MATEMÁTICAS II SISTEMAS DE ECUACIONES

Transcripción

1 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. SISTEMS DE ECUCIONES. Considérese el siguiente siste de euiones lineles (en él,, son dtos; ls inógnits son,, Si, son no nulos, el siste tiene soluión úni. Hllr dih soluión. Ordenos el siste pr trjr on or oodidd: El deterinnte de su tri de oefiientes vle: Mdrid: Junio 96 oo, son no nulos por hipótesis, en onseueni el siste tiene soluión úni, que enontrreos por el étodo de Crer. ; ;. Resuelve el siguiente siste: plindo el étodo de Guss: v 4 v 4 4 6v Mdrid: septiere F F 4 4 ( ) ( ) rng rng Siste optile indeterindo on tnts soluiones oo eleentos tiene R El siste propuesto es equivlente : - -

2 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. v 4 4 β v 4 ν β 4 β β (,,, v) (, β,, β ) (,,,) (,,, ) β (,,, ) (, β ) R. Ddo el siste de euiones: k : 5 k ) Disutirlo pr los distintos vlores del práetro k. ) Resolverlo undo se posile. Mdrid: prue tipo 8_9 ) Coo, siste tiene soluión si sólo si ( ) el rngo de l tri de oefiientes es pr ulquier vlor de k. rng. El rng k 5 k Si k rng ( ) rng ( ) Si k ( ) ( ) k 5 k k k Siste optile deterindo rng rng Siste inoptile ) Pr k el siste es equivlente : { Pr d vlor del práetro rel k se onsider el siste de euiones: k 5 k ) Disutir el siste según los vlores de k. ) Resolver el siste en los sos que se optile. Mdrid: Prue tipo - ) Coo el rngo de l tri de oefiientes es, por lo que el siste será optile si solo si ( ) rng k k 4k k k 5 k ( ) ( ) ( ) ( ) k k rng rng Siste inoptile k k rng rng Siste optile deterindo - -

3 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ) En ulquier de los dos sos en los que el siste es optile, se puede presindir de l terer euión resolver on ls dos priers. plios el étodo de Guss después prtiulrios pr d vlor de k. F F 9 k k k 6 6 k k 7 4 k NOT: Tién podríos her resuelto por seprdo, sustituendo k por después por. 5. Ddo el siste:, se pide: 7 ) Disutirlo pr los diferentes vlores del práetro. ) Resolverlo undo se optile. ) ( ) Prue tipo _ rng. rng ( ) depende de 7 8. Si ( ) ( ) Si ( ) ( ) 8 rng rng. Siste optile deterindo. 8 rng rng. Siste inoptile. ) El siste es optile si 8, en uo so un de ls euiones, por ejeplo l terer, es oinión linel de ls otrs dos, por lo que st resolver: Ddo el siste 4, se pide: ) Disutir el siste según los vlores del práetro. ) Resolver el siste undo se posile. Mdrid: Junio de 9 ) ( ) rng L optiilidd del siste depende de:

4 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 6 rng ( ) rng ( ) ( ) ( ) El siste es optile deterindo 6 rng rng. Siste inoptile ) Se oprue que pr l soluión es pr 6 : Ddo el siste de euiones lineles: {, se pide: ) Disutir el siste según los vlores del práetro. Resolverlo undo l soluión se úni. ) Deterinr pr que vlor o vlores de el siste tiene un soluión en l que. Mdrid: Junio 8 ) ; Cso :. Siste optile deterindo, siendo l soluión: Cso : Cso : ( )( ) ( )( ) { ( )( ) { Siste optile indeterindo. Siste inoptile. ) { ( ) { Pr o el siste tiene un soluión en l que. est is onlusión llegos ronndo de l siguiente for: o Si el siste es optile indeterindo, siendo sus soluiones ls de l euión, un de ls ules es e. o Si el siste es inoptile, por lo que no tiene soluión, en prtiulr no puede her un en l que. o En ulquier otro so el siste es optile deterindo, siendo: : - 4 -

5 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 8. Ddo el siste de euiones lineles: ) Disutirlo según los vlores de. ) Resolverlo undo se optile indeterindo Mdrid, prue tipo 4-5 ) Por ser un siste hoogéneo, es optile R. El núero de soluiones depende del rngo de l tri de oefiientes, que su ve depende de los deterinntes: rng ( ). Pr rng, pues l enos unos de los enores nteriores es no nulo. rng ( ) rng ( ) siste optile indeterindo rng ( ) rng ( ) siste optile deterindo. Soluión trivil es ( ) ) Es optile indeterindo pr, siendo el siste equivlente : ( ) ( ) ( ) ( ),,,, R 9. Se l tri. Pr d núero rel definios l tri B I, donde I es l tri identidd. ) Hllr los vlores de que hen que el deterinnte de B se nulo. ) Resolver el siste B pr los diferentes vlores de. Mdrid, prue tipo - ) B B, que se nul pr ) Pr se trt de un siste optile deterindo, que l ser hoogéneo, su úni soluión es l trivil: Pr el siste es optile indeterindo, on tnts soluiones oo R. Tondo oo euión prinipl: (, ) (, ) R Pr el siste es optile indeterindo, on tnts soluiones oo R. Tondo oo euión prinipl: (, ) (, ) R - 5 -

6 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones.. ) Resolver el siste de euiones: ) Hllr ls onstntes β de ner que l ñdir l siste nterior un terer euión 5 β, el siste resultnte se optile indeterindo. ) Se oprue que el siste es optile indeterindo, u soluión es:,, 5, 7, ) 5 β ( ) ( ) Mdrid: junio de 5 Sigue siendo optile indeterindo si ( ) ( ) os que ourre si: rng rng Ls onstntes usds son: 6 β 5 Por Guss Pr que el siste se optile indeterindo tiene que ser rng ( ) rng ( ) ourre si l últi fil se nul: 6 6 β 5 β 5, os que. Ddo el siste de euiones:, se pide: 5 ) Clulr de ner que l ñdir un terer euión de l for el siste resultnte teng ls iss soluiones que el siste originl. ) Clulr ls soluiones del siste ddo tles que l su de los vlores de ls inógnits se igul 4. Mdrid: septiere de 7 ) El siste originl es optile indeterindo, pues ( ) ( ) se nteng l plirlo on un nuev euión: ser nulos: rng rng. Pr que esto 5, los dos deterinntes deen - 6 -

7 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones ) Ls soluiones pedids en el segundo prtdo son ls del siste: 5 5,, 4. Se onsider el siste S el deterinnte D: S D ) Si S es optile, se verifi entones que D? ) Si D, se verifi entones que S es optile? Ls tries de oefiientes plid del siste son, respetivente: Mdrid: prue tipo urso ) L prier firión es iert, pues si el siste es optile, oo rng( ), pr que ( ) ( ) rng rng, neesriente tiene que ser D. ) L segund no es iert, pues D rng( ). Es fáil enontrr un ejeplo en el que se ( ) rng r ( ). Disutir según los vlores de el siste: Método de Guss Mdrid: septiere

8 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ( ) rng, ( ) ( ) ( ) ( ) rng rng rng ( ) si si Si Siste optile indeterindo on tnts soluiones oo eleentos tiene R. rng rng Siste inoptile Utilindo deterinntes Coo 5 8 ( ) r. Por otr prte, 5 8 9, por lo que definitivente el rngo de es. El siste será optile si el rngo de l tri plid tién es, esto depende elusivente del deterinnte: Resuiendo: Si el siste es optie deterindo Si el siste es optile indeterindo 4. Ddo el siste de euiones: k k k k k k k k ) Disutirlo según los distintos vlores de k. ) Resolverlo pr k Mdrid: prue tipo 6_7 Método de Guss: k k k k k k k k k k k k k k k F F k k k k k k k ( ) rng k, el vlor definitivo del rngo depende de lo que ourr on ls dos últis fils. L últi fil se nul pr k k, ientrs que l segund se nul pr k, por lo que si k k rng ( ) si k si k ( ) ( ) k k rng rng Siste optile deterindo

