10. 1 Definición de espacio euclídeo.

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA MATEMATICAS 10. ESPACIOS EUCLÍDEOS Definición de espacio euclídeo. Producto escalar en un espacio vectorial. Dado un espacio vectorial E sobre R, consideremos la aplicación: Es decir, a cada par representar en la forma: le asigna un escalar de R, al cual se le suele Diremos que es un producto escalar (también llamado producto interno ) si cumple las tres siguientes propiedades:. Es decir, un producto escalar es cualquier aplicación f: ExE ---> R que sea bilineal, simétrica y definida positiva. CONSECUENCIAS: Espacio vectorial euclídeo: Un espacio vectorial E, de dimensión n, se llama espacio vectorial euclídeo n- dimensional si en E se halla definido un producto escalar.

2 Ejemplo: Para el espacio vectorial n-dimensional R n se puede definir: Que como fácilmente se comprueba se trata de un producto escalar, llamado producto escalar canónico Expresión matricial de un producto escalar. Sea E un espacio vectorial de dimensión n, y sea una base de este espacio. Una vez conocidos los n productos escalares,, con i, j = 1,..., n, podemos dar una expresión del producto escalar: Considerando los dos vectores: Entonces su producto escalar vendrá expresado por: lo cual en notación matricial queda expresado: siendo G = (g ij ) i,j = 1,...,n La matriz G se llama matriz métrica del producto escalar en la base B. Se trata de una matriz simétrica definida positiva. Atención: La matriz G asociada al producto escalar canónico de R n es la matriz identidad de orden n Norma de un vector. Se llama norma de un vector, representada como, a la raíz cuadrada del producto escalar : Como puede apreciarse la norma de un vector es un número real. (Nota: Hay varias formas de definir la norma de un vector, aquí nosotros utilizamos la más útil para la geometría).

3 Propiedades de la norma: * Vector unitario. Se dice que un vector es unitario o normalizado si es 1., es decir, su norma Consecuencia: Para un vector cualquiera,, supongamos que no sea unitario, siempre podemos extraer un vector unitario de la siguiente manera: Ejemplo: Sea R n con el producto escalar canónico. Para un vector cualquiera, podemos expresar: A partir de él podemos extraer el vector unitario: Coseno del ángulo formado por dos vectores.. Sean dos vectores (no nulos) de un espacio euclídeo E. El ángulo que forman estos dos vectores,, queda caracterizado por su coseno, que por definición es:

4 * Cosenos directores. Se llaman cosenos directores de un vector, en la base a los cosenos de los ángulos: para i = 1, 2,..., n Vectores ortogonales y ortonormales. Dado un espacio vectorial euclídeo E, se llaman vectores ortogonales aquellos cuyo producto escalar sea nulo: Cuando todos los vectores de un sistema son ortogonales dos a dos, se dice que es un sistema ortogonal. Si además los vectores del sistema son unitarios, se dice que es un sistema ortonormal. Un sistema ortonormal cumple: Ejemplo: En R n con el producto escalar canónico, la base canónica es un sistema ortonormal. PROPOSICIÓN: Todo sistema ortonormal es libre. Demostración: Sea S =, un sistema ortonormal. Si S no es libre no todos nulos tal que Si ahora multiplicamos escalarmente a esta expresión por e i : * Cuando el número de vectores de un sistema ortonormal coincide con la dimensión de E, dicho sistema es una base ortonormal de E.

5 10. 6 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Sea una base cualquiera, se trata de determinar a partir de ella otra base que sea ortogonal. Se procede de la siguiente manera: Donde los coeficientes se determinan de tal forma que cada vector v sea ortogonal al resto de vectores. De esta manera: De manera análoga para hallar se toman las dos condiciones siguientes:, y por tanto: De una manera genérica se llega a la expresión: Con esto se consigue una base de vectores ortogonales. Si ahora dividimos a cada uno de ellos por su norma habremos obtenido una base de vectores ortonormales. (para i = 1,..., n)

6 EJEMPLO: Sea R 3 con el producto escalar euclídeo, y sea la base B = { (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0) }. A partir de esta base hallemos una base ortonormal por el método de Gram-Schmidt. Solución: Simplemente seguimos los pasos arriba indicados: A continuación se normalizan estos tres vectores: que nos dan los tres vectores de la base ortonormal Subespacio ortogonal. Sea E un espacio vectorial euclídeo, se dice que dos subespacios de E, digamos U y V, son ortogonales si cualquier vector de uno de ellos es ortogonal a todos los vectores del otro. Dado un subespacio el conjunto:

7 Se llama subespacio ortogonal de U. Para estos subespacios se cumple que: Si además la dimensión de E es finita se verifica también: Producto mixto. Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3 (por ejemplo R 3 ), y sean cuyas coordenadas sean respectivamente: Se llama producto mixto al número: expresados en cierta base ortonormal B. Propiedades: 1. El producto mixto es una forma lineal respecto de cada una de sus tres componentes (forma trilineal), es decir, se cumple: 2. El producto mixto es una forma antisimétrica, es decir 3. La condición implica que el sistema es ligado.

8 10. 8 Producto vectorial. Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3 (por ejemplo R 3 ), y sean dos vectores de E, cuyas coordenadas en una base ortonormal sean: Se define el producto vectorial,, como el vector: Propiedades: