CORRELACION Y REGRESION

Transcripción

1 CORRELACION Y REGREION Jorge Galbat Resco e dspone de una muestra de observacones formadas por pares de varables: (x 1, y 1 ), (x, y ),.., (x n, y n ) A través de esta muestra, se desea estudar la relacón exstente entre las dos varables X e Y. Es posble representar estas observacones medante un gráfco de dspersón, como el sguente Tambén se puede expresar el grado de asocacón medante algunos ndcadores, que se verán a contnuacón. MEDIDA DE AOCIACION DE VARIABLE Covaranza entre las varables X e Y. Es una medda de la varacón conjunta. e defne como 1 1 cov( X, Y ) = ( x x)( y y) = n n Puede tomar valores postvos o negatvos. Postvo, sgnfca que ambas varables tenden a varar de la msma forma, hay una asocacón postva. Negatvo, sgnfca que s una aumenta, la otra tende a dsmnur, y vce versa. Covaranza cercana a cero ndca que no hay asocacón entre las varables. xy 1

2 Ejemplo 1 EL CLUB DE ALUD Datos correspondentes a 0 empleados del club de salud de la empresa ABC. X pulsasones or mnuto en reposo Y tempo en correr 1 mlla ( seg) Fuente:. Chatterjee - A. Had: " entvty Analyss n Lnear Regresson" Empleado x y sumas promedos Los promedos de PULACIONE y de TIEMPO son (puls/mn) y (seg), respectvamente. Calcularemos de la covaranza entre estas dos varables:

3 Empleado x y Producto sumas promedos La covaranza entre las varables PULACIONE y TIEMPO es cov(x,y)=39.41 Coefcente de correlacón lneal. La covaraza tene el nconvenente de que su valor no es acotado, por lo que, a partr de él es dfcl juzgar s es grande o pequeña. e defne el coefcente de correlacón, o smplemente correlacón, que es una medda de asocacón lneal ndependente de las undades de medda. Es gual a la covaranza dvdda por las desvacones estándar: cov( X, Y ) ( x x)( y y) corr ( X, Y ) = = = dsx * dsy ( x x) ( y y) xx xy yy El valor de la correlacón entre cualquer par de varables es un número entre -1 y 1. n valor alto de correlacón no ndca que exste alguna relacón de causa-efecto entre las varables. 3

4 Ejemplo 1 (contnuacón) e deben calcular las desvacones estándar. Para ello se deben elevar al cuadrado las observacones centradas y promedar, obtenéndose las varanzas. Las desvacones standard son las raíces cuadradas de éstas. Empleado (x-64.30) (y-38.80) sumas promedos (varanzas) Desv. estándar Para obtener el coefcente de correlacón se debe vvdr la covaranza por el producto de ambas desvacones estándar: corr(x,y)=39.410/(7.356*69.975)=

5 El sguente es un gráfco de dspersón que muestra estos datos. Club de alud Tempo en recorrer 1 mlla Pulsacones por mnuto La nterpretacón del coefcente de correlacón puede lustrarse medante los sguentes gráfcos. 5

6 REGREION LINEAL IMPLE Ahora asumremos que s hay una relacón de causaldad de la varable X (causa) haca la varable Y (efecto). Además, se sabe que esa relacón es de tpo lneal, dentro del rango de los datos. Estableceremos un modelo para explcar la ca usa (Y) en térmnos del efecto (X), del tpo sguente: Y = a + bx + e para = 1,,..., n en que a y b son dos cantdades fjas (parámetros del modelo) y los e son cantdades aleatoras que representan las dferencas entre lo que postula el modelo a + bx y lo que realmente se observa, y. Por esa razón a los e los llamaremos "errores" o "errores aleatoros". e asume que tenen valor esperado 0 y desvacón standard común σ. Ejemplo Venta de automóvles. e pensa que s aumenta el porcentaje de comsón pagada al vendedor de automóvles, aumenta la venta. Estudo sobre 15 concesonaros smlares: X Comsón pagada por ventas (%) Y Ganancas netas por ventas, en un mes determnado (Mllones de $) Concesonaro X Y sumas promedos

7 Representacón de los datos en un gráfco de dspersón: Ganancas netas versus comsones Ganancas (MM$) comsón (%) e puede aprecar la relacón lneal exstente entre ambas varables observadas. Nuestro problema es estmar los parámetros a, b y σ para poder dentfcar el modelo. Para estmar a y b se utlza el método de Mínmos cuadrados, que consste en encontrar aquellos valores de a y de b que hagan mínma la suma de los cuadrados de las desvacones de las observacones respecto de la recta que representa el modelo, en el sentdo vertcal. En la fgura, son los cuadrados de los segmentos vertcales cuya suma de cuadrados se debe mnmzar, para determnar a y b. Estos segmentos representan los errores e del modelo. b se llama pendente de la recta que representa los datos y a se llama 7

