Matrices triangulares y matrices ortogonales

Transcripción

1 Matrices triangulares y matrices ortogonales Problemas para examen Matrices diagonales 1. Sea a R n. Se denota por diag(a) la matriz diagonal con entradas a 1,..., a n : diag(a) = [ a j δ j,k ] n j,k=1. 2. Producto por componentes de dos vectores. Sean a, b R n. Denotemos por a b al vector cuyas componentes son los productos de las componentes correspondientes de a y b: a b = [ a j b j ] n j=1. 3. Operaciones con matrices diagonales. Sean a, b R n, λ R. Haga las siguientes operaciones con matrices diagonales (enuncie y demuestre las fórmulas): Matrices triangulares diag(a) + diag(b), λ diag(a), diag(a) diag(b). 4. Denotemos por ut n (R) al conjunto de las matrices triangulares superiores y por lt n (R) al conjunto de las matrices triangulares inferiores: { } ut n (R) := A M n (R): i, j {1,..., n} i > j A i,j = 0 ; lt n (R) := { } A M n (R): i, j {1,..., n} i < j A i,j = 0. Encuentre la intersección ut n (R) lt n (R). 5. Producto de matrices triangulares superiores. Sean A, B ut n (R). Demuestre que AB ut n (R). Enuncie y demuestre la fórmula para las entradas del producto AB. 6. Programación: producto de matrices triangulares superiores. Escriba una función que calcule el producto de matrices triangulares superiores aprovechando su estructura. En otras palabras, hay que omitir las operaciones con las entradas que son nulas por la definición de matriz triangular superior. Calcule el número de flops. 7. Producto de matrices triangulares inferiores. Sean A, B lt n (R). Demuestre que AB lt n (R). Enuncie y demuestre la fórmula para las entradas del producto AB. 8. Programación: producto de matrices triangulares inferiores. Escriba una función que calcule el producto de matrices triangulares inferiores aprovechando su estructura. En otras palabras, hay que omitir las operaciones con las entradas que son nulas por la definición de matriz triangular superior. Calcule el número de flops. Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 1 de 8

2 Invertibilidad de matrices triangulares 9. Criterio de invertibilidad de matrices triangulares inferiores. Sea L lt n (R). Demuestre que L es invertible j {1,..., n} L j,j Si una matriz triangular inferior es invertible, entonces su inversa también es triangular inferior. Sea L lt n (R). Supongamos que L es invertible. Demuestre que L 1 lt n (R). 11. Criterio de invertibilidad de matrices triangulares superiores. Sea U ut n (R). Demuestre que U es invertible j {1,..., n} U j,j Si una matriz triangular supeior es invertible, entonces su inversa también es triangular superior. Sea U ut n (R). Supongamos que U es invertible. Demuestre que U 1 ut n (R). Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 2 de 8

3 Definición de matrices ortogonales 13. Invertibilidad de matrices cuadradas por la izquierda y por la derecha. Sea A M n (R). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) A es invertible por la izquierda, es decir, existe una matriz B M n (R) tal que BA = I n. (b) A es invertible por la derecha, es decir, existe una matriz C M n (R) tal que AC = I n. (c) A es invertible, es decir, existe una matriz D M n (R) tal que AD = I n y DA = I n. 14. Definición (matriz ortogonal). Una matriz Q M n (R) se llama ortogonal si Q Q = I n QQ = I n. El conjunto de las matrices ortogonales de orden n se denota por O(n, R): O(n, R) := { Q M n (R): Q Q = I n QQ = I n }. 15. Sea Q M n (R). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) Q Q = I n y QQ = I n. (b) Q Q = I n. (c) QQ = I n. 16. Otra forma de la definición de matriz ortogonal. Una matriz Q es ortogonal si y sólo si es invertible y Q 1 = Q. 17. Grupo de matrices ortogonales. Demuestre que O(n, R) es un grupo: Si A, B O(n, R), entonces AB O(n, R). I n O(n, R). Si A O(n, R), entonces A 1 O(n, R). 18. Determinante de matrices ortogonales. Sea Q O(n, R). Demuestre que det(q) = 1 det(q) = 1. Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 3 de 8

4 Criterio de matriz ortogonal en términos de sus renglones y columnas 19. Entradas del producto Q Q. Sea Q M n (R) y sean i, j {1,..., n}. Calcule (Q Q) i,j. Primero escriba (Q Q) i,j como cierta suma, luego como el producto-punto de ciertas columnas de Q. 20. Entradas del producto QQ. Sea Q M n (R) y sean i, j {1,..., n}. Calcule (QQ ) i,j. Primero escriba (QQ ) i,j como cierta suma, luego como el producto-punto de ciertos renglones de Q. 21. Nota (bases ortonormales). Si a 1,..., a n son algunos vectores ortonormales del espacio R n, entonces a 1,..., a n forman una base de R n. 22. Teorema: Criterio de matriz ortogonal en términos de renglones y columnas. Sea Q M n (R). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: Q es una matriz ortogonal. los renglones de Q forman una base ortonormal de R n : i, j {1,..., n} Q i,, Q j, = δ i,j. las columnas de Q forman una base ortonormal de R n : i, j {1,..., n} Q,i, Q,j = δ i,j. Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 4 de 8

5 Criterio de matriz ortogonal en términos del producto interno, norma y distancia 23. Escriba la definición del producto interno canónico (producto-punto) en R n. 24. Escriba la definición de la norma euclidiana en R n. Exprese la norma euclidiana a través del producto-punto. 25. Escriba la definición de la distancia canónica (euclidiana) en R n. Exprese la distancia euclidiana a través de la norma euclidiana. 26. Identidades de polarización. Recuerde cómo expresar un producto interno a través de la norma inducida por este mismo producto interno. 27. Recuerde cómo expresar una norma por la distancia inducida por esta misma norma. 28. Teorema: criterio de matriz ortogonal en términos del producto interno, norma y distancia. Sea Q M n (R). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (a) Q O(n, R). (b) Q preserva el producto interno de vectores: x, y R n Qx, Qy = x, y. (c) Q preserva la norma euclidiana de vectores: x R n Qx 2 = x 2. (d) A preserva la distancia euclidiana entre vectores: x, y R n d 2 (Ax, Ay) = d(x, y). 29. Recuerde la definición de la norma de Frobenius de una matriz. 30. Multiplicación por una matriz ortogonal preserva la norma de Frobenius. Sea A M n (R) y sea Q O(n, R). Entonces QA F = A F y AQ F = A F. Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 5 de 8

6 Rotaciones del plano 31. Escriba la definición de la matriz de rotación R α. 32. Enuncie y demuestre la fórmula para el producto R α R β. 33. Calcule Rα. 34. Calcule R α R α. 35. Demuestre que R α O(n, R). 36. Sean c, s R tales que c 2 + s 2 = 1. Explique cómo calcular un número α R tal que c = cos(α), s = sen(α). Considere varios casos y use la función arctan. 37. Sea A O(n, R) tal que det(a) = 1. I. Demuestre que existen c, s R tales que c 2 + s 2 = 1 y [ ] c s A =. s c II. Demuestre que existe un número α R tal que [ cos(α) sen(α) A = sen(α) cos(α) ]. 38. Rotación de Givens en el caso de dos dimensiones. Sea [ ] x1 x = R 2. Encuentre algunos números c, s R tales que c 2 + s 2 = 1 x 2 y [ c s s c ] [ x1 x 2 ] = [ x 2 0 ]. Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 6 de 8

7 Proyección ortogonal a una recta 39. Proyección ortogonal unidimensional. Sea v R n \{0 n }. Sea x R n. Demuestre que existe un único número α R tal que x αv v. En esta situación el vector αv se denota por pr v (x). 40. Matriz de la proyección ortogonal unidimensional. Sea v R n \{0 n }. Muestre que la función x pr v (x) es un operador lineal y calcule su matriz P v. 41. Rango de la proyección ortogonal unidimensional. Sea v R n \{0 n }. Demuestre que el rango de la matriz P v es Matriz de la proyección ortogonal es la misma para dos vectores que generan a la misma recta. Sea v R n \ {0 n } y sea λ R \ {0}. Demuestre que P λv = P v. 43. Propiedades de la proyección ortogonal a una recta. Sea v R n \ {0 n }. Demuestre las siguientes propiedades de la matriz P v : 1. P 2 v = P v. 2. P v = P v. Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 7 de 8

8 Reflexiones ortogonales (reflexiones de Householder) 44. Sea v R n \ {0 n }. Sea x R n. Deduzca una fórmula para la reflexión ortogonal del vector x con respecto al hiperplano perpendicular al vector v. Denotemos por H v a la matriz del operador lineal correspondiente. Exprese H v en términos de P v. 45. Propiedades de la matriz de reflexión de Householder. Sea v R n \ {0 n }. Demuestre las siguientes propiedades de la matriz H v : 1. H 2 v = I n. 2. H v = H v. 3. H v O(n, R). 46. Sea v R n \ {0 n } y sea λ R \ {0}. Demuestre que H λv = H v. 47. Sobre las diagonales de un rombo. Sean a, b R n tales que a 2 = b 2. Demuestre que a + b a b. 48. Sean a, b R n tales que a 2 = b 2 0. Construya un vector v R n \ {0 n } tal que H v a = b. 49. Sea x R n \ {0 n } tal que x x 2 e 1. Construya un vector v R n \ {0 n } tal que v 1 = 1 y H v x = [ x 2, 0,..., 0 ]. Matrices triangulares y ortogonales. Problemas para examen, página 8 de 8