9 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. k k ) Si k, el siste es equivlente Método de los enores: k k ( ) ( ) rng rng Siste inoptile ( ) ( ) rng rng Siste optile indeterindo, tnts soluiones oo eleentos de R (,, ) (,, ) R k k k k k det k k det ( ) { k k k ( ) ( ) rng rng Siste optile deterindo. k k, M ( ) ( ), M rng rng Siste inoptile ( ) ( ) rng rng Siste optile indeterindo Tondo oo enor de orden no nulo:, teneos oo euiones priniples: (,, ) (,, ) R 5, se pide: ) Disutirlo según los vlores del práetro. ) Resolverlo undo se posile.,,. 5. Ddo el siste de euiones lineles: ( ) ) Enontrr tods ls soluiones de l for ( ) Mdrid junio de ) Por Guss

10 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 6 6 si rng ( ) si Utilindo deterinntes rng ( ) R. ( ) rng 6 rng ( ) si si 5 6 ( ) rng R si siste optile deterindo si siste inoptile ) El siste tiene soluión si, siendo en ese so: ) Pr que l soluión se del tipo (,, ) 6 en ese so. 6 6, dee verifirse 4 6 5, siendo L úni soluión de l for (,, ) es (,, ) se d undo 5 6. Se onsider el siste de euiones lineles 5 6 ) Disutirlo según los vlores de ) Resolverlo pr el so Prue tipo urso

11 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. - - L relión dd se onvierte en un siste de euiones lineles l her ls operiones entre tries: L tri de oefiientes es: 5, uo deterinnte vle:. Se pueden presentr dos sos: rng( ) rng( ) siste optile deterindo rng( ) oo 8 6 5, rng( ) siste inoptile. Pr es un siste de Crer on : 6 5 Y sus soluiones son: 9 6 ; 6 5 ; Se onsider el siste de euiones: ) Disutir su optiilidd en funión del práetro. ) Hllr, undo eistn, sus soluiones. Mdrid, prue tipo Coo en l tri de oefiientes es, rng( ). Este rngo podrí ser tres, dependiendo de. Se oprue que R, por lo que rng( )

12 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. El siste será optile undo el rngo de l tri plid tién se, es deir undo, o lo que es lo iso, undo o rng( ) rng( ) siste optile indeterindo on tnts soluiones oo R Coo, toos oo euiones priniples ls dos priers e, oo inógnits priniples. rng( ) rng( ) siste optile indeterindo on tnts soluiones oo R Seguios tondo oo euiones priniples ls dos priers e priniples., oo inógnits 8. Disutir el siste según los vlores del práetro Resolverlo pr. Mdrid, junio rng( ) o ; Si rng( ) rng( ) Siste optile deterindo: 6 6 Si En este so oservos que en s tries es C C, por lo que presindios de un de ell. Seos que r ( M ), ientrs que en M: - -

13 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones por lo que r ( M ) en onseueni el siste es inoptile. Si En este so es rng( ) el de depende del deterinnte:, que es nulo, pues son igules l prier terer fil, por lo que rng( ) El siste es optile indeterindo on tnt soluiones oo eleentos tiene R. 6, toos oo inógnits priniples, oo no prinipl. Ls euiones 4 priniples serán entones ls dos priers: 6. 4 Es deir, ls soluiones son ls terns de l for: (,, ) (,, ) (,, ) (,,) 9. Ddo el siste ) Disutirlo según los vlores de. ) Resolverlo pr ) Resolverlo pr Mdrid, prue tipo 99- ) r () oo 6 ( ), result: optile indeterindo on tnts soluiones oo R rng( ) rng( ) Siste rng( ) rng( ) Siste optile deterindo. - -

