CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García

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1 INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior Departamento de Matemáticas 1

2 3. Funciones. Límites de funciones 3.1. Funciones Comencemos introduciendo los conceptos de función, dominio e imagen: Definición 3.1. Una función es una regla cualquiera que hace corresponder un número real y sólo uno a cada número de un cierto conjunto. f(x) es el valor de la función f en el punto x. En muchas ocasiones, las funciones se expresan por medio de una fórmula como, por ejemplo, f(x) = 3x + 5. Esta fórmula nos dice que f asocia a cada número el triple de su valor más cinco unidades; así f asocia a 2 el valor 11, puesto que f(2) = = 11. Pero una función no tiene necesariamente que poder ser expresable por medio de una fórmula como, por ejemplo, la siguiente función definida para x R mediante: { 0, si x es racional, f(x) = 1, en caso contrario. Tampoco es necesario que esté definida para todos los números reales; así llamamos: Definición 3.2. El dominio de una función es el conjunto de números para los que está definida, y se denota por Dom(f). Si no se especifica nada, se sobreentiende que el dominio de una función está formado por todos los números para los cuales tiene sentido la definición. Habitualmente escribiremos f : A B para denotar que A es el conjunto inicial o dominio y B el conjunto final, de tal manera que a cada número de A la función f le asocia un número de B. Definición 3.3. La imagen de una función es el conjunto de los valores y tales que existe un número x con f(x) = y, y se denota por Im(f). Definición 3.4. La gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano: {(x, f(x)) : x Dom(f)}. Esos pares se representan en el plano coordenado. Definición 3.5. Una función f es periódica de periodo k si f(x + k) = f(x) para todo x Dom(f). 12

3 Es fácil comprobar que si k es un periodo para f, entonces también lo son k, 2k, 2k y, en general, lo es nk para cualquier n Z. Decimos que k es el periodo mínimo de f si k > 0 y no existe ningún otro periodo T de f con 0 < T < k. Definición 3.6. Una función es inyectiva si f(x) = f(y) = x = y. Entonces, la gráfica de una función inyectiva sólo puede cortar una vez a cada recta horizontal. Definición 3.7. Una función es sobreyectiva (o suprayectiva) si la imagen es todo el conjunto de llegada o conjunto final. Si f : A B es sobreyectiva, entonces Im(f) = B. Definición 3.8. Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Para aprovechar las simetrías de la gráfica de una función definimos: Definición 3.9. Decimos que una función f es par si f(x) = f( x) para todo x Dom(f). Decimos que la función f es impar si f( x) = f(x) para todo x Dom(f). La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje y, mientras que la de una función impar es simétrica respecto del origen. Funciones pares son, por ejemplo, 1, x 2, x 4, x 2n con n N, mientras que son impares x, x 3, x 2n+1 con n N. Un ejemplo de función par muy útil es el valor absoluto, definido como: x = { x, si x 0, x, si x < 0. Las funciones polinómicas son las que están dadas por un polinomio: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, donde los números a 0,..., a n son reales y sobreentendemos que a n 0. El exponente de la potencia más alta de x con coeficiente distinto de cero es el grado de f. Su dominio es siempre todo R y la imagen de las de grado impar también es todo R, pero no es así con las de grado par. Las raíces del polinomio son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X, es decir, los valores de x tales que f(x) = 0; luego si el grado es n, a lo más puede haber n puntos de corte con el eje X, pero puede que haya menos. Las funciones polinómicas más sencillas son las que tienen por gráfica una recta, que corresponden a polinomios de grado cero (recta horizontal) y polinomios de grado uno (recta oblicua). Las funciones dadas por el cociente de dos polinomios se llaman racionales y su dominio es todo R salvo los puntos en que se anula el denominador. En el estudio del dominio de las funciones dadas por raíces cuadradas o de orden par hay que tener en cuenta que el radicando debe ser siempre no negativo, es decir, mayor o igual que cero. Las raíces de orden impar están definidas siempre. Las funciones trigonométricas son el siguiente tipo de funciones que consideraremos. Estamos hablando de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, junto con sus funciones inversas que definiremos más adelante. El valor de cos x y el de sen x son respectivamente la abscisa y la ordenada de un punto situado en la circunferencia de radio 1 centrada en el origen y situado sobre la línea que forma un ángulo x con el eje X positivo. A partir del seno y el coseno se definen las otras funciones mediante: tan x = sen x cos x, cos x cotan x = sen x, sec x = 1 cos x, cosec x = 1 sen x. Los ángulos se pueden expresar en grados, pero es mucho más útil desde el punto de vista del cálculo utilizar el radián como unidad. Un radián es el ángulo cuyo arco es igual al radio de la circunferencia. Así, 360 grados son 2π radianes, y 90 grados son π/2. Las propiedades de las funciones secante, cosecante y cotangente se deducen de las de las funciones coseno, seno y tangente, por lo que nos centraremos en estas últimas. 13

