UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES

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1 UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES 1. Calcula: Ya conoces las cuatro operaciones básicas, la suma, la resta, multiplicación y división. Cuando te aparezcan varias operaciones para realizar debes saber la siguiente jerarquía de operaciones; 1) Primero se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 2) En segundo lugar se efectúan las sumas y restas. Por ejemplo: x 2 = = 11. Si no tienes en cuenta la jerarquía de operaciones y calculas 14 estaría mal x 2 = = x 4 = : 2 = 36 : 9 3 = x 3 2 = 28 : 4 x 2-2 x 3 = 39 : 3 4 x 2 = 7 x : 5 = : x 4 = Página 1 / 20

2 2. Calcula: En ocasiones, en las operaciones, aparecen paréntesis. Eso quiere decir que hay que calcular primero lo que está dentro del paréntesis. A continuación se hace el resto de operaciones, siempre siguiendo la jerarquía señalada. Por ejemplo: (3 + 4) x 2 = 7 x 2 = 14 Otro ejemplo: 9 : (2 + 1) + 2 x (3-1) = 9 : x 2 = = 7 (5 + 4) x 2 5 x 3 = 10 2 x ( 8 16 : 4) = 14 : 2 14 : 7 = (96 : 6 5 x 2) : 3 = (64 : x 4) : ( x 4) = ( 49 : 7 14 : 7) 2 x (6 3 x 2) = Página 2 / 20

3 LA DIVISIÓN POR DOS CIFRAS. En el tramo anterior ya viste la división. Cuando el divisor es un número de dos cifras se hace por un procedimiento parecido. 3. Haz las siguientes divisiones, (con el divisor de dos cifras), para ello coloca el cajetín de la división y lo haces como en el ejemplo anterior. 354 dividido entre Por ejemplo: Como el divisor tiene dos cifras, se toman las dos primeras cifras del dividendo, 45, ya que ese número es mayor que el divisor, 32, si no fuera así, se cogerían tres, y luego, al comparar 45 y 32, se pone 1 en el cociente, se multiplica dicho 1 por 32 y se resta a 45, esa resta da dividido entre dividido entre Página 3 / 20

4 a continuación, se baja el 6 y se comparan 136 y 32 y se debe poner 4 en el cociente y el producto de 4 por 32, que es 128 se resta a 136, y esa resta da 8, quedando: Para comprobar que la división está bien hecha, calculas: 14 x = dividido entre 42 Comprobación: 219 x = dividido entre 34 Comprobación: 961 dividido entre 27 Como, ya sabes, para comprobar que una división está bien hecha, debes multiplicar el cociente por el divisor y luego sumarle el resto, el resultado debe ser igual al dividendo. Cociente x Divisor + Resto = Dividendo Comprobación: 4503 dividido entre 61 Comprobación: Página 4 / 20

5 Hay una operación en Matemáticas que se llama potencia. Consiste en multiplicar por sí mismo un número llamado base tantas veces como indique otro número llamado exponente. Por ejemplo: 4 3 = 4 x 4 x4 = 64 En el ejemplo, el 4 es la base de la potencia y el 3 el exponente. Se lee cuatro elevado a la tercera o cuatro elevado al cubo. Las potencias de exponente 2 se dicen al cuadrado. 4. Calcula: 3 2 = 5 3 = 3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = = 7 2 = 2 5 = 8 2 = Página 5 / 20

6 5. Escribe verdadero, (V), o falso, (F), en las siguientes afirmaciones: Cuando al dividir un número por otro el resultado sale un número entero, es decir, la división es exacta, el primer número se llama múltiplo del otro. Por ejemplo: 8 es múltiplo de 4 porque 8: 4 = 2 (La división es exacta) 16 es múltiplo de 4 V 7 es múltiplo de 3 F 9 es múltiplo de 4 10 es múltiplo de 5 21 es múltiplo de 7 18 es múltiplo de 6 22 es múltiplo de es múltiplo de 3 6. Sigue la serie de múltiplos del 3: Cada número es múltiplo también de sí mismo. Por ejemplo, un múltiplo del 8 es también el propio ocho. 3, 6, 9,,,,,,, Sigue la serie de múltiplos del 7: 7, 14,..56 Página 6 / 20

