Notas de Cálculo Avanzado I y II. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

Transcripción

1 Notas de Cálulo Avanzado I y II Rihard G. Wilson Departamento de Matemátias, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa Marzo del 2005

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3 Contenido 1 La onstruión de los Números Reales Los Números Enteros Los números raionales Cotas Cortaduras de Dedekind Operaiones on ortaduras Suesiones Operaiones on suesiones Subsuesiones Series Convergenia absoluta La topología de la reta real Compaidad Conexidad Funiones ontinuas Propiedades de funiones ontinuas Continuidad Uniforme Límites laterales La integral de Riemann La integral indefinida El Teorema del valor medio (para integrales) La Derivada Propiedades básias de la derivada El Teorema del Valor Medio Derivadas de orden superior

4 4 CONTENIDO 8 La antiderivada y la integral de Riemann Integrales impropias Curvas retifiables El Teorema de Taylor Una apliaion del Teorema de Taylor Suesiones y series de funiones Series de Funiones Series de Potenias Las Series de Taylor y de Malaurin Series de Fourier

5 Capítulo 1 La onstruión de los Números Reales Nuestro objetivo en este apitulo es una definiión formal del onjunto de los números reales, empezando on el onjunto de los enteros. 1.1 Los Números Enteros Se denota por Z, el onjunto de los enteros. Z = {..., n, n + 1,..., 1, 0, 1, 2, 3,..., n,... } on las operaiones binarias (+) y ( ), que representan la adiión y la multipliaión, respetivamente. En lo que sigue, si m, n Z, esribiremos mn en vez de m n. El onjunto Z es un grupo bajo la operaión de adiión, lo que signifia que 1) Si m, n Z, entones m + n Z, 2) Existe una identidad, ı Z tal que ı + n = n para ada n Z (ı = 0), 3) Para ada n Z existe un elemento n Z tal que n + ( n) = ı (el elemento n se llama el inverso aditivo de n), y 4) La operaión de adiión es asoiativa, es deir, k + (m + n) = (k + m) + n. Pregunta: Es Z un grupo bajo la operaión de multipliaión? Asumiremos que los enteros ya estan definidos. (En el urso de La Teoría de Conjuntos se definirá formalmente el onjunto de los enteros.) El onjunto P de los elementos positivos de Z se define por: P Z = {1, 2, 3,..., n,... } y en base a esta definiión de los positivos se puede definir un orden, < en Z por m < n n m = n + ( m) P Z. 5

6 6 CAPÍTULO 1. LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Formalmente, un orden (no estrito) en un onjunto X es una relaión en X (es deir, un subonjunto de X X) que satisfae las siguientes ondiiones: 1) (x y y y z) x z (transitividad), 2) Para ada x, x x (reflexividad), 3) Para ada x, y X, (x y y y x) x = y (antisimetría). A partir de un orden no estrito se puede definir un orden estrito <, omo sigue: a < b a b pero a b. Un orden estrito es transitivo (pero no reflexivo ni antisimétrio). Un orden en X es un orden total (o un orden lineal) si para ada a, b X, tenemos a b o b a. El orden en Z es un orden total. 1.2 Los números raionales Se define formalmente el onjunto Q por Q = {(m, n) : m, n Z y n 0} donde se identifian las parejas ordenadas (m, n) y (p, q) si mq = np. En notaión matemátia, esribimos (m, n) (p, q) mq = np y entones se puede esribir Q = {(m, n) : m, n Z y n 0}/ lo que en palabras signifia que Q onsiste en un ierto subonjunto de las parejas ordenadas de Z on la identifiaión. Cuando esribimos un número raional, normalmente usamos la notaión p q en vez de (p, q). Así es que la identifiaión de (m, n) on (p, q) si mq = np es simplemente la identifiaión de dos quebrados iguales. Por ejemplo: 2 Se identifia (2, 3) on (4, 6) pues 2 6 = 3 4 y obviamente 3 = 4 6. El onjunto Q tiene dos operaiones, las de adiión y multipliaión, denotadas por + y las uales se definen por: (m, n) + (p, q) = (mq + np, nq) y (m, n) (p, q) = (mp, nq). Tarea: Verifiar que estas definiiones oiniden on las operaiones de adiión y multipliaión de los quebrados.

7 1.2. LOS NÚMEROS RACIONALES 7 Se define el subonjunto de positivos P Q de Q por: P Q = {(m, n) : mn P Z }, y un orden en Q por (m, n) < (p, q) (p, q) + ( m, n) P Q. Lema Entre ualquier par de raionales distintos, hay otro número raional; es deir, si (m, n), (p, q) Q y (m, n) < (p, q), entones existe (r, s) Q tal que (m, n) < (r, s) < (p, q). Demostraión: Sea (r, s) = (m, 2n) + (p, 2q); demostraremos que (r, s) es el número raional deseado. Para demostrar que (m, n) < (r, s), debemos probar que (r, s) (m, n) = (r, s) + ( m, n) P Q. Tenemos que Por lo tanto, (m, 2n) + (p, 2q) = (2qm + 2np, 4nq) (qm + np, 2nq). (m, 2n) + (p, 2q) + ( m, n) = (qm + np, 2nq) + ( m, n) = (qmn + n 2 p + 2( m)nq, 2n 2 q) = (n 2 p qmn, 2n 2 q) (np qm, 2nq) y debemos demostrar que este número raional es un elemento de P Q. Pero (m, n) < (p, q) y por lo tanto (p, q) + ( m, n) P Q. Es deir, (pn qm, qn) P Q, lo ual por definiión quiere deir que (pn qm)qn P Z. Por lo tanto, (pn qm)2nq P Z, lo ual implia que (pn qm, 2qn) P Q, es deir, (m, n) < (r, s). Un argumento semejante demuestra que (r, s) < (p, q), así terminamos la demostraión. Tarea: Demostrar que (r, s) < (p, q). Corolario Entre dos números raionales distintos hay un número infinito de números raionales. Demostraión: Tarea.

8 8 CAPÍTULO 1. LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 1.3 Cotas Definiión Se die que A Q es aotado superiormente (respetivamente, aotado inferiormente) si existe (p, q) Q tal que (a, b) (p, q) (respetivamente (p, q) (a, b)) para ada (a, b) A. Un subonjunto de Q es aotado si es aotado superior e inferiormente. Si (p, q) (a, b) para ada (a, b) A, entones se die que (p, q) es una ota superior de A. Si (p, q) (a, b) para ada (a, b) A, entones se die que (p, q) es una ota inferior de A. Definiión Sea A Q un subonjunto aotado superiormente; se die que (p, q) es el supremo de A (esrito sup(a)) si a) (p, q) es una ota superior de A, y b) Si (r, s) es una ota superior de A entones (p, q) (r, s). En otras palabras, el supremo de A (si existe) es la ota superior más pequeña. Si p = sup(a) A, deimos que p es el elemento máximo de A. Definiión Sea A Q un subonjunto aotado inferiormente; se die que (p, q) es el ínfimo de A (esrito inf(a)) si a) (p, q) es una ota inferior de A, y b) Si (r, s) es una ota inferior de A entones (p, q) (r, s). En otras palabras, el ínfimo de A (si existe) es la ota inferior más grande. Si p = inf(a) A, deimos que p es el elemento mínimo de A. Ejemplo es el supremo (en Q) de los onjuntos {x Q : x < 0} y {x Q : x 0}; 0 es el elemento máximo de {x Q : x 0}, pero {x Q : x < 0} no tiene elemento máximo. En lo suesivo usaremos p, q, r, s, et. para denotar números raionales. Ahora vamos a demostrar que existen subonjuntos aotados superiormente en Q que no tienen supremos. Primero neesitamos un lema. Lema Si r Q y r 2 < 2, entones existe s Q, s > r y s 2 < 2. Demostraión: Si r 2 < 2, entones (2 r2 ) es raional y positivo. Ponemos 10 s = r + (2 r2 ) ; laramente s Q y demostraremos que s 2 < Un simple álulo algebraio produe: ( 2 s 2 = 2 r + (2 ) 2 ( r2 ) = (2 r 2 ) 1 r 10 5 (2 ) r2 ) 100

