TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS página 89

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1 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin 89

2 págin 90 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE 5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 5.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES Toos los triángulos constn e seis elementos primrios que son tres ángulos y tres los. Resolver un triángulo signific encontrr lgunos o toos los elementos el triángulo prtir e tres e ellos conocios, siempre y cuno esos tres no sen los tres ángulos. Esto signific que los tres elementos conocios pueen ser # los tres los, # os los y un ángulo, # un lo y os ángulos. Ls efiniciones e ls funciones trigonométrics tienen su origen en triángulos rectángulos, tl y como se mnejó en el párrfo 1.2 e l págin 3, o en el e l págin 11, esto es que el seno es el cteto opuesto entre l hipotenus, el coseno es el cteto ycente entre l hipotenus, l tngente es el cteto opuesto entre el cteto ycente, etc. Porí ecirse que inicilmente con ells se poín resolver solmente triángulos rectángulos. Sin emrgo, no solmente los triángulos rectángulos pueen resolverse con ichs funciones, unque su origen esté llí, sino tmién los que no son rectángulos. Existen os leyes muy importntes e l trigonometrí con ls cules puee resolverse too tipo e triángulos. Son l ley e los senos y l ley e los cosenos. 5.2 LEY DE LOS SENOS L ley e los senos es plicle culquier triángulo si entro e los tres elementos conocios se tiene el pr un lo y su ángulo opuesto conocios, puieno ser el tercer elemento conocio otro lo o ien otro ángulo.

3 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin 91 L utilizción e l ley e los senos, por ser más simple y menos lorios, se prefiere sore l ley e los cosenos. Con ell se puee clculr lgún lo o lgún ángulo esconocio. L ley e los senos ice que: En too triángulo se cumple que Un lo culquier entre el seno e su ángulo opuesto es igul otro lo culquier entre el seno e su ángulo opuesto. α β δ Respecto e l figur 32, en culquier e los os triángulos, conforme l ley nterior, se cumple que sen α sen β sen δ β α δ Al plicr est ley solmente se tom un signo igul y l frcción que se escrie en el lo izquiero ee ser l el lo conocio entre el seno e su ángulo opuesto conocio, que en los ejemplos siguientes se les llmrá "pr conocio", y en el lo erecho el signo igul ee ponerse l frcción que incluy l tercer elemento conocio, es ecir, l lo o ángulo restnte conocio. figur 32 Ejemplo 1: Resolver el triángulo e l figur 33. solución: El pr conocio lo-ángulo opuesto, es el lo que mie 29 y su ángulo opuesto e 21 gros. Con ellos se formrá frcción el lo izquiero el signo igul. El tercer elemento conocio es el lo que mie 36, e mner que l frcción el lo erecho el signo igul se construirá con ese lo y su ángulo opuesto sen 21 sen δ β figur δ Pr espejr sen δ, een quitrse primero los os enominores, lo cul se logr multiplicno to l igul simultánemente por

4 págin 92 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE sen 21 y por sen δ, conforme l ley e ls igules o ley uniforme que ice que "lo que se hg e un lo ee hcerse el otro lo pr que l igul se conserve". Recorr que es flso que psn l otro lo multiplicr: sen 21 sen δ ( sen 21)( sen δ) ( sen 21)( sen δ) 29 sen δ 36 sen 21 iviieno too entre 29 pr espejr sen y recorno que es flso que ps l otro lo iviir. 29 sen δ 36 sen relizno ls operciones inics en el lo erecho y espejno : sen rc sen δ En este momento se llevn conocios os ángulos, e mner que el tercero se otiene por simple iferenci 180, y que l sum e los ángulos interiores e too triángulo es 180. Así que β β Finlmente, pr clculr el tercer lo simplemente se vuelve plicr l ley e los senos, provechno que en este momento y se conoce el ángulo β: 29 sen 21 sen Pr espejr el lo, een multiplicrse mos los e l igul por el enominor sen pr eliminrlo. Recorr que es flso que ps l otro lo multiplicr:

5 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin sen 21 sen ( sen ) ( sen ) 29 sen sen 21 que ee escriirse invertio e l siguiente form: 29 sen sen 21 y que se lee e izquier erech y lo que ee leerse primero es l cos o el ojeto el que se ese ser lgo, en este cso. El lumno ee tomr como un regl práctic que siempre que se espeje culquier cos, lo espejo ee escriirse el lo izquiero el signo igul, por l rzón previmente cit. Hcieno ls operciones inics se lleg que Ejemplo 2: Resolver el triángulo e l figur 34. solución: El pr conocio lo-ángulo opuesto, es el lo que mie 51 y su ángulo opuesto es el e 68 gros. Con ellos se formrá l frcción el lo izquiero el signo igul. El tercer elemento conocio es el ángulo que mie 79, e mner que l frcción el lo erecho el signo igul se construirá con ese ángulo y su lo opuesto. 51 sen 68 sen 79 Pr espejr el lo, een multiplicrse mos los e l igul por sen 79 pr eliminr su enominor. Recorr que es flso que ps l otro lo multiplicr: β figur sen 68 sen 79 ( sen 79) ( sen 79)

6 págin 94 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE 51 sen 79 sen 68 que ee escriirse invertio e l siguiente form: 51 sen 79 sen 68 y que se lee e izquier erech y lo que ee leerse primero es lo que interes efinir, es ecir, lo que interes ser qué es, es. Hcieno ls operciones inics se lleg que El ángulo β puee otenerse fácilmente por simple iferenci 180, y que l sum e los tres ángulos interiores e culquier triángulo sumn 180 gros y e ellos y se conocen os. Entonces β ( ) β 33 Finlmente, pr clculr el tercer lo simplemente se vuelve plicr l ley e los senos, provechno que en este momento y se conocen los tres ángulos y os los. Se recomien utilizr el pr conocio lo-ángulo opuesto originl, e ser posile, pr logrr myor exctitu en los cálculo o evitr rrstrr posiles errores e cálculos nteriores. 51 sen 68 sen 33 Pr espejr el lo, een multiplicrse mos los e l igul por el enominor sen 33 pr eliminrlo. Recorr que es flso que ps l otro lo multiplicr: 51 sen 68 sen 33 ( sen 33) ( sen 33) 51 sen 33 sen 68 que ee escriirse invertio e l siguiente form:

7 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin sen 33 sen 68 y que se lee e izquier erech y lo que ee leerse primero es l cos o el ojeto el que se ese ser lgo, en este cso. Hcieno ls operciones inics se lleg que LEY DE LOS COSENOS L ley e los cosenos es plicle culquier triángulo si entro e los tres elementos conocios no se tiene el pr conocio un lo y su ángulo opuesto, lo que signific que los tres elementos conocios son os los y el ángulo que formn, o ien los tres los. Si se tuviern un lo y sus os ángulos ycentes conocios, es más fácil clculr el tercer ángulo por iferenci 180 y luego plicr l ley e los senos, pues en ese momento y se tenrín un lo y su ángulo opuesto conocios. L ley e los cosenos por ser más lorios, se utiliz solmente cuno l ley e los senos no se puee empler por no tener el pr conocio lo-ángulo opuesto. L ley e los cosenos ice que: En too triángulo se cumple que α Un lo culquier l curo es igul l sum e los curos e los otros os los, menos el ole proucto e estos os los por el coseno el ángulo que formn. β δ Respecto e l figur 35, en culquier e los 2 triángulos, conforme l ley nterior, se cumplen ls tres siguientes igules: α cosα cosβ cosδ β figur 35 δ

8 págin 96 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE Ejemplo 3: Resolver el triángulo e l figur 36. solución: Como no se tiene ningún pr lo-ángulo opuesto conocios, y que l lo conocio que mie 36 se le opone el ángulo esconocio β ; l lo conocio que mie 29 se le opone el ángulo esconocio ; y l ángulo conocio que mie 103 gros se le opone el lo esconocio, entonces no se puee utilizr l ley e los senos y por esclificción se emple l ley e los cosenos. De mner que utilizno l tercer igul α β 29 figur cosδ sustituyeno vlores se otiene que (36)(29) cos cos ( ) En este momento y se tiene el pr lo-ángulo opuesto conocios, que son el lo recién otenio y su ángulo opuesto que vle 103 gros, e mner que y se puee empler l ley e los senos: sen 103 sen α Pr espejr sen α, een quitrse primero los os enominores, lo cul se consigue multiplicno to l igul (recorr l ley e ls igules) por mos enominores. Recorr que es flso que psn l otro lo multiplicr. Hciénolo en form simultáne result: sen 103 sen α ( sen 103)( sen α) ( sen 103)( sen α)

9 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin sen α 29 sen 103 iviieno too entre pr espejr sen α y recorno que es flso que ps l otro lo iviir: senα 29 sen relizno ls operciones inics en el lo erecho y espejno α : sen α α rc sen α En este momento se llevn conocios os ángulos, e mner que el tercero se otiene por simple iferenci 180, y que l sum e los ángulos interiores e too triángulo es 180. Así que β β Ejemplo 4: Resolver el triángulo e l figur 37. solución: Como no se tiene ningún pr lo-ángulo opuesto conocios, y que l lo conocio que mie 50 se le opone el ángulo esconocio β ; l lo conocio que mie 39 se le opone el ángulo esconocio α y l ángulo conocio que mie 79 gros se le opone el lo esconocio, entonces no se puee utilizr l ley e los senos y por esclificción se emple l ley e los cosenos. De mner que utilizno l tercer igul α β figur cosδ sustituyeno vlores se otiene que (50)(39) cos cos 79

10 págin 98 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE ( ) En este momento y se tiene el pr lo-ángulo opuesto conocios, que son el lo recién otenio y su ángulo opuesto que vle 79 gros, e mner que y se puee empler l ley e los senos: sen 79 sen α Pr espejr sen α, een quitrse primero los os enominores, lo cul se consigue multiplicno to l igul (recorr l ley e ls igules) por mos enominores. Recorr que es flso que psn l otro lo multiplicr. Hciénolo en form simultáne result: sen 79 sen α ( sen 79)( sen α) ( sen 79)( sen α) sen α 39 sen 79 iviieno too entre pr espejr sen α y recorno que es flso que ps l otro lo iviir senα 39 sen relizno ls operciones inics en el lo erecho y espejno α : sen α α rc sen α En este momento se llevn conocios os ángulos, e mner que el tercero se otiene por simple iferenci 180, y que l sum e los ángulos interiores e too triángulo es 180. Así que

11 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin 99 β β Ejemplo 5: Resolver el triángulo e l figur 38. Este ejemplo tiene por ojetivo mostrr un error muy frecuente que se comete en l resolución e triángulos y que prentemente está ien resuelto. El meollo el sunto es que, cuno no se tiene experienci, no ee clculrse el ángulo myor por l ley e los senos, sino por iferenci 180 un vez otenios los otros os ángulos, en virtu e lo siguiente: 1) En too triángulo hy por lo menos os ángulos guos; el otro puee ser tmién guo, o ien recto o e más e 90 gros. En otrs plrs, el ángulo myor e un triángulo puee o no ser e más e 90 gros. Cuno mucho hy un ángulo e más e 90 gros α β figur 38 2) En too triángulo, l lo myor se le opone el ángulo myor y l lo menor se le opone el ángulo menor. Por lo tnto, l lo intermeio se le opone el ángulo intermeio. 3) Como el rco seno positivo tiene soluciones en el primero y en el seguno curnte, es ecir, un solución es e menos e 90 gros y l otr entre 90 y 180 gros, l empler l ley e los senos pr clculr el ángulo myor, l momento e scr rco seno, éste puee ser un vlor el primero o el seguno curnte. Solución: Como no se tiene ningún pr lo-ángulo opuesto conocios, y que l lo conocio que mie 35 se le opone el ángulo esconocio β ; l lo conocio que mie 75 se le opone el ángulo esconocio α y l ángulo conocio que mie 30 gros se le opone el lo esconocio, entonces no se puee utilizr l ley e los senos y por esclificción se emple l ley e los cosenos. De mner que utilizno l tercer igul cosδ sustituyeno vlores se otiene que (35)(75) cos 30

12 págin 100 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE cos ( ) En este momento y se tiene el pr lo-ángulo opuesto conocios, que son el lo recién otenio y su ángulo opuesto que vle 30 gros, e mner que y se puee empler l ley e los senos. Sin emrgo, pr mostrr el error que se suele cometer si se clcul el ángulo myor (el que se opone l lo myor), con to intención se v clculr el ángulo α, e lo que se otiene: sen 30 sen α Pr espejr sen α, een quitrse primero los os enominores, lo cul se logr multiplicno to l igul (tener en cuent l ley e ls igules) por mos enominores. Recorr que es flso que los enominores psn l otro lo multiplicno. Hciénolo en form simultáne result: sen 30 sen α ( sen 30)( sen α) ( sen 30)( sen α) sen α 75 sen 30 Diviieno too entre pr espejr sen α (recorr que es flso que ps l otro lo iviir) senα 75 sen Relizno ls operciones inics en el lo erecho y espejno : sen α α rc sen α

13 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin 101 Así que por iferenci 180 gros, β ( ) β Aprentemente no h hio ningún error en el proceimiento y l solución precerí ser l mostr en l figur 39. Sin emrgo puee verse que hy un incongruenci en los resultos: l lo myor se le opone el ángulo intermeio; l lo menor se le opone el ángulo myor y l lo intermeio se le opone el ángulo menor. Por lo tnto, huo lgo incorrecto. Efectivmente, como se virtió l principio e este ejemplo, no se ee clculr el ángulo myor por meio e l ley e los senos cuno se tiene poc experienci porque éste porí ser e más e 90 gros y l clculor, l scr el rco seno corresponiente únicmente proporcion el e menos e 90 gros. Y sí suceió en este ejemplo figur 39 Si se oserv, cuno se empleó l ley e los senos en l relción sen 30 sen α se clculó el ángulo myor (el ángulo α), lo cul se se porque se opone l lo myor. Lo correcto, pr evitr estos riesgos e equivocción, es clculr el otro ángulo esconocio que con to certez no es el myor, o se el ángulo β. Hciénolo entonces correctmente se otiene: sen 30 sen β Pr espejr sen β, een quitrse primero los os enominores, siguieno el proceimiento ntes mostro. Hciénolo result: sen 30 sen β ( sen 30)( sen β) ( sen 30)( sen β) sen β 35 sen 30 Diviieno too entre pr espejr sen β, insistieno en que es flso que pse iviir :

14 págin 102 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE sen β 35 sen sen β β rc sen β Así que por iferenci 180 gros, α ( ) α L solución es l mostr en l figur 40. Puee verse que hy congruenci en los resultos: l lo myor se le opone el ángulo myor; l lo menor se le opone el ángulo menor y l lo intermeio se le opone el ángulo intermeio. Cuio: Un cos es que los resultos sen congruentes y otr cos es que l figur esté ien hech. L figur 40 está ml hech en el sentio e que no gur proporción con los vlores. Por ejemplo, el ángulo myor e es un ángulo otuso y sin emrgo está iujo como guo. Pero el hecho e que l figur no esté proporcion no lter los vlores reles e los los y e los ángulos. Allí hy un prolem e iujo, no e mtemátics. De hecho, l figur eerí ser como lo muestr l figur figur figur 41

