a).- Si el número de los valores en un conjunto de datos no agrupados es impar, La mediana es determinada de la siguiente manera:

Transcripción

1 La mediana de un conjunto de valores es el valor del elemento central del conjunto. Para encontrar la mediana, Primero arreglar los valores en el conjunto de acuerdo a su magnitud; es decir arreglar los valores del más pequeño al más grande o del más grande al más pequeño. Segundo, localizar el valor central; Es decir, el número de valores sobre la mediana es el mismo que el número de valores abajo de la mediana. Los métodos para localizar la mediana son: Datos no agrupados: a).- Si el número de los valores en un conjunto de datos no agrupados es impar, La mediana es determinada de la siguiente manera: 1.- Ordenar los datos crudos en un arreglo..- Localizar el valor del elemento central como la mediana. Ejemplo: Encontrar la mediana de los siguientes valores 4, 5, 9 10, 15, 7, 13., Que representan los kilómetros de siete estudiantes. Elemento Km. recorrido Número Mediana b).- Si el número de valores en un conjunto de datos no agrupados es par, no hay mediana verdadera. El valor de la mediana se supone, por lo tanto, que es igual a la mitad entre los dos elementos centrales en el arreglo. Ejemplo: Los sueldos de varios empelados están en la siguiente tabla y se desea encontrar la mediana:, 3, 9, 5,, 1, 15 (en miles de pesos) Elemento Valores número Mediana La mediana es el punto medio de los valores 5 y 9

2 mediana 5 9 = 7 Datos Agrupados: Para calcular la mediana en una tabla de distribución de frecuencia a).- El método a seguir para calcular la mediana de una tabla de distribución de frecuencia es como sigue: 1.- Poner una columna en la tabla para registrar las frecuencias acumuladas. La frecuencia acumulada de cada clase es la suma de la frecuencia de la clase y las frecuencias de las clases anteriores..- Encontrar la clase mediana. La clase mediana es la clase que contiene la mediana. 3.- Interpolar la mediana a partir de los valores incluidos en la clase mediana Ejemplo: La Compañía Gates Energy Products, Inc. Desea encontrar la mediana de la altura de sus trabajadores del área de ensamble del Nickel-Cadmium Batery, esto lo hace para en el futuro contratar a empleados con determinada altura: Estatura en pulgadas Número de Empleados Marca de clase X Frecuencia Acumulada Mediana Total 50 Para resolver este problema utilizaremos la fórmula: M d n C L i f Donde : M d = La mediana. L = El límite inferior verdadero de la clase mediana. n = El número de frecuencia total en los datos dados. C = La frecuencia acumulada precisamente hasta la clase anterior a la clase mediana. f = La frecuencia de la clase mediana. i = Amplitud de intervalo de la clase mediana.

3 Si aplicamos la fórmula en el ejercicio tendremos: M d Donde : El límite es igual a: El límite inferior de la clase mediana que es 6.5 Límite superior v erdadero antes de la clase mediana L Límite inferior v erdero de la clase mediana M d = = (3) 15 = 59.5 = 59.5 = M d = Ejercicio: Los salarios percibidos de los empleados de la Motorola en un período dado, esta representada en la siguiente tabla, encontrar la mediana Salarios Intervalo de clase Número de empl. Frecuencia Punto medio X Frecuencia acumulada Mediana Total n = 5 Fórmula: M d n C L i f 5 5 M d =. = = 9

4 Localizar la mediana a partir de una gráfica de distribución de frecuencia. La mediana para una distribución de frecuencia puede ser obtenida gráficamente usando una ojiva marcada sobre una gráfica de línea. Una ojiva muestra las frecuencias acumuladas, las cuales pueden ser arregladas de la siguiente forma: 1.- En base de una acumulación "menor que" <.- En base de una acumulación "más" o "mayor que" > Primer método: Para una ojiva sobre base "menor que". Primero preparar una tabla de frecuencia sobre base "menor que". Segundo, construir una gráfica mostrando las frecuencias acumuladas. Tercero, Localizar el elemento mediano sobre la escala de las Y (vertical), la cual muestra las frecuencias acumuladas. Cuarto, Partiendo desde el punto 10, dibujar una línea horizontal hasta intersectar la ojiva. Después, localizar la mediana bajando una línea perpendicular desde el punto de intersección hasta la escala de las X (horizontal). la mediana será de 5.5 Km. Kilómetros recorridos por 0 estudiantes al venir a la Escuela desde sus casas Km. Recorridos Intervalo de clase Número de estudiantes Frecuencia 0 y menos de y menos de y menos de y menos de hasta 10 1 total 0 Segundo método: Para una ojiva sobre base "o más". Primero, preparar una tabla de frecuencias acumuladas sobre una base "o más". Segundo, construir gráfica, mostrando las frecuencias acumuladas. Después localizar la mediana como se inicio en el método anterior. Frecuencia acumulada sobre base "o más" Km. Recorridos Intervalo de clase Número de estudiantes Frecuencia acumulada 0 y más 0 y más 18 4 y más 13 6 y más 9 8 y más 1 10 y más 0 Tercer método. Para dos ojivas sobre una misma gráfica, una sobre base "menor que" y la otra sobre base "más que" Las dos ojivas son dibujadas en la gráfica. La mediana se localiza bajando una perpendicular de la intersección de las dos ojivas hacia el eje de las X.