9 1.4. CORTADURAS DE DEDEKIND 9 y puesto que r 2 < 2 y r debe tener un valor entre 2 y 2, vemos que ambos términos a la dereha son positivos, así hemos demostrado que 2 s 2 > 0. Lema El onjunto A = {q Q : q 2 < 2} no tiene supremo en Q. Demostraión: Por el lema si A tuviera supremo, digamos a Q, entones neesariamente a 2 = 2. Demostraremos que esto es imposible. Supongamos que tal a existe, digamos a = p donde p, q Z y no tienen fatores q omunes. Tenemos p 2 p 2 = q q 2 = 2 y por lo tanto p2 = 2q 2. Esto implia que p 2 es par. Pero si p 2 es par, p debe ser par también, pues el uadrado de ualquier impar es impar. Si p es par, se puede esribir en la forma p = 2r y por lo tanto, (2r) 2 = 2q 2. Pero esto implia que 4r 2 = 2q 2, es deir q 2 = 2r 2. Esto en su turno demuestra que q es par, una ontradiión, pues asumimos que p y q no tienen fatores omunes. 1.4 Cortaduras de Dedekind Ahora, vamos a usar los números raionales para onstruir los números reales. Estos van a tener la propiedad de que ada subonjunto aotado superiormente tiene un supremo. Definiión Un subonjunto A Q es una ortadura de Dedekind si ı) A Q, ıı) A no tiene elemento máximo, y ııı) Si q A y p < q, entones p A. Ejemplo A = {x Q : x < 0} es una ortadura de Dedekind. Lema Si A es una ortadura de Dedekind y q A, entones q es una ota superior de A. Demostraión: Tarea. Lema Si q Q, entones A = {x Q : x < q} es una ortadura de Dedekind. Demostraión: Tarea. Lema Si A y B son ortaduras de Dedekind, entones A B o B A.

10 10 CAPÍTULO 1. LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Demostraión: Si A B, entones podemos esoger p A \ B. Por el lema 1.4.3, p es una ota superior de B. Por lo tanto, q B q < p q A, así hemos demostrano que B A. Corolario A B si y sólo si existe p Q tal que p B \ A. Demostraión: La impliaión es obvia. Inversamente, si p B \ A, entones B A y el resultado se sigue del lema Operaiones on ortaduras Supongamos que A y B son ortaduras, entones: Definiiones: 1) Se define la suma de A y B por A + B = {p + q : p A, q B}. 2) A = {q Q : q es una ota superior pero no el supremo de A}. 3) Una ortadura A es positiva si 0 A. A es no negativa si A es positiva o A = {q Q : q < 0}. 4) Si A, B son no negativas, se define AB = {r Q : r es negativa o r = pq donde p, q 0 y p A, q B}. Se puede verifiar diretamente que para ualquier par de ortaduras A, B, A + B = B + A y si A y B son no negativas, AB = BA. Ahora nuestro objetivo es demostrar que A + B y AB son ortaduras. Lema Si A i es una ortadura para ada i I, entones {A i : i I} es una ortadura o es igual a Q. Demostraión: Tarea. Lema Si A es una ortadura y b Q, entones a) A + b = {a + b : a A} es una ortadura, y b) Si A es no negativa y b > 0, entones Ab = {ab : a A} es una ortadura. Demostraión: a) Debemos demostrar que A + b umple on las tres propiedades de una ortadura. ı) Puesto que A, tenemos A + b. Puesto que A Q, tenemos q Q \ A y por lo tanto, q + b Q \ (A + b).

11 1.5. OPERACIONES CON CORTADURAS 11 ıı) Supongamos que q = sup(a + b) A + b; entones q = r + b para algún r A. Por eso, para ada a A, a + b r + b, lo ual implia que a r para ada a A. Por lo tanto, r = sup(a) A, lo que ontradie que A es una ortadura. ııı) Si q A + b y p < q, entones q = a + b para algún a A. Pero p < q implia que q = p + r donde r es positivo (r P Q ). Por eso, p = q r = a + b r = (a r) + b. Puesto que A es una ortadura, a A y a r < a, tenemos que a r A, lo ual implia que (a r) + b A + b. b) Debemos demostrar que Ab umple on las tres propiedades de una ortadura. ı) Tarea. ıı) Asumimos que b > 0 y que q = sup(ab) Ab; entones q = rb para algún r A. Por eso, para ada a A, ab rb, y puesto que b > 0, esto implia que a r para ada a A. Por lo tanto, r = sup(a) A, lo que ontradie que A es una ortadura. ııı) Puesto que 0 A, si p 0, entones p A y por lo tanto si q 0, q = ( q )b Ab. Si q Ab y 0 < p < q, entones q = ab para algún a A. b Pero p < q implia que q = pr donde r > 1. Por eso, p = q r = ab r = (a r )b. Puesto que A es una ortadura, a A y a r < a, tenemos que a A, lo ual r implia que p = ( a )b Ab. r Teorema Si A y B son ortaduras, también lo es A + B. Demostraión: El onjunto A + B = {A + b : b B} y ahora se sigue de los lemas 1.5.1,1.5.2 a), que A + B es una ortadura o es Q. Para demostrar que A + B Q, sean q A una ota superior de A y q B una ota superior de B; puesto que A y B son ortaduras, q A A y q B B. Si q A + q B A + B, entones existen a A y b B tales que q A + q B = a + b. Pero esto implia que q A a = b q B, lo ual es una ontradiión pues q A a es positiva, mientras b q B no lo es. Por lo tanto, q A + q B A + B, así hemos demostrado que A + B Q. Teorema Si A y B son ortaduras no negativas, entones AB es una ortadura. Demostraión: Supongamos que x AB; entones x ( 0 o x = ab para x ) algún 0 < a A y 0 < b B. Si x 0, entones x = b y puesto que b x b 0, x A, lo ual implia que x Ab. b Por otro lado, si x = ab, entones x Ab también. Por lo tanto, AB = {Ab : b B, b 0}.

