ACTIVIDADES INICIALES

Transcripción

1 9 Intgrls ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Encuntr l función qu mid l ár d ls rgions limitds por l j horizontl y ls rcts: ) y = ; l rct vrticl trzd por l punto d scis con >. ) y = si ; y = + 6 si > ; l rct vrticl trzd por l punto d scis. Distingu ntr y < 6. En mos csos, clcul tmién l drivd d ls funcions árs otnids. ) S form un triángulo d s y ltur. L función ár s: ( ) ( ) A ( ) = su drivd: 6 6 A ( ) = = ) En mos csos, l figur qu s form s un triángulo d s 6 y ltur mnos un triángulo. Si, l triángulo tin s y ltur. Si < 6, l triángulo tin s 6 y ltur + 6. L función ár s: 9 A ) = (6 ) 9 (. su drivd: < 6 A ( ) = 6 < < < < Clcul l ár d ls rgions somrds. EJERCICIS PRPUESTS ) ) f () = π g () = sn ) Si f() =, ntoncs F() = cumpl qu F '() = f() y l ár d l zon somrd s: F() F( ) = ( ) ( + ) = u. ) Si g() = sn, ntoncs G() = cos cumpl qu G'() = g() y l ár somrd s G(π) G() = ( ) + = u.

2 9.. Hll l ár dl rcinto somrdo. f () = Un primitiv d f() = s F( ) = + +. ( ) ( ) 9( ) 6 El ár somrd s F() F( ) = + + ( ) = u. 9.. Clcul l ár d l zon limitd por l gráfic d y =, l j y ls rcts = y =. Ár = G() G() con G () = 8 Un primitiv d G () s G() =. El ár pdid s: G() G() = u. 9.. Clcul: π ) d ) sn d c) ( ) d ) d= = π ) d [ ] c) π sn = cos = ( ) = 8 ( ) d = = = 9.. Escri un función continu f pr l qu f ( ) d =. Como l intrvlo s simétrico rspcto dl orign, culquir función impr lo vrific, por jmplo, f() = Clcul d. < Como f( ) = =, d= d+ d= d+ d= + = + = 9.7. Escri un función f no constnt n [, ] y tl qu f( ) d =. Hy qu otnr un función F() con F() F() =. F() = no sirv, pus f() = F () = s constnt. Prondo con F() = y, por tnto, f() =. tr form d rsolvrlo s diujndo un triángulo isóscls d s y ltur. L función qu lo dfin s f ( ) = < f

3 9.8. Si f( ) d =, f( ) d = y f( ) d =, clcul: ) f( ) d ) f( ) d c) ) ) f( ) d = f( ) d + f( ) d = + = f( ) d = f( ) d f( ) d = = f( ) d c) f ( ) d = f ( ) d f ( ) d = f ( ) d f ( ) d + f ( ) d = (+ ) = 9.9. Si f s continu y f( ) d =, cuánto vl gt () dt, sindo g(t) = f(t) +? ( ) [] g () t dt = f () t + dt = f () t dt + dt = + t = + = 9..Si f( ) d =, gd ( ) =, h ( ) d=, clcul, si tins dtos suficints, l vlor d lguns d sts intgrls: f( ) + g( ) d f( ) g( ) d f( ) g( ) d f( ) h( ) d ) ( ) ) ( ) c) ( ) d) ( ) f( ) g( ) d f ( ) + g( ) d = f ( ) d + g( ) d = + = ) ( ) f ( ) g( ) d = f ( ) d g( ) d = = ) ( ) c) ( ) d) ( ( ) ( )). No s tinn dtos suficints. f h d = f ( ) d h( ) d = ( ) = Clcul l ár d l rgión limitd por l gráfic d y =, l j horizontl y ls rcts vrticls = y =. Como y = > n [, ] y smos qu ( ln ) =, l ár s: d = [ ln ] = ln ln = ln,69 u 9.. Clcul l ár d l rgión finit limitd por l j horizontl y l gráfic d y =. Hy qu uscr los puntos d cort d l práol y l j horizontl: = si = y si =. En l intrvlo [, ],, lugo l ár pdid s: ( ) d = (9 9 9) = + + = u 9.. Clcul l ár d l rgión ncrrd ntr ls gráfics d f() = y g ( ) =. Los puntos d cort d ls dos funcions son: = = = o = Como n [, ], f() g(), l ár uscd s: (( f ) g( )) d d u = + + = + + = = 9.. Clcul l ár d l rgión limitd por ls curvs y = + 6 y =. Los puntos d cort d ls funcions son: + 6 = 6 = = o =. El ár pdid s: 9 8 ( + 6 ) d = = + + = u 6

4 9..Clcul ls siguints intgrls indfinids: d c) ( ) + d ) ) ( sn + ) + ) d d) ) ( sn ) d + d = cos + + C ) d = + + C + d = + + C c) ( ) d) ) 6 d = d = + C = + d = + ln+ C 9.6.Clcul, n cd cso, l función f() qu vrific ls condicions dds: ) f () = cos + y f(π) = ) f () = + y f() = c) f () = 6 y f() = ln6 d) f () = cos, y l gráfic d f cort l isctriz dl.º cudrnt n l punto d scis = π. ) f( ) = (cos + ) d = sn + + C Como f(π) =, f( π ) = snπ+ π π + C = π π + C = C = π π Por tnto, f( ) = sn + ( π π ) ) f( ) = d rctg C = + + Como f() =, f() = rctg + C = + C = C = c) L función s f( ) = rctg +. f( ) = ( 6 ) d = 6 + C ln6 Como f() =, f() = + C = C = ln 6 ln 6 ln 6 L función s f ( ) = 6. ln 6 f( ) = cos d = sn + C d) ( ) Como f(π) = π, π sn π+ C = π C = π π L función s f( ) = sn π π.

