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1 Tem. MTRICES Defiiió e mtriz U mtriz e imesió m es u ojuto e úmeros ispuestos e fils y m olums. sí:... m... m : : : :... m L mtriz terior tmié se puee eotr por ( ) m El elemeto ij es el que oup l fil i y l olum j. L mtriz tiee imesió. El elemeto. Igul e mtries Dos mtries so igules uo tiee l mism imesió y oiie los elemetos orrespoietes. Pr que ls mtries y B se igules es eesrio que,, y. Mtriz trspuest L mtriz trspuest e u mtriz es l que se otiee l mir ls fils por ls t olums. Se eot por t. sí, si ( ij ) m, su trspuest es ( ji ) m Si t, su trspuest es. lguos tipos e mtries Si u mtriz tiee el mismo úmero e fils que e olums, se llm ur; si o es sí, l mtriz es retgulr. E ls mtries urs se hl e igol priipl, l que v e izquier ereh, y e igol seuri, que v e ereh izquier. L sum e los elemetos e l igol priipl se llm trz. ij Digol seuri Digol priipl Trz e. José Mrí Mrtíez Meio

2 José Mrí Mrtíez Meio Etre ls mtries retgulres se puee hlr e mtriz fil, l que tiee u sol fil, y e mtriz olum, l que tiee u sol olum. Mtriz fil: ( ). Mtriz olum: C Oserv que ls mtries teriores so trspuests u e otr. Etre ls mtries urs puee hlrse e: Mtriz simétri: U mtriz es simétri uo t. Mtriz tisimétri: U mtriz es tisimétri uo t. Simétri: ; tisimétri: Mtriz trigulr: Toos los elemetos situos por eim (o por ejo) e su igol priipl so eros. Trigulr superior: T. Trigulr iferior: T Mtriz igol: Tiee ulos toos los elemetos situos fuer e su igol priipl. D Mtriz eslr: Es u mtriz igol o toos los elemetos e su igol priipl igules y o ulos. E. Mtriz ui. L mtriz ui e ore es I. Mtriz ul. Es l que toos sus elemetos so ero. L mtriz ul e ore es O.

3 Operioes o mtries: sum y prouto por úmeros ij B ij B ij ij Sum: Si ( ) m y ( ) m ( ) m NOT: Sólo puee sumrse mtries e l mism imesió. 9 9 Propiees. L sum e mtries umple ls propiees usules. Esto es: soitiv: (B C) ( B) C Comuttiv: B B Mtriz ul: O: O O Mtriz opuest: : ( ) O Multipliió e u mtriz por u úmero: k Si ( ij ) m y k es u úmero rel ( k ij ) m 9 Propiees. El prouto e u mtriz por u úmero umple ls propiees usules. Esto es: k ( B ) k k B; (k h) h h (k h) k (h ) 9 Oservió. El ojuto e mtries e imesió m, respeto e ls operioes sum y prouto por eslres, tiee estrutur e espio vetoril. Multipliió e mtries B Si ( ij ) m y ( ij ) B ( ) m p ij p El elemeto ij e l mtriz prouto es el resulto e sumr los proutos oreos e los elemetos e l fil i e l mtriz por los e l olum j e l mtriz B. Esto es:... ij i j i j im mj. NOT: Pr multiplir os mtries es eesrio que el úmero e olums e l primer (l situ l izquier, mtriz ) oii o el úmero e fils e l segu (l situ l ereh, mtriz B). 9 ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 José Mrí Mrtíez Meio

4 José Mrí Mrtíez Meio lguos proutos prtiulres Mtriz fil m por ( ) p m ij B. ( ) ( ) Mtriz ( ) m ij por mtriz olum C m. 9 Mtriz fil m por mtriz olum C m. ( ) ) ( Propiees el prouto e mtries El prouto e mtries (pr mtries multipliles) umple ls siguietes propiees: soitiv: (B C) ( B) C Distriutiv: (B C) B C Elemeto eutro: I ; I. L imesió e I epeerá e l e, que ee ser ur. OJO. El prouto e mtries o umple, e geerl, ls siguietes propiees: Comuttiv: B B Celtiv: B C o impli que B C Divisores e ero: B O o impli que O o B O Coseueis:. Cuo se multipli os mtries o es iepeiete el ore e oloió; hy que iir uál e ells v l izquier, por elte. ERROR freuete: mitir pr os mtries y B que ( B) B B. Tmié está ML: ( B) B B y ( B)( B) B.. E ls euioes mtriiles o puee simplifirse mtries. No existe l ivisió e mtries.. Si u prouto e mtries l mtriz ul o puee euirse que lgu e ls mtries ftores se ul. No omuttiv: 9 B ; B No eltiv: Si, B y C, puee verse que B C y si emrgo, B C. (Compruéese.) Divisores e ero. El prouto y igu e ls mtries ftores es ul.

