Regresión y Correlación

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1 Regresón Correlacón 1.- El número de turstas (en mllones) entrados en España mensualmente durante los años se epone en la sguente estadístca. Nº Turstas 001,76,6,9 3,8 4,4 4,81 8,93 9,98 5,91 4,34,6 3,65 4,783 5,419 Nº Turstas 00,89,63 3, 3,19 4,5 4,77 8,91 9,99 5,95 4,35,87 3,7 4,7475 5,303 a) Calcular en qué año hubo maor dspersón de turstas por mes. b) Calcular la matrz de covaranzas. c) Calcular el coefcente de correlacón lneal entre los dos años e nterpretarlo..- Se ha tomado un grupo de parejas (con hjos) se les ha preguntado a qué edad tuveron su prmer hjo. La nformacón se recoge en la tabla adjunta ( = edad del padre, = edad de la madre). Se pde: \ a) Estmar medante la recta de regresón, la edad del padre, s la madre tuvo una edad de 5 años. b) Estmar medante la recta de regresón la edad de la madre s el padre tuvo una edad de 5 años. c) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón lneal (r) el coefcente de determnacón (R ). d) Representar el polígono de frecuencas absoluta el polígono de frecuencas absolutas acumuladas de la dstrbucón margnal de los padres. e) Calcular la medana el percentl 90 de la dstrbucón margnal de las madres. f) Qué meda es más representatva. Justfcar la respuesta. 3. La tabla sguente muestra las respectvas estaturas, de una muestra de 1 padres sus hjos maores. Estatura del padre Estatura del hjo A) Calcular Q1, Q3 la medana de las estaturas de los hjos. B) Eplcar cuál de las dos estaturas es más dspersa. C) Hallar e nterpretar el coefcente de correlacón lneal. D) Calcular la recta de regresón de sobre. Varanza eplcada resdual. E) Qué estatura tendrá el hjo maor de un padre que mde 177 cm? U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

2 Regresón Correlacón 4.- La tabla sguente muestra cómo se dstrbue las notas en Matemátcas Físca de 5 estudantes X\Y [0 a 6) [6 a 3) [3 a 38) [38 a 44) [44 a 50) [14 a 0) 1 [0 a 6) 3 1 [6 a 3) 5 [3 a 38) [38 a 44) 1 3 [44 a 50) 1 Sobre la dstrbucón margnal X (Matemátcas) calcular: a) La meda, la cuasvaranza. b) Representar un dagrama de cajas estudar s esten puntos atípcos. Sobre la dstrbucón margnal Y (Físca) calcular: c) La meda, la varanza de la muestra. d) Representar el hstograma de frecuencas absolutas el polígono de frecuencas absolutas acumuladas. Respecto de ambas varables e) Hallar e nterpretar el coefcente de correlacón lneal. f) Calcular el porcentaje de la varacón total de la varable nota de físca que se eplca medante la relacón con la varable nota de matemátcas. g) Hallar la recta de regresón que permte estmar la nota de físca conocda la nota de matemátcas. 5.- De una varable estadístca bdmensonal se conocen los sguentes datos: = 140; = 90; N = 1; 3.5;. = = el coefcente de correlacón lneal r = 0.9. Calcular: A) La recta de regresón de sobre. B) La recta de regresón de sobre. C) El valor de para un valor de =7. D) El punto de nterseccón de las rectas de regresón. E) Varanza resdual. F) Varanza eplcada. G) Coefcente de determnacón. H) Matrz de covaranzas. 6.- De un certo estudo estadístco se sabe, que las rectas de regresón de la varable 4 + = 1 estadístca (X,Y) son que la varanza margnal de la varable Y es = = 1 Hallar: a) El coefcente de correlacón lneal. b) Las medas margnales. c) La varanza margnal de X ( ).d) El valor estmado para sabendo que =0. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

3 Regresón Correlacón 7.-Se han realzado 10 medcones de dstntas dstancas () se ha estmado el correspondente error (), cuos resultados venen reflejados en la sguente tabla de doble entrada: a) Hallar la dstanca meda, el error medo. las varanzas de las varables dstancas errores. b) Hallar ambas rectas de regresón, los coefcentes de regresón, las pendentes de las rectas de regresón el coefcente de correlacón lneal. X Y Se han hallado la velocdad meda la dstanca a la Terra de 10 nebulosas, tal como se ndca en la sguente tabla: , 1,8 3,3 7, 7 9, ,5,9 36,3 La varable representa la velocdad meda en centos de km/s, la varable, la dstanca a la Terra en mllones de parsecs. El parsec equvale a 3,6 años-luz, o sea, es la dstanca a la cual se ve el dámetro de la órbta terrestre bajo un ángulo de 1. Determnar el coefcente de correlacón lneal. 9.- Sea una parcela o porcón de terreno, en la cual se han tomado las coordenadas relatvas de los 1 puntos que se epresan en la tabla: Estaca X Y a) Hallar el ntervalo X ± X. Qué tanto por cento de valores en la varable X quedan dentro de dcho ntervalo? U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

4 Regresón Correlacón Sendo la dstrbucón conjunta (X, Y) b) Calcular la matrz de covaranzas. c) El coefcente correlacón lneal. Interpretarlo d) La recta de regresón de Y sobre X. e) Varanza resdual. f) El coefcente de determnacón. Interpretarlo Se ha preguntado a 10 alumnos las horas de estudo (X) la calfcacón obtenda en + = 1 Estadístca (Y) como resultado obtenemos las rectas de regresón: que = 1 la varanza margnal de la varable Y es =. Se pde: 1 a) El coefcente de correlacón lneal. b) Las medas margnales.c) La covaranza d) Qué tempo tene que dedcar como mínmo para poder aprobar? La ntensdad de corrente I, que se apreca en un amperímetro varía con la fuerza electromotrz aplcada E, de acuerdo con la tabla de datos epermentales adjunta: E I Determnar: a) La matrz de covaranzas. b) El coefcente de correlacón lneal e nterpretarlo. c) La recta de regresón de la varable ntensdad sobre la fuerza electromotrz. Cuál será el valor estmado de la ntensdad para una fuerza electromotrz de 0? 1.- La sguente tabla representa una muestra de 6 valores de una varable estadístca bdmensonal (,) a) Representar el dagrama de dspersón. A la vsta del dagrama de dspersón es lógco adoptar un ajuste lneal. b) Calcular: b1) La matrz de covaranzas. b) El coefcente de correlacón lneal. Interpretarlo. c) Hallar la ecuacón de la recta de regresón lneal estmar el valor de para = 4. d) Calcular d1) La varanza resdual. dla varanza eplcada por el ajuste lneal Los sguentes datos representan los resultados, notas, de una determnada asgnatura (Y) el número de horas de estudo semanales (X) de 16 alumnos. = 96 = 64 = 49 = 657 = 56 Se pde: a) Estmar el modelo de regresón smple que relacona los resultados obtendos con el número de horas dedcadas al estudo. b) Calcule una medda de la bondad del ajuste e nterprete el resultado. c) S un alumno ha estudado 8 horas, qué nota espera obtener en el eamen? U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

5 Regresón Correlacón d) Cuál es el número de horas mínmo que un alumno debe estudar para superar la asgnatura? Consderad que el 5 es el aprobado La sguente tabla ndca los ltros de cerveza venddos en un bar la temperatura (en ºC) en la cudad durante 5 días, temperatura cerveza a) Este correlacón entre la temperatura los ltros de cerveza venddos? b) Hallar e nterpretar el coefcente de determnacón. c) Calcular la varanza resdual del ajuste lneal de (ltros) sobre (temperatura). d) Predecr la cantdad de cerveza que se vendería en este bar un día con una temperatura de 35ºC Los neumátcos subnflados o sobrenflados pueden acelerar el desgaste de los neumátcos aumentar o dsmnur el consumo. Se toma una muestra de tamaño 14 resultando: L: lbras por pulg M : mllas L: lbras por pulg M : mllas a) Hallar la matrz de covaranzas. b) Los coefcentes de correlacón lneal (r) de determnacón (R ). Interpretarlos. c) Calcular la recta de regresón de L/M d) Calcular la varanza resdual 16.- Conocdas la meda artmétca la varanza de cada una de las varables asocadas a una dstrbucón bdmensonal, X =3, Y =, =6, =8 de la que se conoce, además, la recta de regresón de Y sobre X, +3-1=0. Obtener el coefcente de correlacón lneal la recta de regresón de X sobre Y Sea la dstrbucón conjunta de la varable = número de habtacones de un pso con respecto a la varable = preco de alquler en euros. \ Se pde: a) Dstrbucones margnales de las varables e. b) Moda medana de las varables e. c) Centro de gravedad de la dstrbucón conjunta. d) Recta de regresón de sobre. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

6 Regresón Correlacón e) Coefcente de correlacón lneal. f) S dsponemos de 600 euros Cuál es el maor número de habtacones de un pso de alquler que podemos consegur? 18.- A partr del dagrama de dspersón Se pde: a) Coefcente de correlacón lneal. b) Recta de regresón de sobre. c) S = qué valor se puede estmar para la varable? d) Representar las rectas de regresón sobre el dagrama de dspersón En una undad de pedatría, se obtuveron los sguentes datos respecto a los pesos edades de los nños atenddos. Peso Edad en años en klos a) Obtener la medana del peso en klos. b) Qué dstrbucón tene maor dspersón relatva? c) S un nño tene años pesa 10 kg, qué percentl representa entre los nños de años? d) Hallar el sesgo de la dstrbucón de peso en klos. e) Hallar el coefcente de correlacón lneal. Interpretarlo. f) S un nño tene un año cuál será su peso estmado? g) S un nño pesa 10 klos cuántos años se estma que tendrá? U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

7 Regresón Correlacón 1.- El número de turstas (en mllones) entrados en España mensualmente durante los años se epone en la sguente estadístca. Nº Turstas 001,76,6,9 3,8 4,4 4,81 8,93 9,98 5,91 4,34,6 3,65 4,783,366 Nº Turstas 00,89,63 3, 3,19 4,5 4,77 8,91 9,99 5,95 4,35,87 3,7 4,7475,3066 a) Calcular en qué año hubo maor dspersón de turstas por mes. b) Calcular la matrz de covaranzas. c) Calcular el coefcente de correlacón lneal entre los dos años e nterpretarlo. Solucón: X a),366 CV(001) = = 0,4905. X 4, 783,3066 CV(00) = = 0, Y 4, 7475 La dspersón en el año 001 es un poco maor. b) n 1611,5 XY 4,783 4,7475 4,7475 n 1 = = = 5, 419 5,3438 Σ= = 5,3438 5,303 c) r = = 5,3438,366,3066 0,996. La correlacón lneal es drecta cas perfecta U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

8 Regresón Correlacón.- Se ha tomado un grupo de parejas (con hjos) se les ha preguntado a qué edad tuveron su prmer hjo. La nformacón se recoge en la tabla adjunta ( = edad del padre, = edad de la madre). Se pde: a) Estmar medante la recta de regresón, la edad del padre, s la madre tuvo una edad de 5 años. b) Estmar medante la recta de regresón la edad de la madre s el padre tuvo una edad de 5 años. c) Calcular e nterpretar el coefcente de correlacón lneal (r) el coefcente de determnacón (R ). d) Representar el polígono de frecuencas absoluta el polígono de frecuencas absolutas acumuladas de la dstrbucón margnal de los padres. e) Calcular la medana el percentl 90 de la dstrbucón margnal de las madres. f) Qué meda es más representatva. Justfcar la respuesta. Solucón: \ n. n. n.(-m) n.j n.jj Y = 9,87 X = 8 =1,87 n.j(j-m) 590,78 35,98 107,08 0,43 55,65 =5,1 f) = 8 = 4, 68 CV()=0,17 = 9,87 = 5, 01 CV()=0,17 Las dos medas, son gual de representatvas, a que, los coefcentes de varacón son guales. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

