FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Transcripción

1 FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente), un ÚNICO número real, y (variable dependiente). Se puede epresar: f: IR IR y = f() ( y está en función de ) PROPIEDADES GENERALES DE LAS FUNCIONES. En una función podemos estudiar las siguientes propiedades: Dominio, (Domf) : Es el conjunto de valores para los que está definida la función.(todos los valores que puede tomar la variable ). Dominio de las funciones elementales: - Funciones polinómicas : El dominio es IR. - Funciones racionales: El dominio son todos los valores que NO anulan el denominador. - Funciones irracionales: Dada f()=, según sea par o impar el índice tenemos { { } - Funciones eponenciales : con a> y a Domf= Domg - Funciones logarítmicas: f() = con a> y a Domf = { } - Funciones trigonométricas: -f() = sen Domf = IR -f()= cos Domf = IR - f() = tg Domf = { } Imagen o recorrido de una función: son todos los valores que toma la variable dependiente y.

2 2 Signo de una función. Para ver en qué intervalos del dominio de una función la función es positiva o negativa, calculamos en primer lugar los valores que anulan la función. Estos valores dividirán el dominio en distintos intervalos. En cada uno de ellos la función tendrá un único signo, viendo el signo de la función para un valor concreto de un intervalo tendremos el signo de todo el intervalo. Puntos de corte con los ejes. - Cortes con el eje X: y=, debemos resolver la ecuación f()=. - Cortes con el eje Y: =, debemos calcular f() Monotonía (Crecimiento de una función). - Creciente: f es creciente en un intervalo (a,b) si para cualquier par de valores de este intervalo con, se cumple que. - Decreciente: f es decreciente en un intervalo (a,b) si para cualquier par de valores de este intervalo con, se cumple que. - Constante: f es constante en un intervalo (a,b) si para cualquier par de valores de este intervalo con, se cumple que. Máimos y mínimos. - Máimo relativo: f presenta un máimo relativo en, si en un entorno de f()<f(, para todo de dicho entorno - Máimo absoluto: f presenta un máimo absoluto en, si para cualquier valor del dominio de la función se cumple f()<f(. - Mínimo relativo: f presenta un mínimo relativo en, si en un entorno de f()>f(, para todo de dicho entorno - Mínimo absoluto: f presenta un mínimo absoluto en, si para cualquier valor del dominio de la función se cumple f()>f(. Simetría - Simetría par: Se dice que una función es par o simétrica respecto el eje Y si se cumple f()= f(-). - Simetría impar: Se dice que una función es impar o simétrica respecto el origen de coordenadas si se cumple f()=- f(-) - Periodicidad: Una función es periódica de período T, si para cualquier valor del dominio de la función se cumple f(+kt)= f(), para todo k Z.

3 OPERACIONES CON FUNCIONES 3 Dadas dos funciones f y g cuyos dominios son Domf y Domg, respectivamente: Suma y resta de funciones f y g es otra función: f() (f g)() cuyo dominio son todos los nºs reales que pertenezcan tanto a Domf como a Domg. Producto de funciones f y g es otra función: f() g()= (f g)() cuyo dominio son todos los nºs reales que pertenezcan tanto a Domf como a Domg. Cociente de funciones f y g es otra función: ( ) ) cuyo dominio son todos los nºs reales que pertenezcan tanto a Domf como a Domg y además no anulan a g(). Composición de funciones: Dadas dos funciones f y g, se llama función compuesta de f con g a la función (g o f) que cumple que : (g o f)()= g[f()] En general (g o f) (f o g) Función inversa: - La función inversa de una función f es otra función,, tal que para cualquier valor de su dominio se cumple que: Si f() =b, entonces (b) = - Si es la función inversa de f, se cumple que: o f = f o = Id. - A Id la llamamos función identidad y se define como Id()=. - Cálculo de la función inversa de una función: 1. Epresamos la función en la forma y =f() e intercambiamos por y en ambos miembros. 2. Despejamos y en la ecuación resultante. FUNCIONES ELEMENTALES Función afín y lineal. Su representación gráfica es una recta Función cuadrática. Su representación gráfica es una parábola LÍMITES DE UNA FUNCIÓN LÍMITES EN EL INFINITO significa que cuando toma valores cada vez mayores, f() se aproima al nº l significa que cuando toma valores cada vez más pequeños (negativos), f() se aproima al nº l