12 12 CAPÍTULO 1. LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Por los lemas 1.5.1,1.5.2 b), AB es una ortadura o es igual a Q. Para ver que AB Q, esojemos otas superiores q A y q B de A y B respetivamente; notemos que A y B son ortaduras no negativas y por lo tanto q A A y q B B y además, q A, q B 0. Si q A q B AB, deben existir raionales no negativos a A y b B tales que q A q B = ab. Pero a < q A, b < q B y q A a = b,lo ual es una ontradiión. q B Definiión Si A es una ortadura positiva, se define { } 1 A 1 = {x : x es negativa} p : p > sup(a). Lema Si A es una ortadura positiva, entones A 1 es una ortadura. Demostraión: Otra vez, tenemos que demostrar que A 1 umple on las tres propiedades de una ortadura. ı) Si x < 0, entones x A 1 ; por lo tanto A 1. Puesto que A es positiva, 0 A, pero 0 no es el supremo de A. Si 0 < x A, entones 1 x A 1, así hemos demostrado que A 1 Q. ıı) Tarea. ııı) Si q 0, entones q A 1. Ahora supongamos que p A 1 y 0 < q < p. Entones, por definiión, 1 es un ota superior pero no el supremo de A. p 1 Pero q > 1 1 y por lo tanto es una ota superior y no el supremo de A. p q Entones q A 1. Definiión El onjunto de ortaduras de Dedekind de Q se denota por R. Proposiión Las operaiones (+) y ( ) son onmutativas, asoiativas y distributivas on respeto a ortaduras no negativas. Demostraión: Dejamos omo tarea demostrar que las operaiones son omutativas y asoiativas y demostraremos que si A, B y C son ortaduras no negativas entones A(B + C) = AB + AC. Pero A(B + C) onsiste en todos los números raionales negativos junto on todos los raionales de la forma r(s + t) = rs + rt donde r, s, t 0. Puesto que rs + rt AB + AC, hemos demostrado que A(B + C) AB + AC. Para la inlusión inversa, primero notemos que por la definiión de ortaduras no negativas, A(B + C) ontiene todos los números raionales negativos. Supongamos ahora que pr + qs AB + AC, donde p, q A, r B, s C y p, q, r, s 0.

13 1.5. OPERACIONES CON CORTADURAS 13 Tenemos p q o q p y por lo tanto, pr+qs qr+qs = q(r+s) A(B+C) o pr+qs pr+ps = p(r+s) A(B+C). En ambos asos, puesto que A(B+C) es una ortadura, pr+qs A(B+C) y por lo tanto, AB+AC A(B+C). Definiión Sean 0 R = {q Q : q < 0} (la ortadura ero) y 1 R = {q Q : q < 1} (la ortadura 1). Proposiión Para ada ortadura A, A+0 R = A y para ada ortadura no negativa B, B0 R = 0 R y B1 R = B. Demostraión: Por definiión, A + 0 R = {p + q Q : p A, q < 0}. Puesto que A no tiene supremo, si r A, existe s A on s > r. Entones r = s + (r s) A + 0 R puesto que r s < 0, así que A A + 0 R. Para la inlusión inversa, supongamos que r A + 0 R ; entones r = p + q donde p A y q < 0. Puesto que A es una ortadura y p + q < p, se sigue que r = p + q A, así hemos demostrado que A + 0 R A, es deir A + 0 R = A. Dejamos las otras dos igualdades omo tarea. Tarea: Demostrar que si A es una ortadura positiva y 0 < p < 1, entones existe s Q tal que s A ni s es el supremo de A pero sp A. Proposiión Si A es una ortadura positiva, entones AA 1 = 1 R. Demostraión: Puesto que 0 A, se sigue que 0 AA 1 y por lo tanto, AA 1 y 1 R ontienen todos los números raionales no positivos. Supongamos que pq AA 1 donde p A, q A 1 y p, q > 0. Por la definiión de A 1, puesto que q A 1, 1 es una ota superior y no el supremo de A y por lo tanto, q 1 q > p > 0, es deir 1 q > q > 0. Entones pq < p(1 p ) = 1 y se sigue que pq 1 R, así hemos demostrado que AA 1 1 R. Para la inlusión inversa, supongamos que p 1 R y p > 0. Por la tarea anterior, existe 0 < s Q tal que s A ni s es el supremo de A pero sp A. Entones por la definiión de A 1, 1 s A 1 y por lo tanto, (sp)( 1 s ) = p AA 1, así hemos demostrado que 1 R AA 1. Definiiones Si A es una ortadura negativa y B es no negativa se define AB = [( A)B]; si ambas son negativas se define AB = ( A)( B). Las propiedades desarrolladas en los lemas y proposiiones anteriores se extienden a ortaduras negativas. Omitimos las demostraiones. Así hemos demostrado que el onjunto R de ortaduras tiene dos operaiones (+) y ( ) que satisfaen:

14 14 CAPÍTULO 1. LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 1) Para ada a, b, R, a + (b + ) = (a + b) + y a(b) = (ab) (asoiatividad) 2) Para ada a, b R, a + b = b + a y ab = ba (onmutatividad). 3) Existe una identidad 0 R para (+) tal que a + 0 R = a para ada a R. 4) Para ada a R, existe a R tal que a + ( a) = 0 R. 5) Existe un elemento 1 R R tal que a1 R = a para ada a R. 6)Para ada a R \ {0 R } existe un elemento a 1 tal que aa 1 = 1 R. 7) Para ada a, b, R, a(b + ) = ab + a (distributividad). 8) es un orden total en R, es deir, para ada a, b R, a b o b a. Si a b, se esribirá a b. Definiión Una ortadura se llama raional si es de la forma. {r Q : r < q} para algún q Q Teorema Las ortaduras raionales son de orden denso en R, es deir, si A y B son ortaduras y A B, entones existe una ortadura raional C tal que A C B. Demostraión: Puesto que A B, existe p B \ A. Entones p B y p es una ota superior de A. Se sigue que A {x Q : x < p} B. Una de las propiedades de R más importantes para el desarrollo de Análisis Matemátio (es deir, la teoría del Cálulo integral y diferenial) es la siguiente: Teorema Supongamos que S y T son subonjuntos no vaios de R tal que R = S T y ada elemento de T es una ota superior de S (es deir, ada elemento de T ontiene ada elemento de S), entones S tiene un elemento máximo o T tiene un elemento mínimo. Demostraión: Sea P = S {A : A S}; entones es fáil verifiar que P es una ortadura o P = Q (Tarea). Puesto que T, existe q T y por lo tanto, q A para ada ortadura A S. Entones q P, demostrando que P es una ortadura, y es el supremo de S en el onjunto ordenado R on el orden. Afirmamos también que P es el ínfimo de T. Para ver que P es una ota inferior de T, notemos que si B T, entones B A para ada A S y por lo tanto B {A : A S} = P. Finalmente, si existiera una ota inferior C de T tal que P C, por el teorema , podríamos enontrar q C \ P. Entones la ortadura {x Q : x < q} S T puesto que sup(s) = P y C es una ota inferior de T, ontradiiendo el heho de que S T = R. Por lo tanto hemos demostrado que P = sup(s) = inf(t ) y otra vez, puesto que S T = R, debemos tener P S o P T. Corolario (El Prinipio del Supremo) Si P R es no vaio y aotado superiormente, entones P tiene supremo.

15 1.5. OPERACIONES CON CORTADURAS 15 Demostraión: Sean T = {A : A es una ota superior de P } y S = R \ T. Claramente, T y S puesto que si A P, entones A + ( 1 R ) T, lo ual implia que A + ( 1 R ) S. Además, si B S, entones B no es una ota superior de P, es deir, existe A P tal que B A. Pero todos los elementos de T ontienen a P y por lo tanto todos los elementos de T ontienen a todos los elementos de S. Así es que S y T satisfaen a las hipótesis del teorema y debe existir un elemento U = sup(s) = inf(t ). Solo falta demostrar que U = sup(p ). Con este fin, notamos que puesto que U = inf(t ), U es una ota superior de P. Si existiera otra ota superior V de P on V U, tendríamos V T, lo que ontradie el heho de que U = inf(t ). Por lo tanto U = sup(p ).

16 16 CAPÍTULO 1. LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

17 Capítulo 2 Suesiones Una suesión en un onjunto X es una funión f : N X. Con freuenia, el término suesión refiere al rango de la funión f. Se denota el elemento f(n) X por f n. Sea {f n } n N (a vees simplemente {f n }) una suesión. El elemento f(n) se llama el n-ésimo término de la suesión; así es que f(1) es el primer término, f(2) el segundo término, et. { Ejemplo La suesión } representa la funión f : N R n dada por f(n) = n. Cuando todos los términos de una suesión on la exepión de un número finito de ellos umplen on una propiedad P (es deir, todos los términos a partir del n-ésimo tienen P para algún n N) se die que la suesión tiene P finalmente. Si un número infinito de términos de la suesión tienen P, se die que la suesión tiene P freuentemente. Ejemplo La suesión {( 1) n } = { 1, 1, 1, 1, 1, 1,... } es freuentemente positiva y freuentemente negativa pero no es ni finalmente positiva ni finalmente negativa. Por otro lado, la suesión {3, 2, 1, 1, 1, 1,..., 1,... } es finalmente igual a 1 y finalmente positiva. El onepto de onvergenia es uno de los más importantes en análisis matemátio. Informalmente, una suesión onverge a un número real x si los términos de la suesión se aeran más y más a x (sin neesariamente llegar a ser igual a x), es deir, las distanias entre los términos de la suesión y x dereen a 0 (sin neesariamente llegar a 0). Por ejemplo, los términos de la suesión del ejemplo , se aeran más y más a 1 sin llegar a 1. El primer término (igual a 2) de esta suesión está a una distania 1 de 1, el segundo término (igual a 1.5) está a una distania 1 2 de 1 et. 17

18 18 CAPÍTULO 2. SUCESIONES Definiión Una suesión {x n } en R onverge a x R (esribimos {x n } x) si para ada ɛ > 0 existe n 0 N tal que para ada n n 0, x n x < ɛ. El número x se llama el límite de la suesión y se esribe lim n (x n) = x. Una suesión que onverge se llama una suesión onvergente. Intentaremos interpretar esta definiión: Notemos primero que x n x es preisamente la distania (en R) entre x y x n. Por eso, {x n } x quiere deir que dado ualquier número positivo ɛ podemos enontrar un ierto punto (término) en la suesión de tal manera que pasando ese punto todos los demás están a una distania menor que ɛ de x. Es deir, dado ualquier ɛ > 0, la suesión está finalmente dentro de una distania ɛ de x. Ejemplo Demostrar que la suesión { } 1 onverge a 0. n Demostraión: Dado ɛ > 0; debemos enontrar un término en la suesión tal que él y todos los términos suesivos están dentro de ɛ de 0. Empleamos la propiedad Arquimedeana de los enteros: Dado ualquier número real r, existe n N tal que n > r. Así es que, puesto que ɛ > 0, 1 es un número real y podemos enontrar un entero n 0 > 1 ɛ. Entones, si n > n 0, tenemos 1 n < 1 < ɛ, es ɛ n 0 deir, a partir del n 0 -ésimo término, todos los términos están dentro de ɛ de 0. Esto termina la demostraión. Para demostrar que una suesión onverge debemos tener un andidato para el límite y a vees tenemos que estimar ese límite antes de efetuar la demostraión formal. { Ejemplo Enontrar el límite de la suesión n (2n + 1) No está dado el límite y debemos estimarlo. Usando división sintétia, tenemos n 2n + 1 = n + 1. y notamos ahora que si n es muy grande, la segunda expresión a la dereha es muy pequeña. Eso nos ondue a reer que el límite de la suesión debe ser 1 2. Ahora lo demostraremos. Demostraión: Dado ɛ > 0; alulemos la distania entre el n-ésimo término de la suesión y 1 2 : }. n 2n = 2n (2n + 1) 2(2n + 1) = 1 2(2n + 1) = 1 4n + 2.

19 19 Notamos ahora que si 4n + 2 > 1 ɛ, tenemos 1 < ɛ y por lo tanto, (4n + 2) n 2n < ɛ. Así que si esogemos n 0 N tal que n 0 > ( 1 ɛ 2), entones para ada 4 n n 0 tendremos n (2n + 1) 1 2 = 1 (4n + 2) 1 < ɛ, demostrando (4n 0 + 2) que la suesión onverge a 1 2. Tarea. Estimar el límite de las siguientes suesiones y después demostrar que la suesión onverge a ese límite: { } 1 a), 2 n { } (2n + 1) b), (3n 2) ) {6 2n } 2 Definiión Una suesión que no onverge se llama divergente. Si negamos la definiión de onvergenia, obtenemos lo siguiente: Una suesión {x n } diverge si para ada número real r existe ɛ > 0 tal que para ada n 0 N existe n n 0 tal que x n r > ɛ. Ejemplo La suesión {n} diverge. Demostraión: Supongamos que {n} r. Por la propiedad Arquimedeana de los enteros, existe m 0 R tal que m 0 > r. Entones dado ɛ = 1 y ualquier n 0 N, si n max{m 0 + 1, n 0 } se sigue que n r > ɛ. Definiión Una suesión f en R es aotada si su rango es aotado, es deir si el onjunto {f(n) : n N} es un subonjunto aotado de R. Ejemplo La suesión es. { } 1 es aotada, mientras la suesión {n} no lo n Teorema Una suesión onvergente es aotada.

20 20 CAPÍTULO 2. SUCESIONES Demostraión: Supongamos que {x n } x y esogamos ɛ = 1. Entones por ser onvergente, existe n 0 N tal que si n n 0, x n x < 1, es deir, x n (x 1, x + 1). Sea m = min{x 1, x 1,... x n0 } y M = max{x + 1, x 1,..., x n0 }. Entones x n [m, M] para ada n N. Teorema Si {x n } x 0, entones existe r > 0 y n 0 N tal que para ada n n 0, r < x n. ( Demostraión: Tarea pon r = x ) > 0. 2 Tarea. Formular y demostrar un teorema análogo al Teorema para límites negativos. 2.1 Operaiones on suesiones Una propiedad de los números reales, muy importante en lo suesivo es la siguiente: La desigualdad triangular: Si a, b, R, entones a + b a + b. La desigualdad triangular se demuestra onsiderando todos los asos: a) a, b 0, b) a 0 y b < 0, ) b 0 y a < 0 d) a, b < 0. (Tarea). Teorema Si {a n } a y {b n } b entones {a n + b n } a + b. Demostraión: Sea ɛ > 0; puesto que {a n } a, existe n 1 N tal que para ada n n 1, para ada n n 2, a a n < ɛ 2 y puesto que {b n} b, existe n 2 N tal que b b n < ɛ 2. Entones, si n n 0 = max{n 1, n 2 } ambas desigualdades se umplen simultaneamente y tenemos: (a n + b n ) (a + b) = (a a n ) + (b b n ) a a n + b b n < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Esto demuestra que {a n + b n } a + b. Vale notar que si usamos ɛ en vez de ɛ en la demostraión del teorema , (es deir, a a n < ɛ y b b n < ɛ) hubieramos obtenido finalmente (a n + b n ) (a + b) < 2ɛ. No obstante, esta desigualdad también vale para demostrar onvergenia de la suesión {a n + b n }, pues dado η > 0, podemos

21 2.1. OPERACIONES CON SUCESIONES 21 enontrar un entero n 0 N tal que para ada n n 0, (a n + b n ) (a + b) < 2η y dado ɛ > 0 enontramos n 0 que orresponde a η = ɛ 2 Esta disusión demuestra que x n x si y solo si dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que x n x < Kɛ para ada n n 0 y algún onstante fijo K. Teorema Si {a n } a y {b n } b, entones {a n b n } ab. Demostraión: Sea ɛ > 0; puesto que {a n } a, existe n 1 N tal que para ada n n 1, a a n < ɛ y puesto que {b n } b, existe n 2 N tal que para ada n n 2, b b n < ɛ. Entones a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab = a n (b n b) + b(a n a) a n (b n b) + b(a n a) = a n (b n b) + b (a n a). Puesto que {a n } es una suesión onvergente, por el teorema , el onjunto { a n : n N} es aotado. Sea L una ota superior de { a n : n N} y M = max{l, b } <. Entones si n n 0 = max{n 1, n 2 }, tenemos a n b n ab a n (b n b) + b (a n a) < Mɛ + Mɛ = 2Mɛ. Pero 2M es una onstante fija y por la disusión de arriba, esto basta para demostrar onvergenia de la suesión {a n b n }. Tarea. Reesribir la demostraión anterior para obtener a n b n ab < ɛ. para ada n n 0. Teorema Si {x n } x y x, x n 0 para ada n N entones { } 1 x n 1 x Demostraión: Sea ɛ > 0; por el teorema , existe n 1 N y r > 0 tal que x n > r para ada n n 0. Puesto que {x n } x, existe n 2 N tal que x x n < ɛr x para ada n n 2. Sea n 0 = max{n 1, n 2 }. Entones si n n 0, tenemos 1 1 x n x = x x n x x n < ɛr x x x n < ɛ. Tarea. Demostrar que (a) si {x n } x entones { x n } x (b) si { x n } 0 entones {x n } 0. Definiión Una suesión {x n } es reiente (respetivamente, dereiente) si x n x n+1 (respetivamente, x n x n+1 ) para ada n N. Una suesión es monótona si es dereiente o reiente.

22 22 CAPÍTULO 2. SUCESIONES Teorema Una suesión reiente y aotada superiormente es onvergente. Demostraión: Puesto que A = {x n : n N} es aotada, tiene un supremo, digamos x. Demostraremos que {x n } x. Sea ɛ > 0; puesto que x es el supremo de A, x ɛ no es una ota superior de A y por lo tanto, existe n 0 N tal que x n0 > x ɛ. Entones, si n n 0, x ɛ < x n0 x n x, es deir, x x n < ɛ. 2.2 Subsuesiones Sea {x n } una suesión y {j n : n N} una suesión estritamente reiente de enteros positivos (es deir, j n+1 > j n para ada n N). Si se define z n = x jn se obtiene una suesión {z n } y la llamamos una subsuesión de {x n }. Ejemplo Si x n = 1 n y j n = 2n entones {x n } es la suesión {j n } es la suesión {1, 12, 13, 14,... }, {2, 4, 6, 8,..., 2n,... } y la subsuesión {z n } así determinada onsiste en los términos pares de la suesión {x n } {x 2, x 4, x 6, x 8..., x 2n,... } es deir, { 1 2, 1 4, 1 6, 1 } 8,.... Tarea Demostrar (por induión) que si {j n } es una suesión estritamente reiente de enteros positivos entones j n n. (Usaremos este resultado freuentemente en lo que sigue.) Teorema Si {x n } x entones ualquier subsuesión de {x n } también onverge a x. Demostraión: Sea ɛ > 0; puesto que {x n } x, existe n 0 tal que si n n 0, x x n < ɛ. Si {j n : n N} es una suesión estritamente reiente de enteros positivos y z n = x jn, entones j n0 n 0 y por lo tanto, si n n 0, tenemos z n x = x jn x < ɛ pues j n > j n0 n 0. No podemos demostrar el siguiente teorema en este momento. Más tarde veremos la demostraión usando el onepto de ompaidad.

23 2.2. SUBSUCESIONES 23 Teorema Una suesión aotada posee una subsuesión onvergente. Ejemplo La suesión aotada (pero no onvergente) {1, 12, 1, 13, 1, 14,... } posee las subsuesiones {1, 1, 1, 1, 1... } y otras). {1, 12, 13, 14,... } (entre muhas Definiión Una suesión {x n } es de Cauhy si dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que para ada m, n n 0, x m x n < ɛ. Teorema Una suesión de Cauhy es aotada. Demostraión: Sea ɛ = 1; existe n 0 N tal que si m, n n 0, x m x n < 1, en partiular x n x n0 < ɛ, lo ual implia que x n < x n0 +1 para ada n n 0. Sea L = max{ x 1, x 2, x 3,..., x n0 }, entones x n L para ada n n 0 y x n x n0 + 1 para ada n n 0. Por lo tanto, x n L + 1 para ada n N. Teorema Una suesión onvergente es de Cauhy. Demostraión: Supongamos que {x n } x y sea ɛ > 0. Existe n 0 N tal que si n n 0, x n x < ɛ 2. Entones si m, n n 0, tenemos x m x n = (x m x) + (x x n ) x m x + x n x < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, es deir, {x n } es una suesión de Cauhy. Teorema Una suesión de Cauhy es onvergente. Demostraión: Supongamos que {x n } es una suesión de Cauhy y sea ɛ > 0. Por el teorema 2.2.6, {x n } es una suesión aotada y por el teorema 2.2.3, posee una subsuesión onvergente, digamos {z n } x donde z n = x jn para alguna suesión estritamente reiente de enteros positivos {j n }. Por ser {x n } de Cauhy, existe n 1 N tal que si m, n n 1, x m x n < ɛ y por onvergenia 2 {x jn } a x, existe n 2 N tal que si j n n 2, entones x x jn < ɛ. Si ponemos 2 n 0 = max{n 1, n 2 }, entones si n n 0 n 1 tenemos j n n 0 n 2 y por lo tanto x x n x x jn + x jn x n x x jn + x jn x n < ɛ 2 + ɛ = ɛ, así 2 onluimos la demostraión de que {x n } x.