9 Regresón Correlacón \ covaranza 18,13 a) Recta de regresón de sobre : X= ( Y) 18,13 = = 0,83 + 3,4 = 0, ,4 = 4 1,87 ( 8) ( 9,87) b) Recta de regresón de sobre : Y= ( X) 18,13 = = 0,7 + 9,66 = 0, ,66 = 7,7 5,1 ( 9,87) ( 8) c) r = = 0,77, por tanto, la relacón lneal es drecta pero no demasado buena. R = 0,6, el ajuste no es demasado bueno. d) Polígonos de frecuenca, absoluta absoluta acumulada de la dstrbucón margnal padres e) Medana; 8 60 M = 9 + = 30,75 Percentl 90; P90 = 33+ = 35, U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

10 Regresón Correlacón 3. La tabla sguente muestra las respectvas estaturas, de una muestra de 1 padres sus hjos maores. Estatura del padre Estatura del hjo A) Calcular Q1, Q3 la medana de las estaturas de los hjos. B) Eplcar cuál de las dos estaturas es más dspersa. C) Hallar e nterpretar el coefcente de correlacón lneal. D) Calcular la recta de regresón de sobre. Varanza eplcada resdual. E) Qué estatura tendrá el hjo maor de un padre que mde 177 cm? Solucón: A) S ordenamos la varable de menor a maor N 3 4 = Q1 = 17 ; n N N 9 4 = Q3 = ; N 6 = M = X = = 173.5; = = = Y = = = CV() = = = = = = CV() B) La estatura de los padres es más dspersa por tener su coefcente de varacón maor = = C) r = = Drecta D) Recta de regresón de sobre : X= ( Y) = ( ).5764 ( X) ( Y) , U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 10

11 = Regresón Correlacón La varanza eplcada R = La varanza resdual o no eplcada,5764 0, = (1 R ) = r,5764 ( 1 0, 688 ) E) Recta de regresón de Y sobre X: Y= ( X) = ( 173.5) ó = S la estatura del padre es =177 susttuendo en la ecuacón anteror se obtene = U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

12 Regresón Correlacón 4.- La tabla sguente muestra cómo se dstrbue las notas en Matemátcas Físca de 5 estudantes X\Y [0 a 6) [6 a 3) [3 a 38) [38 a 44) [44 a 50) [14 a 0) 1 [0 a 6) 3 1 [6 a 3) 5 [3 a 38) [38 a 44) 1 3 [44 a 50) 1 Sobre la dstrbucón margnal X (Matemátcas) calcular: a) La meda, la cuasvaranza. b) Representar un dagrama de cajas estudar s esten puntos atípcos. Sobre la dstrbucón margnal Y (Físca) calcular: c) La meda, la varanza de la muestra. d) Representar el hstograma de frecuencas absolutas el polígono de frecuencas absolutas acumuladas. Respecto de ambas varables e) Hallar e nterpretar el coefcente de correlacón lneal. f) Calcular el porcentaje de la varacón total de la varable nota de físca que se eplca medante la relacón con la varable nota de matemátcas. g) Hallar la recta de regresón que permte estmar la nota de físca conocda la nota de matemátcas. Solucón: ,8 a) X = = 31, 64, S = = 51, b) = 6.833, Q = 36,75,1.5* IQR Q1 3 = 1 1.5*1QR = 11,96, Q + 1.5* IQR = 51,65, M = 31 Q , c) 911 Y = = 36, = = 35,366 5 d) U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

13 e) r = Regresón Correlacón f) R = ,198% g) Recta de regresón de Y sobre X: Y= ( X) = ( 31.64) U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 10

14 Regresón Correlacón 5.- De una varable estadístca bdmensonal se conocen los sguentes datos: = 140; = 90; N = 1; = 3.5; =. el coefcente de correlacón lneal r = 0.9. Calcular: A) La recta de regresón de sobre. B) La recta de regresón de sobre. C) El valor de para un valor de =7. D) El punto de nterseccón de las rectas de regresón. E) Varanza resdual. F) varanza eplcada. G) Coefcente de determnacón. H) Matrz de covaranzas Solucón: X = = = ; N Y = = = ; N 1 a) Recta de regresón de sobre : Y= ( X) r = = = 0,9 = 6,93 3,5, 15 6,93 35 = 3,5 3 = 0, ,9 b) Recta de regresón de sobre : X= ( Y) 35 6,93 15 = 3, = 1, , c) El valor de se obtene de la recta de regresón de sobre = = d) El punto de nterseccón corresponde al centro de gravedad: ( X,Y ) = 35 15, 3 e) Depende de la recta de regresón Para la recta de regresón de sobre La varanza resdual o no eplcada Para la recta de regresón de sobre La varanza resdual o no eplcada = (1 R ) = r 3,5 ( 1 0,9 ),375 = (1 R ) = r, ( 1 0,9 ) 0,9196 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 11

15 f) La varanza eplcada La varanza eplcada R = R = Regresón Correlacón 3,5 0,9 9,95, 0,9 3,904 g) R = r = 0,9 = 0,81 Es bastante fable, pues eplca el 81% de la varacón entre las varables. h) 4,84 6,93 Σ= = 6,93 1, 5 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

16 Regresón Correlacón 6.- De un certo estudo estadístco se sabe, que las rectas de regresón de la varable 4 + = 1 estadístca (X,Y) son que la varanza margnal de la varable Y es = = 1 Hallar: a) El coefcente de correlacón lneal. b) Las medas margnales. c) La varanza margnal de X ( ). d) el valor estmado para sabendo que =0. Solucón: Buscaremos los coefcentes de regresón despejando e : 1 = 4 + = = = ( ) = > + = 5 5 = 5 5 r b b 1 Imposble! Entonces 1 1 = 4 + = = = = < + = 3 6 = 3 3 r b b 1 a) 5 5 r = r =± -0, Correlacón nversa mu fuerte b) 4 + = = 1 1 X = 1 Y = c) b 1 1 1/ 5 b = = = = = = = = d) Debemos utlzar la recta de regresón de sobre para pode predecr el valor de : = = 0= U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 13