4 Las funciones seno y coseno tienen por dominio toda la recta, son periódicas de periodo 2π y su imagen es el intervalo [ 1, 1]. La función tangente no está definida en el conjunto de puntos { π 2 + kπ : k Z}, que es donde la función coseno se anula, su imagen es todo R y tiene periodo π. Además, la función seno es impar: sen( x) = sen x, al igual que la tangente: tan( x) = tan x, mientras que el coseno es par: cos( x) = cos x. Se cumple la relación fundamental: y las siguientes fórmulas para los ángulos dobles: sen 2 x + cos 2 x = 1, sen(2x) = 2 sen x cos x, cos(2x) = cos 2 x sen 2 x, tan(2x) = 2 tan x 1 tan 2 x. Éstas son un caso particular de las fórmulas para el seno, el coseno y la tangente de la suma y la diferencia: Además, sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x, sen(x y) = sen x cos y sen y cos x, cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y, cos(x y) = cos x cos y + sen x sen y, tan(x + y) = tan x + tan y tan x tan y, tan(x y) = 1 tan x tan y 1 + tan x tan y. sen(x + π/2) = cos x, sen(x + π) = sen x, tan(x + π/2) = cotan x. sen(π/2 x) = cos x, cos(π/2 x) = sen x, cotan(π/2 x) = tan x. Las funciones secante y cosecante son periódicas de periodo 2π al igual que lo son el coseno y el seno, mientras que la cotangente es periódica de periodo π, igual que la tangente. Sus dominios son todo R salvo los puntos en los que se anulan sus denominadores respectivos. En cuanto a simetrías, la secante es par: sec( x) = sec x y la cosecante y la cotangente impares: cosec( x) = cosec x, cotan( x) = cotan x. Otras funciones de importancia son las logarítmicas y exponenciales. La exponencial a x (con a > 0) tiene por dominio todo R y por imagen (0, ), mientras que el logaritmo log a x, como función inversa que es de la exponencial (ver Definición 3.10), tiene por dominio (0, ) y por imagen R. La notación habitual para el logaritmo en base e o logaritmo neperiano es ln x o equivalentemente log x, y sólo cuando la base no es e se escribirá explícitamente. La base de un logaritmo, al igual que de la exponencial, puede ser cualquier número positivo. y por tanto, log a x = b a b = x e b log a = x b log a = log x, log a x = b = log x log a. Las propiedades fundamentales de los logaritmos son (para a, x, y > 0 y c R): log a 1 = 0, log a a = 1, log a x + log a y = log a (xy), ( ) x log a x log a y = log a, log y a x c = c log a x. Las exponenciales se definen para bases positivas, como ya hemos dicho, y sus propiedades fundamentales son: a 0 = 1, a 1 = a, a b a c = a b+c, a b a c = c ab c, (a b ) c = a bc, ab = a b/c. La exponencial e x suele denotarse también como exp x. Otra forma de construir funciones es considerar las funciones inversas de aquellas que ya conocemos, en el sentido de que deshacen lo que hacen las otras. Definición La función inversa de una cierta f dada es (si es que existe) otra función llamada f 1, tal que (f f 1 )(x) = x = (f 1 f)(x) cuando estas composiciones tienen sentido. 14