5 9.7.Clcul ls siguints intgrls indfinids. ) t + dt d) t + t + cos ( lnt ) dt g) d t s ) ds + s s ) ds + s h) d + 9 f) c) ( + ) d ) t + t + dt = dt = t + t + + C t + t + t + t + s s ) ln ( s ) ds = ds = + + C s s + + c) ( ) ( ) ( ) d) ) f) g) h) + d = + d = + + C ( t ) cos ln s t dt = sn (ln t) + C s s ds = ds = rctg( ) + C s + + s ( ) d = d = rcsn ( ) + C ( ) d = rcsn ( ) d = + C ( ) ( ) 6 rctg( ) d = d = + C Hll ls primitivs d ls siguints funcions. d ) f( ) = (sn )(cos ) c) h() = ) g() = tg( + ) d) j() = ( + tg ) tg ) ( ) F ( ) = (sn )(cos ) d= ( sn ) (cos ) d= (cos ) + C ( sn( + )) ) G ( ) = tg( + ) d= d= ln cos( + ) + C cos( + ) c) H( ) = d = d = + C d) J( ) = (+ tg )tgd = (+ tg )tgd = tg + C 9.9. Clcul ls drivds d f ( ) = tg y g ( ) =, simplifícls l máimo y plic qué osrvs. cos sn f ( ) = ( tg ) = tg = cos cos sncos sn g ( ) = = = Ams drivds son iguls. cos cos cos 6

6 9..Clcul ls siguints intgrls indfinids. d c) ln d ) t dt ) ( ) ) t lnt dt ( ) ) ( ) ) d) ( + )cosd f) sn snd d. Llmndo f() = y g'() = f () = y g() =, s otin: d = ( )( ) ( )( ) d = ( ) + + C = + C t lnt dt. Llmndo f(t) = ln t y g (t) = t f '( t) = y gt () = t. t t t lnt dt = t lnt dt = t lnt t dt = t lnt t + C t 9 c) ln d. Llmndo f() = ln y g'( ) = f '( ) = y g ( ) = d) ln d = ln d = ln d = ln + C = ln C 9 + ( + )cosd. Llmndo f() = + y g'() = cos f'() = y g() = sn. ( + ) cos d = ( + )sn sn d S vulv intgrr por prts llmndo f() = y g'() = sn f'() = y g() = cos. t ( ) ( + ) cos d = ( + )sn sn d = ( + )sn cos cos d = = ( + )sn + cos sn + C = ( )sn + cos + C t ) t dt Llmndo f(t) = t y g (t) = f (t) = y gt () =. t t t t t t t dt = t dt = t + C = ( t + ) + C t f) sn sn d Llmndo f() = sn y g () = sn. f () = cos y g() = cos. t sn sn d = sn cos cos ( cos ) d = sn cos + cos d = sn cos + ( sn ) d = = sn cos + d sn d= sn cos + sn d sn cos Dspjndo s otin: sn sn d = sn cos + sn sn d = C Clcul ls siguints intgrls. + ln ) d ) ) Llmndo t = + ln, d c) + d dt = : ) Llmndo t = +, dt = d: c) Llmndo t = +, dt = d: d) Llmndo t = +, dt = d: ( ) d d) ( ) ( + ) + d + ln (+ ln ) d = tdt = t + C = + C dt d = d = = t + C = + + C + + t dt d = d = = + C = + C + + t t + ( ) ( ) ( + ) t t + d = dt = + C = + C 7

7 9.. Clcul l intgrl d. Rliz l cmio d vril t =, dspj lvndo l cudrdo n dich prsión y sustituy por l rsultdo otnido n l función intgrr. t = = t + dt = d dt d = d = = rctg t + C = rctg + C t Hll l vlor mdio d sts funcions n los intrvlos indicdos. ) f() = + n [, ] ) f() = + > n [, ] c) f() = + n [, ] En todos los csos s pud plicr l torm dl vlor mdio dl cálculo intgrl por sr funcions continus n los intrvlos corrspondints. ) + d = + = + = = f( c)( ) f( c) = El vlor mdio d f() n l intrvlo [, ] s. ) [ ] 8 fd ( ) = + d+ d= + + = 8+ 8 = 6 = fc ( )( ( )) = 6 fc ( ) fc ( ) = El vlor mdio d f() n l intrvlo [, ] s 8. c) 9 f( ) d = + d f( c) f( c) = + = = = 6 El vlor mdio d f() n l intrvlo [, ] s. 9.. Hll l vlor mdio d l función: 6 6 f( ) d = f( ) d + f( ) d+ f( ) d = = Ár d un curto d círculo d rdio ár d triángulo + +ár ncrrd por l rct y = y l j n l intrvlo [,6]= π π+ + = π+ = 6 fc ( ) fc ( ) = 6 8