17 Regresón Correlacón 7.- Se han realzado 10 medcones de dstntas dstancas () se ha estmado el correspondente error (), cuos resultados venen reflejados en la sguente tabla de doble entrada: a) Hallar la dstanca meda, el error medo. las varanzas de las varables dstancas errores. b) Hallar ambas rectas de regresón, los coefcentes de regresón, las pendentes de las rectas de regresón el coefcente de correlacón lneal. Solucón: X\Y 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 n. X n. X n. 0, ,03 0,0003 0, ,04 0,0008 0, ,09 0,007 0, ,08 0,003 n.j ,4 0,007 Y jn.j 0,4 0,4 0,6 0,4 0,50,3 Y j n.j 0,04 0,08 0,18 0,16 0,5 0,71 0,05 0,05 0,06 0,04 0,04 0,4 0,005 0,01 0,018 0,016 0,0 0,07 RESULTADOS: X Y m1 0,04 0,3 m 0,0007 0,071 0, ,0181 m11 0,0069 0,00138 r 0,9115 a) Dstanca meda Error medo m n 0, 4 n = X= = = 0,04 ; m n,3 n = Y= = = 0, 3 Varanzas: n 0,007 m0 X X 0, 04 ( ) ( ) = = = = n 10 0,00014 n 0,71 m0 Y Y 0, 3 ( ) ( ) = = = = 0,0181 n 10 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 14

18 Covaranza: Regresón Correlacón n 0,069 = m11 XY = XY = 0,04 0, 3 = n 10 0,00138 b) Rectas de regresón Recta de regresón de sobre : Y= ( X) 0, = = 11, , ( 0, 3) ( 0, 04) Recta de regresón de sobre : X= ( Y) ( 0, 04) ( 0, 3) 0, = = 0, , 0181 Los coefcentes de regresón b = = 11,19035 b = = 0, Las pendentes: b = tgα= α= 84º 51'56'' 1 b = = β= 85º 38'4'' tgβ El coefcente de correlacón lneal: r b b =± = = 0,9115 Correlacón fuerte drecta U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 15

19 Regresón Correlacón 8.- Se han hallado la velocdad meda la dstanca a la Terra de 10 nebulosas, tal como se ndca en la sguente tabla: , 1,8 3,3 7, 7 9, ,5,9 36,3 La varable representa la velocdad meda en centos de km/s, la varable, la dstanca a la Terra en mllones de parsecs. El parsec equvale a 3,6 años-luz, o sea, es la dstanca a la cual se ve el dámetro de la órbta terrestre bajo un ángulo de 1. Determnar el coefcente de correlacón lneal. Solucón: Medas: * 6 1, 7, 36 1,44 9 1,8 16, 81 3,4 4 3,3 79, , , 73, , ,1 436, , ,5 1087, ,5 118,9 70, , ,3 7114, ,69 sumas ,3 1611, ,57 momentos 61, 11,43 161,15 67,6 37,57 covaranza 561, ,16 106,611 coefcentes de regresón: 0, , X n 61 n 10 = = = 61, ; Y n 114,3 n 10 = = = 11,43 Varanzas: n 676 m 0 X X 61, ( ) ( ) = = = = n ,16 n 37,57 m0 Y Y 11, 43 ( ) ( ) = = = = 106,611 n 10 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 16

20 Covaranza: Regresón Correlacón n 1611,5 = m11 XY = XY = 61, 11,43 = n ,634 Los coefcentes de regresón: b 561, 634 = = = 0, ,16 b 561, 634 = = = 106, 611 5, Coefcente de correlacón lneal: r =± b b = 0, , ,996. La correlacón lneal es drecta cas perfecta U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 17

21 Regresón Correlacón 9.- Sea una parcela o porcón de terreno, en la cual se han tomado las coordenadas relatvas de los 1 puntos que se epresan en la tabla: Estaca X Y c) Hallar el ntervalo X ± X. Qué tanto por cento de valores en la varable X quedan dentro de dcho ntervalo? Sendo la dstrbucón conjunta (X, Y) d) Calcular la matrz de covaranzas. c) El coefcente correlacón lneal. Interpretarlo d) La recta de regresón de Y sobre X. e) Varanza resdual. f) El coefcente de determnacón. Interpretarlo. Solucón: X Y XY X Y U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 18

22 Regresón Correlacón a) X ± X Sumas = 1 X = = = 33,5833; 1 = ( ) = X = 33,58333 = 3, 4097 n 1 X X [ ] X, X + = , , 4097 = 7.89,39.76 Resultan 9 de los 1 valores de X Tenemos el 75% de los valores = Y = 6, 75 = 74, n 1 = 1 b) ( ) 1 n 5770 XY 33, , 75 40, n 1 = 1 = = = 3, , Σ= = 40, , c) r = = 40, , , ,8196 por tanto, la relacón lneal es drecta buena d) Recta de regresón de sobre : Y= ( X) ( 6, 75) ( 33,583) e) La varanza resdual o no eplcada 40,146 = = 1,15 + 1,387 3, 4097 = (1 R ) = r 74, 008 ( 1 0,8196 ) 49,79 f) R = 0, ,18% es el porcentaje de la varacón total de las que se eplca medante la relacón con U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 19

23 Regresón Correlacón 10.- Se ha preguntado a 10 alumnos las horas de estudo (X) la calfcacón obtenda en + = 1 Estadístca (Y) como resultado obtenemos las rectas de regresón: que = 1 la varanza margnal de la varable Y es = 1. Se pde: a) El coefcente de correlacón lneal. b) Las medas margnales.c) La covaranza d) Qué tempo tene que dedcar como mínmo para poder aprobar? Solucón: a) Buscaremos los coefcentes de regresón despejando e : 1 1 = + + = = = = < + = 5 10 = r b b 1 Entonces 3 3 r = r =± 0,54776<0, Correlacón drecta mu débl. No se acepta el ajuste. b) + = = 1 1 X = 7 4 Y = 7 c) b 3 3 3/5 1 = = = = b = = = = 6 5 d) No podemos predecr el valor de la Y. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 0

