TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 6.1. Ecuaciones de la recta. - Vector director. - Ecuación vectorial. - Ecuaciones paramétricas. - Ecuación contínua. - Ecuación general. - Ecuación punto-pendiente. - Ecuación explícita Posiciones relativas de dos rectas en el plano. - Posiciones de dos rectas. - Rectas paralelas y perpendiculares. - Rectas paralelas a los ejes de coordenadas Problemas de incidencia y paralelismo. - Distancia entre dos puntos. - Distancia entre un punto y una recta. - Distancia entre dos rectas. - Simétrico de un punto respecto a una recta Circunferencia. - Ecuación de la circunferencia. - Posiciones relativas de dos circunferencias. - Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.

2 6.1. Ecuaciones de la recta. que Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea un punto cualquiera de la recta r. Si consideramos los vectores se cumple que. Como además los vectores y son paralelos se tiene que, con lo. Esta es la ecuación vectorial de la recta. En coordenadas Ecuaciones paramétricas. Si en la ecuación anterior igualamos las componentes de los vectores tendremos que Ecuación contínua. Despejando en ambas ecuaciones e igualando: Ecuación general o implícita. Multiplicando en cruz en la igualdad anterior y pasando todos los términos al primer miembro se obtiene, y llamando, y nos queda la ecuación: Vector asociado a la recta. Consideremos el vector. Si multiplicamos, con lo que el vector es perpendicular a la recta r. Es el llamado vector normal o asociado a r. Pendiente. Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo que forma dicha recta con el semieje positivo de abscisas. O lo que es lo mismo al ángulo formado por su vector director y el eje de abscisas. Por tanto, si el vector director es,

3 Ecuación punto pendiente. En despejo y tengo es decir Ecuación explícita. A partir de, quitando paréntesis y despejando y tenemos y haciendo tenemos, donde m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen, es decir, el punto en el que la recta corta al eje de ordenadas. 1. a) Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector. b) Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y tiene como vector director 2. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos y. 3. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos y tiene como vector director. 4. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos y tiene como vector director. 5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(0,8) y por el punto medio del segmento de extremos P(6,0) y Q(-2,4). 6. Halla tres puntos de cada una de las siguientes rectas: a) b) c) d) e) 7. Halla tres puntos de cada una de las siguientes rectas: f) g) h) i) j) 8. Pertenece el punto P(-10,4) a la recta? Y Q(38, -7? k) Pertenecen los puntos P(0,4) y Q(1,2) a la recta? 9. Halla la ecuación general de la recta que pasa por A(2,4) y tiene pendiente m=4.

4 10. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene 30 de inclinación. (Recuerda la definición de pendiente) 11. Halla un punto, un vector director, la pendiente y un vector asociado a cada una de las siguientes rectas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 12. Escribe la ecuación general de las siguientes rectas: a) b) c) d) 13. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,4) y tiene la misma inclinación que la recta que pasa por los puntos B(8,9) y C(-2,4). 14. Escribe la ecuación de una recta: a) Paralela a y que pase por el punto P(2,-4). b) Paralela a y que pase por el punto P(3,-1). c) Paralela a y que pase por el punto P(2,-4). d) Perpendicular a y que pase por el punto P(8,9). e) Paralela a y que pase por el punto P(2,3). f) Perpendicular a y que pase por el punto P(2,3). g) Pendiente m=4 y que corta al eje de ordenadas en el punto P(0,3) 15. Dada la recta de ecuación, escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita. 16. Dada la recta de ecuación, escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial, general y punto-pendiente. 17. Halla el valor de a para que la recta pase por el punto A(3,1). 18. Escribe de todas la formas posibles las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(-2,5)

5 6.2. Posiciones relativas de dos rectas en el plano. Dadas las rectas de ecuaciones y Pueden ser: Para saber su posición relativa consideramos las siguientes proporciones: - Si - Si 1. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) y. b) y. c) y d) y e) y f) y g) y h) y

6 6.3. Problemas de incidencia y paralelismo Distancia ente dos puntos. Es el módulo del vector que definen. Si y entonces Distancia entre un punto y una recta. Si y la distancia entre ellos se calcula usando la fórmula Distancia ente dos rectas. Es la mínima distancia ente un punto de r y un punto de s, por lo que: - Si son secantes - Si son coincidentes - Si son paralelas donde P es un punto cualquiera de r. 1. Halla la distancia entre los puntos A(2,4) y B(-3,5). 2. Halla la distancia entre los puntos P(0,-4) y Q(-3,7). 3. Halla el perímetro del triángulo de vértices A(4,1), B(3,5) y C(-2,2). 4. Halla la distancia del punto P(-2,2) a la recta 5. Halla la distancia del punto P(5,2) a la recta 6. Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta. 7. Halla el área del triángulo de vértices A(1,2), B(4,3) y C(3,6). 8. Halla el área del triángulo de vértices A(5,2), B(0,5) y C(-3,1). 9. Halla la distancia entre los siguientes pares de rectas: a) y. b) y. c) y d) y e) y 10. Halla el punto de corte de las rectas y 11. Halla el simétrico del punto A(3,2) respecto de la recta.h 11. Halla el simétrico de O(0,0) respecto de la recta. 12. Halla el simétrico de P(-2,2) respecto de 13. Halla la mediatriz del segmento de extremos A(3,4) y B(5,0).

7 6.4. Circunferencia. Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia. Sea C(a,b) el centro de la circunferencia y r su radio; y sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia. Entonces d(c,p)=r, es decir,. En coordenadas: deduce la ecuación de la circunferencia:, de donde se 1. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene: a) Centro C(2,3) y radio 5. b) Centro C(-1,4) y radio 4. c) Centro C(6,0) y radio 3. d) Centro C(0,0) y radio Halla el centro y el radio de las circunferencias de ecuaciones: a) (x-2)² + (y-4)² = 16. b) (x+1)² + (y-3)² = Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro los puntos P(-2,3) y Q(-8,5). 4. Comprueba si los puntos A(-2,3), B(-8,5), C(2,1) y D(-4,3) pertenecen a la circunferencia (x+5)² + (y-4)² = Determina la ecuación de la circunferencia de centro en P(2,-3) y que es tangente al eje de abscisas. 6. Halla la ecuación de una circunferencia concéntrica con (x-3)² + (y-4)² = 4, y que pasa por el punto P(-2,3) 7. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por O(0,0), P(2,0) y Q(0,3). 8. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(3,0) sabiendo que es tangente a la recta x+y-24=0. 9. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con x²+y²-17=0 que sea tangente a la recta de ecuación 3x-4y+25=0.

8 Posición relativa de una recta y una circunferencia. Sean C el centro de la circunferencia, r su radio y s una recta. Si la recta es exterior a la circunferencia. Si la recta es tangente a la circunferencia. Si la recta es secante a la circunferencia. 1. Estudia la posición relativa de: (en el caso en que se cortan halla sus puntos de corte) a) La recta 7x-y+12 = 0 y la circunferencia (x-2)²+(y-1)² = 25 b) La recta x+y-3 = 0 y la circunferencia (x-2)²+(y+1)² = 2. c) (x+3)²+(y+7)² = 25 y la recta x-2y+12 = 0. Posición relativa de dos circunferencias.