8 EJERCICIS Ár jo un curv. Torm fundmntl dl cálculo 9.. (PAU) Clcul l ár dl rcinto plno cotdo limitdo por l gráfic d l función g() = 9 y l j. 9 = si =, = o = S formn dos rcintos, uno sor l j pr n l intrvlo [, ] y otro jo l j pr n l intrvlo [, ]. El ár uscd s: ( 9 ) d ( 9 ) d = = + = u 9.6. Clcul l ár d ls siguints rgions. ) y = ), y = ( ) ) d= = u ) ( ) d = d = = = u (PAU) Rprsnt gráficmnt l función dd por < si f( ) = si y hll l ár d l rgión limitd por l gráfic d f y l j d sciss. El ár s: f f( ) d = f( ) d+ f( ) d = ( ) d+ ( ) d = 8 6 = 8 6 u + = + = 9.8. (PAU) Dd l función f() = + con >, clcul l vlor d pr qu l ár dtrmind por l gráfic d l función, l j d sciss y ls rcts = y = vlg 7. Como l función s simpr positiv, l ár uscd s: ( + ) d = + = 9+ = 7 si = 6 9

9 Intgrl dfinid. Rgl d Brrow 9.9. Si f s continu y f() =, cuál s l vlor d f(7), sindo qu 7 f ( ) d =? Al sr f ' continu, por l rgl d Brrow: 7 f ( ) d = f(7) f() = f(7) = f(7) = 9.. Son vrddrs o flss sts firmcions? ) Si f s continu y pr, ntoncs f ( ) d = f( ) d ) Si f' s continu, ntoncs ( ) c) π sn d = d) ( + + ) = ( + ) ) ( )( ). f d =. c d c d d mid l ár d l rgión ncrrd por l curv f() = ( )( ) y l j horizontl. f) El ár ncrrd por l curv f() =, l j d sciss y ls rcts = y = s 6. ) Cirt. f s pr si f( ) = f() f( ) d = f( ) d+ f( ) d = f( ) d+ f( ) d Hcindo t =, dt = d n l primr intgrl, t = si = y t = si = = = = Lugo f( ) d ft () dt ft () dt ft () dt f ( ) d = f ( t) dt + f ( ) d = f ( ) d ) Fls. Bst considrr f() =. c) Fls. L intgrl dfinid s un númro, no un función. d) Cirt. Tnindo n cunt qu + c s un función pr y utilizndo l prtdo, s otin: ( ) ( ) ( ) + + c d = + c d + d+ = + c d + = ( ) ( ) = + c d + = + c d ) Fls. L función cmi d signo n [, ], y l rgión limitd por s curv y l j horizontl n [, ] stá por djo dl j y n [, ] stá por ncim. f) Fls. L función stá por djo dl j d sciss n [, ] y por ncim n [, ]. Por tnto, l ár s: u ( ) d + ( ) d = 9 + = = d. 9.. (PAU) Clcul ( + ) S scri l función intgrr como un función dfinid trozos: Así pus: ( ) + d = d + d = + = < f( ) = + =

10 9..Clcul l ár d ls rgions numrds d n l siguint diujo. Empzndo por ls más fácils: () s un triángulo d s y ltur A = = u () + () s un triángulo d s y ltur A + A = u () s l ár ntr un práol y un rct: y = A = ( ) d = = u 6 Lugo A = = u y = () + () s un trpcio d ss 6 y y ltur A + A = ( + ) 6 = u () s l ár ntr l j d sciss, l práol y y = l rct = d ( ) u A = = = 6 Lugo: A = = 6 u Propidds d l intgrl 9.. S l función cuy gráfic s l d l figur, qu consist n sgmntos y curtos d circunfrnci. f Clcul f( ) d, 8 f( ) d, f( ) d. Ls árs d cd trozo son: 9 9 A = = ; A = π = π ; A = π ; A = = 8 f( ) d = A = f( ) d = f( ) d + f( ) d + f( ) d+ f( ) d = A+ A A A = = π 9π f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d + f ( ) d + f ( ) d = A+ A + A + A = + + =

11 9..S f continu n [, ] y g() = f(). Si f( ) d =, clcul gt () dt. t g() t dt = (() f t t) dt = f() t dt t dt = = 8+ = 9.. (PAU) Contst, rzonndo l rspust, si son vrddrs o flss ls siguints firmcions. c c ) f ( ) d + f ( ) d = f ( ) d ) f( ) g( ) d = f( ) d g( ) d c) Si f( ) d =, ntoncs = d) Si f( ) d = y f ( ) > pr todo, ntoncs = ) [ ] f ( ) + g( ) d = f ( ) d + g( ) d ) Vrddr, s l propidd d intgrls. ) Fls. Por jmplo, c) Fls. Por jmplo, d= d= d) Vrddr por l propidd ) Vrddr, s l propidd., pro d d= =, lugo d d d Ár ntr dos curvs 9.6. Hll l ár dl rcinto limitdo por l práol y = y l rct horizontl y =. = si = o = Como l rct stá por ncim d l práol, l ár uscd s: 8 8 ( + ) d = 8 8 = + = u 9.7. Clcul l ár d l rgión dl plno qu stá limitd ntr ls curvs y = ( + ) rcts = y =., y = ( + ) y ls El ár uscd s: f d d = = = + = ( ) ( ) ( ) + u + + +