24 Regresón Correlacón La ntensdad de corrente I, que se apreca en un amperímetro varía con la fuerza electromotrz aplcada E, de acuerdo con la tabla de datos epermentales adjunta: E Determnar: a) La matrz de covaranzas. I b) El coefcente de correlacón lneal e nterpretarlo. c) La recta de regresón de la varable ntensdad sobre la fuerza electromotrz. Cuál será el valor estmado de la ntensdad para una fuerza electromotrz de 0? Solucón: E I La meda para cada varable es: E = = 15.5; I = = 3 n n Para el cálculo de varanzas covaranzas, podemos formar la tabla E I E E I I ( E E) ( I I) ( E E) ( I I) SUMAS 91, E EI a) Para obtener la matrz de covaranza aplcamos = EI I b) Para calcular el coefcente de correlacón aplcamos la sguente ecuacón: EI rei = = rei = 0, 767, por tanto, la correlacón es postva (a maor E I fuerza electromotrz maor ntensdad, además es buena el modelo eplca el 76,7% La recta de regresón de I/E es: I I= ( E E ) I = 0,5511E 5, 404 E c) Para un valor de E = 0 esperamos una ntensdad de 0, = 5,6176 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1

25 Regresón Correlacón 1.- La sguente tabla representa una muestra de 6 valores de una varable estadístca bdmensonal (,) c) Representar el dagrama de dspersón. A la vsta del dagrama de dspersón es lógco adoptar un ajuste lneal. d) Calcular: b1) La matrz de covaranzas. b) El coefcente de correlacón lneal. Interpretarlo. c) Hallar la ecuacón de la recta de regresón lneal estmar el valor de para = 4. d) Calcular d1) La varanza resdual. dla varanza eplcada por el ajuste lneal. Solucón: a) Los puntos parecen estar prómos a una recta, por tanto, es lógco efectuar un ajuste lneal. b) En prmer lugar calculamos las medas varanzas margnales de la muestra, así como la covaranza muestral. X =.5; S = 3.5 S 1.87; Y 3.43; S 4.19; S.05; S 3.7 La matrz de covaranzas vene dada por: S S = S S El coefcente de correlacón lneal es r S 3.7 = = La relacón entre X S S e Y es mu buena, además nos ndca que a maor valor de la varable X maor valor para la varable Y (correlacón drecta). c) La ecuacón de la recta de Y sobre X es: S 3.7 Y = ( X) 3.43 = (.5) = S 3.5 El valor estmado para cuando = 4 es = = 5.01 d) En la recta de Y/X la varanza resdual o no eplcada es Sr = S (1 R ) = 4.19(1 0.94) 0.4 La varanza eplcada es gual a la varanza total menos la varanza no eplcada. S = S S = = 3.95, o ben eplcada r S = S R = eplcada U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

26 b) r a) Regresón Correlacón 13.- Los sguentes datos representan los resultados, notas, de una determnada asgnatura (Y) el número de horas de estudo semanales (X) de 16 alumnos. = 96 = 64 = 49 = 657 = 56 Se pde: e) Estmar el modelo de regresón smple que relacona los resultados obtendos con el número de horas dedcadas al estudo. f) Calcule una medda de la bondad del ajuste e nterprete el resultado. g) S un alumno ha estudado 8 horas, qué nota espera obtener en el eamen? h) Cuál es el número de horas mínmo que un alumno debe estudar para superar la asgnatura? Consderad que el 5 es el aprobado. Solucón: = 1 96 = 1 64 X = = = 6; Y = = = 4 n 16 n = ( ) = X = -6 = 5, 065 n = 1 56 ( ) = Y = 4 = 16,875 n n 49 = XY = 6 4 = 6,75 n 16 La ecuacón de la recta de Y sobre X es: 6,75 4 Y= ( X) 4= ( 6) = 4 5, ,75 = = 5, ,875 0, por tanto, la relacón lneal es drecta buena 4 c) S =8 horas, entonces = 8 4 6, 6 3 d) Recta de regresón de X sobre Y: X= ( Y) e =5 6,75-6 = ( 5 4) = 6, 4 horas 16,875 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

27 Regresón Correlacón 14.- La sguente tabla ndca los ltros de cerveza venddos en un bar la temperatura (en ºC) en la cudad durante 5 días, temperatura cerveza a) Este correlacón entre la temperatura los ltros de cerveza venddos? b) Hallar e nterpretar el coefcente de determnacón. c) Calcular la varanza resdual del ajuste lneal de (ltros) sobre (temperatura). d) Predecr la cantdad de cerveza que se vendería en este bar un día con una temperatura de 35ºC. Solucón: ( ) ( ) , = 3,44; = 31,04; = 6,44 r = = 0, a) El coefcente de correlacón lneal es mu prómo a 1, luego este correlacón drecta entre la temperatura los ltros de cerveza venddos b) = = R 0,9781 0, ,5% se eplca por el modelo c) En la recta de Y/X la varanza resdual o no eplcada es = (1 R ) = 31,04(1 0,945) r 133,5 d) Para predecr los ltros de cerveza se utlza la recta de regresón de sobre, es decr, = + b ( ) = 01, 4 + 9, 66041(35 33, 4) = 16,857 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

28 Regresón Correlacón 15.- Los neumátcos subnflados o sobrenflados pueden acelerar el desgaste de los neumátcos aumentar o dsmnur el consumo. Se toma una muestra de tamaño 14 resultando: a) Hallar la matrz de covaranzas. b) Los coefcentes de correlacón lneal (r) de determnacón (R ). Interpretarlos. c) Calcular la recta de regresón de L/M d) Calcular la varanza resdual Solucón: a) L 4 ; LM b) rlm L M M 13.7 ; LM 0.88 el dagrama de dspersón. L: lbras por pulg M : mllas L: lbras por pulg M : mllas M la correlacón lneal es mala negatva como podemos observar en S ajustamos una recta R = 0.019, la proporcón de varanza eplcada por la recta es mu pequeño, deberíamos ntentar otro tpo de ajuste. c) La ecuacón de la recta pedda es = R e L d) La varanza resdual es Mllas Dagrama de dspersón = 0, ,35 R² = 0, Lbras U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

29 Regresón Correlacón 16.- Conocdas la meda artmétca la varanza de cada una de las varables asocadas a una dstrbucón bdmensonal, X =3, Y =, =6, =8 de la que se conoce, además, la recta de regresón de Y sobre X, +3-1=0. Obtener el coefcente de correlacón lneal la recta de regresón de X sobre Y. Solucón: Al ser la recta de regresón de Y sobre X despejamos: = + 4 b = = = = r = = = 0,57 correlacón mala Recta de regresón de X sobre Y: X= ( Y) 4 3= 8 ( ) 1 = + 4 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