15 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin 103 Ejemplo 6: Clculr l istnci que hy en un cuo e 20 cm e lo, ese uno e sus vértices hst el centro el curo e l cr opuest. f Solución: Cuno se requiere resolver lgún prolem e un cuerpo geométrico en tres imensiones, een construirse triángulos, e preferenci rectángulos por ser más fáciles e resolver, por plnos, e tl mner que l istnci pei pertenezc un triángulo cuyos los o ángulos se hyn poio otener trvés e otros triángulos. h c g e En l figur 42, l istnci pei es l que v ese el vértice e hst el punto centrl f e l cr opuest. El lumno en este tipo e prolems ee ctivr lo máximo posile su imginción espcil, es ecir, imginrse los cuerpos en el espcio. figur 42 Osérvese que ich istnci es l hipotenus el triángulo rectángulo efg, el cul se se que el lo ge mie 20 cm. por ser un cr el cuo. El primer pso entonces es clculr cuánto mie l istnci fg que pertenece l triángulo menciono efg. Pr ello es necesrio nlizr el curo gh, que si en l figur 42 está en perspectiv, se puee iujr en el plno e l hoj pr verlo con más clri, el cul se muestr en l figur 43. h f g L istnci fg puee otenerse e os forms: Un, figur 43 consierno el triángulo rectángulo g, el cul se conocen ls meis e sus os ctetos y g que mien 20 cm. Por el teorem e Pitágors se puee clculr l hipotenus g y l mit es l istnci usc fg. L otr form es nlizno el triángulo rectángulo fg el que se se que sus ángulos mien 45 gros y l hipotenus g 20 cm. Con l función seno (o coseno) se otiene el vlor e fg. Hciénolo e l primer form, prtir el triángulo rectángulo g, por el teorem e Pitágors se otiene que 2 2 g g 800 g cm. Por lo tnto, fg g 2 fg cm.

16 págin 104 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE Con estos tos se puee y psr l triángulo fge (ver figur 42), el cul está en perspectiv en ich figur, pero iujánolo en el plno el ppel puee precirse como en l figur 44. f g Sieno que fg cm. ge 20 cm. (Es un lo el cuo) Por el teorem e Pitágors se otiene: e fg figur 44 fg cm Ejemplo 7: Se construye el pentágono regulr e l figur 45, cuyos los mien 60 cm. c uno. Clculr l longitu e los los el triángulo e formo por os igonles y un lo el pentágono, sí como los tres ángulos interiores e icho triángulo. Solución: Como l sum e los ángulos interiores el pentágono es p + q + r + s + t 360 (figur 46) y toos son igules, culquier e ellos, por ejemplo p, mie e c 360 p 72 5 figur 45 Por otr prte, en el triángulo o, figur 46, l sum e los ángulos β + θ es l iferenci 180 e q, o se que β + θ y como β θ, entonces β 54. Aemás, como toos los triángulos interiores el pentágono son igules, entonces tmién α β 54 y, por lo tnto, α + β 108, que correspone l ángulo e e l figur 45. e α β θ δ p q r t s c En l figur 45, el triángulo e es isósceles, y que los los e por ser los el polígono regulr. Por lo tnto los ángulos e y e son igules y een e meir 36 gros, como lo muestr l figur 47. figur 46

17 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin 105 El ángulo e e 108, por lo tnto el ángulo e ee meir El triángulo e es isósceles, y que e por ser igonles, por lo tnto el ángulo tmién ee meir 72 gros. Finlmente, por iferenci 180 se otiene que el ángulo e mie 36 gros (ver figur 47). De est mner se tienen y los tres ángulos interiores el triángulo e y emás se se que el lo e mie 60 cms. por ser un lo el polígono. Ver figur 48. e figur 47 c De mner que por l ley e los senos: 60 e sen 36 sen e 60 sen 72 sen 36 e e figur 48 Y como e, el prolem h queo resuelto.