24 24 CAPÍTULO 2. SUCESIONES Definiión Un punto x R es un punto de aumulaión de una suesión {x n } si para ada ɛ > 0, {x n } esta freuentemente dentro de una distania ɛ de x. Tarea. Demostrar que los siguientes son equivalentes: a) x es un punto de aumulaión de {x n }, b) Para ada ɛ > 0, un número infinito de términos de la suesión estan en el intervalo (x ɛ, x + ɛ), ) Para ada ɛ > 0 y ada n N, existe m N tal que m > n y x x m < ɛ. Tarea. Demostrar que el límite de una suesión onvergente es un punto de aumulaión de la suesión, y admás es el únio punto de aumulaión. Teorema Si x es un punto de aumulaión de la suesión {x n } entones existe una subsuesión {z n } de {x n } que onverge a x. Demostraión: Puesto que x es un punto de aumulaión de {x n }, por ) de la tarea anterior, dado m = 1 y ɛ = 1, existe j 1 N, j > m = 1 tal que x x j1 < 1. Ahora, apliando ) otra vez on m = j 1 y ɛ = 1 2, existe j 2 > m = j 1 tal que x x j2 < 1. Proediendo así on repetidas apliaiones de 2 ), obtenemos una suesión estritamente reiente de enteros positivos {j n } tal que x x jn < 1 n. Demostraremos que si se define z n = x jn, entones {z n } x. Con este fin, sea ɛ > 0; por la propiedad Arquimedeana de los enteros, existe n 0 N tal que n > 1 ɛ, es deir, 1 n < ɛ. Entones si n n 1 0, n < 1 < ɛ y n 0 por lo tanto z n x = x jn x < 1 < ɛ, lo que termina la demostraión de n onvergenia. Definiión El punto de aumulaión mayor (respetivamente menor) de una suesión aotada se llama el límite superior (respetivamente, el límite inferior) de {x n } y se esribe lim(x n ) o limsup(x n ), (respetivamente lim(x n ) o liminf(x n )). Tarea. Demostrar que si {x n } es una suesión onvergente entones: lim inf{x n } = lim sup{x n }.

25 Capítulo 3 Series El símbolo n n=1 a n denota la suma finita a 1 + a a n. Sea {a n } una suesión; la suesión {s n } donde s n = n n=1 a n se llama la serie de los elementos a n y freuentemente se esribe a n. Los términos s n se llaman las sumas pariales de la serie. Nota que { n } {s n } = a m = {a 1, a 1 + a 2, a 1 + a 2 + a 3,... }. m=1 Si la suesión {s n } onverge, su límite S se llama la suma de la serie, se die que la serie onverge a S y se esribe el límite de la suesión {s n }, S = a n. Como en el aso de suesiones, una serie que no onverge se llama divergente. Supongamos que a n y b n son series y k R, entones ka n denota la serie ka 1 + ka 2 + ka ka n +... y (a n + b n ) representa la serie (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) + + (a n + b n ) Usando los reoremas y 2.1.2, es fáil demostrar que si a n onverge a a y b n onverge a b entones ka n onverge a ka y (a n + b n ) onverge a a + b (Tarea). Puesto que una suesión onverge si y sólo si es de Cauhy, tenemos la siguiente araterizaión de onvergenia de series. Lema Una serie a n on sumas pariales {s n } onverge si y sólo si k=n para ada ɛ > 0 existe n 0 N tal que si n > m n 0, a k < ɛ. k=m+1 Demostraión: La serie a n onverge {s n } es onvergente {s n } es de Cauhy para ada ɛ > 0 existe n 0 N tal que si m, n n 0, s n s m < ɛ k=n para ada ɛ > 0 existe n 0 N tal que si m, n n 0, a k < ɛ. 25 k=m+1 n=1

26 26 CAPÍTULO 3. SERIES Ejemplo Sea r R y a 0, entones la serie dada por s n = donde a m = ar m 1 y a, r 0 se llama una serie geométria. Tarea. Demostrar que la suesión {r n } 0 si r < 1 y diverge si r > 1. n a m m=1 Proposiión Una serie geométria ar n 1 onverge si y sólo si r < 1. Demostraión: Si r = 1, entones s n = a + a + a + + a (n vees) = na y puesto que a 0, la serie diverge. Si r < 1, entones notamos que y por lo tanto s n = a + ar + ar 2 + ar ar n 1 rs n = ar + ar 2 + ar ar n 1 + ar n. Si restamos la segunda expresión de la primera, obtenemos es deir, si r 1, s n rs n = a ar n s n = a(1 rn ). 1 r Ahora, si r < 1, por la tarea anterior, la suesión {1 r n } onverge a 1 y por lo tanto {s n } a (1 r). Tarea. Demostrar que la serie ar n diverge si r > 1. Lema Si a n onverge entones {a n } 0. Demostraión: Si {s n } onverge, digamos a S, entones dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que s n S < ɛ 2 para ada n n 0. En partiular, si n n 0 + 1, a n = s n s n 1 = (s n S) + (S s n 1 ) s n S + s n 1 S ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, así hemos demostrado que {a n } 0. El inverso del lema es falso, omo demuestra el siguiente ejemplo. Ejemplo La serie 1 n es divergente.

27 27 Demostraión: Tenemos: 1 s 2n s n = n n n 1 2n + 1 2n n ( ) 1 = n. 2n Es deir, s 2n s n 1 2, lo que demuestra que la suesión {s n} no es de Cauhy, y por lo tanto no onverge. Enontrar la suma de una serie puede ser difíil y muhas vees los métodos usados para efetuar el álulo son sui generis. Ejemplo Consideremos la serie 1 n(n + 1). Notemos que s n = n k=1 n=1 1 (n(n + 1)) = 1 n 1 (n + 1) 1 k(k + 1) = Por lo tanto {s n } = ( 1 1 ) + 2 ( { } (n + 1) y por lo tanto, ) ( n 1 ) = 1 1 n + 1 n + 1. Con un truo obtuvimos la suma de esta serie de una manera muy fáil, pero en ontraste, es muy difíil enontrar la suma de la serie muy semejante, 1 n 2. Ahora vamos a desarrollar riterios para omprobar la onvergenia de una serie. Empezamos on uno de los más senillos. Una serie de la forma ( 1) n+1 a n donde a n > 0 se llama una serie alternante. Teorema Una serie alternante ( 1) n+1 a n onverge si {a n } es dereiente y onverge a 0. Demostraión: Calulemos la suma parial s 2n ; tenemos s 2n = (a 1 a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + (a 2n 1 a 2n ) y puesto que a 1 > a 2, a 3 > a 4, et. se sigue que s 2n es una suma de términos positivos, así hemos demostrado que la suesión {s 2n } es una suesión reiente. Por otro lado, s 2n = (a 1 a 2n ) (a 2 a 3 ) (a 2n 2 a 2n 1 ).

28 28 CAPÍTULO 3. SERIES Cada paréntesis a la dereha es positiva y por lo tanto, para ada n, s 2n a 1 a 2n a 1. Así es que {s 2n } es una suesión aotada. Por lo tanto, por el teorema 2.1.5, la suesión {s 2n } onverge, digamos {s 2n } a. Tarea. En forma semejante demostrar que {s 2n 1 } es onvergente. Pero, s 2n 1 = s 2n a 2n y por el teorema del Capitulo 2, tenemos lim(s 2n 1 ) = lim(s 2n ) lim(a 2n ) = a + 0 = a. Es deir, las suesiones {s 2n } y {s 2n 1 } onvergen al mismo número. Tarea. Demostrar que {s n } a. Teorema (El riterio de Comparaión). Si x n es onvergente y si 0 z n x n para ada n N, entones z n onverge también. Demostraión: Supongamos que x n = S y sea s n = t n = n k=1 n=1 n k=1 x k. Entones z k s n S y por lo tanto {t n } es una suesión reiente y aotada. Por el teorema 2.1.5, {t n } onverge. Tarea. Demostrar que si 0 x n z n para ada n N y x n es divergente, entones z n también lo es. Tarea. Usar el riterio de omparaión para demostrar que la serie 1 n 2 onverge. (Pero, álular la suma es muy difíil). Tarea. Demostrar que si {s n } es una suesión reiente y una subsuesión de {s n } onverge, entones {s n } es onvergente. Teorema (El riterio de Condensaión). Sea {a n } una suesión dereiente de términos positivos, entones a n onverge si y sólo si 2 n a 2 n = 2a 2 + 4a 4 + 8a onverge. Demostraión: Puesto que {a n } es dereiente, si sumamos 2 j términos a partir del término a 2 j, tenemos, 2 m a 2 m+1 a 2 m + a 2 m +1 + a 2 m a 2 m+1 1 = 2 m+1 1 j=2 m a j 2 m a 2 m. La suma parial de los primeros 2 n+1 1 términos se puede agrupar de la siguiente manera: s 2 n+1 1 = a j=2 1 a j j=2 2 a j + 2 n+1 1 j=2 n a j,