30 Regresón Correlacón 17.- Sea la dstrbucón conjunta de la varable = número de habtacones de un pso con respecto a la varable = preco de alquler en euros. \ Se pde: a) Dstrbucones margnales de las varables e. b) Moda medana de las varables e. c) Centro de gravedad de la dstrbucón conjunta. d) Recta de regresón de sobre. e) Coefcente de correlacón lneal. f) S dsponemos de 600 euros Cuál es el maor número de habtacones de un pso de alquler que podemos consegur? Solucón: \ n. n. n n.j jn.j jn.j RESULTADOS: X Y m1 3, , m 1, varanzas 0, , m , covaranza 51, r 0, a) Dstrbucón margnal de : n Dstrbucón margnal de : n.j b) Moda () = 3; Moda () = (100,150) Medana () n. N U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

31 La medana de es 3 Medana () Regresón Correlacón n.j N.j La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N 75 = = 37,5 ( 14, 41) que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas por tanto ha nterpolar en el ntervalo (50,100). N 75 N 1 a Me = e 1+ = = 935,185 n 7 c) Centro de gravedad: ( X,Y ) =, =, ( 3.41,883.3 ) d) Recta de regresón de sobre : X= ( Y) e) = = = n XY 51,56 N n = ( Y) = = 14, N ,56 = ( 33,583) = , , 51,56 r = = 0, 3 0, , prómo a cero. f) g) No se puede predecr.. El ajuste es malo por ser un valor U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

32 18.- A partr del dagrama de dspersón Regresón Correlacón Se pde: a) Coefcente de correlacón lneal. b) Recta de regresón de sobre. c) S = qué valor se puede estmar para la varable? d) Representar las rectas de regresón sobre el dagrama de dspersón. Solucón: X = = = 1, 5 ; = X = 1,5 = 1, 5 N 4 N Y= j = = 3; = j Y = 3 = 1, 5 N j 4 N j = j XY = 1, 5 3 = 1, 5 N 4 a) r j 1, 5 = = 1, 5 1,5 0, Ajuste drecto mu bueno. b) La recta de regresón de Y sobre X: 1, 5 Y = ( X) 3 = ( 1.5) 1, 5 c) La recta de regresón de sobre : 1, 5 X = ( Y) 1.5 = ( 3) 1, 5 Para un valor de = se obtene = (5/6) 3-1=3/ d) = = 5/6-1 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

33 Regresón Correlacón 18.- En una undad de pedatría, se obtuveron los sguentes datos respecto a los pesos edades de los nños atenddos. Peso Edad en años en klos a) Obtener la medana del peso en klos. b) Qué dstrbucón tene maor dspersón relatva? c) S un nño tene años pesa 10 kg, qué percentl representa entre los nños de años? d) Hallar el sesgo de la dstrbucón de peso en klos. e) Hallar el coefcente de correlacón lneal. Interpretarlo. f) S un nño tene un año cuál será su peso estmado? g) S un nño pesa 10 klos cuántos años se estma que tendrá? Solucón \ n. n. n n.j jn.j j n.j jnj RESULTADOS: X Y m1 11, m 13 7,3 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 30

34 Regresón Correlacón 11 1, CV 0, , m11 9, , r 0,79413 a) Para obtener la medana de la varable escrbmos la dstrbucón margnal de : n. N n/=30; b) Medas = 1 M=8+(30-10)*4/4=11, = n. = n 60 = ; 5 1 = n j. j n j= 1 = 14, = Varanzas 1 5 = n. n = = = ; = j n. j n j= = = 1, Coefcente de varacón 11 1, CV ( ) = = 0,30 ; CV ( ) = = 0,55. La edad de los nños. 11, c) La dstrbucón de frecuencas acumuladas para el total de 13 nños con años es: n N U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 31

35 Regresón Correlacón Tenendo en cuenta que el peso de 10 kg es justamente la mtad del ntervalo (8,1) le corresponde la mtad de 9, es decr, la frecuenca absoluta acumulada es +9/=6,5 sobre el total de 13. Justamente el 50%. Percentl 50 o medana. µ 3 d) Sesgo o coefcente de asmetría g 1 = 3 ( ) n. (-meda) 3 n sumatoro μ 3-4, X n. N 4, 4 g1 = = 0, ( 11) Asmétrca por la zquerda. n e) = XY = 11 = 3, 43 N , 43 r = = 0,79. El ajuste es bueno drecto por ser un valor 11 1, superor a 0,7 f) La recta de regresón de sobre permte determnar los valores de para valores conocdos de : X= ( Y ) 3, = =, , , Para =1 se obtene un peso de =, , = 8, kg g) La recta de regresón de sobre permte determnar los valores de para valores conocdos de : Y= ( X ) 16 3, 43 = ( 11) = 0, , Para =10 se obtene un peso de = ,0663=, años U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3

36 Coefcente de varacón de Pearson Es el cocente de la desvacón típca la meda. CV X Es sempre postvo no este s la meda vale cero. Es frecuente epresarlo en tanto por cento. Es ndependente de la undad que se utlce, pues no tene undades por tanto nos permte comparar la dspersón de dos dstrbucones que tengan undades dferentes, o que tengan medas mu dstntas. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 7

37 Matrz de covaranzas Llamamos matrz de covaranzas, a la matrz cuadrada smétrca que tene en la dagonal prncpal las varanzas margnales, fuera de la dagonal prncpal S S las covaranzas, es decr ; que es smétrca, pues S S S S. O ben Se llama varanza generalzada al valor SS S 0 mde apromadamente el área ocupado por el conjunto de datos. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 18

38 Coefcente de correlacón lneal Coefcente de correlacón lneal es la meda geométrca de los coefcentes de regresón b b. r bb r El coefcente de correlacón lneal es un número abstracto es ndependente de las undades utlzadas en las varables, cuo sgno es el de la covaranza, a que las varanzas son postvas, comprenddo entre U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 7

39 1:00:48]

