TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMS DE MTEMÁTICS (Oposcoes de Secudr TEM 9 DETERMINNTES. PROPIEDDES. PLICCIÓN L CLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ.. Itroduccó... Resultdos preos.. Forms multleles lterds. 3. Determtes. 3.. Determtes de N ectores. 3.. Determtes de u Edomorfsmo plccó dut de u Edomorfsmo Determte de u mtrz Mtrz socd d( Desrrollo de u ermte por los dutos de u líe. 4. plccó l cálculo del rgo de u mtrz. blogrfí Recomedd. /6

2 TEM 9 DETERMINNTES. PROPIEDDES. PLICCIÓN L CLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ.. INTRODUCCIÓN. El cocepto de ermte es posble troducrlo de dferetes forms: Por medo de plccoes multleles lterds, por duccó o medte sums de! sumdos pr u ermte de orde. El tem se desrrollr utlzdo l prmer form, y que es l más rguros de ls tres. Tee como et sobre ls otrs que os permte relcor dersos coceptos y presetr de form secll pero rguros ls propeddes de los ermtes. Hemos de destcr que lo lrgo del tem l letr K deotrá u cuerpo comutto co crcterístc de dos... Resultdos Preos. E este prtdo mos refrescr u sere de resultdos sobre permutcoes que ecestremos pr desrrollr el tem. Pr ecotrr ls demostrcoes y etr retercó, remtmos l lector l tem 3 del temro. DEF Llmremos S l couto formdo por tods ls permutcoes posbles de los elemetos del couto {,,., }. Se {,, 3} u couto. U permutcó de dcho couto puede ser que se puede expresr como El couto S podemos defr como u opercó como sgue (l represetremos e S PROP El couto S uto co l opercó de producto de permutcoes tee estructur de grupo. DEF U trsposcó es u permutcó e l que todos los elemetos qued fos meos dos que tercmb su poscó. /6

3 Ls trsposcoes se puede represetr medte u mtrz de orde x, dcdo los dos úcos elemetos que tercmb su poscó S (,3 S 3 se puede escrbr como 3 3 PROP Tod permutcó se puede escrbr como producto de trsposcoes. PROP S u permutcó se descompoe de dos forms dstts como producto de trsposcó, mbs descomposcoes erfc que tee u úmero pr (o mpr de trsposcoes. DEF Dremos que u permutcó es pr s se descompoe como u úmero pr de trsposcoes (e mpr e cso cotrro. S S E E ( ( s es pr s es mpr DEF El úmero E( co S recbe el ombre de sgtur o sgo de l permutcó. PROP S co u trsposcó se erfc que E( -. Dd u plccó f grupo, podemos defr : C... (... x C G sedo C u couto culquer y G u x ( ( f ( x,., x f x ( x ( S,.., DEF DEF Dremos que f es smétrc s S se erfc f f Dremos que f es tsmétrc s S se erfc f E( f PROP, S ( f ( f OS Pr sber s u plccó es smétrc o tsmétrc, teedo e cuet l proposcó teror y que tod permutcó se descompoe como producto de trsposcoes, sólo es ecesro coocer su ctucó te ls trsposcoes. PROP Dd f : Cx.Λ ( x C G y τ S trsposcó: f es smétrc τf f f es tsmétrc τf f DEF Dremos que f es o degeerd s es u plccó tsmétrc o ul. 3/6

4 . FORMS MULTILINELES LTERNDS. Se V u K-espco ectorl de dmesó y V V x Λ (. xv. Se W otro K-espco ectorl. DEF Dremos que f: V W -lel s es lel e cd u de sus compoetes. ρ ρ ρ ρ ( α β,, αf (,,,..., βf (,..., f,...,,, ρ S W K etoces f es u form -lel sobre V. PROP Se V y W K-espcos ectorles. S f: V W es -lel, se erfc S λ λ K f ( λ, λ,..., λ λ... f (,...,,..., λ S {,..., } ρ ρ x u ( es combcó lel de {u,,u } ρ ρ f (,..., λ λ... λ f ( u,..., u f ( λ λ,, λ λ f (, λ,..., λ λλ f (,,..., λ.. λ, (, λ. λ f,..., Por ser lel respecto de cd u de ls rbles. Como λ u {,..., } f,..., (,..., f λ u, λ u λ u λ λ λ... λ λ ( u, u u f,..., ( u, u u λ. f,..., DEF Se f: V W -lel. Dremos que f es lterd (tsmétrc s f(,, 0 cudo pr lgú, co. ests plccoes se ls llm -lel lterd. 4/6