12 9.8. (PAU) Clcul l ár dl rcinto limitdo por ls curvs y = y =. = = = 8 = 8 = = El ár uscd s: d = = = u (PAU) Diuj l rgión limitd por ls práols y = + y = + +, y clcul l ár d l rgión limitd por ms curvs. Los puntos d cort d ls dos funcions son: + = = = o = El ár uscd s: (( + + ) ( + ) ) d = ( + 6) d = + = = 9 u 9.. Hll l ár dl rcinto cotdo por sts trs frontrs: L práol d cución f() = +. L rct tngnt l práol n l punto d scis =. El j horizontl. Hy qu clculr l rct tngnt l práol n l punto A(, f()) = A(, ). Como f () = +, f () =, y l rct tngnt s: y = ( ) + y = + El ár uscd s: (( ) ( ) ) ( ) ( 6 9) ( ) + + d + + d = + d+ + d = = = = u = + = 6 f 9.. (PAU) Clcul ( ) d y plic mdint un gráfico l significdo gométrico dl vlor otnido. ( ) d = =. L función s simétric con rspcto (, ) y, por tnto, l ár d l drch s igul l ár d l izquird. f

13 9..(PAU) Considrndo l curv d cucions crtsins y = + 8: ) Clcul ls coordnds dl punto n l qu l rct tngnt l curv s prll l rct y =. ) Clcul l ár dl rcinto plno cotdo limitdo por ls gráfics d l curv dd y d l rct d cución y = + 8. ) Como l pndint d l rct tngnt n l punto d scis = s f () y l pndint d l rct y = s, hy qu clculr un punto A(, f()) con f () =. f () = + 8 = si = El punto uscdo s (, f( )) = A(, ). ) + 8 = + 8 si = 8 o = El ár uscd s: ( + 8) ( + 8 ) d = 7+ 8 d = + 8 = ( ) ( ) ( 8) 7 = + 8 ( 8) + 8 ( 8) = u 9.. (PAU) Rprsnt gráficmnt l rgión cotd limitd por ls gráfics d ls funcions g ( ) = ( + ) y h ( ) ( ) = +, y otén su ár. f( ) =, f g h El ár s: Punto d cort d l función con cd un d ls rcts: = ( + ) = 8 = = o = = ( + ) + = + 8 = = o = srvndo l rcinto, los puntos considrr son = y =. + d + + d = = ( ) 7 = + ( ) ( ) + + = u 9.. (PAU) Dtrmin l ár d l figur ABCDA sindo qu l curv ADC s prt d l gráfic d un función polinómic d sgundo grdo. Como s simétric, s suficint con clculr l ár qu stá l drch dl j vrticl y multiplicrl por. B (, ) Es ár stá limitd por l práol qu ps por los puntos A (, ) A(, ), C(, ) y D(, ). C (, ) Como cort l j n = y n =, su cución s f() = ( + )( ), y como ps por D, vl si =, =. D (, ) Con stos dtos, l cución d l práol s f() =. L cución d l rct qu ps por B y C s y = +. El ár d l drch s: 9 + ( ) d ) d u = + = + = + = 9 8 Ár uscd: = u

14 9..Clcul l vlor d m, m > pr qu l ár ncrrd ntr ls líns y = y = m s 6. Puntos d cort d ls funcions: = m = o = m En l intrvlo [, m], m, y como m >, l ár ntr l rct y l práol s: ( ) m m m d = m = m m m = m = 6 m = (PAU) Clcul, por gomtrí lmntl y utilizndo l cálculo intgrl, l ár dl triángulo d vértics (, ), (, ) y (, ). L s dl triángulo mid, y l ltur,, lugo su ár s u. Con cálculo intgrl, l triángulo s l ár ntr ls rcts y =, y = +, = y = : + d = = u 9.7. (PAU) Rprsnt gráficmnt y hll l ár dl rcinto ABC, dond A = (, ), B = (, ), C = (, ), ls líns AB y BC son rcts, y l lín AC tin por cución y =. L rct qu un los puntos BC tin cución y = +. B El ár s: ( ( )) + d = + = u 6 C A 9.8. (PAU) Dd l función: f( ) = si si < ) Diuj su gráfic. ) Estudi su continuidd n l punto =. c) Clcul l ár dl rcinto limitdo por l gráfic d l función y l prt positiv dl j. ) f ) L función s continu n =, pus lim f ( ) = lim f ( ) = f () =. + c) ( ) d = = u 9.9. Diuj l gráfic d l función f() =. Encuntr l intrvlo [, ] pr l qu ( ) lcnz l máimo vlor. Como ( ) d mid l difrnci ntr ls árs limitds por l curv por ncim y por djo dl j horizontl, s otndrá l máimo vlor cundo s rqu tod l rgión d l curv qu sté sor l j horizontl, sto s, n [, ]. Así pus, l máimo vlor d l intgrl s ( ) d =. 6 d f