40 Recta de regresón de sobre Es el ajuste por mínmos cuadrados, a una recta. abx (Y) que es la ecuacón de la recta de regresón de sobre. Esta recta permte calcular, apromadamente, los valores de dados los de. Interpretacón geométrca. Mv (1a b 1)... ( N a b N) e 1... en MÍNIMA como e ab error horzontal o dstanca horzontal ( teórco) j * j Una vez construdas las rectas de regresón, la pendente de la de sobre es maor que la correspondente a la recta de regresón de sobre. = a + b,, = a + b U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 168

41 Coefcente de determnacón Es el porcentaje de varanza eplcada por la recta de regresón su valor sempre estará entre 0 1 sempre es gual al cuadrado del coefcente de correlacón. Es una medda de la promdad o de ajuste de la recta de regresón a la nube de puntos. Tambén se le denomna bondad del ajuste. 1-R nos ndca qué porcentaje de las varacones no se eplca a través del modelo de regresón. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 7

42 Polígono de frecuencas Polígono de frecuencas de una varable dscreta, sn agrupar: es una línea que se obtene unendo los etremos superores de las barras en el dagrama de barras. frecuenca (absoluta o relatva) ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 Para varables estadístcas agrupadas en ntervalos de clase. El polígono de frecuencas es una línea que se obtene unendo los puntos medos de las bases superores (los techos) de cada rectángulo en el hstograma. De forma que empece acabe sobre el eje de abscsas, en el punto medo del que sería el ntervalo anteror al prmero el últmo respectvamente. 0 1 k k+1 U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 158

43 Polígono de frecuencas acumuladas Para varables estadístcas sn agrupar en ntervalos de clase. Representamos en el eje de abscsas los dstntos valores de la varable estadístca. Levantamos sobre cada uno de ellos un perpendcular cua longtud será la frecuenca (absoluta, N, o relatva, F ) acumulada correspondente a ese valor. De esta forma aparece un dagrama de barras crecente. Trazando segmentos horzontales de cada etremo de barra a cortar la barra stuada a su derecha se obtene el dagrama o polígono de frecuencas acumuladas. 40 N Para varables estadístcas agrupadas en ntervalos de clase. En el eje de abscsas representamos los dstntos ntervalos de clase de una varable estadístca que han de estar naturalmente solapados. Sobre el etremo superor de cada ntervalo se levanta una línea vertcal de longtud equvalente a la frecuenca (absoluta o relatva) acumulada del msmo. Se obtene así un dagrama de barras crecente, que unendo sus etremos da lugar al polígono de frecuencas acumuladas. Alcanzará su máma altura en el últmo ntervalo, que tendrá de frecuenca N ó 1 según se trate de frecuencas acumuladas absolutas o relatvas. N N e e e e e k U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 155

44 Dstrbucón margnal Dstrbucón margnal de la varable "" son los valores que toma dcha varable con sus respectvas frecuencas en la dstrbucón conjunta de la varable bdmensonal (,) n.. 1 n1. n n r nr. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 63

45 Medana Medana de un trángulo es el segmento que une un vértce con el punto medo del lado opuesto. Medana de un trángulo esférco es el arco de crcunferenca máma que une un vértce con el punto medo del lado opuesto. En Estadístca: La medana es el valor de la varable que ocupa el lugar central, es decr, que la mtad de la poblacón es menor la otra mtad es maor que él. La medana es un valor M tal que F(M)=1/, se defne así como raíz de una ecuacón. Para las varables estadístcas se ordenan en forma crecente, dejando gual número de observacones nferores que superores a ella. a) En las dstrbucones sn agrupar, en general, no tene solucón, puesto que la funcón F() varía por saltos: 1) S nngún valor posble corresponde a F( )=1/ se convene en consderar 1 como medana el valor tal que: F( 1) F ( ) ) S uno de los valores corresponde a F( ) 1 (lo que ocurre solamente s el total N de la poblacón es par) la medana está ndetermnada entre los valores +1. El ntervalo (, +1 ) se denomna medano, o ben llamamos medana al punto medo de dcho ntervalo. b) En las agrupadas pueden darse dos casos: INTERVALO n N e 0 -- e 1 1 n 1 N 1 e 1 -- e n N e j- e j-1 j-1 N j-1 N j-1 e j-1 -- e j j n j N j e k-1 -- e k k n k N 1) N concde con uno de los recogdos en la columna de frecuencas acumuladas, por ejemplo N j, en este caso la medana es e j. ) N está entre N j1 N j. La medana se encontrará en el ntervalo ( e, e ). La medana será M e j1 h por nterpolacón lneal se obtene h. Ampltud del ntervalo: a = e j e j-1 nj a N N ( N j1) a ( N j1) a N h M ej 1 N j1 h n j n j j1 j

46 Cuantles Cuantl de orden es un valor de la varable estadístca que deja a su zquerda una parte de la poblacón a la derecha una parte 1- de la poblacón. El Cuantl de orden (0 1) es tal que F( )=. Sendo F la funcón de dstrbucón o la frecuenca relatva acumulada. Los más utlzados son los cuartles Q1, Q Q3 que dejan a su zquerda 1/4, 1/ 3/4 de la poblacón respectvamente. Obsérvese que Q = M (Medana). Los decles D1, D,..., D9 dejan a su zquerda 1/10, /10,..., 9/10 de la poblacón respectvamente. Los percentles P1, P,..., P99 dejan a su zquerda 1/100, /100,... 99/100 de la poblacón respectvamente. El cálculo de los msmos es smlar al cálculo de la medana. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 33

47 Varanza resdual La varanza resdual se defne como la varanza de los errores o resduos Varanza resdual de una varable aleatora X con respecto a otra Y es gual a la varanza de Y por (1-r ), sendo r el coefcente de correlacón lneal entre ambas varables. 1 La varanza resdual o no eplcada r ( * j) nj n,j Sendo el valor ajustado o teórco= * (1 r ) U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 168

48 Varanza eplcada En la recta de regresón de la Y sobre X la varanza total de la varable Y puede descomponerse en dos partes una parte eplcada por la regresón (la varanza de la regresón) otra parte no eplcada (la varanza resdual). La varanza eplcada, será la obtenda por el producto de la varanza de Y por el coefcente de determnacón R. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 01