5 Frecuencia acumulada sobre base "menor que" Km. Recorridos Intervalo de clase Número de estudiantes Frecuencia acumulada Menor que 0 0 Menor que Menor que 4 7 Menor que 6 11 Menor que 8 19 Menor que 10 0 Principales características de la mediana 1.- La mediana es un promedio de posición. No afectada por valores extremos como la media, puesto que la mediana no es calculada con todos los valores. :- La mediana no está definida algebraicamente como la media aritmética 3.- La mediana en algunos casos, no puede ser calculada exactamente como sí puede serlo la media. Cuando el número de elementos incluidos en una serie de datos es par, la mediana es determinada aproximadamente como el punto medio de los dos elementos centrales. 4.- Como la localización del elemento central puede ser determinada y los límites de la clase mediana son conocidos, la mediana para una distribución de frecuencias con intervalo de clases iguales o diferente amplitud o intervalos abiertos siempre pueden determinarse mediante los métodos de interpolación. 5.- La mediana esta centralmente localizada. La suma de los valores absolutos (sin considerar los signos positivo y negativo) de las desviaciones de los valores individuales con respecto a la mediana es mínima. En otras palabras, la suma de los valores absolutos de las desviaciones (o las suma de las distancias) de los valores individuales de un valor distinto al de la mediana excederá (o cuando menos es igual) la suma de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la mediana.

6 La moda es el valor que ocurre más frecuentemente en un conjunto de valores. Dicha distribución se describe como unimodal. Para los conjuntos pequeños en los cuales no se repiten valores medidos, no hay moda. Cuando dos valores no adjuntados son casi iguales el tener frecuencias máximas asociadas con ellos, la distribución se describe como bimodal. Las distribuciones de mediación con varias modas se denominan multimodales. Datos no agrupados: La moda para datos no agrupados de unos pocos valores puede ser obtenida por inspección. Ejemplo: Los ocho vendedores de la empresa de copiadoras canon vendieron en mes pasado las siguientes cantidades de copiadoras 8, 11,5, 14, 8, 11, y 11. La moda de este grupo de vendedores es la de mayor frecuencia siendo esta 11 Ejemplo: * Encontrar la moda de los siguientes valores que representan Kilómetros de cinco estudiante y son: 1, 4, 10, 8, 10 * Encontrar la moda de los valores: 1, 3, 3, 7, 7 y 8. Esta es una moda Bimodal o multimodal * Encontrar la moda de los valores 1,, 4 y 9. Aquí no hay moda pues no incurre un valor a repetir su frecuencia. Datos agrupados: La moda para datos agrupados puede ser obtenida por varios métodos. Cada uno de los métodos puede dar un valor diferente de moda. Los cuatro métodos están entre los más comunes de cálculo de la moda para una distribución de frecuencia y los métodos son: El método crudo. La interpolación mediante método gráfico El método de interpolación mediante fórmula El método empírico.

7 Método crudo (CM o ) La moda Cruda de una distribución de frecuencia es el valor del punto medio de la clase modal. La clase modal es la clase con la más alta frecuencia en la distribución. Ejemplo: Los valores que representa la siguiente tabla es el tiempo en minutos del trabajo que realizaron los empleados de los diferentes departamentos de ensamble al elaborar la función de cada actividad de la Compañía Addison Tecnology, esto lo hizo para conocer los tiempos y movimientos, se desea conocer la moda: LOCALIZACION DE LA CLASE MODAL Minutos estimados Intervalo de valores Número de empleados Frecuencia 0 y menos de 4 4 y menos de y menos de y menos de 8 Clase modal y menos de 0 1 total 0 Solución: Tomando en cuenta la frecuencia, la clase modal es 8, que el número que se repite con mayor frecuencia, usaremos los valores de la clase modal y tenemos: La moda cruda ( CMo) 1 14 Minutos

8 La interpolación mediante el método gráfico (M o ) Cuando utilizamos el método gráfico se emplean los valores y frecuencia en la clase modal y las frecuencias en las clases inmediatamente anterior y posterior de la clase modal. Usaremos los mismos valores del método anterior, y para ello veremos antes como es la interpolación: 1.- Construiremos una gráfica de barras, basada en los datos dados, la cual mostrará la distribución de frecuencia continuamente es decir: No hay blancos entre las barras adyacentes. Esto es llamado un Histograma..- Dibujaremos dos líneas diagonalmente en el interior de la barra de la clase modal, (la más alta) partiendo desde las esquinas superiores de la barra a la esquina superior de la barra adyacente. 3.- Dibujaremos una línea perpendicular desde la intersección de las dos diagonales hasta el eje de las X (escala horizontal). <La moda es localizada sobre el eje de las X y su valor es de: 14 minutos Frecuencia (número de estudiantes) d1 Clase modal f m = f 1 = 4 Moda d f = Kilómetros recorridos

9 La interpolación mediante el método de fórmula (M o ) Si utilizamos el método de fórmula esta interpolación se utiliza los valores y la frecuencia de la clase modal, además de las frecuencias en las clases inmediatamente antes y después de la clase modal. La moda calculada mediante la fórmula deberán utilizar el mismo valor que la moda obtenida mediante el histograma. La fórmula para calcular la moda para una distribución de frecuencia es: M d L 1 d d i o 1 M o = La moda L = Límite inferior verdadero de la clase modal. i = Amplitud de intervalo. d 1 = fm f 1 d = fm f fm = Frecuencia de la clase modal. f 1 = Frecuencia de la clase anterior ( o menor que) la clase modal. f = Frecuencia de la clase posterior a (o menor que la clase modal. Usaremos los mismos valores del ejercicio anterior. M d L 1 d d i o 1 4 Mo ( ) ( 4) Minutos

10 Ejemplo: Los salarios percibidos por un grupo de 5 empleados en un período dado, están dados en la siguiente tabla: LOCALIZACION DE LA CLASE MODAL Salarios Intervalo de clase Número de empleados Frecuencia Clase modal Total 5 Solución: L = 6.5 i = 3 d 1 = 9-4 = 5 d = 9-6 = 3 M d L 1 d d i o 1 5 Mo 6. 5 ( )

11 El método de la moda empírica (EM o ) En una distribución de frecuencia simétrica, los valores de la media, mediana y moda son el mismo; es decir X = M d = M o. Una distribución simétrica significa que la clase central tiene la mayor frecuencia, arriba de la clase central de la distribución, correspondiente exactamente a la frecuencia abajo de la clase central. Si la distribución de frecuencia se muestra mediante gráfica de barras (histograma) o una gráfica de línea (polígono de frecuencia), una recta vertical a través del punto medio de clase de la clase central puede dividir la gráfica en dos mitades idénticas. La intersección de la recta vertical y el eje de las X, da los valores de la media, mediana y moda. Ejercicio: Las calificaciones de 8 estudiantes en una prueba de estadística fueron las siguientes: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SIMETRICA Calificaciones Punto medio Número de estudiantes Intervalo de valores X Frecuencia 30 y menos de y menos de y menos de y menos de y menos de y menos de y menos de Total 8 ( fd) 0 X A i 65 ( 10) 65 0 n 8 65 n C Md L 8 ( ) ( 3 5) ( i) 60 ( 10) f 65 M o d1 L d d i 8 5 ( ) 60 ( 8 5) ( 8 5) ( 10 ) 65 1 X = M d = M o. = 65 (punto medio de la clase central)

12 Principales características de la moda 1.- La moda es el valor con la más alta frecuencia con el conjunto de valores. Representa más elementos que cualquier otro valor pueda representar en conjunto. La moda no se calcula incluyendo todos los valores y no está definida algebraicamente como lo está la media..- La moda, por definición, no está afectada por valores extremos. 3.- La moda de un conjunto de datos discretos es fácil de calcular. Sin embargo la verdadera moda de un conjunto de datos continuos, estrictamente hablando, nunca puede existir. Los valores de los elementos, incluidos en los datos continuos, rara vez son exactamente iguales antes del redondeo. 4.- La moda, para una distribución de frecuencia, no puede ser calculada exactamente, como sí puede serlo la media. 5.- El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de designación de los intervalos de clase. Cuando los mismos valores son agrupados en los diferentes intervalos de clase, el valor de la moda para la distribución es diferente de los otros