15 L intgrl indfinid. Primitivs inmdits 9..Idntific cd un d ls primitivs siguints con un d l tl dd n l tto y, continución, rsuélvls. + ) + d ) d i) d + m) cos d + sn ) tg d f) sn d j) sn cos d d g) c) ( ) d) d h) ) ) d k) n) + d tg d l) ( ) + cos + d = d + d = ln + + C. Tipos y sn tg d= d= ln cos + C cos. Tipo d = d = + C. Tipo c) ( ) ( ) ( ) 9 d o) d sn cos ñ) d + sn 7 + d d) ) 7. Tipo d = d = + C = + C rctg( ) d = d = + C + +. Tipo 9 ( ) f) g) snd= snd= cos( ) + C. Tipo 6 d = d = + C. Tipo h) i) tg tg d = d = tg + C. Tipo cos cos + d = d d + d = + ln + C. Tipos y sn + + cos d = sn d + d + cos d = cos + rctg + sn + C + +. Tipos 6, 9 y j) k) d = d = rcsn( ) + C. Tipo 7 ( ) + d = d d + d = + + C. Tipo l) ( ) ( ) cos m) d = rctg(sn ) + C. Tipo 9 + sn 8 n) ñ) o) + + d = d = + + C. Tipo sn cos d = ln(sn + ) + C. Tipo + sn d = ( + ) + + C. Tipo 6 6

16 9.. (PAU) Clcul ls siguints intgrls. ) + + d ) (sn cos + cos sn ) d c) ( + ) d + + d = + C (sn cos + cos sn ) d = cos sn + sn + C ( + ) d = ( + ) + + C ) ) c) 9.. (PAU) Encuntr l primitiv d f( ) = + qu vl n l.. Como F() =, F ( ) = + d= + C Entoncs, F ( ) = +. F() = + C = C = 9.. Considrndo l función f( ) = : ) Clcul un primitiv d f(). ) Dmustr qu si >, l función f() s simpr positiv. c) Clcul l ár ncrrd por l gráfic d f() ntr ls rcts vrticls = y =. ln ) F ( ) = d= ) Si >, ntoncs l numrdor s positivo y l dnomindor tmién, pus s positivo n (, ) (, + ). Por tnto, l función s simpr positiv si >. c) Como f() s positiv n [, ] y F() s un primitiv d f(), l ár uscd s F() F() = ln8 ln u. 9.. (PAU) Dd l función f( ) = ( )( + )( ) : ) Clcul un primitiv d f(). ) Justific qu F() = + no s primitiv d f(). c) Hll l ár limitd por l función f(), l j y ls rcts = y =. ) F ( ) = ( )( + )( ) d= ( + ) d= + ) Si lo fur, drí cumplir qu F () = f(), pro F () = + ( )( + )( ) (pr vr sto, no s ncsrio clculr l producto, st vr qu no vln lo mismo n = ). c) Como l función cmi d signo n [, ], s positiv n [, ) y ngtiv n (, ], l ár s: f( ) d f( ) d = ( F() F() ) ( F() F() ) = F() F() = u 7 7

17 9.. (PAU) Dtrmin l cución d l función polinómic f qu ps por los puntos A(, ) y B(, ), y tl qu f ( ) = 6 +. f '( ) = (6+ ) d = + + C y f( ) = ( + + C) d = + + C+ D Como y = f() ps por A(,), d sr f ( ) = D =, y como ps por B(, ), f ( ) = + + C + = C =. L función uscd s f ( ) = (PAU) D dos funcions cuy drivd s f( ) = + + vlor qu l otr. F ( ) = + d= ln C + F ( ) = + C tls qu n l punto = un tng dol Si C = pr un d lls, y pr l otr, C =, ls funcions son F ( ) = ln + + y G ( ) = ln Clcul ls siguints intgrls. ) d d) ln d Intgrción por prts g) ( ) d ln ) ) sn d h) d c) rctg d f) ( + ) + d i) ln + d j) ln d k) ( ln ) d d l) d cos ( ) ) Si f() = y g () =, f () = y g() = d = d = ( ) + C ) Si f() = y g () =, f () = y g() = ln c) Si f() = rctg y g () =, f () = g() = + rctg d = rctg d = rctg ln( + ) + C + d) Si f ( ) = ln y g ( ) =, f () = y g ( ) = d = + d = + C ln ln ln ln 9 ln d = ln d = ln d = ln + C 6 ) Si f() = sn y g () = sn, f () = cos y g() = cos ( ) sn d= sn cos + cos d= sn cos + ( sn ) d= sn cos + sn d Dspjndo otnmos f) ( + ) sn cos sn d= + C. + d f() = + y g () = + ; f () = + y ( ) ( ) ( ) g ( ) = d = d. Si hor f() = + y g () = + ; f () = y g ( ) + + d = d = = ( ) + ( ) + ( ) + + = ( ) + ( ) ( ) C = C 8

18 g) Si f() = ln( + ) y g () =, f () = y g() = + ln( ) ln( ) ln( ) + + d = + d = + d = + + = ln( + ) + d = ln( + ) + ln( + ) + C + h) f() = ln y g () = ; f () = y g() = ln ln ln ln + d = + d = + C = + C i) d= d Si f() = y g () = ; f () = y g( ) = d= d= + d= + C= ( + ) + C j) Si f ( ) = ln y g () =, f ( ) = y g ( ) = k) Si f() = (ln ) ln y g () =, f '( ) = y g() = ( ) ( ) ( ) ln ln ln d = ln d = ln + + C ln d = ln d = ln + C (por l prtdo j) l) Si f() = cos y g () =, f () = sn y g() = cos( ) d = cos + sn d Si hor f() = sn y g () =, f () = cos y g() = cos( ) d = cos( ) + sn( ) 9 cos( ) d cos( ) sn( ) Dspjndo: cos( ) d = + + C Hll l ár qu ncirr l rcinto limitdo por ls gráfics d f( ) =, y =, = y =. A = d + d = ( ) ( ) + u = + = 9.9. (PAU) Enunci l rgl d Brrow y plícl l función f( ) = ( + ) n l intrvlo [, ]. Rgl d Brrow: Si f s continu n l intrvlo [, ] y F s culquir primitiv d f, F () = f(), ntoncs: f( ) d = [ F( ) ] = F( ) F( ). Como f() s continu, s clcul un d sus primitivs, F ( ) = ( + ) d. Llmndo f() = + y g () =, f () = y g() =, F( ) = ( + ) d = ( + ) d = ( + ) = Por tnto: f( ) d = F() F() = 9