29 29 y por lo tanto, si sustituimos la primera expresión, para valores de m entre 1 y n, en la segunda obtenemos, es deir, a 1 + 2a a s 2 n+1 1 a 1 + 2a a , a n+1 2 k a 2 2 k s 2 n+1 1 a n 2 k a 2 k. Ahora, si a n es onvergente, entones {s n } es aotado, lo ual implia que la subsuesion {s 2 n+1 1} también lo es, digamos s 2 n+1 { 1 M para ada } n N. Pero entones, a n+1 2 k a 2 2 k M y puesto que a n+1 2 k a 2 2 k es una 2 2 { n+1 } suesión reiente, debe onverger (teorema 2.1.5). Por lo tanto 2 k a 2 k 2 onverge también. Inversamente, si { n } 2 n a 2 n onverge entones la suesion 2 k a 2 k es aotada y por lo tanto la suesión {s 2 n+1 1} también lo es. De la tarea, se sigue que {s n } es onvergente, es deir, a n onverge. Ejemplo La serie 1 onverge si y sólo si p > 1. np Demostraión: Ya vimos que 1 diverge. Si p < 1 aplia el riterio de omparaión (Tarea). n Supongamos que p > 1, entones por el riterio de ondensaión, 1 n p onverge si y sólo si 2 n 1 (2 n onverge. Pero ) p ( ) 1 2 n (2 n ) p = = np n = 1 ( ) n 1 2 p 1. 2 n(p 1) 1 Por lo tanto, la serie ( ) 1 n 1 onverge si y sólo si la serie geométria np 2 p 1 onverge. Pero por la proposiión , esta serie geométria onverge si y sólo si la razón r entre términos onseutivos tiene valor absoluto menor que 1, es 1 deir, si < 1, lo ual suede si y sólo si p > 1. 2p 1

30 30 CAPÍTULO 3. SERIES 3.1 Convergenia absoluta Se die que una serie a n es absolutamente onvergente si a n onverge. Por supuesto, una serie de términos no negativos es onvergente si y sólo si es absolutamente onvergente. Una serie onvergente pero no absolutamente onvergente se llama ondiionalmente onvergente. Ejemplo La serie ( 1)n n es ondiionalmente onvergente. Demostraión: La serie ( 1) n es onvergente por el teorema ; por n otro lado ( 1) n n = 1 es divergente por el resultado del ejemplo n Teorema Una serie absolutamente onvergente es onvergente. Demostraión: Sea a n una serie absolutamente onvergente y {s n } la suesión de sus sumas pariales. La serie a n es onvergente y por lo tanto, la suesión {t n } de sus sumas pariales es de Cauhy. Lo que quiere deir, es que dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que si m > n n 0, entones t n t m = k=n a k < ɛ. k=m+1 Pero, por la desigualdad triangular (apliada varias vees), si n > m n 0, s n s m = k=n k=m+1 a k k=n k=m+1 a k < ɛ lo que demuestra que {s n } es de Cauhy y por lo tanto onverge. Hay varios riterios para determinar si una serie es onvergente. Teorema (El riterio de Kummer). Sea a n una serie. (i) Si existe una suesión { n } de números positivos y una onstante > 0 tal que a n+1 0 < n n+1 a n para ada n N, entones a n es absolutamente onvergente. (ii) Si a n > 0 y existe una suesión { n } de números positivos tal que 1 b n diverge y n n+1 a n+1 a n 0 para ada n N, entones a n diverge.

31 3.1. CONVERGENCIA ABSOLUTA 31 Demostraión: (i) Supongamos que tales n y existen. Entones tenemos a 1 1 a 1 2 a 2, a 2 2 a 2 3 a 3,..., a n n a n n+1 a n+1. Si sumamos ambos lados de esta desigualdad obtenemos, n a k k=1 n k=1 n+1 k a k k a k. Todos menos dos de los términos a la dereha se anelan y tenemos, es deir, k=2 n a k b 1 a 1 n+1 a n+1 1 a 1, k=1 n k=1 a k 1 a 1, Así hemos demostrado que la suesión de sumas pariales de la serie a n está aotada y puesto que esta suesión es reiente, debe onverger, es deir, a n es onvergente. (ii) Si la suesión { n } existe, entones tenemos 1 a 1 2 a 2, 2 a 2 3 a 3,..., n 1 a n 1 n a n. Combinando todas estas desigualdades, vemos que es deir, Pero sabemos que la serie 1 1 a 1 2 a 2 3 a 3 a n n, n 1 a 1 n a n. es divergente, por lo tanto, también lo es la serie 1 a 1 n. Ahora se sigue de la prueba de la omparaión que a n es divergente. La prueba de Kummer es muy difíil de apliar, pues asi nuna es obvio ual debe ser la eleión de la suesión { n }. No obstante, hay unos asos espeiales:

32 32 CAPÍTULO 3. SERIES Corolario (El riterio de la razón de Cauhy). Sea { a n una serie de términos distintos de 0 y supongamos que lim a } n+1 existe y es igual a r. a n Si r < 1 entones la serie a n onverge absolutamente y si para ada n N, a n > 0 y r > 1, la serie diverge. Si r = 1, no se puede onluir nada. (1 r) Demostraión: Supongamos primero que r < 1; entones dado ɛ =, 2 existe n 0 N tal que para ada n n 0, a n+1 a n r < ɛ. Esto implia que si n n 0, entones a n+1 a n < 1 ɛ, es deir 1 1 a n+1 a n > ɛ > 0 para ada n n 0. Ahora el riterio de Kummer on n = 1 para ada n n 0 implia que a n es absolutamente onvergente. Pero a n = a n + n0 1 a n n=n 0 n=n 0 n=1 y por lo tanto a n es absolutamente onvergente. Ahora supongamos que a n > 0 para ada n N y r > 1; entones, dado ɛ = r 1, existe n 0 N tal que para ada n n 0, a n+1 a n r < ɛ, es deir, ( ) a n+1 = a n+1 a n a n > 1. Pero entones, para ada n n an+1 0, y a n ) del riterio de Kummer on n = 1 se sigue que a n es divergente, y por lo k=n 0 tanto a n es divergente también. Finalmente, notamos que las series 1 n y ( 1) n tienen { } n a n+1 lim = 1, pero el primero diverge y la segunda onverge. a n Teorema (El riterio de la raiz). Sea a n una serie y suponga que lim{ n a n } existe y es igual a r. La serie a n onverge absolutamente si r < 1 y diverge si r > 1. (Si r = 1, no se puede onluir nada.) Demostraión: Si r < 1, entones existe n 0 N tal que si n n 0, entones n (1 + r) an < = s < 1 es deir, a n < s n. Pero, por la proposiión , 2 s n onverge y entones por el orolario 3.1.4, a n onverge también. Por otro lado, si a n onverge, entones por el lema , lim{a n } = 0 y por lo tanto, existe n 0 N tal que a n < 1, lo ual implia que n a n < 1 para ada n n 0. Por lo tanto lim{ n a n } 1 (si existe). Así hemos demostrado que si lim{ n a n } > 1, a n no onverge. Tanto el orolario omo el teorema tienen generalizaiones involurando limsup y liminf. No vamos a ver las demostraiones de estos resultados, pero para ompletez, los enuniamos a ontinuaión.