7 8. Escribe Verdadero, (V), o Falso, (F), en las siguientes afirmaciones: Cuando un número A es múltiplo de otro número B, se dice que B es divisor de A, o también que A es divisible por B. Por ejemplo: 4 es divisor de 16 porque 16 es múltiplo de 4. 3 es divisor de 9 V 4 es divisor de 17 F 5 es divisor de 10 7 es divisor de 21 9 es divisor de 18 6 es divisor de 15 Todo número tiene como divisores a sí mismo y a la unidad, por ejemplo, los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y es divisor de 18 8 es divisor de 17 4 es divisor de 12 Página 7 / 20

8 11 es divisor de Calcula y escribe todos los divisores de 8: 1,,, Calcula y escribe todos los divisores de 24: 1,,,,,, 12, Calcula y escribe todos los divisores de 36: 1,,,, 6,,, 18, 36 Página 8 / 20

9 12. Escribe Verdadero, (V), o Falso, (F), en las siguientes afirmaciones: 2 es número primo V Cuando un número solamente es divisible por sí mismo y por la unidad, se dice que es un número primo. Por ejemplo, 7 es un número primo porque sólo admite como divisores al uno y a sí mismo, es decir, no se puede dividir por ningún otro número y que la división tenga por resultado un número entero. 4 es número primo F 5 es número primo 3 es número primo 6 es número primo 2 es número primo 8 es número primo 9 es número primo Página 9 / 20

10 13. Escribe todos los números primos que vayas encontrando y que faltan en los huecos. Ningún número par, salvo el dos, es primo. Debes buscar los primos sólo entre los impares y, aún así, la mayoría de ellos no son primos. 1,,, 5,,, 13,,, 23,, 31,, 41,, 47,, 59,, 67,, Para ver si un número es divisible por 2 basta ver si es par o no. Para que sea divisible por cinco tiene que terminar en 0 o en 5. Para que sea divisible por tres la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de 3. Por ejemplo es divisible por 3 porque = 24, que es múltiplo de 3. 73,, 83, 89, 97, 101. (Fíjate, 91 no es primo porque es igual a 13 x 7). 14. Pon Sí o No si los siguientes números son divisibles por dos: 44 Sí 27 No Página 10 / 20

11 15. Pon Sí o No si los siguientes números son divisibles por cinco: 25 Sí 37 No Pon Sí o No si los siguientes números son divisibles por tres: 252 Sí 320 No Calcula: 2 2 x 3 = 2 x 3 2 = 2 2 x 3 2 = 4 x 9 = x 3 = 3 3 x 5 = Página 11 / 20

12 18. Descompón en factores primos los siguientes números: Muchas veces es muy útil descomponer un número en producto de potencias de factores primos. Esta descomposición es única y se hace así, por ejemplo si cogemos 72: 36 = 24 = 2 3 x 3 16 = Es decir, se va dividiendo por los números primos que se pueda hasta llegar a 1 y después se pone: 72 = 2 3 x = 54 = 81 = 32 = Página 12 / 20

13 19. Calcula todos los divisores de 108: Antes ya estuvimos calculando todos los divisores de un número. 1, 2, 3,,, 36, 54, Calcula todos los divisores de 36: 1, 2, 3,,,,18, Calcula todos los divisores de 72: 1, 2, 3,,,, 36, 72 Página 13 / 20

14 22. Halla el máximo común divisor de: Cuando se toman dos números y se hallan todos los divisores de cada uno, muchas veces tienen en común varios divisores. Al mayor divisor común se le llama máximo común divisor. Por ejemplo si cogemos el 108 y el 72, (ejercicios 18. y 20.), vemos que el máximo común divisor de esos dos números es y 18 Divisores de 12: 1,2,. Divisores de 18: 1,2, Máximo común divisor: 24 y 27 Divisores de 24: 1,2, 3, 4, 6, 12, 24 Divisores de 27: 1,3, 9 27 Máximo común divisor: 3 48 y 36 Divisores de 48: 1,2,. Divisores de 36: 1,2, Máximo común divisor: Página 14 / 20