14 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones ) Es evidente que en este so l prier l terer euión son igules, por lo que presindios de un de ells. plindo Guss: ) Pr, oo, el siste es optile deterindo. Resolviendo pr result:,,. Disutir el siste según los vlores del práetro resolverlo undo se posile. ( ) Mdrid, septiere 99 r ) ( oo, h que distinguir dos sos: Se trt de un siste de Crer, siendo sus soluiones:,, En este so: Y seos que rng( ) pr enontrr el de sólo h opror que:, por lo que rng( ) rng( ) Siste optile indeterindo, on tnts soluiones oo eleentos tiene R. ( ) deterin ls euiones e inógnits priniples R

15 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones.. Consideros el siste de euiones: ( ) ) Disutir según los vlores del práetro ) Resolver pr. ) Resolver pr. ( ) Mdrid: septiere de ) ( ) o Si rngo ( ) rngo( M ) siste optile deterindo Si : M En este so es inedito opror que rngo ( ) rngo( M ), porque en s es F F, por lo que es un siste optile indeterindo on tnts soluiones oo eleentos tiene R. Si : M En este so rngo ( ) on. Tién rngo ( M ), pues F F. Tién hor se trt de un siste optile indeterindo on tnts soluiones oo eleentos tiene R. ) Vios en el prtdo nterior que pr teneos un siste optile indeterindo, oservndo l tri M, equivlente : (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) R ) Tién por el prtdo nterior seos que pr el siste es optile deterindo: - 5 -

16 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones ) Disutir en funión del práetro k resolver el siste. 5 k S ) Disutir en funión de resolver undo se posile. S 5 Mdrid: septiere ) El siste es hoogéneo, por lo que siepre tiene soluión, el núero de ésts depende de: 4 5 k k Si k, el siste es optile deterindo, u úni soluión es l trivil. Si k el siste es optile deterindo on ) ( ) ( M rn rn. Tondo oo euiones priniples l prier terer: 5 ) Si opros este siste on el nterior, veos que ls tres priers euiones de este segundo, es el so nterior on k, es deir, preisente el so en el que un de ls euiones er oinión linel de ls deás, por lo que podeos presindir de un de ells. Presindios de l segund Si 7 el siste es optile deterindo, siendo su soluión: 7 4 4, , Si 7 oproos que ) ( ) ( M rn rn siste inoptile.

17 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones.. Ddo el siste: ) Disutir el siste según los vlores del práetro ) Resolver el siste pr ) Resolver el siste pr Mdrid: Junio ) C C Pr r ( ) r( ) Siste inoptile. Pr ls dos últis fils son proporionles: r ( ) r( ) Siste optile indeterindo on tnts soluiones oo R Pr r ( ) ( ) Siste optile deterindo. ) Pr el siste ddo es equivlente :,,,,,, ) Pr es equivlente : ( ) ( ) ( ) R 4. Se onsider el siste de euiones: ( ) ( ) ) Disutirlo pr los distintos vlores de ) Resolverlo pr Mdrid: junio de ) F F F F F F siste optile deterindo

18 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. rngo( ) oo rngo( ) siste inoptile ) Pr, según el prtdo nterior, el siste es optile deterindo, resultndo: 5. Ddo el siste de euiones: ( ) ( ) ( ) 4 ) Disutirlo según los distintos vlores del práetro. ) Resolverlo undo se optile indeterindo. Mdrid: junio de ( )( )( 4) 4 ( ) ( ) rng rng siste optile deterindo ( ) ( ) rng rng. Siste inoptile. ( ) ( ) rng rng. Siste inoptile. ( ) ( ) rng rng. Siste optile indeterindo Soluión:

19 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ( ) k 6. Ddo el siste de euiones lineles: k k, ( k ) k ) Disutirlo según los distintos vlores del práetro k. ) Resolverlo undo teng infinits soluiones. se pide: Mdrid: septiere de 7 Se k k k rng R., oo ( ) k k k k 5k Cso I Cso II ( ) ( ) rng rng. Siste optile deterindo ( ) ( ) rng rng Siste inoptile Cso III ( ) ( ) rng rng Siste optile indeterindo, on tnts soluiones oo eleentos tiene R Ddo el siste:, se pide: ) Disutir el siste según los vlores del práetro. ) Resolver el siste pr Mdrid: Junio de

