Geometría vectorial. [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Cálculo III - Geometría vectorial 1

Transcripción

1 Geometría ectorial [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Cálculo III - Geometría ectorial

2 El espacio R Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales Las coordenadas rectangulares en el plano se generalizan de manera natural a las coordenadas rectangulares en el espacio. La posición de un punto en el espacio queda descrita por su localización con respecto a tres ejes coordenados perpendiculares entre sí y que pasan por el origen 0. 0 P(x, y, z) Cálculo III - Geometría ectorial

3 Cada par de ejes determina un plano coordenado. La figura muestra el plano XZ Cálculo III - Geometría ectorial

4 Vectores en el espacio R Si utilizamos los ectores unitarios i, j, k, el ector =(a, b, c) se denotará también = a i + b j + c k. Cálculo III - Geometría ectorial 4

5 Suma en R Ponderación en R Cálculo III - Geometría ectorial 5

6 El producto escalar o producto punto en R Si = (,, ) y u = (u, u, u ) son ectores de R, el producto escalar o producto punto de y u es: u = + u + u u El producto escalar o producto punto nos permite calcular: () Longitud o norma de los ectores = = + + () Distancia entre ectores d(, u) = u Cálculo III - Geometría ectorial 6

7 () Ángulo entre ectores: o equialente, u cos θ = u θ = cos u = u u u cos θ Cálculo III - Geometría ectorial 7

8 (4) Proyecciones u La proyección escalar de u en. u comp u = = u cos θ El ector proyección de u en. θ comp (u) pr (u) = u u pr (u) Cálculo III - Geometría ectorial 8

9 Ejercicio: Considere los ectores = (, -, ) y u = (4,, -). a) Muestre un ector unitario en la dirección opuesta a. b) Calcule el ángulo entre y u. Ejercicio: Calcule el ángulo ABC si A, B, C son los puntos A = (, -, -), B = (4,, -5) y C = (, -, ). Ejercicio: Describa el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y, z) que satisfacen simultáneamente los siguientes pares de ecuaciones: a) z = 4y, x = 4 b) z =, x + y = 4 Cálculo III - Geometría ectorial 9

10 Las gráficas de las superficies z = 4y y z = x + y - que se muestran a continuación se realizaron con Maple. plotd(4y^, x=-4..4, y=-4..4, axes=normal, labels=[y,x,z]); plotd(x^+y^-, x=-4..4, y=-4..4, axes=normal, labels=[y,x,z]); Cálculo III - Geometría ectorial 0

11 Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen simultáneamente z = 4y, x = 4? (Ejercicio Diap 9) > p:=plotd(4*y^,x=-4..6,y=-4..4,axes=normal,labels=[y,x,z]): > p:=plotd([4,y,z],y=-4..4,z= ,axes=normal,labels=[y,x,z],color= yellow): > p:=plotd([4,y,4*y^],x=-4..4,y=-4..4,thickness=4): > plots[display]({p,p,p}); Cálculo III - Geometría ectorial

12 Cuál es la ecuación de la esfera E con centro en el punto C(a, b, c) y de radio r? E = { P(x, y, z) / d(p, C) = r } = { (x, y, z) / (x a) + (y b) + (z c ) = r } Podemos concluir que la ecuación de la esfera E es (x a) + (y b) + (z c) = r Ejercicio: Determine la ecuación de la esfera que tiene como diámetro el segmento de recta que une A(-,, ) con B(5, -, 7). Cálculo III - Geometría ectorial

13 El producto ectorial o producto cruz en R Si u = (u, u, u ) y = (,, ) son ectores de R, el producto ectorial o producto cruz de u y es: u = = i u (u u j u u k )i (u u )j + (u u El producto ectorial tiene las siguientes propiedades algebraicas: ) x = 0 ) x 0 = 0 = 0 x )k Cálculo III - Geometría ectorial

14 ) u x = -( x u) 4) u x ( + ) = (u x ) + (u x ) 5) u x a = a (u x ) = au x, a R 6) u ( x w) = (u x ) w (Producto mixto) El producto ectorial tiene las siguientes importantes propiedades geométricas: ) u x es ortogonal a u y a ) u x = 0 (u = α = βu) u // Cálculo III - Geometría ectorial 4

15 ) u x = u sen α, con α ángulo entre u y. u x corresponde al área A del paralelógramo que tiene a u y a como lados adyacentes. h Como sen α =, y el área A = u h h = sen α u = u sen = u x α 4) De lo anterior sigue que el área A del triángulo que tiene a u y a como lados adyacentes es A = u. Cálculo III - Geometría ectorial 5

16 Por ejemplo, para calcular el área del triángulo de értices A(,,5), B(,,0) y C(-, 0, 5) consideramos los ectores u = AB = (,0,-5) y = AC = (-,-,0) y calculamos el producto ectorial de los ectores u y. El área es: A = u = (5, 5,6) = 486 Ejercicio: Muestre que los puntos A(,,), B(,, 4), C(6, 5, ) y D(7, 7, 5) son értices de un paralelógramo. Cálcule el área de ese paralelógramo. Cálculo III - Geometría ectorial 6

