) Función y, Posición: 97 y f ( ) está por debajo de la A.H. 5

54 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS f ( ) ( Ι) no hay A.H.por la derecha ASÍNTOTAS OBLICUAS Como hay A.H. no hay A.O. Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) n [ f ( ) m] n ( Ι) m ( Ι) Por tanto, y es A.O.por la derecha de f ( ) Función y,4 Posición: 98 f ( ) está por encima de la A.O. y 54

55 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 5) 9 si 9 f ( ) Dom ( f ) R {,} si > 4 ASÍNTOTAS VERTICALES 9 ( ) f ( ) ( Ι) f ( ) NO 9 ( )( ) Observación f ( ) discontinu idad evitable ("punto en blanco") f ( ) f ( ) es A.V. ASÍNTOTAS HORIZONTALES 9 f ( ) ( Ι) es A.H. 9 y por la izquierda y está por debajo de la A.H. f ( ) 4 ASÍNTOTAS OBLICUAS Como hay A.H. no hay A.O. Como hay A.H. no hay A.O. f ( ) y es A.H. por la derecha y f ( ) está por encima de la A.H. 55

56 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS 6) f si < ) Dom ( f ) R {} si ( ASÍNTOTAS VERTICALES f ( ) por la izquierda f ( ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES f ( ) ( Ι) f ( ) ( Ι) es y A.H. por la izquierda y por encima de la A.H. no hay A.H.por la derecha f ( ) está ASÍNTOTAS OBLICUAS Como hay A.H. no hay A.O. 56

57 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS Como no hay A.H. puede que haya A.O. y m n m f ( ) ( Ι) n [ f ( ) m] n m ( Ι) Por tanto, y es A.O.por la derecha de f ( ) Función y, Posición: 99 f ( ) está por encima de la A.O. y 7) si h( ) Dom ( f ) R { } si > 57

58 Tema. Límites y continuidad. HOJA ASÍNTOTAS º Bachillerato de CCSS ASÍNTOTAS VERTICALES 4 4 f ( ) 4 f ( ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES f ( ) ( Ι) ( ) Función y,4 Posición: 97 y f ( ) por encima de la A.H. por la derecha ( ) y es A.H. por la izquierda y f ( ) f ( ) está por debajo de la A.H. ( Ι) es A.H.por y la derecha y f ( ) está ASÍNTOTAS OBLICUAS Como hay A.H. no hay A.O. Como hay A.H. no hay A.O. 58