20 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ) Si 5 rng ( ) rng ( ) es ( ) ( ) Se oprue que tnto pr 5 inoptile. siste optile deterindo. rng rng siste ) Pr seos que el siste es optile deterindo. Por Guss: El siste es equivlente : Disutir según los vlores del práetro resolver undo se posile: Mdrid: prue tipo / Coo ( ) rng ( 8) R 8 Pr 8 es un siste optile deterindo, siste de Crer Pr 4 6 ( ) ( 8) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Pr ) ( 8) ) ( 8) 8 rng rng siste inoptile. rng rng siste inoptile. - -

21 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 9. Ddo el siste: ( ) ( ) 4 ) Estudir su optiilidd según los vlores del práetro. ) Resolver el siste nterior undo se optile indeterindo. Mdrid: junio de 4 Se trt de un siste hoogéneo, por lo que siepre será optile. 4 ( ) Si ( ) ( ) Si rng siste optile deterindo, u úni soluión es l trivil. rng siste optile indeterindo, que resolveos por Guss El siste es equivlente R. Ddo el siste:, se pide: ) Otener los vlores del práetro pr los ules el siste tiene soluiones distints de. ) Resolver el siste pr 5 ) El siste hoogéneo tiene soluión distint de l trivil si sólo si ( ) 6 5, 5 El siste tiene soluión distint de l trivil si 5. ) Pr 5 es ( ) ( ) rng rng Mdrid: septiere de 9 rng - -

22 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones.. Disutir rondente, en funión del práetro k, el siguiente siste: k k k k k ( k ) Mdrid: prue tipo 9_ k k k k k k k k k k k k Pr k k el siste es optile deterindo k k 4 k k ( ) ( ) rng rng Siste inoptile. ( ) ( ) rng rng Siste optile indeterindo k k k. Ddo el siste hoogéneo:, 4 k ) Deterínese pr qué vlores de k el siste tiene soluiones distints de l trivil. ) Resuélvse pr el so k ) El siste tiene soluiones distints de l trivil undo k 4 k Mdrid: junio de, generl: - k k 5 k k 5 k 5 k 7 rng k R : 4 No se pide, pero podeos ñdir que ddo que ( ) Si k 5 k ( ) ( ) rng rng. Siste optile deterindo, u úni soluión es l trivil. Si k 5 k rng rng. Siste optile indeterindo on ( ) ( ) tnts soluiones oo eleentos tiene R. ) Coo se h diho nteriorente, pr k el siste es optile indeterindo, equivlente : - -

23 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones Ddo el siste:, se pide: ) Disutirlo pr los distintos vlores del práetro. ) Resolverlo pr. β 7 R 5β 4β β R 4β Mdrid: junio de, generl: B- rng. ) Disusión del siste: ( ) ; Si, Si entones ( ) ( ) rng ( ) ( ) ( ) rng rng. Siste optile deterindo.. ( ) rng. rng rng siste optile indeterindo on tnts soluiones oo eleentos tiene R Si rng ( ) ( ) ( ) rng rng siste inoptile.. ( ) 4 rng. ) Resoluión pr. Heos visto que en este so el siste es optile indeterindo, equivlente : (,, ) (,, ) (,, ) 4. Se onsider el siste:. 5 ( ) 9 ) Disútse según los vlores de. ) Resuélvse pr. Mdrid: junio de, espeífi: B- - -

24 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. rng. ) Disusión del siste: ( ) Si 5, ( ) ( ), ( ) Si 4 6. rng rng. Siste optile deterindo. rng Siste inoptile. ) Resoluión pr. deterindo ( ) rng 5 9. Pr este vlor de el siste es optile Siste equivlente : k 5. Ddo el siste: k k k, se pide: k k ) Disutirlo según los vlores del práetro k. ) Resolverlo pr k. ) Resolverlo pr k ) 4 k k k k Si k k ( ) ( ) Si k rng ( ) rng ( ). k 4 k kk 4 Septiere de : B- rng rng. Siste optile deterindo. Siste optile indeterindo on tnts soluiones oo eleentos tiene R. k rng rng. Siste optile indeterindo on tnts Si ( ) ( ) soluiones oo eleentos tiene R. ) Pr k, plindo Guss: - 4 -