5 PROP Se f: V W -lel lterd y τ S u trsposcó ( ( Etoces f (,..., f (,,..., (,..., V τ, ( τ ( τ ( Supogmos que <. ( f (,...,,,,...,,, f,..., τ,..., ( τ( τ. Por hber dos ectores repetdos ( e los lugres y y ser f lterd se erfc f (,...,,,,...,,,,, 0 f (,...,,,,,,,,..., f (,...,,,,...,,,,..., f (,...,,,,...,,,,..., f (,...,,,,...,,,,..., (,...,,,,..., f (,...,,...,,..., 0 0 f Etoces (,...,,..., f (,...,,..., f,,,..., PROP Se f: V W -lel terd y S. Etoces (,, V ( f,..., (,..., ( ε( f ( sedo ε( l sgtur de l permutcó. f (,.., K K ( (,..., ( f τ τ... τ ( τ τ... τ ( τ τ... ( ( K ε τ K 5/6

6 ( τ τ (,.., τ τ ( ( f τ... τ (,, τ τ ( ( f.. K K 3 K 3 K K ( f (,..., ε( f (,..., PROP Se f: V W -lel y S, (,., V se erfc que ( ε( f ( f,...,,., f es lterd. ( ( Se (,, V co ( < y se S τ (,..., f τ (,..., τ ( τ co τ ( ( f (,...,,...,,..., f (,...,,...,,..., f y que ( ( Por hpótess f (,, ( f,..., τ τ,...,,..., Luego f ( f (,..., f (,..., 0 f (,..., 0,..., PROP Se f: V W -lel lterd. S {,, es u couto lelmete depedete de V, etoces f(,, 0 S {,, } es L. D {,, }/ es combcó lel del resto. f λ,..., (,...,,..., f,...,, λ, λ f (,...,,,,..., E todos los sumdos prece repetdos los y como f es lterd, los sumdos so cero. λ 0 0 6/6

7 COROLRIO S V es u K-espco ectorl co dmv p <, etoces culquer que se el espco ectorl W se erfc que tod plccó -lel lterd f: V W es ul. LEM Se f: V W -lel lterd, (,, V y supogmos que {,., } es combcó lel de {u,., u }, f,..., ε λ λ λ ( ( ( ( f ( u,..., u S. Etoces Sbemos que f (,,.. λ λ. λ f ( u, u,..., u S e el couto de ídces {,.., } teemos S K co S K etoces f u,, u,, u,, u por ser f lterd. ( 0 S K Luego los sumdos e dode se rept lgú u so cero y los podemos elmr,,..., co S de l sum. l fl os qued ( ( ( S ( u,, u λ ( ( ( f ( u u λ ε λ f λ,..., ( ( ( ( S TEOREM Se V u K-espco ectorl de dmesó. Se {u,.,u } bse de V y de w W (co W K-espco ectorl. Exste u úc plccó -lel lterd f: V W tl que f(u,., u w. Ucdd. Se f, f : V W -leles lterds / f(u,., u w f (u,., u. Se (,., V co λu f ( ε ( (. ( f ( u,..., u,..., λ λ S S ( ( ( f ( u,..., u f ( ε λ... λ,..., Como tee gul domo y rgo y ctú gul sobre todos los elemetos, so gules: f f 7/6

8 Por tto, de exstr l plccó, ést es úc. Defcó de f. Se w W, f: V W (,.., V y {,.., }, λ u f,..., ( : ( ( ( w L mge de l bse es ε λ λ S f S Id / ( δ ( 0,, ( u u ε( δ ( δ ( w S Etoces f ( u u ( δ w w,..., δ δ y que δ f es -lel (elegmos l ª rble pr comprobrlo y es álogo pr el resto. Se u λ y µ u ( λ µ u f S ( w (,,..., ε( λ ( µ (. λ ( Como K es u cuerpo (se erfc l propedd dstrbut ε λ. S S ( ( λ ( ε( µ ( λ ( λ ( w ε S S ( λ ( λ ( w ε( µ ( λ ( λ ( w (,..., f (, f,...,, De form álog se demuestr pr el producto por u esclr. Por tto f es lel. f es lterd. Se (,, V co. Se τ ( 8/6

