DIBUJO TÉCNICO II BLOQUE 1_TRAZADOS GEOMÉTRICOS

Transcripción

1 En este tema se establecen algunas de las relaciones geométricas que pueden presentar dos figuras planas entre si. 1. Proporcionalidad 1.1. Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales. 2. Proporcionalidad de segmentos 2.1. Cuarto porporcional Tercero proporcional Medio proporcional. 3. Semejanza 4. Homotecia 5. Escalas 5.1. Tipos de escalas normalizadas. Triángulo universal de escalas Cálculo y construcción de escalas gráficas Ejemplos de aplicación de escalas 1. Proporcionalidad La medida es uno de los objetos fundamentales de la geometría, utilizándose números reales para cuantificar la magnitud de dichas medidas, es decir, para establecer su relación con una magnitud fija tomada como unidad. La comparación de dos figuras, dos tamaños o dos cantidades a y b (a comparado con b) puede formularse con el lenguaje matemático escribiendo: a/b (a es a b). Esto se conoce como razón entre dos magnitudes o comparación de dos cantidades. Las dos cantidades comparadas se llaman términos de la razón. Como ejemplo concreto, si al comparar un dibujo con el tamaño real del objeto representado comprobamos que este último es diez veces mayor que el primero, escribiremos la razón de uno es a diez, con esta anotación: 1

2 Proporción matemática Si al comparar entre si cuatro elementos o magnitudes, a, b, c y d, dos a dos, comprobamos que a comparado con b es igual a c comparado con d, lo formularemos así: a / b = c / d leyendo: a es a b, como c es a d. Si se cumple esa relación existe una proporción matemática o igualdad de dos razones, siendo a, b, c y d los términos de la proporción. a y d son los términos extremos ; b y c son los términos medios, verificándose que: a x d = b x c el producto de los términos medios es igual al producto de los extremos En consecuencia, se puede afirmar que en el dibujo siguiente, los rectángulos tienen la misma proporción, si se cumplen las igualdades de razones formuladas en ellos Teorema de Thales Si dos rectas coplanarias son cortadas por un haz de paralelas, los segmentos determinados sobre una de las dos rectas son proporcionales a los determinados sobre la otra. En la siguiente figura deberá verificarse: AB/A'B' = 2

3 1.2. División de un segmento en partes iguales El Teorema de Thales permite dividir un segmento en partes iguales. 2. Proporcionalidad de segmentos 2.1. Segmento Cuarto proporcional (a otros tres dados) Dados tres segmentos a, b y c se dice que un cuarto segmento x es cuarta proporcional a los tres anteriores si: a / b = c/ x El valor de x se obtiene aplicando el Teorema de Thales. Pasos: 1º.- Sobre una recta r se toma a partir de un punto A el segmento a y a continuación el segmento b. 2º.- A partir del punto A y sobre una recta cualquiera s se toma el segmento c. 3º.- Se une los extremos de a y c no comunes, obteniéndose el segmento MN, por ejemplo. 4º.- Se traza una paralela a MN por el extremo P de b y obtenemos sobre r el extremo Q del segmento x, cuarto 3

4 2.2. Segmento Tercero Proporcional ( a otros dos dados). Cuando los dos medios o los dos extremos de una proporción son iguales, los extremos o los medios distintos se denominan terceros proporcionales: a / b = b / x. La construcción de la tercera proporcional es análoga a la cuarta proporcional. Pasos: 1º.- Sobre una recta r se colocan a partir de un punto A, los segmentos a y b. 2º.- A partir del punto A y sobre una recta cualquiera s se toma de nuevo el segmento b. 3º.- Se trazan paralelas igual que en el caso 4

5 1.3. Segmento Medio proporcional (a otros dos dados). Cuando en una proporción se desconoce el medio o el extremo repetido, éste se llama medio proporcional. El segmento x que es medio proporcional a dos segmentos a y b se expresa así: a / x = x / b o x /a = b / x x 2 = a b x 2 = a b Cuando estos son los datos del problema, el medio proporcional se puede construir por distintos procedimientos: A) Aplicando el Teorema de la altura en un triángulo rectángulo: En todo triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa, con lo que para trazar el medio proporcional basta construir un triángulo rectángulo de altura x y segmentos sobre la hipotenusa a y b. Pasos: 1º.- Se llevan los segmentos a y b uno a continuación de otro sobre sobre una recta r y se traza una semicircunferencia con diámetro la suma de a + b. Los extremos del diámetro serán dos vértices del triángulo rectángulo. 2º.- Se levanta la perpendicular sobre el punto H en que concurren a y b hasta cortar a la semicircunferencia en C (que va a ser el tercero de los vértices del triángulo rectángulo). El segmento HC = x es el medio proporcional 5

6 B) Aplicando el teorema del cateto en un triángulo rectángulo: En todo triángulo rectángulo el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella : a / x = x / b. Pasos: 1º.- Se colocan los segmentos sobre una recta a partir de un mismo punto A. 2º.- Se construye una semicircunferencia sobre el mayor de los segmentos dados, por ejemplo, a. 3º.- Se levanta una perpendicular sobre el extremo de b no común con a, H. 4º.- La intersección de de la perpendicular con la semicircunferencia determina el punto B, y el segmento AB es el medio proporcional x 6

