TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

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1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa: l s l valor al qu s aproima f() cuando s aproima a c Notas: - Qu s aproima a c significa qu toma valors muy crca d c (S pud acrcar por la izquirda o por la drch. - l pud sr + ó - y ntoncs = c s una asíntota vrtical. Límits latrals d una función n un punto Límit por la drcha: f () = l S l: El it cuando tind a c por la drcha d f() s l c + Significa: l s l valor al qu s aproima f() cuando s aproima a c por la drcha. Límit por la izquirda: f () = l S l: El it cuando tind a c por la izquirda d f() s l c Significa: l s l valor al qu s aproima f() cuando s aproima a c por la izquirda. Eistn dl it Para qu ista l it d una función n un punto s ncsario qu istan los dos its latrals y san iguals.

2 8.. LÍMITES EN EL INFINITO f () + f () + = + = S l: El it cuando tind a más infinito d f() s más infinito Significa: la función toma valors grands positivos cuando la toma valors grands positivos. (º cuadrant) S l: El it cuando tind a más infinito d f() s mnos infinito. Significa: la función toma valors grands ngativos cuando la toma valors grands positivos. (º cuadrant) f () = l S l: El it cuando tind a más infinito d f() s l + Significa: l s l valor al qu s aproima f() cuando toma valors muy grands positivos: y = l s una asíntota vrtical. f () f () = + = S l: El it cuando tind a mnos infinito d f() s más infinito Significa: la función toma valors grands positivos cuando la toma valors grands ngativos. (º cuadrant) S l: El it cuando tind a mnos infinito d f() s mnos infinito. Significa: la función toma valors grands ngativos cuando la toma valors grands ngativos. (º cuadrant) f () = l S l: El it cuando tind a mnos infinito d f() s l Significa: l s l valor al qu s aproima f() cuando toma valors muy grands ngativos: y = l s una asíntota vrtical.

3 8.. CÁLCULO DE LÍMITES S sustituy la por l valor al qu tind b) (sn + ) ) log π g) j) + + m) o) +, h) + 7 k) n) p) + + c) 7 + f) i) + 7 l) + ñ) Indtrminacions: - S hacn opracions. Cuando aparcn radicals, multiplicamos y dividimos por la prsión conjugada. b) c) ( ) ± Si grado dl numrador > grado dl dnominador (El signo dpnd d los coficints d la d mayor grado dl numrador y dl dnominador) a / Si grado dl numrador = grado dl dnominador (a y b son los coficints b d la d mayor grado dl numrador y dl dnominador) Si grado dl numrador < grado dl dnominador + b) c) k/ Hallar its latrals b) ) f) ( ) ( ) c) g) + h) + / Factorizar y simplificar b) c) f.g = f / g / g f = =

4 . Ln + b). + ó : Tomar logaritmos (Ln) + b) : Tipo númro : Aplicar : = a + f() + b) f () a g() + = + f () ó g().[f () ] a Equivalncias: Sólo s pudn aplicar n productos y cocints sn tag cos / arcsn arctag Ln ( + ) f() sn f() f() tag f() f() cos f() f() / arcsn f() f() arctag f() f() Ln (f() + ) f() f() f() Ln - f() Ln f() f() - sn tag ( ) + cos b) c) tag + ) Ln + Ln - En funcions dfinidas a trozos, n los puntos dond sté dfinida d distinta forma si m aproimo por valors más pquños, qu por valors más grands, habrá qu hacr its latrals. si < Dada la función f() = Calcular su it n los puntos,, si

5 8. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS - Asíntotas vrticals: = c y Cálculo: Puntos qu anulan l dnominador Puntos qu anulan lo qu stá dntro dl logaritmo Por abajo Aproimación: Calcular los its latrals + Por arriba - Asíntotas horizontals: y = b (Grado numrador Grado dnominador) Cálculo: f () = b Aproimación: f(± ) Asíntota < > Por dbajo Por ncima - Asíntotas oblicuas: y = m + n (Grado Numrador Grado dnominador = ) Cálculo: m = f () Aproimación: f(± ) Asíntota (± ) ; n = (f () m) < > Por dbajo Por ncima RAMAS INFINITAS (Grado Numrador Grado dnominador ) Cálculo: f () = ± ± y = y = b) y = ) y = + + c) y = f) y = + +

6 8. - CONTINUIDAD La ida d función continua s la d qu pud sr construida con un solo trazo. 8.. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función f() s continua n l punto = a si f() f(, s dcir, dbn a = istir los dos its latrals, sr iguals y coincidir con f(. Tipos d discontinuidads - Discontinua invitabl d salto infinito: Si alguno d los its latrals s infinito o no ist. - Discontinua invitabl d salto finito: Si los dos its latrals son finitos pro distintos. El salto s la difrncia, n valor absoluto, d los its latrals. - Discontinua vitabl: Si los dos its latrals son finitos iguals, pro su valor no coincid con f( o no ist f(