9 ( τ ε( ε( τ ε( ε S Como λ λ K { } K K,...,. Teemos λ λ λ τ τ ( ( ( λ λ λ ( ( ( ( λ (. λ (... λ ( λ ( ε. τ τ τ ( λ ( λ (. λ ( λ ( ε Como el producto e el cuerpo es comutto se puede escrbr ( λ ( λ ( λ ( λ ( ε. Luego este sumdo es gul pero opuesto ( λ ( λ ( ε ( w Pero como f ( (,..., ε λ ( λ ( exste ros sumdos. Cómo podemos demostrr que pr cd sumdo exste su opuesto? Pues defedo l sguete byeccó T: I t( τ sedo el couto de ls permutcoes pres e I ls mpres. Luego f,..., I ( ε( λ ( λ ( ε( λ ( λ ( w 0 y que ( 0 ε s y ( Por tto f es lterd. 3. DETERMINNTES. 3.. Determte de N ectores. DEF Se { u,..., } ε s I u u bse del K-espco ectorl V. Se defe el ermte respecto de l bse como l úc form -lel lterd 9/6

10 : V K tl que (u, u,., u DEF S (,,., V, el ermte de los ectores respecto de l bse es L (,,..., ε ( λ ( λ (. λ ( ω S Podemos defr el couto de tods ls plccoes -leles como V, W f / f : V W lel ( { } Este couto lo podemos dotr de estructur de K-espco ectorl de l sguete mer: S f, f L (V, W Sum: ( f f (,, f (,,..., f (,,...,, Producto esclr: ( λf (,..., λ f (,,, PROP Se { u u,..., }, u, u bse de V. Se erfc: S f: V K es u form -lel lterd, exste K tl que f S f 0. f: V K es u form -lel lterd y f(u, u,., u 0 etoces Se (,,., V f (,..., ε ( (... ( f ( u,..., u (,..., f ( u,..., u, λ λ S S llmmos f(u,., u ( u, u,..., u ( ( u u,..., Luego f S f(u,., u 0 f(u,., u 0 y como f f 0 PROP Se { u,..., u } bse de V y se {,..., } V. Los ectores {,..., } lelmete depedetes s y solo s (,., 0 so 0/6

11 S {,..., } -lel lterd tl que (,..., 0 es u couto lelmete depedete etoces exste u plccó f. Luego s f 0 sedo u esclr o ulo. Etoces (,., 0 Se (,..., 0 y supogmos que {,..., } depedetes. Etoces {,..., } teemos que (,..., 0 fuese lelmete serí bse de V K / y como Pero esto es u cotrdccó co el hecho de que el ermte de u bse es, u,..., (. u Luego uestr hpótess de que los ectores {,..., } depedetes es fls y por tto so depedetes. 3.. Determtes de u edomorfsmo. DEF Se V u K-espco ectorl de dmesó, se { u,..., } y so lelmete u u bse de V :V V u edomorfsmo. Llmremos ermte de u edomorfsmo : V K -lel lterd defd por (,,..., ( (, (,, ( Puesto que es lel, l fucó tmbé lo es (recordemos que s ( ( es -lel. Y como es lterd Por u resultdo teror, l ser l fucó -lel y lterd, sbemos que λ K / λ sedo λ el ermte de co respecto l bse. Como λ depeder de l bse del espco que tomemos l llmremos ermte de u edomorfsmo que tomemos. /6

12 PROP S y so bses de V y L ( V ( ( Se { u,..., } y { u,..., u } u dos bses de V. Como y so -leles lterds, so proporcoles µ K / µ ( ( λ ( ( u,..., u ( ( u,..., u ( ( ( u,., u Etoces ( ( u,, u ( ( u,, ( u µ ( u,..., ( u ( ( u,, u µ ( ( u,, u ( µ ( u,, u µ ( ( u,, u ( DEF S L(V co dmv, llmmos ermte de, (, ( pr lgu bse se V. PROP S, Ψ L( V ( ο Ψ ( ( Ψ Se { u,, } bse de V u οψ ( οψ ( ο Ψ ( u,, u ( ο Ψ( u,, ο( u Ψ ( Ψ( u,..., Ψ( u ( ( Ψ( u,..., Ψ( u ( ( u,..., u ( ( Ψ ( u,..., u ( ( Ψ ( ( Ψ PROP S L( V es utomorfsmo ( 0 Se utomorfsmo y { u,..., } b bse de V- u /6