19 Intgrción por cmio d vril 9.6.Clcul l intgrl sn d mdint l cmio t =. t = ; dt = d sn d = sn d = sn d = t sn t dt. Intgrndo por prts: f(t) = t y g (t) = sn t; f (t) = y g(t) = cos t sn d = tsn t dt = tcost + cos t dt = tcost + sn t + c = cos + sn + c 9.6. Clcul: ) sn (sn ) cos d ) d c) d d) ( + ) + ) t = sn ; dt = cos d sn(sn )cos d = sn tdt = cost+ C = cos(sn ) + C ) t = ; dt = d d = dt = + C = + C ( + ) ( + ) ( t + ) t ( + ) cos(ln ) d c) t = ; dt = d d) t = ln ; d = = rctg + = rctg + d dt t C C + + t cos(ln ) d = t dt = t + C = + C dt = cos sn sn( ln ) 9.6. Encuntr l vlor mdio d: Torm dl vlor mdio dl cálculo intgrl ) f () =, f () =, f () = sor l intrvlo [, ]. n ) Conjtur, prtir dl prtdo ntrior, l vlor mdio d f() = n dicho intrvlo. n c) A qué númro s proim l vlor mdio d f() = cundo n s grnd? S pud plicr st rsultdo prtir d l gráfic d dich función? ) Vlor mdio d f (): d = = = f( c)( ) = f( c) Vlor mdio d f (): d = = = f( c) Vlor mdio d f (): d = = = f( c) n ) f ( c) = n + c) S proim. En ls gráfics d f() s osrv qu mdid qu n crc, l ár prc cd vz más un cudrdo d ldo.

20 9.6. Dos utors d st liro hn hcho n l vrno d 8 l trvsí pi d los Crros d Foc por l Pirino ctlán mplndo 9 hors, lo lrgo d ls culs furon notndo l ltitud l qu s ncontrn n divrsos momntos y, dspués d proimr y rdondr los dtos, otuviron l siguint tl: Timpo (h) Altitud (m) 6 Cuál fu l ltitud mdi l qu s moviron? L ltitud mdi s l vlor mdio d l función ltitud n l intrvlo [, 9]. Como no s conoc l prsión d l ltitud, sino solo un tl d vlors, s proim dich intgrl con l sum d ls árs d los rctángulos, s dcir, l numrdor d l siguint frcción: Altitud mdi 9,7 m 9 Apliccions d l intgrl dfinid n ls cincis socils 9.6. (PAU) Un mprs quir producir c( t) = + t unidds d un producto qu prtnd vndr p( t) = t uros cd unidd, sindo t l númro d dís trnscurridos dsd l inicio d l producción. ) Hll, dpndindo d t, l función nficio B(t). ) Hll l nficio cumuldo durnt los primros 9 dís. ) El nficio d un dí s B(t) = c(t) p(t) = + 6t t = ( + 8t t ) uros. ) Pr sr l nficio cumuldo s clcul: t Btdt ( ) = ( + 8 t t ) dt= t + t = (8 + ) = 9.6. (PAU) Un inmoiliri stá intrsd n dquirir unos trrnos qu pudn sr rprsntdos n un dtrmindo plno como l suprfici ncrrd ntr l práol f ( ) = + + y l rct g( ) =. ) Hll l rprsntción gráfic simultán d sts dos funcions. ) Si un unidd dl ár d st plno quivl km y l prcio dl kilómtro cudrdo s d millons d uros, qué import d pgr l inmoiliri por sos trrnos? ) g f ) Ls funcions s cortn n los puntos: + + = = o = Su ár: ( + + ) d = + = km El prcio dl trrno: = millons d

21 9.66.(PAU) Un mprs stim qu l ts d vrición d gstos d mntniminto d sus quipos informáticos vin dd por l función: m ( t) = + t + t Dond t s mid n ños, y m, n cintos d uros por ño. S pid: ) Diujr l gráfic y hcr un intrprtción. ) Hllr l ár ntr l curv ntrior y l j d sciss, ntr los vlors t = y t =. Qué rprsnt l rsultdo? ) L ts d vrición d los gstos d mntniminto umnt con l pso dl timpo. ) t ( + t + t ) dt = t + t + =,67 El ár rprsnt l dinro totl gstdo n mntniminto d quipos los primros ños y s d 67 uros. m (t) t PRBLEMAS Un pulicist disñ un pnl pulicitrio qu tin l siguint form: s horizontl d m d + 6 si longitud y rsto dl contorno limitdo por l función g() =. Diuj l rcorrido + si < corrspondint l crtl pulicitrio y clcul su ár. A = ( + 6 ) d+ ( + ) d = = 7 = + 7 ( ) = + = 6 m g Un fáric rroj dirimnt mtril un ls sgún un ritmo ddo por l siguint función: m(t) =,t,t + t +, sindo m l cntidd d mtril n kg, y t, l hor dl dí. ) Esoz l gráfic d st función n l intrvlo [, ]. ) Qué rprsnt l ár jo s curv y sor l j horizontl? c) Clcul l mtril qu s rroj l dí. ) m (t) t ) El ár jo l curv rprsnt l cntidd d mtril rrojdo n un dí. c),t,t t (,t,t + t + ) dt = + + t =,, + + = 9,8 kg l dí