7 3. SEMEJANZA La semejanza es una correspondencia biunívoca entre figuras geométricas, de manera que los segmentos homólogos (correspondientes) son proporcionales, y los ángulos homólogos son iguales. La semejanza se llama directa si se conserva el sentido del plano, e inversa en caso contrario. La razón de proporcionalidad entre segmentos homólogos se denomina razón de semejanza. En las formas poligonales de la figura la razón de semejanza es igual a 5/7 y, por tanto, el polígono semejante A B F será menor que el polígono de partida AB F. Si la razón de semejanza fuese igual a la unidad, los lados homólogos serían iguales y, por tanto, los polígonos semejantes, iguales. En cambio, si la razón fuese mayor que la unidad, la figura obtenida sería mayor que la natural o de partida. En resumen: «Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño». La semejanza de polígonos se fundamenta en la de los triángulos, según la cual dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres ángulos iguales y sus magnitudes lineales correspondientes (lados, alturas, medianas, bisectrices, ) proporcionales, es decir, cuando cumplen alguno de los siguientes criterios de semejanza: " Cuando tienen dos ángulos iguales. " Cuando tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman. " Cuando tienen los tres lados 7

8 4. Homotecia Una homotecia de centro O y razón k es una transformación geométrica en la que, dado un punto O y un número real k, a todo punto A del plano (distinto de O) le corresponde otro punto A, alineado con O y A, de modo que: OA / OA =k. La homotecia se llama directa si conserva el sentido del plano ( k > 0 ), e inversa en caso contrario (k < 0). En toda homotecia se verifica: " Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas. " Los segmentos homólogos son proporcionales. " Su razón es igual a la razón de homotecia. " Los ángulos homólogos son iguales. " El centro de homotecia es el único punto doble. Por tanto: «Dos figuras homotéticas son siempre semejantes». Aplicación homotética: trazado de una recta concurrente con otras dos cuyo punto 8

9 intersección no es accesible. 5. Escalas. 5.1 Tipos de escalas normalizadas. Triángulo universal de escalas. La superficie limitada de los formatos empleados en los dibujos, no permite la representación de las piezas a tamaño natural; en unos casos habrá que reducir las dimensiones y en otros ampliarlas. En ambos casos, se necesita la utilización de una escala que nos va a permitir realizar los dibujos. La escala es la relación entre la longitud de un segmento dibujado y la misma longitud del segmento real: ESCALA= Dibujo / Objeto ESCALA = Dibujo / Realidad Se representan mediante la letra E seguida de una fracción, de manera que el numerador indica el tamaño del dibujo y el denominador, la longitud real del objeto. Hay tres tipos: " Natural: 1/1 " de Reducción: 1/ 2'5, 1/5, 1/10, 1/20... " de Ampliación: 2/1, 5/1, 10/ Cálculo y construcción de escalas gráficas. Las escalas normalizadas se representan en escalímetros comerciales; pero, en ocasiones, no los tenemos a mano o empleamos una escala no normalizada, por lo que necesitamos construir nuestra propia escala de manera gráfica. Supongamos que vamos a emplear una escala de 1/5; como veremos después es conveniente que la numeración de la escala sea decimal; para ello hallamos la relación dividiendo la fracción por el denominador, así tenemos: E= 1/5 = 0'2 / 1 = 2 / 10 = 20 /100 De las fracciones equivalentes tomamos una que sea manejable. En este caso 20 / 100; sobre una recta, llevamos segmentos de 20 mm que numeraremos de 100 en 100; el primer segmento lo utilizamos en la 9

10 Otro ejemplo: construir la escala gráfica de la escala E= 3/5 E = 3/ 5 = 0'6/ 1 = 6 / 10 = 60 / 100 (dividimos por el numerador) 5.3. Ejemplos de aplicación de escalas A) Determinación de la escala a la que está dibujada una perspectiva: Supongamos la pieza dada en isométrica (sin tener en cuenta la reducción isométrica de 0'8) en la que nos dan una cota de dimensión. Para hallar la escala, medimos sobre la perspectiva la magnitud acotada, que en el ejemplo vale 38 mm. Como la cota marca 190 mm, la escala será la siguiente: E = 38 / 190 = 1 / 5 = 0'2 / 1= 2/ 10 = 20 / 100 (dividimos por el 10

11 6. Dibujar las vistas de una pieza a una escala dada, partiendo de la perspectiva de la misma: Suponiendo que la perspectiva está a tamaño natural, primero construimos la escala gráfica y luego iremos tomando medidas de la perspectiva y transformándolas con la escala gráfica a las que deba tener en el papel. El ejercicio es similar en el caso en que la perspectiva venga acotada. En el ejemplo siguiente nos piden dibujar las vistas de la pieza dada a escala 7 / 4. Pasos: 1º.- Realizamos la escala gráfica de 7/4. E= 7/4 = 1'75 / 1 = 17'5 / 11

12 2º.- Medimos sobre la perspectiva con la regla y ese valor lo llevamos sobre la escala gráfica. Por ejemplo, medimos la cota de a y nos da 40 mm. que medidos sobre la escala de 7/4 se transforman aproximadamente en 70 mm. Así procederemos con el resto de las cotas. Bibliografía: Rodríguez de Abajo, F. Dibujo Técnico II. Ed. Donostiarra, 2003 De Sandoval Guerra, A. Dibujo Técnico II. Ed. Sandoval, 12