8 ntercepto sobre el eje vertcal. La solucón está dada por las sguentes fórmulas: ( x x)( y y) b = = ( x x) a = y b x xy xx Ejemplo (contnuacón) Calculamos los promedos de ambas varables y se las restamos a los valores. Promedo de las X: Promedo de las Y: Cálculo de de las desvacones respecto de las medas, sus cuadrados y productos: Concesonaro X Y (x-xmed) (y-ymed) Prod sumas promedos Entonces, utlzando las fórmulas dadas más arrba, obtenemos los valores de los parámetros del modelo de regresón: b=16.043/39.589=3.184 a= *5.373=-0.96 El modelo, para estos datos, entonces, es 8

9 Y = , 18X + e para =1,,.. 15 Representa una recta, cuyo ntercepto con el eje vertcal es -0.96, y su pendente es 3.18, o sea, s el porcentaje de comsón X aumenta en 1%, la gananca neta Y aumenta en 3.18 Mllones de pesos. Ganancas netas versus comsones Ganancas (MM$) com són (%) VALORE AJUTADO AL MODELO. El modelo de regresón lneal se puede utlzar para obtener valores de Y ajustados al modelo, Los valores puntuales se obtenen medante la fórmula Y = a + bx en que a y b son los valores estmados por el procedmento ndcado anterormente, y X toma los valores de la muestra. Los puntos que representan estos valores en el gráfco de dspersón, yacen sobre la recta. Ejemplo (contnuacón) La tabla sguente contene los valores de Y ajustados, para cada valor de X, además de los valores de Y observados, a modo de comparacón. Los ajustados se obtenen por la fórmula Y = X 9

10 Concesonaro X Y Yajust dferenca sumas promedos e puede observar que el promedo de los valores ajustados es gual al promedo de los valores observados, y que el promedo de las dferencas es cero. La raíz cuadrada del promedo de los cuadrados de las dferencas entre los valores observados y ajustados, es una estmacón de la varanza del error, σ. En el ejemplo, la suma de las dferencas al cuadrado es , luego la estmacón de la desvacón estándar del error es gual a σ = = =.41 Mllones de pesos 15 Coefcente de determnacón. Es una medda de bondad de ajuste del modelos de regresón lneal a los datos. Es deseable que los valores de Y ajustados al modelo, sean lo más parecdos posble a los valores observados. Una medda de lo parecdo que son, es el coefcente de correlacón. e defne el coefcente de determnacón, R, como el cuadrado del coefcente de correlacón entre los valores de Y observados y los valores de Y ajustados. n embargo se puede demostrar que es gual a la sguente expresón: 10

11 R [ ( x x)( y y) ] [ ( x x) ][ ( y y) ] xy = = xx yy El rango de R es entre 0, cero ajuste, hasta 1, ajuste perfecto (cuando los puntos aparecen en un línea recta). Ejemplo (contnuacón) Más arrba se calcularos las sumas de cuadrados y de productos, y deron los sguentes valores: xx = 39.6, yy = 488.3, xy = 16.1 Entonces el coefcente de determnacón es (16.043) R = = * que señala que el ajuste del modelo a los datos es bueno. Ejemplo 3 Los datos sguentes corresponde al Indce de Produccón Físca de la Industra Manufacturera, por agrupacón, de los meses de mayo de 00 y mayo de 003, entregado por el Insttuto Naconal de Estadístcas. Es un índce cuya base 100 es el promedo de produccón de cada agrupacón, en el año

12 Agrupacones Mayo 0 Mayo 03 Fabrcac. de productos almentcos Industras de bebdas Industra del tabaco Fabrcac. de textles Fabrcac. prendas de vestr, excepto calzado Industra del cuero; produc. de cuero y sucedáneos Fabrcac. de calzado, exc. de caucho o plástco Industra de madera y sus productos exc. muebles Fabrcac. de muebles y accesoros, exc. metálcos Fabrcac. de papel y productos de papel Imprentas, edtorales e ndustras conexas Fabrcac. de sustancas químcas ndustrales Fabrcac. de otros productos químcos Refnerías de petróleo Fabrcac. prod. dervados de petróleo y carbón Fabrcac. de productos de caucho Fabrcac. de productos plástcos Fabrcac. de objetos de loza y porcelana Fabrcac. de vdro y productos de vdro Fabrcac. otros productos mnerales no metálcos Industras báscas de herro y acero Industras báscas de metales no ferrosos Fabrcac. prod. metálcos exc. maqunara y equpo Construccón de maqunara, exc. la eléctrca Construccón máq., aparatos y acces. eléctrcos Construccón de materal de transporte Fabrcac. equpo profesonal y artículos oftálmcos Otras ndustras manufactureras El gráfco de dspersón es el sguente: Prod. Físca Industra Manufacturera 600 Indce mayo Indce mayo 00 Cálculos parcales, en que X es el índce mayo 00, Y el índce mayo 003: 1

