TEMA 4 DERIVADAS. APLICACIONES A LAS DERIVADAS

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1 Frnciscnos T.O.R. Cód Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s d 9 TEMA 4 DERIVADAS. APLICACIONES A LAS DERIVADAS 3. DERIVADAS Dinición: Llmmos drivd d l unción n l punto = l límit, si ist: Obsrvción: Si l límit ntrior no ist, ntoncs dirmos qu no s drivbl n =. Dinición: Función drivd: Ejmplo: Dmustr qu l drivd d = s = prtir d l dinición: Drivds ltrls: Ls drivds ltrls d un unción n un punto d = s dinn como: 3. DERIVABILIDAD Drivbilidd: Un unción s dic qu s drivbl n l punto = si cumpl:. s continu n =. Eist o bin ls drivds ltrls coincidn: IMPORTANTE: Si un unción no s continu n = ntoncs no s drivbl n =, s dcir un unción drivbl simpr s un unción continu. Ejmplo:. Estudi l continuidd y drivbilidd d n tod l rct rl.. Estudi l drivbilidd d si si si

2 Frnciscnos T.O.R. Cód Estudir l drivbilidd d l unción: 4. Clculr los vlors d y b pr qu l unción n tod l rct rl b si si si 3, 3 si - s continu y drivbl si DERIVADAS ENÉSIMAS. Clcul l drivd nésim d = cos sn cos Si n s impr tnmos sn v Si cos v sn Por tnto, qudrí:. Clcul l drivd n d v v n qu l drivd s sn y v ltrnndo l signo n s pr tnmos qu l drivd s cos y v ltrnndo l signo k k sn cos si n s impr n k si n s pr n k Si n s impr tnmos qu l drivd s Si n s pr tnmos qu l drivd s Por tnto, l drivd nésim: n n k Z Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s d 9

3 Frnciscnos T.O.R. Cód DERIVACIÓN LOGARÍTMICA. Epo-pot Driv l siguint unción:. Tommos logrítmos mbos ldos d l iguldd: Ln ln ln. Drivmos mbos ldos d l iguldd: ln 3. Dspjmos y sustituimos l prsión por l dd. ln ln ln 3.5 RECTA TANGENTE Intrprtción gométric d l drivd: L drivd d l unción n l punto d bscis = s l pndint d l rct tngnt l gráic d l unción n l punto,. Es dcir, m Sindo m l pndint d l rct tngnt d n =. Ecución d l rct tngnt d n = : Not: El punto = s l punto d tngnci. Obsrvción: - Dos rcts son prlls si tinn l mism pndint - Un rct tin pndint orizontl n los puntos dond s nul l primr drivd, s dcir, - Los puntos d inlión son los qu nuln l sgund drivd: Ejmplos:. Probr qu l mnos ist un punto d l curv n l qu l tngnt s curv s prll l bisctriz dl primr cudrnt. Clculr dicos puntos y sus rcts tngnts d l unción n los puntos clculdos.. Clculr l cución d l rct tngnt l curv 9 n los puntos dond ls rcts tngnts sn prlls l rct 4-y+5=. 3. Hll l cución d l rct tngnt l curv 3 3 tin tngnt orizontl. n los puntos n l qu l curv 4. Hll l cución d l rct tngnt l curv Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s 3 d 9 n sus puntos d inlión.

4 Frnciscnos T.O.R. Cód MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN.EXTREMOS RELATIVOS Monotoní d un unción: Crciminto y dcrciminto d l unción Si > ntoncs s crcint. Si < ntoncs s dcrcint. Etrmos rltivos: Los trmos rltivos son los máimos y mínimos rltivos d l unción. Y s obtinn igulndo l primr drivd cro. Primr critrio pr sbr si s máimo o mínimo rltivo = : Critrio d l primr drivd. tin n, máimo rltivo tin n, mínimo rltivo Pr sbr l signo, s sustituy n l drivd y pr sbr l imgn dl máimo o mínimo n l unción. S ponn los puntos ur dl dominio y puntos qu nuln l primr drivd Sgundo critrio pr sbr si s máimo o mínimo rltivo = : Critrio d l sgund drivd tin n, míimo rltivo tin n, máimo rltivo Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s 4 d 9