4 LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 4 Dados a y b nºs reales, f() se aproima al nº b. significa que si toma valores próimos a a, LÍMITES LATERALES - LÍMITE POR LA IZQUIERDA: significa que cuando toma valores muy cercanos a a pero menores que a, los correspondientes valores de f() se acercan a b - LÍMITE POR LA DERECHA: significa que cuando toma valores muy cercanos a a pero mayores que a, los correspondientes valores de f() se acercan a b Eiste si y sólo si CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una función es continua en un punto a si se verifican las siguientes tres condiciones: y coinciden por lo que 3. LÍMITES INFINITOS Análogamente a las definiciones anteriores podemos definir: CÁLCULO DE LÍMITES OPERACIONES CON LIMITES A. LÍMITES EN UN PUNTO c A.1 lim f(). Como regla general, se sustituye en cada caso la variable por el c valor hacia el que tiende A.2 Si P() es un polinomio y limp ( ) c (siendo c un nº o ) k lim cp ( ) ; según la regla de signos, donde k.

5 5 Si c es un punto debemos calcular los límites laterales para ver dónde tiende a - o. A.3 INDETERMINACIÓN Si P ( ) lim c Q( ) donde P() y Q() son polinomios, resolvemos la indeterminación simplificando la fracción algebraica dividiendo numerador y denominador entre (-c). (Si en el numerador o denominador aparece una epresión irracional sumando o restando, multiplicamos y dividimos por el conjugado de esta suma o resta). B. LÍMITES EN EL INFINITO. B.1. LÍMITES DE POLINOMIOS. lim P() dependiendo del grado del polinomio y del signo del coeficiente del término de mayor grado.(regla de signos). EJEMPLOS: a) lim b) lim c) lim8 7 2 d) lim e) lim4 f) lim4 si P() n par NO EXISTE si P() - lim n( P) si P() nimpar - si P() -

6 B.2. LÍMITES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 6 P() li m = ± ± Q() INDETERMINACIÓN (no sabemos cuál puede ser el resultado) CASOS: 1. gr P()>gr Q() P() Q ( ) según la regla de signos aplicada a los términos de mayor grado en el numerador y denominador P ( ) 2. gr P()<gr Q() lim Q ( ) (caso particular en el que P() es un nº real k, k ) 3. gr P()=gr Q() P ( ) a lim Q ( ) b siendo a y b los coeficientes de los términos de mayor grado de P() y Q() respectivamente. B.3. INDETERMINACIÓN Según el caso en el que nos encontremos podemos resolver esta indeterminación de las siguientes formas: 1. Efectuamos la resta que se plantea y la reducimos a una sola epresión de la que es fácil obtener su límite. 2. Si aparece en la diferencia la raíz cuadrada de un polinomio, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la diferencia. B.4. INDETERMINACIÓN Están asociadas al cálculo del límite de la sucesión cuyo término general es ( ). En general, debemos manipular nuestra sucesión para transformarla en una sucesión de la forma: ( ) donde si, entonces ( ) e.

7 7 Como regla general podemos deducir que si y, entonces tendremos que = CUADRO RESUMEN 1. lim P(), P() polinomio. 2. limf f() c c, si f es continua en c. k 3. k INDETERMINACIÓN 6. INDETERMINACIÓN 7. INDETERMINACIÓN 8. { ASÍNTOTAS Una asíntota es una recta a la que se acerca la función cuando o bien o bien y o bien ambas, tienden a. Asíntotas verticales: Pueden eistir asíntotas verticales en los puntos en los que la función no es continua, o puntos que no pertenezcan al dominio. Eiste una A.V.en =a si se verifica : o Asíntotas horizontales: Eiste una A.H. y= k si se verifica que Asíntotas oblícuas: La recta y=m+n, es una asíntota oblícua de y =f() si : Donde: m= y n = ( )=

8 8