13 n = 8 x = y = xx yy xy = ( x x) = ( y y) = = 134, ,813.7 = ( x x)( y y) = 154,350.8 Estmacón de los parámetros del modelo: b = xy xx 154,350.8 = = ,913.6 a = y bx = Bondad de ajuste: R = xx xy yy = (154,350.8) (134,913.6) *(187,350.8) = que ndca un muy buen ajuste. El sguente gráfco muestra de recta de regresón estmada: Prod. Físca Industra Manufacturera 600 Indce mayo Indce mayo 00 Predccón por bandas de confanza. e pueden hacer predccones de valores Y para valores X que no están en el conjunto de observacones, dentro o fuera de su rango, utlzando la fórmula de la regresón 13

14 lneal, con los parámetros a y b estmados. Tambén se pueden hacer predccones por ntervalos de confanza vertcales, que tenen la ventaja de proporconar una cuantfcacón del error de predccón. Los ntervalos tenen la propedad de ser de dferente ancho, según el valor de X, sendo más angostos cuando X es gual al promedo, ensanchándose a medda que nos alejamos del promedo. Cuando se sale del rango de los datos, se ensanchan más fuertemente. Esto sgnfca que mentras más nos alejamos del centro de los valores de la varable X, más mprecsas serán nuestras estmacones del valor de la varable Y, lo que parece razonable. unmos los extremos superores (o los nferores) de todos los ntervalos de confanza, se obtenen dos curvas con forma de hpérbola, como se muestra en la fgura: 14

15 El gráfco sguente muestra las bandas de confanza de coefcente 95%, para el ejemplo de la produccón físca manufacturera. Mentras mayor es el coefcente de determnacón R, más angostas son las bandas de confanza; lo msmo mentras mayor es la desvacón estándar de las X, y lo msmo s el tamaño muestral aumenta. Y a medda que nos alejamos del promedo de las X, se ensanchan las bandas. PREGUNTA 1. e tenen dos varables, relaconadas con las publcacones en revstas de profesores unverstaros: X = Número de publcacones. Y = Número de veces que ha sdo ctado. Utlzando regresón lneal, se estmó, en base a una muestra, que estas varables están relaconadas medante el sguente modelo lneal: Y = X Cómo se nterpretan los dos parámetros de este modelo? 15

16 . e tene un conjunto de pares de datos (x,y), a los que se les estma una recta de regresón. La varable ndependente es x, su rango es entre 150 y 30. e hacen dos estmacones de y por ntervalos de confanza de coefcente 95%, una para x=190 y otra para x=50. Cuál es más precsa? 3. La relacón entre el tempo, en días, dedcado a elaborar un proyecto y el costo del proyecto se modeló medante una regresón lneal, estmándose la sguente expresón: costo = * tempo Cómo nterpreta el número 3? Cómo nterpreta el número 0.5? 4. Qué mde el coefcente de determnacón, en un modelo de regresón lneal? 5. Qué ventaja tene el coefcente de correlacón, sobre la covaranza, como meddas de asocacón entre varables? 6. e aplcó regresón lneal para predecr la demanda de un producto, para el próxmo año, utlzando los datos de ses años pasados. Interprete la sguente afrmacón: "La demanda proyectada para el próxmo año será entre 855 y 955 en base a un ntervalo de confanza de coefcente 95%." 7. Qué mde el coefcente de correlacón lneal de dos varables. 8. e tenen dos varables, observadas en trabajadores de la salud: X = años de servco. Y = asgnacones salarales actuales (mles de pesos). Utlzando regresón lneal, se estmó, en base a una muestra, que estas varables están relaconadas medante el sguente modelo lneal: Y = X Cómo se nterpretan los dos parámetros de este modelo? 9. Qué mde el coefcente de determnacón, en una regresón lneal? 16

17 10. e tenen dos varables, observadas en una muestra de estudantes egresados de la enseñanza meda: X = promedo de notas de los cuatro años de enseñanza meda. Y = puntos PU hstora. Utlzando regresón lneal, se estmó, en base a una muestra, que estas varables están relaconadas medante el sguente modelo lneal: Y = X Cómo se nterpretan los dos parámetros de este modelo? 11. Una nsttucón ha encargado una sere de proyectos. Con los datos hstórcos, se quso relaconar los montos de los proyectos con los tempos de ejecucón, obtenéndose los sguentes resultados: Monto (M$) = x Tempo (días) con un coefcente de determnacón R = e tenen dos varables, observadas en una muestra de postulantes a un cargo profesonal: X = promedo de notas de sus años de estudo. Y = puntaje obtendo en una prueba que se les aplcó. Utlzando regresón lneal, se estmó, en base a una muestra, que estas varables están relaconadas medante el sguente modelo lneal: Y = X Cómo se nterpretan los dos parámetros de este modelo? 13. e tene un conjunto de pares de datos (x,y), a los que se les estma una recta de regresón. La varable ndependente es x, su rango es entre 35 y 45. e hacen dos estmacones de y por ntervalos de confanza de coefcente 95%, una para x=40 y otra para x=50. Cuál es más precsa? 14. El costo por días por trabajados en un proyecto está dado por la sguente expresón: El costo Monto (M$) = x Tempo (días), Que se obtuvo ajustando una regresón lneal a un conjunto de datos de proyectos ya realzados. e obtuvo un coefcente de determnacón R = Interprete los valores 46, 35 y