5 Frnciscnos T.O.R. Cód CURVATURA DE UNA FUNCIÓN.PUNTOS DE INFLEXIÓN Curvtur d un unción: Concvidd y Convidd d un unción Si > ntoncs s conv Contnt. Si < ntoncs s cóncv Trist. Puntos d inlión: Los cndidtos puntos d inlión d un unción, s obtinn igulndo l sgund drivd cro. Primr critrio pr sbr si s punto d inlión = : Critrio d l sgund drivd. tin n, punto d inlión convo - cóncvo tin n, punto d inlión cóncvo - convo Pr sbr l signo, s sustituy n l sgund drivd y pr sbr l imgn dl punto d inlión n l unción. S ponn los puntos ur dl dominio y puntos qu nuln l sgund drivd Sgundo critrio pr sbr si s punto d inlión = : Critrio d l trcr drivd tin n, punto d inlión Ejmplo: Hll los máimos, mínimos y puntos d inlión d ls siguint unción, indicndo sus intrvlos d crciminto y dcrciminto: b y y 4 3 Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s 5 d 9

6 Frnciscnos T.O.R. Cód TRADUCCIÓN DE LAS PROPIEDADES LOCALES AL LENGUAJE MATEMÁTICO:. b s punto d l unción L unción tin un máimo rltivo n, b s máimo. L unción ps por l punto, b b 3. = s ríz d 4. L unción tin un punto crítico o punto singulr n = 5. m L unción tin un rct tngnt prll y = m+n n l punto, b b 6. L rct tngnt n l punto = s y =m+n m 7. L unción tin un punto d inlión n = 8. b L unción tin un punto d inlión n, b 9. L unción s nul pr =. El ángulo qu orm l rct tngnt n = con l j OX s d α tg m b. L unción tin un punto singulr n, b qu no s trmo rltivo b. L unción tin un mínimo locl n, b 3. L unción tin tngnt orizontl n = 4. L unción cort l j d bsciss n = y dmás tin un trmo rltivo n dico punto: 5. L unción cort l j d bsciss n = y dmás tin un punto d inlión n dico punto: Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s 6 d 9

7 Frnciscnos T.O.R. Cód Ejmplo:. L unción tin un máimo rltivo n, 3. L unción ps por l punto -, 5 3. = s un ríz d. 4. L unción tin un punto crítico n = L unción tin un rct tngnt + y 3 = n l punto, 3 6. L rct tngnt n l punto = s y = + 7. L unción tin un punto d inlión n = L unción tin un punto d inlión n -, 9. L unción s nul pr = 5.. El ángulo qu orm l rct tngnt n = con l j OX s d 45º.. L unción tin un punto singulr n, 3 qu no s un trmo rltivo.. L unción tin un mínimo locl n, L unción tin tngnt orizontl n = - 4. L unción cort l j d bsciss n = - y tin un trmo rltivo n s mismo punto. 5. L unción cort l j d bsciss n = 3 y tin un punto d inlión n dico punto. 8. Dd l unción b clculr y b d modo qu ps por l punto -, -6 y tng tngnt orizontl n l -, -6.. Dtrminr los coicints d un unción polinómic d trcr grdo qu tin un máimo rltivo, 4 y un mínimo rltivo, Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s 7 d 9

