POTENCIAS Y RAÍCES. Signo de la base + * Expresa en forma de potencia: a) 100 = b) 16 = c) 81 = d) 49 =

Transcripción

1 POTENCIAS Y RAÍCES Potencias. Una potencia es una multiplicación de varios factores iguales. Los términos de una potencia son la base, que es el factor que se multiplica, y el exponente, que indica el número de veces que se repite. 3 El 3 se denomina base. Es el número que se multiplica. El es el exponente. Es el número de veces que hay que multiplicar la base. El signo de una potencia depende del signo de la base y de la paridad del exponente. Cuando la base es un número negativo, este se escribe entre paréntesis. Signo de la base + - Paridad del exponente Par Impar Signo de la potencia Ejemplo + 4 = = 15 Par + (-) 4 = 16 Impar - (-3) 3 = -7 * Escribe la base y el exponente: * Expresa en forma de * Expresa en forma de Potencia Base Exponente potencia: multiplicación: (a) (n) a) 3 4 a) = a) 3 = b) 5 b) 5 5 = b) 7 = c) 10 c) = c) 5 4 = d) 5 7 d) = d) 6 = * Calcula: a) 4 = b) 1 5 = c) 3 3 = d) 5 3 = * Expresa en forma de potencia: a) 100 = b) 16 = c) 81 = d) 49 = * Expresa en forma de potencia: a) (-) (-) = c) (-3) (-3) (-3) (-3) = b) (-) (-) (-) = d) (-5) (-5) (-5) = * Expresa en forma de multiplicación las siguientes potencias con base negativa: a) (-5) = c) (-4) = b) (-7) 3 = d) (-10) 3 = * Opera las siguientes potencias con base negativa: a) (-) = c) (-3) = e) (-10) = b) (-) 3 = d) (-3) 3 = f) (-10) 3 = * Averigua, sin hacer la operación, el signo de las siguientes potencias: a) (-) 9 b) 9 5 c) (-10) 6 d) (-3) 8 1

2 Casos especiales Potencias de exponente 0. Cualquier número distinto de 0 elevado a 0 es 1: a 0 = 1 si a 0 Potencias de exponente 1. Toda potencia con exponente 1 es igual a la base: a 1 = a Potencias con exponente negativo. Es la inversa de la potencia con exponente positivo: a -n = (1/a) n, si a 0 Ejemplos 5 0 = 1; (- 3) 0 = 1; (/3) 0 =1 (-5) 1 = -5; 7 1 = 7; (9/5) 0 =1-3 = (1/) 3 ; (3/4) - = (4/3) * Opera: a) 3 0 = b) 85 0 = c) (-5) 0 = d) (-600) 0 = * Opera: a) 9 1 = b) 85 1 = c) (-9) 1 = d) (-30) 1 = * Expresa en forma de potencia con exponente positivo: a) 3 - = (1/3) b) -4 = c) (1/) -4 = d) (1/3) - = * Expresa en forma de fracción las siguientes potencias: a) 4 - = b) 5 - = c) (-) -4 = d) (3) - = Una potencia de base 10 con exponente positivo es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo: 10 = 100 y 10 4 = * Calcula las siguientes potencias de base 10: a) 10 3 = b) 10 5 = c) 10 6 = d) 10 8 = * Expresa como potencia de base 10: a) = b) = c) = Una potencia de base 10 con exponente negativo se puede expresar como un número decimal con tantos ceros como indique el exponente, como en los siguientes ejemplos: 10 - = 0,01; 10-4 = 0,0001; 10-8 = 0, * Expresa en forma de número decimal: a) 10-1 = b) 10-3 = c) 10-5 = d) 10-8 = * Expresa como potencia de base 10: a) 0, 0001 = b) 0, = c) 0, = * Expresa en forma de potencia: a) (1/9) = b) (1/) = c) (1/5) = d) (-1/1 000) =