5 Un ejemplo es log x frente a e x : log(e x ) = x = e log x. Para que exista la inversa de una función f es necesario que ésta sea inyectiva, como las anteriores, pero si no lo es podemos definir una inversa de la función considerando como dominio de f solamente un trozo donde sí lo sea. Así, f(x) = x 2 es inyectiva en [0, ), y su inversa allí es x. En las funciones inversas (si f es inyectiva): Dom(f 1 ) = Im(f) e Im(f 1 ) = Dom(f). Podemos definir así inversas para las funciones seno, coseno y tangente si reducimos su dominio. Para sen x tomamos [ π/2, π/2], donde es inyectiva, y a su inversa la llamamos arcoseno, denotándola por arc sen x; por tanto: Dom(arc sen x) = [ 1, 1], Im(arc sen x) = [ π/2, π/2]. Para cos x tomamos el intervalo [0, π] ya que, en él, es inyectiva. Su inversa, el arcocoseno, que denotamos por arc cos x, tiene: Dom(arc cos x) = [ 1, 1], Im(arc cos x) = [0, π]. La tangente tiene inversa, la arcotangente, cuando nos restringimos a ( π/2, π/2). Se denota por arctan x, y para ella Dom(arctan x) = R, Im(arctan x) = ( π/2, π/2). Así definidas, el arcoseno y el arcotangente son funciones impares; el arcocoseno no es par ni impar. La gráfica de f 1 es fácil de dibujar a partir de la de f, pues es la curva simétrica de la de f respecto a la recta y = x, que es la bisectriz del primer y el tercer cuadrante Límites de funciones Definición Decimos que lím f(x) = l (y se lee: el límite cuando x tiende a x 0 de f(x) es l) si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) l < ε si 0 < x x 0 < δ. Definición Un entorno reducido de x 0 es un conjunto de la forma (x 0 δ 1, x 0 + δ 2 ) \ {x 0 }, o lo que es lo mismo, (x 0 δ 1, x 0 ) (x 0, x 0 + δ 2 ), para algunos δ 1, δ 2 > 0. Teorema 3.1. Si existe el límite cuando x tiende a x 0 de f(x), entonces es único. Es decir, si lím f(x) = l y lím f(x) = m, entonces l = m. Teorema 3.2. Si existen lím f(x) y lím g(x), entonces: (1) lím ( f(x) + g(x) ) = lím f(x) + lím g(x). (2) lím ( f(x)g(x) ) = ( lím f(x) )( lím g(x) ). lím f(x) f(x) (3) lím g(x) = lím g(x), si lím g(x) 0. ( ) g(x) ( (4) lím f(x) = lím f(x) ) lím g(x), si el resultado es distinto de 0 0. (5) lím log a f(x) = log a ( lím f(x) ), si a > 0 y lím f(x) > 0. El teorema anterior es también válido cuando alguno o ambos de los límites de las funciones f y g son infinitos, siempre que las expresiones que aparecen con los límites estén definidas o tengan sentido. Dichas 15

6 expresiones y sus correspondientes valores son los siguientes (a denota siempre un número real) a + =, a =, + =, =, =, =, a = 0, a =, si a > 0, a = ±, si a 0, 0 a =, si a > 0, a = 0, si a < 0, =, = 0, a =, si a > 1, a = 0, si 0 a < 1, 0 a = 0, si a > 0, log a 0 =, si a > 1, log a 0 =, si 0 < a < 1, log a =, si a > 1, log a =, si 0 < a < 1. Existen expresiones cuyo valor no se puede determinar previamente, ya que el resultado puede ser distinto en cada caso. A estas expresiones las llamamos indeterminaciones, y las más importantes son las siguientes:,, 0 0, 0, 0, 0 0, 1, 1. Definición a) Decimos que lím f(x) = l (y se lee: el límite cuando x tiende a x 0 por la derecha de x x + 0 f(x) es l) si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) l < ε si x (x 0, x 0 + δ). b) Decimos que lím f(x) = l (y se lee: el límite cuando x tiende a x 0 por la izquierda de f(x) es l) si x x 0 para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que f(x) l < ε si x (x 0 δ, x 0 ). Teorema 3.3. Se tiene que lím f(x) = l si y sólo si lím f(x) lím f(x), entonces no existe lím f(x). x x + 0 x x 0 lím f(x) = x x + 0 Además de los límites anteriores podemos definir los límites infinitos. lím f(x) = l. En particular, si x x 0 Definición a) Decimos que lím f(x) = si para todo número real M existe un δ > 0 tal que f(x) > M si 0 < x x 0 < δ. b) Decimos que lím f(x) = si para todo número real M existe un δ > 0 tal que f(x) < M si 0 < x x 0 < δ. De forma similar pueden definirse los límites infinitos cuando x x + 0 y x x 0. También pueden definirse los límites de funciones en el infinito. Definición a) Decimos que lím f(x) = l si para todo ε > 0 existe un número real M tal que x f(x) l < ε si x > M. b) Decimos que lím f(x) = l si para todo ε > 0 existe un número real M tal que f(x) l < ε si x x < M. De forma similar pueden definirse los límites infinitos en el infinito. Debemos plantearnos ahora una pregunta importante: son ciertos los teoremas anteriores para todas estas clases de límites? La respuesta es sí, siempre que tengan sentido. Estudiemos cada caso particular con detalle. El Teorema 3.1 también se verifica para todos estos tipos de límites, ya sean laterales, infinitos, en el infinito, etc. El Teorema 3.2 se verifica para todos estos tipos de límites, ya sean laterales, infinitos, en el infinito, etc., con la única salvedad de que hay que dar sentido a expresiones en las que puede aparecer infinito. Dichas expresiones son las que ya se han visto antes. De igual forma, las indeterminaciones también son las mismas. El Teorema 3.3 también es cierto si el valor de los límites es ó. 16

7 Teorema 3.4. Si lím f(x) = 1 y lím g(x) es ó, entonces ( ) g(x) lím lím f(x) = e (f(x) 1)g(x), si existe el límite lím (f(x) 1)g(x), donde α puede ser x 0, x + 0, x 0, ó.