8 Frnciscnos T.O.R. Cód OPTIMIZACIÓN Eistn dos tipos d problms: TIPO. En l nuncido nos prc l unción. Son bstnt sncillos porqu tnmos l órmul qu s db drivr. En mucos jrcicios prcn lgunos prtdos qu s dbn rsolvr mdint un cución, un incución, l cálculo d un imgn ó un límit. TIPO. Hy qu scr l unción prtir dl nuncido dl problm. L myor diicultd rdic n l obtnción d l unción qu s prtnd optimizr y n l qu s suln utilizr l torm d Pitágors, órmuls d volúmns y supricis d curpos gométricos y igurs plns. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DEL TIPO. Pr rsolvrlos solmnt s ncsrio lr tntmnt l nuncido, scribir l órmul si s ncsrio rlizr lgun oprción y utilizr l rrmint corrspondint l prgunt rlizd. Ejmplos: t = t 3-3t + 5. t 6. t = timpo n ños y t = númro d socios d un pñ dportiv. Cuántos socios brá dntro d cinco ños? 5. Cuándo brá mnos d socios? t < ; Cuándo brá socios? t = ; Cuándo ubo mnos socios? Mínimo. Cuándo dcrció más l númro d socios? Es l mínimo d t. A qué númro d socios tndrá con l pso dl timpo? Srá l límit cundo t tind ininito unqu n st cso crc d sntido porqu no brá ininitos socios.. S introduc un poblción d bctris n un cultivo, d orm qu su númro sigu l cución t Pt 5, dond t mid n ors t. Clcul l poblción qu s introdujo n l t cultivo. A qué or l ts d crciminto s máim? A qué poblción tndrá l cultivo con l trnscurso dl timpo?. L unción t = indic l porcntj d rndiminto d un utomóvil nuvo durnt los cinco primros ños. Dtrmin n qué momnto lcnz l máimo rndiminto. Indic n qué momntos dcrc l rndiminto indic l intrvlo d timpo n l qu l rndiminto s inrior l 86%. Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s 8 d 9

9 Frnciscnos T.O.R. Cód PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DEL TIPO. Es ncsrio cr vrios problms d optimizción pr dquirir cirt técnic n su rsolución. Es importnt cr un surzo pr comprndr l plntminto d los problms. No ist ningún método pr rsolvrlos porqu s pudn utilizr órmuls dirnts. Es consjbl conocr l volumn y l suprici d los curpos gométricos más comuns y l torm d Pitágors y torm d Tls. En l rsolución d los problms s importnt sguir los siguints psos:. Escribir l unción optimizr dpndindo d un ó d dos vribls. En l nuncido s locliz ácilmnt porqu s l mgnitud qu db sr máim o mínim.. Si l unción dpnd d dos vribls, y qu buscr un dto dl nuncido qu nos prmit rlcionr ls dos vribls. stblcr un cución con ss dos vribls En s cso s dspj un d lls y s sustituy n l unción, qudndo un unción d un sol vribl son qulls qu stmos studindo n l curso. Es prcido l método d sustitución n sistms d cucions. 3. Cálculo dl dominio d dinición d l unción. Es imprscindibl tnr n cunt qu ls longituds y ls distncis dbn sr positivs. 4. Clculr l máimo/mínimo rltivo d l unción sgún l nuncido. 5. Comprobr cuál s l máimo/mínimo bsoluto clculndo ls imágns d los cndidtos máimo/mínimo bsoluto. Hy qu tnr n cunt l dominio. 6. Vlorción crític dl rsultdo.. Un multincionl, d ss qu imponn l prcio d l mtri prim n píss d Áric y Améric dl Sur, quir scr l mrcdo un producto lácto d cco y pr promocionrlo v rglr un vso d cristl d orm cilíndric por l compr d un pqut d diz unidds. Pr llo ncrgdo un mprs qu los briqu d tl orm qu tngn un cpcidd d 5 cl. y qu utilic l mnor cristl posibl pr qu s más brto. Dtrmin ls dimnsions dl vso pr qu tng l mnor cristl posibl.. Un rquitcto quir construir un vntnl d cristl zul d p mtros d prímtro con orm d sctor circulr. Dtrmin l rdio y l ángulo dl mismo pr qu ntr l máim luz posibl. Alguno d llos dpndrá d p y l ángulo srá n rdins. 3. Hll dos númros rls positivos qu sumn d tl orm qu l cudrdo d uno por l sgundo s máimo. 4. Dtrmin ls dimnsions dl cilindro d máimo volumn qu s pud inscribir n un sr d 8 mtros d diámtro. Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: rldirccion@plnl.s 9 d 9