17 El producto mixto El producto mixto de los ectores u = (u, u, u ), = (,, ) y w = w, w, w ) es el número real: u ( w ) = u w u w u w El alor absoluto del producto mixto corresponde al olumen del paralelepípedo que forman los ectores u, y w. β A V = A h = w ( u cos β) = u w cos β = u ( w) Cálculo III - Geometría ectorial 7

18 Rectas en el espacio Una recta en el espacio se determina mediante un punto fijo Q(x,y,z ) y un ector fijo = (a,b,c) llamado ector director de la recta. Un punto P(x,y,z) está en la recta que pasa por Q y que tiene ector director si QP // QP = t, algún t R (x - x,y y,z z) = (ta,tb,tc) x = x + at (*) y = y + bt z = z + ct Las ecuaciones (*) son las ecuaciones paramétricas (no únicas) de la recta L. Cálculo III - Geometría ectorial 8 Q P L

19 Si llamamos w = OP y w 0 = OQ a los ectores de posición de P y Q respectiamente, entonces QP = w w 0 y la ecuación de la recta se expresa: w w 0 = t o bien, w = w 0 + t (ecuación ectorial de L) Si a, b, c son distintos de cero, podemos despejar t en las ecuaciones paramétricas de L para obtener: x x y y z z = = a b c ecuaciones simétricas de L. Cálculo III - Geometría ectorial 9

20 Ejercicios: Determine, ) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(-,, 5) y es paralela al ector = (5,, -). ) Las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por A(-4,, ) y B(-, 5, ). ) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(, -, ) y es perpendicular tanto al eje X como a la x 4 y z recta cuyas ecuaciones simétricas son = =. 5 4) La intersección de las rectas L de ecuaciones x = + t, y = t, z = +t y L de ecuaciones x = s, y = s y z = +s. Cálculo III - Geometría ectorial 0

21 Planos en el espacio Un plano en el espacio puede caracterizarse de arias maneras: como el plano que pasa por tres puntos no contenidos en una recta, como el plano que contiene a una recta y a un punto que no está en la recta o como el plano que pasa por un punto y es perpendicular a una dirección dada. Un punto P(x,y,z) está en el n plano que pasa por Q(x,y,z ) y es perpendicular al ector no nulo n = (a, b, c) (ector normal) si el P Q ector QP es perpendicular a n, es decir, n QP = 0. Cálculo III - Geometría ectorial

22 Si llamamos w = OP y w 0 = OQ a los ectores de posición de P y Q respectiamente, entonces QP = w w 0 y la ecuación n (w w 0 ) = 0 constituye la ecuación ectorial del plano. Como w - w 0 = (x x 0, y y 0, z z 0 ), la última ecuación puede escribirse: a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 (ecuación cartesiana del plano que contiene a Q y con ector normal n). Más aún, puede expresarse ax + by + cz + d = 0. Cálculo III - Geometría ectorial

23 Dos planos en el espacio o son paralelos o se intersectan en una recta. Si π y π son planos con ectores normales n y n, entonces π // π n // n Si los planos se intersectan, el ángulo entre ellos es tal que cosθ = n n n n Y estos planos serán perpendiculares cuando n = n 0 θ Cálculo III - Geometría ectorial

24 Ejercicios: ) Calcule el ángulo entre los planos cuyas ecuaciones son x y + z = 0 y x + y z = 0. Además determine la recta intersección de estos planos. ) Determine el punto en el cual la recta intersecta al plano x + y + z =. x = y + = z 4 ) Determine la ecuación del plano que pasa por P(-4,-,) y que es paralelo al plano XY. 4) Encuentre una ecuación para el plano que pasa por los puntos A(,,), B(0,4,) y C(-,,4). Cálculo III - Geometría ectorial 4

25 > p:=plotd(x+.5*y,x=-..,y=-..,axes=normal,labels=[y,x,z],color=blue): > p:=plotd(-x+*y,x=-..,y=-..,axes=normal,labels=[y,x,z],color=yellow): > plots[display]({p,p}); > with(geomd): > plane(p,*x+*y-*z=0,[x,y,z]), plane(q,x-*y+z=0,[x,y,z]): > line(l,[p,q]); l > Equation(l,'t'); [t, 4t, 7t] recta intersección de los planos del Ejercicio Cálculo III - Geometría ectorial 5

26 Distancia entre un punto y un plano en el espacio Si P es el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 y A(x 0, y 0, z 0 ) es un punto del espacio, entonces la distancia ax entre P y A es P 0 + by 0 + cz0 + d d(, A) = a + b + c Distancia desde un punto a una recta en el espacio Si L es una recta que tiene a u como ector director, Q es un punto de L y A es un punto del espacio, la distancia QP u entre A y L es d(a, L) =. u Cálculo III - Geometría ectorial 6

27 Ejercicios: ) Calcule la distancia entre el punto P y el plano de ecuación -x + y + z = 9 si i) P(, 6, ) ii) P(,, -). ) Calcule la distancia entre los planos paralelos de ecuaciones x - 4y + 5z = 9 y x 4y + 5z = 4. ) Determine la distancia que hay desde el punto A(, -, 4) a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x = - + t, y = -t, z = + 4t. Cálculo III - Geometría ectorial 7