13 ( ( ( u,,,,,. u ( ( u,..., ( u 0 Es dstto de cero y que l ser bse de V y utomorfsmo ( u,..., ( u es bse de V { ( u,..., ( u } es lelmete depedete. { } Se ( 0 y { u,..., } bse de V. 0 ( ( ( u,, ( u { ( u,..., ( u } y como dmv { (,..., ( } u es lelmete depedete u u es bse de V es utomorfsmo, y que trsform u bse e otr. PROP S GL( V ( ( ( ( ο ( ( ( ( u,..., u ( ( u,..., ( u ( u,..., u ( ( ( ( 3... plccó dut de u Edomorfsmo. NOTCIÓN L expresó ( ;,,..., ˆ,, b Equle ( ;,,,,,..., LEM Se V u K-espco ectorl de dmesó, { u,..., } {,..,, } ectores de V. Se erfc. ( (,,..., ˆ,, (,..., Vmos dstgur dos csos, segú se el couto {,..., } depedete o depedete. S {,, } es L. I. {,..., } bse de V y u lelmete es bse λ,..., λ K / λk K K 3/6

14 λk ( (,,...,ˆ,..., ( K K,,..., ˆ,..., ( λk ( K,,..., ˆ,..., K S K os ecotrmos co dos ectores gules y el ermte es cero por ser u plccó lterd. ( λ (,,, ˆ,..., Relzmos trsposcoes y stumos el ector e su lugr ( λ ( (,...,,..., ( λ (,..., λ (,..., (,..., λ (,..., b S {,..., } es L. D. (,..., 0 (,..., 0 Comprobemos pues, que el prmer membro es ulo ( (,,..., ˆ,..., Como {,..., } 0 (Comprobr L. D. que es combcó lel del resto. Supogmos que es el prmero ( (,,..., ˆ,..., λk K K (, ˆ,,..., ( (,,..., ˆ,..., (, ˆ,,, λ ( K K, λk K,..., ˆ,..., K K 4/6

15 λk (, ˆ,,..., K ( λk (, K,..., ˆ,..., K K S K os ecotrmos co dos ectores gules y el ermte es cero por ser u plccó lterd. (, ˆ,.,, K ( λ (,,,..., ˆ,..., λk K Pr colocr e su sto hemos de relzr trsposcoes λ (, ˆ,,..., K ( λ ( (,,...,,..., K K ( λ (,,...,,..., λk (, ˆ,,..., K ( ( K λk (, ˆ,,..., K λ (,,..., 0 K Vmos costrur hor l plccó dut. Se V u K-espco ectorl co dmv y { u,..., } bse de V. Tomemos L(V y defmos l plccó Ø: V L(V como ( V Ø (,..., L( V Ø(,..., : V V,..., V Ø (,..., ( ( ; (,..., ( ˆ,..., ( u ( PROP Ø es l úc plccó -lel lterd que lle l bse u edomorfsmo. Comprobemos que Ø está be defd (Ø (,..., es u edomorfsmo (,..., V λ, K, V µ Ø (,..., ( λ µ ( ( λ µ, (,..., ( ˆ,..., ( ( [ λ (, (,..., ( ˆ,..., ( µ (, ( ( ˆ,..., ( ] 5/6

16 λ ( (, (,., ( ˆ,.., ( µ ( (, (,.., ( ˆ,.., ( λø (,..., ( µ Ø(,..., ( Ø es -lel. (Veámoslo pr l ª rble, y que el resto es álogo. λ µ K, V, V Ø ( λ µ,,..., ( 0 ( (, ( λ µ, ( ( ˆ ( ( (, ( ( ( λ µ (, ( λ µ ( ˆ ( (, ( ( µ (, ( ( λ ( [ λ (, ( ( ˆ ( µ (, ( ( ˆ ( ] λ ( (, (,., ( ˆ,.., ( µ ( (, (,.., ( ˆ,.., ( λø (,..., ( µ Ø(,,.., ( [λ Ø (,..., µ Ø( ]( Ø es lterd. Se K co K y < K Hemos de comprobr que Ø(,, 0 (mtrz ul,..., ( V Ø ( ( (,...,, ( ( ˆ ( S, K hy dos ectores gules. K ( (, ( ( ˆ ( (, ( ( ˆ ( ( hor desplzmos ( l lugr ( K. El úmero de trsposcoes es K-( y mbos ermtes so gules. K K 6/6