25 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 4 4 F F F F F F F F 4 4 El siste propuesto es equivlente : ) Pr k, operndo oo en el so nterior: 4 4k k k k k k k El siste propuesto es equivlente : F F F F R Ddo el siste:, ) Disutirlo según los vlores de. ) Resolverlo undo 4. ) Resolverlo undo se pide: Junio ) 7 5. rng ( ) rng ( ) Siste optile deterindo ( ) ( ) rng rng. Siste optile indeterindo, on tnts soluiones oo eleentos tiene R. ) Pr 4, es siste es optile deterindo:

26 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. El siste es equivlente 4 ) Pr el siste es optile indeterindo Equivlente 7 7. Ddo el siste de euiones: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ) Disutirlo según los distintos vlores del práetro rel ) Resolverlo undo teng infinits soluiones., se pide: Mdrid: Prue tipo urso 7_8 ) Cso I Cso II ( ) ( ) rng rng Siste optile deterindo ( ) rng 7 ( ) rng Cso III ( ) Siste inoptile. rng Siste optile indeterindo. ( ) rng - 6 -

27 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones ) H que resolver pr. Tondo oo euiones priniples ls dos últis: R 8. Se onsider el siste en ls inógnits,,, t t t ) Enuentr los vlores de pr los que el rngo de l tri de oefiientes del siste es ) Resolver el siste nterior pr Mdrid: junio 998 Es un siste hoogéneo, por lo que tiene soluión, su núero depende del rngo de: El estudio de este rngo lo heos por el étodo de Guss, pr lo que onviene desplr el práetro todo lo posile hi l prte inferior dereh de l tri: 4 C C t 4 t t ( ) rng NOT: Tién podríos herlo heho on enores. Coo, pr que ) ( rng deen nulrse siultáneente: 4 6 os se nuln pr. Pr este vlor del práetro es rng( ) ) Pr es rng( ), por lo que el siste tiene tnts soluiones oo R

28 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. t El siste es equivlente : t t t 9. Se onsider el siste de euiones: ) Disutirlos según los vlores de ) Resolverlo pr ) Resolverlo pr Mdrid, junio de ) L tri no es udrd, pero sí, por lo que podeos eper lulndo ( ) Ci C4 ( ) ( )( ) rng ( ) 4 > rng ( ) Siste inoptile. Ci C4 F 4 F ( ) ( ) rng rng Siste optile deterindo - 8 -

29 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ( ) ( ) rng rng Siste optile indeterindo on tnts soluiones oo eleentos tiene R. ) Pr el siste ddo es equivlente : β ) Pr l úni euión independiente es: β β NOT: Disusión por Guss F F i En ese so podeos dividir l prier fil por : F 4 F F F Si deás de ser es, ningun de ls fils de l tri es nul, por lo que tnto oo tienen el áio rngo que sus diensiones periten: ( ) ( ) siste inoptile. rng rng 4 Pr finlir el estudio de l optiilidd hrí que nlir los sos, que hríos oo se h visto nteriorente. 4. Dd l tri, se pide: ) Estudir el rngo de según los vlores del práetro. ) En el so, resolver el siste. t Mdrid: septiere de - 9 -

30 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ) Si nos fijos en ls oluns, veos que C C C, por lo que podeos presindir de ell l estudir el rngo: ( ) rng rng. ( ) ( ) rng. En este so ( ) ( )( ). rng ( ) rng, pues. rng ( ) rng. ) Se trt de resolver un siste hoogéneo, lo heos por Guss:. El siste es equivlente : t (,,, t) (,,, ) R es soluión del siste t t 4. Se onsidern ls tries B on R. ) Enuentr los vlores de pr los que B es invertile. ) Enuentr los vlores de pr los que B es invertile. ) Ddos núeros reles ules quier, puede ser optile deterindo el siste:? Mdrid, junio