3 Operaciones con potencias Operación Suma y resta de potencias. Primero se efectúan las potencias y después las sumas o restas. Potencia de una potencia. Es igual a la base elevada al producto de los exponentes. Producto de potencias Cociente de potencias De igual base. La base es la misma y el exponente es la suma de los exponentes. De distinta base e igual exponente. Se multiplican las bases y el exponente no varía. Las bases son potencias del mismo número. El resultado se expresa en forma de potencia única. De distinta base y distinto exponente Las bases no son potencias del mismo número. Primero se efectúan las potencias y después las multiplicaciones. De igual base. La base es la misma y el exponente es la resta de los exponentes. De distinta base e igual exponente. Se dividen las bases y el exponente no varía. Las bases son potencias del mismo número. El resultado se expresa en forma de potencia única. De distinta base y distinto exponente Las bases no son potencias del mismo número. Primero se efectúan las potencias y después las divisiones. Ejemplos + 3 = = = 7 9 = 18 ( 3 ) 4 = = 3 3+ = = +3+4 = 9 5 = ( 5) = = 7 ( ) 3 = = 7 6 = = 8 5 = /5 = 5 6 = / = (9/) 7 3 / 3 = (3 3 ) 3 / 3 = = 3 9 / 3 = /3 = 64/9 * Calcula y completa la deducción (con signo = o ): Operación Deducción Operación Deducción a) + 3 = e) ( + 3) = b) 5 = f) + 3 = ( + 3) + 3 c) (8-5) = g) 5 = d) 8-5 = (8-5) 8-5 h) ( 5) = 5 ( 5) * Completa: a) = b) 3 4 = ---- c) = 3 7 3

4 * Completa: a) 3 5 = 5 = 00 * Expresa como potencia de base : a) 4 3 = ( ) 3 = 6 b) 8 7 = c) = d) 4 16 = * Expresa como potencia de base 3: a) 9 3 = b) 7 4 = c) = d) = * Expresa como potencia de base 5: a) 5 7 / 5 4 = b) 5 = c) 5 / 5 3 = d) 15 / 5 = 1 1 Ejemplos resueltos: ( 3 ) 4 = 1 = = = 4 = * Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades: a) ( 3) 4 = 6 4 b) = 5 6 c) ( ) 3 = 3 d) (3) = ( 3) * Opera expresando el resultado en forma de potencia: a) (3 4 ) 3 3 = c) (5 3) = b) 6 : 4 0 = d) : 5 = 4

5 Raíces cuadradas La raíz cuadrada de un número N es otro número r cuyo cuadrado es N. N = r si r = N radicando. El símbolo El número N al que se le hace la raíz cuadrada se llama dos raíces cuadradas, ya que r = (-r). Por ejemplo, (- 4 ) = 16. Esto se expresa así: 16 = ± 14 es el símbolo radical. Todos los números positivos tienen 16 = 4 y 4 porque 4 = 16 y Las dos raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos son números enteros: 1 = 1 y = y - 9 = 3 y = 4 y = 5 y = 6 y = 7 y = 8 y - 81 = 9 y = 10 y Fíjate en los siguientes números: 1= 1 4= 9= 3 16= 4 Estos números son cuadrados perfectos porque son capaces de formar un cuadrado de puntos. Los diez primeros números cuadrados perfectos son: 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, 81 y 100. N = r si r = N El número N al que se le hace la raíz cuadrada se llama radicando. El símbolo el símbolo radical. Todos los números positivos tienen dos raíces cuadradas, ya que r = (-r). Esto se expresa como N = ± r. Por ejemplo, 11 = 11 y 11 porque 11 = 11 y (- 11 ) = 11. * Subraya la palabra correcta en cada frase: - Las dos raíces cuadradas de un número cuadrado perfecto son dos números positivos/enteros iguales/opuestos entre sí. - Las dos raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos sí/no son números enteros, pero sí/no son opuestos entre sí. 5 es

6 Ejemplo: 8 =,88 y, 88, porque,88 = 8 y (,88) = 8 Operaciones con raíces cuadradas No es lo mismo la raíz cuadrada de una suma que la suma de raíces cuadradas. Por ejemplo, no es lo mismo: que : = = 5 16 = = 7 y Operación Suma y resta. Primero se efectúan las raíces y después las sumas o restas. Ejemplos = 7 1 = 6 Producto. Es igual a la raíz del producto de los radicandos = 4 16 = 64 = 8 Cociente. Es igual a la raíz del cociente de los radicandos = = 4 = * Calcula: a) = b) = Cuando los radicandos son iguales, los términos de las sumas y/o restas se pueden agrupar en uno solo. Por ejemplo: = 14 * Opera: a ) = b) = 5 = * Completa los números que faltan: a ) 9 4 = 9 = 36 = ; b ) 50 = = = 10 * De los siguientes números, cuáles son cuadrados perfectos y cuáles no?: a) 40 b) 81 c) 8 d) 100 e) 11 * Efectúa, expresando el producto de las raíces como la raíz del producto de los radicandos: a) 3 b) 3 7 c) 18 6