22 9.69. Un studio stdístico prmit stlcr qu n cirt ciudd, l númro d hogrs n los qu hy,t ordndor vin ddo por l función f(t) =, dond t mid los ños trnscurridos dsd l d,t + nro d, y f(t), n mils d hogrs. Clcul l mdi d hogrs n los qu hy ordndors ntr l d nro d 6 y l d nro d. 6,t, 6 t,t +, 7 = ln( +, 7 = f( c)(6 ) f( c),. Es dcir, hogrs El númro d prsons fctds por un nfrmdd contgios vin ddo por N(t) = (,t ), dond t rprsnt l númro d dís trnscurridos dsd l prición d l pidmi. S cpt qu l vlor mdio d l función N(t) n l intrvlo [, ] s un un proimción dl númro mdio d nfrmos por dí n un príodo d dís. Clcul s mdi d nfrmos por dí., t,t ( ) = t +,9 = f( c),9 fc ( ) 8 nfrmos d mdi l dí. PRFUNDIZACIÓN 9.7.S f l función dfinid n l intrvlo [, ] por f() = ( + ) k, dond, y k son númros rls, y s l curv d l figur un trozo d su gráfic. L rct T s tngnt dich curv n l orign. ) Sindo qu T ps por (, ), clcul su pndint. ) Con l prtdo ntrior y sindo qu l gráfic d f ps por (, ), clcul, y k. c) Clcul l ár somrd. F () T ) Como T ps por (, ) y por A(, ), su pndint s m =. ) Como l función ps por l orign, d sr f() = =. como ps por B(, ), d sr k =. Como l pndint d T s, d sr f () = f () = k (k + ) y f () = =. Al sustituir n k =, k =. Por tnto, l función s f() =. c) L cución d l rct tngnt s y =, y l ár somrd: ( ) d = ( ) = + = u 9.7.Encuntr l intrvlo [, ] pr l qu l intgrl ( + ) d lcnz su máimo vlor. Como ( + ) d mid l difrnci ntr ls árs limitds por l curv por ncim y por djo dl j horizontl, s otin l máimo vlor cundo tod l rgión qu rc l curv sté por ncim dl j horizontl, sto s, n [, ]. Lugo l máimo vlor d l intgrl s: 9 ( + ) d = + =

23 9.7.S f l función dfinid n R por f() = ( + ) +. En l diujo s mustr un trozo d l gráfic d f, sí como l rct r: y =. r R Q P f ) Compru qu l punto Q(, ) stá n dich rct y n l gráfic d f. ) Clcul l ár d los triángulos PQ y RQ. c) Clcul l ár ncrrd por ls gráfics d f, l j vrticl y l rct r, y compru qu l númro otnido stá comprndido ntr los dos númros dl prtdo. ) Está n l rct, pus =, y tmién n l curv, pus ( + ) + =. ) PQ tin s y ltur, su ár s u. RQ tin s y ltur, lugo su ár s 7,89 u. c) + + ( + ) d = ( + + ) = 6 6,67, qu stá comprndido ntr los vlors otnidos ntriormnt. 9.7.Supón qu tins qu clculr l sum d ls rícs cudrds d los primros númros nturls. Aproim s vlor con un intgrl. f d = = , 67

24 9.7. L gráfic d l función y = f() s l qu tins djo. rdn, d mnor myor, los siguints númros. ) f () ) El vlor mdio d f() n l intrvlo [, ] c) El vlor mdio d l función f () n l intrvlo [, ] d) f ( ) d f () s l pndint d l rct tngnt n l punto d scis =. El vlor mdio d l función f () n l intrvlo [, ] s l pndint d l rct qu un los puntos A(, f()) y B(, f()). f ( ) f () Trzndo ms rcts s osrv qu l f () s mnor qu y qu mos númros son ngtivos. El vlor mdio d f s f(c) con f ( ) d = f ( c )( ), y como s myor qu, ntoncs f ( ) d > f ( c ). Admás, mos númros son positivos, pus clrmnt l ár sor l j horizontl s myor qu l ár f ( ) f() por djo dl j. Lugo f '() < < f( c) < f( ) d (PAU) Dos hrmnos hrdn un prcl qu tin l form d l rgión limitd por l práol y = y l rct y =. Dcidn dividirl n dos rgions d igul ár mdint l rct horizontl y =. Clcul l vlor d. f L rct y = cort l práol n los puntos d scis = y =, y l rct y = l cort n los puntos d scis = y =. Como s h d dividir n dos prts d igul ár mdint l rct y =, tin qu ocurrir qu: ( ) d = ( ) d =. Al rsolvr l intgrl primr s otin: ( ) d = = Igulndo l rsultdo y dspjndo: = = =,6