31 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ) B ( B) B, es deir, si. ) 4 B 4 F 4F B F F. Es deir, B nun tiene invers. ) El siste nun puede ser optile deterindo, que tiene tres inógnits ientrs que r ( ),, 4. Dds ls tries: 4, B, X ) Estudir el rngo de según los vlores de. ) Clulr el deterinnte de. ) Pr, resolver el siste X O. d) Pr, resolver el siste X B. ) plindo Guss 4 ( ), O, se pide: Mdrid prue tipo 4-5 rng, porque l segund fil no se nul pr ningún vlor de. Usndo deterinntes rng ( ) rng, siendo si se nuln siultáneente: Coo R, definitivente ( ) rng ) F F ) Pr, plindo el étodo de Guss: - -

32 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. El siste es equivlente : R R 4 4 d) Heos plios Guss El siste es equivlente : 4 R 4. Siendo ls tries: B ) Se uple l iguldd rngo( B) rngo( ) rngo( B)? Justifi l respuest. ) Enuentr tods ls tries X tles que X I d e f t ) Eiste lgun tri Y udrd de orden, tl que Y B? Justifi l respuest. Mdrid: septiere de 998 ) Es inedito opror que r( ) r( B) r ( ) r( B) 4, ientrs que B es un ti, por lo que su rngo es enor o igul que, por lo es iposile que se upl l iguldd ) X I d e f d e f e f Este siste, si oservos dos dos sus euiones, sundo ls dos priers se otiene que de l segund se otiene. Sundo ls dos últis se otiene que d de l urt euión result e f Resuiendo, l tri X es de l for: X β β El siste se pude resolver reurriendo un étodo ás generl, por ejeplo el de Guss: - -

33 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. - - f e d Que se onvierte en tringulr, si llevos l olun de los oefiientes de l finl. Efetivente: f e d l resolverlo se otiene el resultdo nterior, pero siepre que se posile seprrlo en sistes independientes, será ás óod su resoluión. 44. Estudi, en funión de, el rngo de M. Pr, oprue si eiste un tri d d d X tl que I X M. Heos l disusión por el étodo de Guss F F F F F F F F L últi fil se nul pr ±. Pr tién se nul l segund, pero no pr, por lo que el rngo es: si si si ) ( r Pr el so, result:

34 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones I X M d d d d d d Es deir: d d, u tri de oefiientes es: El siste es inoptile, es deir no eiste l tri X. 45. Se onsider l tri ) ( t t t ) Deterin los vlores del núero rel t pr los que el deterinnte de ) (t es ero. ) Hllr l invers de l tri ) (t pr t ) Resolver pr t el siste: ) ( t Prue tipo urso ) ) ( t t t t t, que se nul pr t t. ) Coo ) (, ) ( tiene invers. Llevndo t en l epresión de ) (t oteniendo l orrespondiente tri de djuntos, result: d) Lo resolveos pr t plindo el étodo de Guss:

35 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones el siste es equivlente : 46. Dd l tri, se pide: ) Enontrr los vlores de pr los que tiene invers. ) Pr, hllr l invers de opror el resultdo. ) Resolver el siste pr Mdrid: prue tipo 99- ). Coo: ( ) ( )( ) 4, 4 ) Pr es. Oteniendo l tri de djuntos, result: ) er unos de los vlores que nuln el deterinnte, por lo que en este so el siste no es de Crer. Lo disutios, si proede resolveos, por el étodo de Guss. F F F F. Es siste es optile indeterindo, equivlente : β ( ) ( ) ( ) R,,,,,,