18 págin 106 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE EJERCICIO 21 Resolver los siguientes triángulos, respecto e l figur 49, si se tienen en c cso los siguientes tos: 1) 26 ; 35 ; α 42 2) 60 ; 49 ; δ 42 3) 46 ; 35 ; β 122 4) 48 ; 49 ; β 97 5) 20 ; 35 ; β 152 6) 77 ; 41 ; α 30 7) 16 ; α 35 ; β 107 8) 81 ; δ 40 ; β 111 9) 22 ; β 113 ; δ 27 α β δ 10) 85 ; δ 39 ; α 18 11) 30 ; 40 ; 26 figur 49 12) 100 ; 135 ; 90 13) 75 ; 122 ; 18 14) 63 ; 88 ; 7 Resolver los siguientes triángulos, respecto e l figur 50, si se tienen en c cso los siguientes tos: 15) 23 ; 21 ; α 62 16) 62 ; 48 ; δ 44 17) 49 ; 39 ; β 72 18) 68 ; 49 ; β 47 19) 27 ; 33 ; β 52 α 20) 70 ; 54 ; α 45 21) 19 ; α 58 ; β 37 22) 80 ; δ 46 ; β 56 β δ 23) 25 ; β 53 ; δ 70 24) 85 ; δ 39 ; α 80 figur 50 25) 20 ; 17 ; 28 26) 224 ; 128 ; ) 120 ; 100 ; 10 28) 150 ; 85 ; 300

19 TRIGONOMETRÍA LEY DE SENOS Y DE COSENOS págin ) Se construye el triángulo c mostro en l figur 51. L rect c es horizontl. Dese el vértice c se trz l verticl c hst intersecr con el lo. Clculr l longitu el segmento c. c 30) En el prolem nterior, respecto e l figur 51, clculr el vlor el ángulo α. 18 α figur 51 31) Se construye el triángulo c mostro en l figur 52. El lo c es horizontl. Se uic el punto e 8 unies el vértice c y 10 unies el vértice. Dese ese punto e se trz un rect e prlel l lo c. Clculr l longitu el segmento e. 10 e 8 c 15 Not: Este prolem se puee resolver fácilmente por meio e triángulos semejntes, pero se recomien que no se resuelv sí, sino por meio e l ley e los senos y/o e los cosenos por ser el tem en estuio. 30 figur 52 32) En l rmur e l figur 53, el elemento c está horizontl y los puntos y quen tmién en el mismo plno horizontl. Clculr l longitu e l istnci horizontl. Cuio: No está l mit. 18 c e ) En l figur 53, clculr l longitu e los segmentos e, e y e.? figur 53 c 40

20 págin 108 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE 34) Clculr l ltur h en un pirámie form por triángulos equiláteros e 80 cm. e lo c uno (figur 54). 35) Si l ltur e l pirámie form por triángulos equiláteros e l figur 54 mie 75 cm., Cuánto mien sus los? figur 54 36) Se construye un heptágono regulr e 25 cm. e lo (ver figur 55). Clculr cuánto mien los ángulos interiores el triángulo c, sí como l longitu e sus los y c ) Si en el heptágono regulr e l figur 55 el lo mie 20 cm., Cuánto mien los los el polígono? 38) Se construye un pirámie rect e se curngulr (ver figur 56), cuyos los mien 50 cm. y l ltur eg mie 70 cm. Clculr cuánto mien ls rists e, ec, etc. figur 55 c 39) En el prolem nterior, clculr el ángulo e inclinción θ e l cr tringulr ec respecto e l se cur c. e 40) En el prolem e l figur 56, si ls rists e, ec, etc. mien 90 cm y el ángulo θ formo por l se curngulr y un e ls crs tringulres lterles mie 50 gros, clculr l ltur eg e l pirámie. g θ f c figur 56

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