7 * Completa los números que faltan: a) = = = 5 16 b) = = = 4 Valor aproximado de una raíz cuadrada A veces es conveniente calcular mentalmente un valor aproximado de una raíz cuadrada. Por ejemplo, para calcular un valor aproximado de 55, buscamos cuadrados perfectos que se acerquen al 55, siendo los más cercanos 49 = 7 y 64 = 8. Es decir, 55 está entre 7 y 8, con lo que el resultado de 55 es un número cuya parte entera es 7. Ejemplo. Calcula los metros lineales de rodapiés necesarios para cubrir el perímetro de una habitación de forma cuadrada de 11 m de superficie. La superficie de un cuadrado es S = l, donde l es el lado del cuadrado. En el caso del ejemplo: 11 = l l = 11 = 11 m. Como el perímetro (P) del cuadrado es igual a la suma de todos los lados, P = 4 11 m = 44 m, que son los metros lineales de rodapiés necesarios. * Completa: a) 64 = ± 8 porque ( ) = 64 y ( - ) = 64 b) = ± 9 porque 9 = y (- 9) = * Indica en cuál de las siguientes operaciones el resultado puede expresarse en forma de una única potencia: a) b) c) 3 3 d) *Calcula por aproximación la parte entera del resultado de las siguientes raíces cuadradas: a) 0 b) 95 c) 4 * Calcula el largo y el ancho de una habitación de forma cuadrada con 81 m de superficie. 7

8 EJERCICIOS * De las siguientes expresiones, indica cuáles son potencias: a) + + c) e) (-) (-) (-) b) d) 4 4 f) (-5) + (-5) + (-5) * Expresa por escrito las siguientes potencias: a) 3 = dos elevado al cubo c) 4 5 = b) 5 = d) 3 4 = * Comprueba que es lo mismo: a) 4 (1/) que 4: b) 9 (1/3) que 9:3 * Completa: Base Exponente Potencia Resultado * Empareja las expresiones de las dos columnas que tengan el mismo resultado: 1) 3 4 ) 4 0 3) ( ) 6 0 4) a) 4 b) 1 c) 7 d) 5 * Completa los exponentes que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades: a) --- = 7 d) = 5 11 b) = 3 9 e) = 6 16 c) = 4 11 f) =

9 * Opera teniendo en cuenta la regla de los signos para la multiplicación: a) (-) (-) = c) (-3) (-3) (-3) (-3) = b) (-) (-) (-) = d) (-3) (-3) (-3) = * Calcula, observando los ejemplos resueltos: a) (-3) = (-3) (-3) = 9 c) (-5) = e) (-) 4 = g) (-10) 3 = b) 3 = 3 3 = 9 d) -5 = i) - 4 = h) = * Calcula y completa la deducción (con signo = o ): Operación Deducción Operación Deducción a) = e) 3 = b) 3 5 = f) (3 ) = c) (6-4) = d) 6-4 = (6-4) 6-4 g) (1 + ) = h) 1 + = 3 (3 ) (1 + ) 1 + * Expresa como potencia con exponente negativo: a) (1/16) = b) (1/7) = c) (1/5) = d) (1/10 000) = * Completa: a) ( + 3) = = 5 b) + 3 = 4 + = 13 c) (1 + 5) = = d) (10 8) = = e) 10 8 = = f) (3 ) = = g) * Completa las frases: a) (+3) es la potencia de una b) + 3 es la de dos potencias c) El resultado de (+3) es d) El resultado de + 3 es * Completa las 10 primeras potencias de :

10 * Completa las 10 primeras potencias de 3: PROBLEMAS * Una bacteria se reproduce cada hora por bipartición; es decir, cada bacteria se divide en dos bacterias iguales. Cuántas bacterias habrá al cabo de 6 horas? * Escribe el número correspondiente a cada dibujo: * Un terreno de forma cuadrada tiene un área de 81 m. Es suficiente con 34 metros de valla para cerrarlo? * Calcula el número de hermanos que tiene Pablo sabiendo que: - El cuadrado de dicho número tiene una sola cifra - El número de hijos de los padres de Pablo es cuadrado perfecto. * Una planta submarina crece de forma que cada día su tamaño es el doble del tamaño del día anterior. Si el día 1 de enero mide cm, calcula cuánto medirá: a) El de enero b) El 3 de enero c) El 8 de enero d) El 0 de enero 10