17 Vemos el sgo K K [( ( ( ] (, ( ˆ ( K K [( ( ( ( ] (, (,..., ( ˆ ( 0 K K Y que: ( ( ( ( ( ( 0 DEF Llmremos dut de respecto de l mge de Ø de l bse de V d ( Ø(u,., u Y d ( L(V PROP d ( o depede de l bse tomd u bses de V, hemos de comprobr que d ( d (. Se Ø: V L(V respecto de y Ø : V L(V respecto de. Dds { u,..., } y { u,..., u } d ( ( ( Ø ( u,..., u ( (, ( u ( uˆ ( u u Dds y bses de V! λ K / λ ( λ (, ( u ( uˆ ( u ( (, ( u,.., ( uˆ ( u u λ u λ Ø ( u,..., u ( ( u,..., u d ( ( ( u,..., u d ( ( d ( ( λ y que ( u,..., u Por tto d ( d ( y o depede de l bse elegd. DEF Se L(V. Se defe l plccó dut de, d(, como d ( pr lgu bse de de V. PROP Se L(V, co dmv. Se erfc: οd ( ( ο 7/6

18 d ( ο ( ο V ( οd ( ( ( d ( ( Se { u,..., } u bse de V. u ( ( ( (, u,..., uˆ,..., u (Ø ( u,..., u ( ( (, ( u,..., ( uˆ ( u ( u plcdo el últmo Lem ( u ( ( u ( u ( ( u,..., u ( ( ( ( Etoces οd ( ( ο ( d ( ο( d ( ( ( ( u u ( (,..., ( ( (, ( u ( uˆ,..., ( u u ( (, u,..., uˆ,..., u u ( ( (, u,..., uˆ,..., u ( ( u,..., u ( ( ( ( ( ο Etoces d ( ο ( ο u COROLRIO S es u utomorfsmo etoces d ( ( ( d ( 8/6

19 3.3. Determte de u mtrz. DEF Se M (K. Se defe el ermte de l mtrz,, como el ermte de ls fls de cosderds como elemetos de K y respecto de l bse cóc de K. S ( l fl -ésm es (,...,, (,,..., ε ( ( (... ( sedo { e e,..., }, e S E el cso de u mtrz cudrd de orde y e el cso de u mtrz de orde 3 S 3 S {, (, } S S { 3, (,, (,3, (,3, (,,3, (,3, } PROP S M (K t t Se ( y ( b S co b, ( ( ( ( ε... Sbemos que S / ο Id ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ε S Podemos estblecer u plccó byect 9/6

20 S S y se erfc ε( ε( S (. ( ( ( ε Se β β S ( β β ( β (... β ( ε( β b β ( bβ ( b β ( ε. β S t PROP Se M (K. Se erfc S u ermte tee dos fls o dos colums gules el ermte es cero. S se multplc u fl o colum por u esclr, qued el ermte multplcdo por ese esclr. 3 S u fl o colum se le sum u combcó lel del resto, el ermte o rí. Imedts, s más que teer e cuet que ls fls (o colums de se cosder ectores de K y que el ermte es u fucó -lel lterd. PROP Se L(V, { u,..., }. Etoces bse de V y l mtrz socd respecto de u ( ( ( ( ( ( u,..., u ε b ( b ( S. Sedo (b, b,.., b ls coordeds de (u respecto de y l fl -ésm de OS S e lugr de escrbr (u por fls lo hcésemos por colums tedrímos que es gul, ( t 0/6

21 COROLRIO S, M (K Se, Ψ L( V co mtrz socd y Ψ ( ( Ψ ( ο COROLRIO 0 es ersble Se L(V co mtrz socd. es ersble es utomorfsmo ( 0 0 COROLRIO S es ersble, etoces Se L(V co mtrz socd ( ( es l mtrz socd Mtrz socd d(. Se L(V, l mtrz socd y deotemos por (d( l mtrz socd d(. Vmos obteer (d( Sbemos que οd ( ( Luego ( d ( I Se V u K-espco ectorl de dmesó y { u,..., u } que d( Ø ( u,...,u y se ( d ( ( b bse de V. Sbemos /6