15 23. Halla el máximo común divisor de: Hay otra forma de hallar el máximo común divisor de dos números: 1) Se descomponen los números en potencias de factores primos. 2) El máximo común divisor es el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. 28 y 21 Descomposición factorial: 28 = 21 = Máximo común divisor = 108 y 72 Descomposición factorial: 108 = 2 2 x = 2 3 x 3 2 Máximo común divisor = 2 2 x 3 2 = 4 x 9 = 36 Página 15 / 20

16 56 y 98 Descomposición factorial: 56 = 98 = Máximo común divisor = 60 y 90 Descomposición factorial: 60 = 90 = Máximo común divisor = Página 16 / 20

17 24. Halla el mínimo común múltiplo de: Antes ya estuvimos calculando múltiplos de algunos números. Si se toman dos números y se van calculando sus múltiplos, al primer múltiplo común que aparece, el más pequeño, se le llama mínimo común múltiplo. Por ejemplo: Múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56.. Múltiplos de 6: 6,12, 24, 30, 36, 42,48 El primer múltiplo común que aparece es 42, luego el mínimo común múltiplo de 6 y 14 es y 15 Múltiplos de 10:. Múltiplos de 15:.. Mínimo común múltiplo de 10 y 15 = 6 y 8 Múltiplos de 6:. Múltiplos de 8:.. Mínimo común múltiplo de 6 y 8 = 14 y 35 Múltiplos de 14:. Múltiplos de 35:.. Mínimo común múltiplo de 14 y 35 = Página 17 / 20

18 25. Halla el mínimo común múltiplo de: Hay otra forma de hallar el mínimo común múltiplo de dos números: 1) Se descomponen los dos números en potencias de factores primos. 2) Se cogen los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. 3) El producto de ellos es el mínimo común múltiplo, (m.c.m.) Por ejemplo, si tomamos 18 y 24: 18 = 2x = 2 3 x 3 m.c.m. (18, 24) = 2 3 X 3 2 = y 18 Descomposición factorial: 12 = 18 = Mínimo común múltiplo = 36 y 54 Descomposición factorial: 36 = 54 = Mínimo común múltiplo = Página 18 / 20

19 26. Halla el máximo común divisor, (m.c.d.), de: RESUMEN - Si hay varias operaciones, primero se calculan las potencias, luego los productos y cocientes y finalmente las sumas y las restas, siempre de izquierda a derecha. - Si hay paréntesis, primero se calcula dentro de los paréntesis. -Calcular una potencia consiste en multiplicar por sí mismo un número llamado base tantas veces como indique el exponente. - Descomponer factorialmente un número es expresar éste como producto de potencias de factores primos y esta descomposición es única. 60 y y y Halla el mínimo común múltiplo, (m.c.m.), de: 14 y y y 33 Página 19 / 20

20 RESUMEN - Para hallar el máximo común divisor de dos números, estos se descomponen en producto de potencias de factores primos y luego se multiplican los factores comunes elevados al menor exponente. - Para hallar el mínimo común múltiplo de dos números, estos se descomponen en producto de potencias de factores primos y luego se multiplican los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 28. Se trata de dividir dos cuerdas de longitudes de 14 y 35 metros en trozos iguales de la mayor longitud posible. a) Cuánto medirá cada trozo? b) En cuantos trozos se dividirá cada cuerda? (Sugerencia: piensa si alguno de los dos conceptos, el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor te puede servir para resolver el problema). Cálculos: Respuesta: a).b). 29. El profesor de Matemáticas hace un control exactamente cada 21 días y el profesor de Lengua cada 14 días. Hoy los dos coincidieron en poner un control. Dentro de cuantos días volverán a coincidir los dos en su control? (Sugerencia: piensa si alguno de los dos conceptos, el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor te puede servir para resolver el problema). Cálculos: Respuesta: Página 20 / 20