33 3.1. CONVERGENCIA ABSOLUTA 33 Teorema Sea a n una serie de términos distintos de ero. (i) Si { } a n+1 lim < 1, entones la serie es absolutamente onvergente. (ii) Si { } a n+1 lim > 1, entones la serie es divergente. (iii) Si { } { } a n+1 lim a n+1 < 1 < lim, a n entones el riterio es inonluso. a n a n a n Teorema Sean a n una serie y r = lim{ n a n }. (i) Si r < 1 la serie onverge absolutamente, (ii) Si r > 1 la serie diverge, y (iii) Si r = 1 el riterio es inonluso. Tareas Determinar si las siguientes series son onvergentes. (a) 1 n!, (b) ( 1) n n () La serie a n donde a 2n 1 = 1 2 n 1 y a 2n = a 2n 1, 3 (d) 1 2n(2n + 1), (e) n! 10 n, (f) n 2 2 n, (g) 2 n n!. (h) 1 (n log 2 (n)).

34 34 CAPÍTULO 3. SERIES

35 Capítulo 4 La topología de la reta real En este apitulo investigaremos las propiedades topológias de R, es deir, propiedades relaionadas on los oneptos de onjuntos abiertos y onjuntos errados. Reordemos que (informalmente) un intervalo es abierto si no ontiene sus puntos extremos y es errado si los ontiene. La definiión de onjuntos abiertos y errados es una generalizaión de la idea de un intervalo abierto y un intervalo errado. Definiión Un onjunto A R es abierto si para ada punto x A podemos enontrar un intervalo abierto que ontiene a x y que está ontenido en A. En términos matemátios formales, A es abierto si para ada x A existe ɛ > 0 tal que (x ɛ, x + ɛ) A. Un onjunto A es errado si R \ A es abierto. NOTA: Hay subonjuntos de R que no son ni abiertos ni errados (ver la siguiente tarea). Tarea. Demostrar que Q no es abierto ni errado en R. Tarea. Demostrar que un intervalo abierto es abierto y un intervalo errado es errado. Ejemplo (, x) (x, ) es abierto para ada x R. Por lo tanto el onjunto unitario {x} es errado para ada x R. Teorema La unión de onjuntos abiertos es abierto y la interseión de un número finito de onjuntos abiertos es abierto. Tanto R omo son abiertos. Demostraión: Supongamos que I y A i R es abierto para ada i I. Se requiere demostrar que A = {A i : i I} es abierto. Con este fin, supongamos que x A; entones x A j para algún j I. Puesto que A j es abierto, existe ɛ > 0 tal que (x ɛ, x + ɛ) A j. Pero entones (x ɛ, x + ɛ) A, así hemos demostrado que A es abierto. 35

36 36 CAPÍTULO 4. LA TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL Ahora supongamos que F es un onjunto finito no vaio y A k es abierto para ada k F. Se requiere demostrar que A = {A i : i F } es abierto. Con este fin, supongamos que x A; puesto que x A k para ada k F, se sigue que para ada k F, existe ɛ k > 0 tal que (x ɛ k, x + ɛ k ) A k. Sea ɛ = min{ɛ k : k F }; puesto que F es un onjunto finito, ɛ > 0 y (x ɛ, x + ɛ) A k para ada k F, es deir, (x ɛ, x + ɛ) A, así hemos demostrado que A es abierto. Finalmente debemos demostrar que R y son abiertos. Pero si x R, entones el intervalo (x 1, x + 1) R, esto implia que R es abierto. El onjunto vaío umple on la definiión de un onjunto abierto pues no hay x. Una oleión de subonjuntos de un onjunto X que satisfaen las ondiiones desritas en el teorema se llama una topología para X. Así es que los onjuntos abiertos forman una topología para R. Corolario La unión de un número finito de onjuntos errados es errado y la interseión de onjuntos errados es errado. Tanto R omo son errados. Demostraión: Tarea (Reuerda que si {A j : j J} es una familia de subonjuntos de X, entones X \ {A j : j J} = {X \ A j : j J} y X \ {A j : j J} = {X \ A j : j J}.) Tarea. Demostrar que ualquier onjunto finito es errado. Definiión Si A R, entones se define el interior de A, esrito int(a), por int(a) = {U : U es abierto y U A}. Es deir, el interior de A es la union de todos los subonjuntos abiertos de A. Claramente int(a) A. Ejemplo El interior del intervalo errado [0, 1] es el intervalo abierto (0, 1). Nota que 1 int([0, 1]) pues no existe ningún ɛ > 0 tal que (1 ɛ, 1 + ɛ) [0, 1]. (Se puede apliar el mismo argumento a 0.) Lema El interior de un onjunto es un onjunto abierto. Demostraión: Por definiión, el interior es una unión de onjuntos abiertos. Por el teorema , éste es abierto. Como onseuenia inmediata, tenemos que int(a) es el onjunto abierto más grande que está ontenido en A.

37 37 Definiión Sea A R; se define la erradura o lausura de A, esrito l(a) omo l(a) = {C : C es errado y A C}. Es deir, la erradura de un onjunto A es la interseión de todos los onjuntos errados que ontienen a A. Claramente, l(a) A. Lema La erradura de un onjunto es un onjunto errado. Demostraión: Por definiión, la erradura es la interseión de onjuntos errados. Por el orolario , éste es errado. Como onseuenia inmediata, tenemos que l(a) es el onjunto errado más pequeño que ontiene al onjunto A. En el siguiente teorema se desriben varias propiedades de la erradura. Teorema a) A es errado si y sólo si A = l(a), b) Si A B, entones l(a) l(b), ) l(l(a)) = l(a), d) l(a B) = l(a) l(b), e) l(a B) l(a) l(b). Demostraión: a) El onjunto l(a) es errado, y por lo tanto, si A = l(a), entones A es errado. Inversamente, si A es errado, entones A es laramente el errado más pequeño que ontiene a A, por lo tanto A = l(a). b) Tenemos A B l(b) y este último onjunto es errado. Puesto que l(a) es el onjunto errado más pequeño que ontiene a A, tenemos l(a) l(b). ) Por la parte a), si un onjunto B es errado, B = l(b). El onjunto l(a) es errado, por lo tanto si sustituimos B = l(a) obtenemos el resultado requerido. d) Puesto que A l(a) y B l(b), tenemos que A B l(a) l(b), lo ual, siendo una unión finita de errados es errado. Por lo tanto, puesto que l(a B) es el errado más pequeño que ontiene a A B, tenemos l(a B) l(a) l(b). Para demostrar la ontenión inversa, notemos que A A B y por lo tanto, de b) arriba, l(a) l(a B) e igualmente l(b) l(a B). Por lo tanto l(a) l(b) l(a B). e) Tenemos A l(a) y B l(b); por lo tanto, A B l(a) l(b) y este último onjunto es errado. Puesto que l(a B) es el errado más pequeño que ontiene a A B tenemos l(a B) l(a) l(b).