22 Por u ldo teemos d ( ( u b u (escrbedo por colums y por otro d ( ( u Ø ( ( ( u,..., u u ( u, ( u,..., ( uˆ ( u u ( ( ( ( u ( u, u, ( u ( u Hemos obtedo dos expresoes del msmo ector, y como es bse, h de ser gules. Etoces u b ( ( u ( u, u, ( u ( u, hor mos desrrollr el membro de l derech pr obteer u expresó más opert pr b. Defmos u edomorfsmo uxlr L(V, como ( u K ( u u K s s K K ( ( u,.., ( u, u, ( u ( u ( u ( u, ( u, ( u..., ( u ( ( ( dode por ( represetmos l mtrz socd l plccó. Se ( l mtrz socd de. L mtrz ( es: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( y teedo e cuet ( (u K correspode l colum K, teemos que (,,, 0 0,,, /6

23 El ermte es,, ( ( ( 0 0,,,, Reombremos los elemetos de l mtrz ( ( C, S ( ( ε ( C ( C ( Como el ermte de u mtrz y su trspuest cocde S ( ε ( C ( C ( y l ser l prmer colum tod ul meos su prmer elemeto result que C ( 0 ( ( ( ε( C ( S S ( ( ε( C (... C ( ( D sedo D l mtrz que se obtee de elmdo l fl y colum Por tto b ( D DEF Se M (K co (. Llmmos meor complemetro de l ermte de D. DEF Se M (K co (. Llmmos duto de b ( D DEF Llmremos mtrz dut de M (K ( b Co est ue termologí teemos que 3/6

24 4/6 ( ( t d OS S es u utomorfsmo y es su mtrz socd, sbemos que es ersble y ( t y que ( ( d Desrrollo de u ermte por los dutos de u líe. PROP Se M (K co (. S (b es l mtrz de dutos se erfc: b (desrrollo por los dutos de l fl b (desrrollo por los dutos de l colum. Vmos relzr l demostrcó pr pues so álogs y que t ( ( ( ( S ε... Lledo el elemeto que queremos scr fctor comú l fl y colum teemos que ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( S S ε ε ( ( ( ( ( ( S ε, Defmos S como ( ( K K K K ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( S S ε ε ( ( ( ( ( S ε, b b b b...

25 COROLRIO le cero. L sum de los productos de u fl por los dutos de u prlel 4. PLICCIÓN L CLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ. Sbemos que ls colums de u mtrz (o fls de M (K so lelmete depedetes (cosderds como ectores de K s y solo s su ermte es o ulo. DEF Dd u mtrz M mx (K co ( y m se erfc: rg tee l meos u meor de orde o ulo. S rg( E exste fls lelmete depedetes y por tto su ermte es o ulo. Supogmos que tee u meor de orde cuyo ermte es o ulo. Como el tercmbo de fls o lter el rgo, podemos supoer s pérdd de geerldd que 0 Por tto ls prmers fls so lelmete depedetes y rg ( Pero como tee colums rg( Etoces rg( DEF Se u mtrz de orde m x y D u meor de orde p obtedo de dch mtrz. Llmmos orldos del meor D todos los meores de orde p que cotee D. PROP Se M mx( (K co (. Rg( tee u meor D de orde o ulo Todos los orldos de D so ulos S rg(, por l proposcó teror tee u meor D de orde o ulo. 5/6

26 Como tee colums, l úc colum que o está e el meor D es combcó lel de ls otrs. Y como es colum estrá e todos los orldos de D, éstos será ulos. Por hpótess, l ser D u meor o ulo de orde, tee fls lelmete depedetes.. Como todos los orldos so ulos, ls demás fls será combcó lel de ess Luego rg(. blogrfí recomedd. Curso de lgebr y geometrí. Ju de urgos. Ed: lhmbr lgebr lel y geometr. Ed: U. de rcelo lgebr le. Ju de urgos. Ed: McGrw-Hll lgebr lel. F. Puert. Ed: U. de rcelo.975 Ler lgebr. W. Greub. Ed: Sprger-Verlg 6/6