25 RELACINA CNTESTA Elig l únic rspust n cd cso: 9.. En Economí, l cost mrginl s idntific con l drivd dl cost totl. En un mprs, un studio h concluido qu l cost mrginl C m (q) prsdo n mils d uros n función dl númro q d rtículos fricdos vin ddo por C m (q) = q q - 7. Cuál s l cost totl C T (q) n mils d uros sindo qu pr rtículos s d uros? A) C T (q) = q 6q 7q C) C T (q) = 6q B) C T (q) = q 6q 7q + D) C T (q) = q 6q 7q + L rspust corrct s l D. Un primitiv d C m (q) = q q 7 s C T (q) = q 6q 7q + C. Como C T () =, s pud hllr l constnt C: C T () = C =, por tnto C = y C T (q) = q 6q 7q L función F() = dfinid n (, + ) rsult sr un primitiv d un función f dfinid n + s conjunto. tr primitiv, G, d f podrí sr: + A) D) B) E) ln + ln ( + ) + + C) ( + ) L rspust corrct s B. Pr qu ms sn primitivs d un mism función, dn difrir n un constnt: + + ( + ) F ( ) G ( ) = = = = = + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 9.. S S l conjunto d puntos (, y) dl plno tls qu y y f(). Si l ár d S vl, cuánts d ls siguints firmcions son vrddrs? ) =, =, y f() = ) =, = y f() = c) =, = π, y f() = tg d) =, = π, y f() = sn A) Ningun D) Solo trs B) Solo un E) Ls cutro C) Solo dos L rspust corrct s l C y qu son cirts y d: ) d = = ( ) =. FALSA. ) [ ] c) π d = ln = ln ln =. VEDADERA. π tg d= ln cos = ln ( ln) = ln. FALSA π π π sn = cos = cos ( cos) = + =. VERDADERA. d) d [ ] 6

26 Sñl n cd cso ls rspusts corrcts: d. A) I mid l ár d l rgión comprndid ntr l curv d cución y =, j d sciss y ls rcts d cución =, =. 9.. S I = ( ) B) I = C) I = ( ) D) I = [ ] d E) I ( ) d Son corrcts ls firmcions B, C y E. A) L función f() = s un práol qu v por djo dl j ntr y, sí pus, I no mid l ár ntr y. B) C) ( ) d = = ( ) d = = D) [ ] = ( ) = 6 E) ( ) d = =. Entr y l función v simpr por ncim dl j. 9.. L gráfic d l figur s l d un función f drivl n l intrvlo [, ]. A) f () = 9 B) f () > C) Culquir primitiv d f s nul n =. D) Culquir primitiv d f s dcrcint n,. E) Culquir primitiv d f dmit un máimo rltivo n =. Son corrcts ls firmcions A y E. ( ) A) L pndint d l rct tngnt l punto (, ) s = 9, por lo qu f () = 9. B) L tngnt l punto d scis s dcrcint y por tnto, f () d sr ngtiv. C) Al sr f =, culquir primitiv d f tndrá un mínimo rltivo n =. D) Al sr f ngtiv n l intrvlo, sus primitivs son dcrcints n dicho intrvlo. E) Pr qu un primitiv d f tng un máimo s indispnsl qu f s nul n dicho punto. 7

27 Elij l rlción corrct ntr ls dos firmcions dds: 9.6. S f un función continu n l intrvlo [, ]. ) f ( ) d > ) f() > n [, ] A) B), pro / C), pro / D) y s cluyn ntr sí. E) Nd d lo ntrior L rspust corrct s C. Si f s strictmnt positiv n [, ] ntoncs f( ) d d sr positiv y qu dich intgrl mid l ár ntr l curv y l j. L otr implicción no s cirt y qu l intgrl dfinid pud sr myor qu cro sin qu l función s simpr positiv. Sñl l dto ncsrio pr contstr: 9.7. S f() = sn + + c, d l qu s s qu n l punto d scis d l gráfic d f prsnt d f tngnt horizontl. Pr clculr ''( ) ) El vlor d. ) El vlor d. c) El vlor d c. d) El vlor d d. d s tinn los siguints dtos. A) Pud liminrs l dto. B) Pud liminrs l dto. C) Pud liminrs l dto c. D) Pud liminrs l dto d. E) No pud liminrs ningún dto. L rspust corrct s D. Como f (d) = y qu l tngnt n d s horizontl, s otin: c Admás l drivd d f s f ( ) = cos +, por tnto, pr clculr flt l vlor d d. d f ( ) d = f ( d ) f () = f () = f (). d f ( ) d = f () no hc 8

28 Anliz si l informción suministrd s suficint pr contstr l siguint custión: 9.8. Pr dcidir l signo d l intgrl f ( ) ) f() > ) f () > A) Cd informción, y, s suficint por sí sol. B) s suficint por sí sol pro no. C) s suficint por sí sol, pro no. D) Son ncsris ls dos junts. E) Hcn fltn más dtos. d, sindo f un función continu y crcint, s s qu: L rspust corrct s l C. Si f() >, como f s crcint, s dduc qu f s positiv n l intrvlo [, ], por lo qu positiv. f( ) d s En cmio si f() >, no s port ningun informción sor l signo d l función n [, ] y no s pud concluir nd crc dl signo d l intgrl. 9