49 Meda artmétca La meda de una varable estadístca es la suma ponderada de los valores posbles por sus respectvas frecuencas: X k k n f N 1 N = valores que toma la varable o marca de clase. f = frecuencas relatvas. n = frecuencas absolutas. N = número total de la poblacón o muestra. Relacón entre las medas armónca, geométrca artmétca: HG X La meda o esperanza matemátca de una varable aleatora es: E = E = n PX ( ) 1 para una varable dscreta fnta. k 1 n m E.f ().d cuando la varable es contnua con funcón de densdad f(). Meda armónca Medda de tendenca central de una varable estadístca es el cocente entre el tamaño de la muestra la suma de los cocentes de las frecuencas por los N valores de las correspondentes de la varable: H k n 1 = valores que toma la varable o marca de clase. f = frecuencas relatvas. n = frecuencas absolutas. N = número total de la poblacón o muestra. Relacón entre las medas armónca, geométrca artmétca: HG X Meda cuadrátca Medda de tendenca central de una varable estadístca es la raíz cuadrada de la suma ponderada de los cuadrados de los posbles valores de la varable multplcados por sus respectvas frecuencas: k k n MC f 1 1N Meda geométrca Medda de tendenca central de una varable estadístca que resulta de la raíz n- ésma del producto de los valores posbles de la varable, elevados a a sus N n1 n nk respectvas frecuencas: G k = valores que toma la varable o marca de clase. f = frecuencas relatvas. n = frecuencas absolutas. N = número total de la poblacón o muestra. Relacón entre las medas armónca, geométrca artmétca: HG X U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 136

50 La varanza muestral vene dada por: Varanza muestral o cuasvaranza ( X) ( X) N N 1 1 S, es decr: S N 1 N 1 N N 1 Nótese que para N sufcentemente grande la dferenca entre S es mu pequeña. k k U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 07

51 Dagrama de cajas o Bo-plot Se construe sólo para varables cuanttatvas. Pasos a segur: Se dbuja un rectángulo cuos etremos son Q 1 Q 3 se ndca la poscón de la medana medante una línea vertcal. Tambén se ndca la meda medante una cruz (+). Se dbuja una línea desde cada etremo del rectángulo hasta el valor más alejado no atípco. Se calculan los límtes de admsón (barreras o bgotes) L I =Q 1-1,5 (Q 3 - Q 1 ) L S =Q 3 +1,5 (Q 3 - Q 1 ) Se marcan todos los datos consderados como atípcos (outlers) son los que quedan fuera de los límtes de admsón se ndcan medante un círculo. Esten otros valores atípcos más graves (atípcos etremos) que superen 3 veces el rango ntercuartlíco se representan por cruces (). S no hubese nngún dato atípco las barreras llegarían hasta el valor mínmo mámo. Q 1 Q = M Q 3 + Q 1-1,5(Q 3 -Q 1 ) Q 3 +1,5(Q 3 -Q 1 ) U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 56

52 Hstograma En un hstograma se representan las frecuencas de una varable estadístca medante áreas. De tal forma que un hstograma es un conjunto de rectángulos que tenen como base los ntervalos de clase cua superfce son las frecuencas (absolutas o relatvas). Por tanto las alturas son proporconales a las frecuencas, será el cocente entre la frecuenca la ampltud del ntervalo Donde cada rectángulo puede ser: n a f a n f e -1 e e -1 e U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 114

53 Varanza Varanza o momento de segundo orden respecto de la meda en una varable estadístca es la meda de los cuadrados de las desvacones a la meda: k ( X) n 1 N = valores de la varable o marcas de clase. La varanza de una varable aleatora es el momento de segundo orden respecto a la meda: E n P(X ) para una varable dscreta fnta. 1 V = V = densdad f()..f().d cuando la varable es contnua con funcón de Varanza eplcada En la recta de regresón de la Y sobre X la varanza total de la varable Y puede descomponerse en dos partes una parte eplcada por la regresón (la varanza de la regresón) otra parte no eplcada (la varanza resdual). La varanza eplcada, será la obtenda por el producto de la varanza de Y por el coefcente de determnacón R. La varanza muestral vene dada por: S N N 1 Varanza muestral o cuasvaranza, es decr: S N ( X) ( X) 1 1 N 1 N N 1 Nótese que para N sufcentemente grande la dferenca entre S es mu pequeña. Varanza resdual La varanza resdual se defne como la varanza de los errores o resduos Varanza resdual de una varable aleatora X con respecto a otra Y es gual a la varanza de Y por (1-r ), sendo r el coefcente de correlacón lneal entre ambas varables. 1 La varanza resdual o no eplcada r ( * j) nj n (1r ),j Sendo el valor ajustado o teórco= * k k U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 07

54 Coefcente de regresón El coefcente de regresón de la varable con respecto a la varable, es la pendente de la recta de sobre, por consguente, el sentdo de crecmento o decrecmento, así como el grado de varacón, vene determnado por el sgno el valor del coefcente de regresón b. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 7

55 Covaranza recbe el nombre de covaranza, de gran mportanca práctca, se defne como la meda artmétca de los productos de las desvacones de la varable con respecto a su meda artmétca, X, por las desvacones de la varable con respecto a la meda artmétca, Y. r s ( X)(jY)nj N 1 j1 De la msma forma que en el caso de la varanza, se defne la covaranza muestral por: r s ( X)( jy) nj S S N sendo. N 1 N 1 1 j1 U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía

56 Moda Moda es el valor de la varable que se presenta con más frecuenca dentro de la dstrbucón. En las dstrbucones sn agrupar se observa drectamente el valor de maor frecuenca. En las agrupadas, defnmos la clase modal como la que tene maor frecuenca. NOTA: Algunas dstrbucones pueden presentar varas modas. Cada moda corresponde a un mámo absoluto del dagrama de barras o hstograma. Para varables aleatoras La moda es el mámo de la funcón de densdad o de la funcón de probabldad U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 118

57 Centro de gravedad Las dos rectas de regresón Y b ( X), X b ( Y) se cortan en un punto, que es precsamente el ( XY,, ) llamado, por su naturaleza de promedo, centro de gravedad de la dstrbucón. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa Cartografía 1