5 José Mrí Mrtíez Meio Potei e u mtriz ur Es el oepto álogo l potei uméri. Esto es:.... L potei e u mtriz es u proeso lorioso, uque lgus vees resulte más o meos fáil. Si 9 Está ML: 9 E este so es fáil ver que: Si es u mtriz igol es más fáil toví. Si... (Compruélo). Si 9,... Result muy omplio hllr. Si E este so hy que istiguir etre poteis e expoete pr o impr. sí: Impr: ) ( ) ( ) ( ) (,. Pr:, lgus propiees relios o mtries trspuests Reuer: D ( ) m ij, su trspuest es ( ) m ji t Trspuest e l sum e mtries: ( B) t t B t. Trspuest e u úmero por u mtriz: (k) t k t Trspuest e l mtriz trspuest: ( t ) t Trspuest e u prouto e mtries: ( B) t B t t, sieo m p y B p m lguos tipos más e mtries urs Mtriz ortogol. es ortogol si t I. E oseuei, es ortogol si t - Mtriz iempotete. es iempotete si. Mtriz ivolutiv. es ivolutiv si I. Mtriz ilpotete. es ilpotete si... O. Mtriz periói. es periói e períoo p si p.

6 José Mrí Mrtíez Meio Ortogol: t Iempotete:. Compruéese que. Ivolutiv: Nilpotete:, pues O. (Compruéese.) Periói: es periói e perioo, esto es,. Rgo e u mtriz El rgo e u mtriz es el úmero e fils o uls que tiee ih mtriz. (U fil es ul uo toos sus elemetos so eros.) El rgo e u mtriz es el úmero e fils lielmete iepeietes que tiee ih mtriz. (Dos fils so lielmete iepeietes uo o hy relió e proporioli etre sus elemetos orrespoietes; esto es, uo u fil o puee oteerse multiplio l otr por u ostte: j i k. Si lo exteemos tres fils se terá: si q p, l terer fil epee lielmete e ls os primers; e so otrrio so lielmete iepeietes.) Si u mtriz se somete trsformioes elemetles su rgo o vrí. U trsformió elemetl osiste e l sustituió e u fil por ell mism más l sum e otrs fils multiplis por úmeros. Pr hllr el rgo e u mtriz oviee her e ell trsformioes elemetles, uso oteer eros e lgu e ls fils. Si se otiee u fil e eros, o os fils igules, o os fils proporioles, se suprime l fil ul o u e ls os proporioles. ilizo el proeso, el úmero e fils o uls que quee e l mtriz es el orrespoiete su rgo.. L mtriz tiee u fil ul. Su rgo es.. El rgo e l mtriz es el mismo que el e l mtriz

7 José Mrí Mrtíez Meio, que vle, pues l fil ª se suprime por ser proporiol l ª.. L mtriz B. Como e l últim mtriz o se igu relió e epeei etre sus fils (es imposile her u fil e eros) el rgo e B vle. Not. E el tem e etermites se verá otr téi pr lulr el rgo. Mtriz ivers U mtriz ur, es iversile (o ivertile) si existe otr mtriz, e igul tmño, que se eot por y se llm mtriz ivers e, tl que: I, sieo I l mtriz ieti el mismo tmño que. vertei. Pr que u mtriz teg ivers es eesrio que se ur y que su rgo oii o su ore. L ivers e l mtriz es. Pr omprorlo st o ver que I :. Cálulo e l mtriz ivers Métoo ireto:. Se esrie e fuió e tts iógits omo se eesrio.. Se he el prouto y se igul l mtriz I el mismo tmño.. Resolvieo ls euioes resulttes se otiee los elemetos e Si, supoemos que. Hieo e igulo I se tiee: I

8 , ;, Luego NOT: Este métoo result emsio egorroso pr mtries e myor tmño. Métoo e Guss.. Se ñe l ereh e l mtriz l mtriz ieti; se form sí l mtriz ( / I).. Se trsform ih mtriz, meite sums y rests e fils, hst llegr l mtriz (I / ). Pr l mism mtriz, formmos: ( ) I Iiimos ls trsformioes. Se otiee: ( ) I ( ) I ( ii que se sum l segu fil l primer;, que l primer fil se le rest l segu multipli por ). L mtriz ivers e es. Not. Pr mtries e myor tmño este métoo result más lorioso; por eso, e el tem e etermites se verá otr téi más efiz pr lulr l ivers e u mtriz. lgus propiees relios o l mtriz ivers.. Si tiee ivers, su ivers es úi.. Si u fil o u olum e l mtriz es ul, etoes o es iversile.. Si y B so ivertiles y el mismo tmño, etoes su prouto tmié tiee ivers, que vle: ( B) B.. Si tiee ivers, etoes su trspuest tmié tiee ivers, que vle: ( t ) ( ) t. José Mrí Mrtíez Meio

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