7 TEMA 8 - LÍMITES DE FUNCIONES CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO : Calcular los siguints its: g) j) m) + + o) + r) + u) ).arctg cos.sn() + b) ) h) + + k) n) + p) 7 9.(cos ) s) sn( ) v) + 7 y) + Ln( + ) ) + ) 9 --> c) + a + b f) + c i) + + l) + ñ) q) + + t) + w) + z) + ) ( + )

8 LIMITES CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO : Da una dfinición para stas prsions y rprséntalas gráficamnt: b) 9 6 c) f ) Solución: Cuando s aproima a, la función s hac muy grand b) Cuando s aproima a, la función s aproima a 6 c) Cuando toma valors muy grands ngativos la función s aproima a. Cuando s aproima a, con valors mnors qu, la función toma valors muy grands ngativos. ) Cuando toma valors muy grands positivos, la función s aproima a.

9 EJERCICIO : Calcula: b) log ) f) log i) log j) Solución: c) 9 g) ln h) Porqu una ponncial d bas mayor qu s un infinito d ordn suprior a una potncia. b) log log Porqu una potncia s un infinito d ordn suprior a un logaritmo. 9 c) 9 ) log Porqu las potncias son infinitos d ordn suprior a los logartimos. f) g) Porqu una ponncial d bas mayor qu s un infinito d ordn suprior a una potncia. ln ln h) Porqu las potncias son infinitos d ordn suprior a los logaritmos. i) log Porqu las potncias son infinitos d ordn suprior a los logaritmos. j)

10 EJERCICIO : Halla los its: b) 6 c) ) f) g) h) i) j) Solución: 9 b) 6 6 c) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) f) g) h) ) ( ) ( ) ( ) ( i) j)

11 EJERCICIO : Calcula: b) 8 7 ) 9 c) Solución: 8 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) () Hallamos los its latrals: ; No ist 8 () 9 Hallamos los its latrals: ; No ist ) 9 () Hallamos los its latrals: ; No ist EJERCICIO : Calcula los its: b) 6 ) c) Solución: 6 ( ) () 6 6 ( 6) ( ) 6 () () () ( 6) () 6 6 ( 6) ( ) ( ) () () () ( ) () ( ) b)

12 c) ) EJERCICIO 6 : Calcula stos its: b) c) ) f) g) 9 7 h) i) j) Solución: b) 8 c) ) f) 6 g) h)

13 i) j) EJERCICIO 7 : Halla los its: g) j) m) b) 9 6 ) h) k) n) c) sn f) i) l) sn sn sn cos ñ) cos sn Solución: b) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) () Hallamos los its latrals: ; Como son distintos No ist l it ( ) ( ) ( ) ( ) c) (Factorizar y simplificar (no podmos), aplicar quivalncias (no podmos porqu no s pudn aplicar n sumas) Lo vrmos n l tma (Rgla d L Hôpital) ( ) () Hallamos los its latrals: ; Como son distintos No ist l it ) f) sn Aplicando _ quivalncias ( ) 66 ( )

14 g) h) () 6 Hallamos los its latrals: ; No ist l it i) No podmos factorizar ni aplicar quivalncias.( Lo vrmos n l tma ) ) ( ) ( ) ( ) ( 6 j). k). cos ) ( cos l) m) ) )( ( n) ñ) (No podmos factorizar, ni aplicar quivalncias No vrmos n l tma )

15 .- Calcula [ ( sn ) /( ) ] Sol:.- Calcula l siguint it (In dnota logaritmo npriano), [ /Ln() /( ) ] Sol:. -Cálcula sindo Ln la función logaritmo npriano.sol: /.- S sab qu s finito. Dtrmina l valor d α y calcula l it.sol:.- S sab qu s finito. Dtrmina l valor d a y calcula l it.sol:- / 6.- Calcula [Ln(+) - sn]/[.sn], sindo Ln(+) l logaritmo npriano d + Sol:- / 7.- Sindo Ln() l logaritmo npriano d, calcula Sol:/ 8.- Calcula Sol:- 9-. Calcula ( (b) - Sol:/, b).- Calcula [sn()] / tg( )Sol:. Calcula los siguints its: Sol :+, b) [ log ] b) Calcula [ ]. -Calcula l siguint it: + b) -, b) Sol:, + ln.- Halla los siguints its: [ ] ( + ) b) Sol :+, b) +