36 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 47. Dd l tri ) Clul el rngo de en funión de los vlores de. ) Pr el so, disute el siste resuélvelo undo se posile. ) Pr, resuelve. en funión de los vlores de Junio : - ) 4 ±. Por otr prte, si sustituios estos vlores en, result: 4 4 ) Pr 4 vlor de 8 6 : si, on lo que: rng ( ) si rng ( ). El rngo de l tri plid depende del Si el siste es inoptile. Si el siste es optile indeterindo, equivlente : 4 R ) Según el prier prtdo, el siste propuesto es optile deterindo. Resolveos plindo el étodo de Guss. 6 6 El siste propuesto es equivlente : 6-6 -

37 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 48. ) Disutir, según los vlores de, el siste de euiones X B, donde:,, B ) Resolver el siste en los sos Junio : B- F F F ),. ( ) ( ) ( ) rng rng siste optile deterindo, Siste optile indeterindo F F ( ) ( ) rng rng, 4 Siste inoptile ( ) ( ) rng rng ) Pr, el siste es equivlente R Pr l soluión del siste es:,, k k k Dds ls tries: k, B, C X, k ) Hllr el rngo de, en funión de los vlores de k. ) Pr k, hllr, si eiste, l soluión del siste X B. ) Pr k, hllr, si eiste, l soluión del siste X C. se pide: Junio :

38 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. k k k k k k k k k k k k k k Si k k k ( ) rng. 4k k k k 4kk Si k Si k Si k ( ) rng ( ) rng ( ) rng ) Pr k, independienteente de l tri de térinos independientes, el siste es optile deterindo ) Si k ( ) El siste es equivlente rng, el siste es indeterindo o inoptile: El siste es inoptile 5. Dd ls tries, X O, se pide: t ) Clulr el deterinnte de. Deterinr el rngo de según los vlores de. ) Resolver el siste hoogéneo X O en el so. ) Resolver el siste hoogéneo X O pr. Septiere - 8 -

39 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ) Fi Fi F De este resultdo deduios que: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si rng 4 ( ) Si rng ( ) Si rng 4 si rng ( ) si si β γ ) Pr el siste es equivlente : t, β, γ ϒ. β t γ 4 Oserv que tiene tnts soluiones oo eleentos R R t t ) Pr el siste es equivlente : t ϒ t 4 Oserv que tiene tnts soluiones oo eleentos R R - 9 -

40 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. 5. Dd l tri, X X pr lgún R. deterin tods ls tries X no nuls tles que Mdrid, prue tipo _4 ( ) X X X X O I X O, siendo O l tri olun nul de orden tres. I X O tiene soluio- Se trt de verigur pr qué vlores de, el siste hoogéneo ( ) nes distints de l trivil. Ests soluiones no triviles eisten si ( ) rng I < I I 6 8; 6 8 I el siste ( ) Pr I X O es equivlente β β β L euión triil X X tiene soluiones distints de l trivil undo. En ese so ls soluiones son ( ) X β β R β R 5. Consider el siste de euiones lineles: donde R ( ) ) Deterin pr qué vlores de el siste es optile deterindo. ) Deterin pr qué vlores el siste es optile indeterindo lul sus soluiones. ) Clul B, siendo l tri de oefiientes del siste, B >. Indiión: no se neesit lulr t ) ( )( ) Si ( ) rng. El siste es optile deterindo (soluión trivil) - 4 -

41 Mite Gonále Jurrero Proles PU. Sistes de euiones. ) Si rngo( ). Presindiendo de l segund euión, el siste es equivlente Si rngo( ) Presindiendo de l segund euión, el siste es equivlente 5 ) Se B Y, l tri usd. Multiplios en est iguldd por l iquierd por l tri. B Y B Y Es deir el produto que se nos pide Y, es l soluión del siste originl on térinos independientes l tri B. Si oservos ien est tri plid, l olun de los térinos independientes es su de ls tres oluns de l tri de oefiientes. Esto supone que el vlor de ls tres inógnits tiene que ser B 5. Se onsider un siste S de euiones lineles on n inógnits, que es optile deterindo. Se S el siste que result de presindir en S de l últi euión. Contest de for rond: ) Puede ser inoptile el siste S? ) Es optile el siste S? ) H de ser optile indeterindo el siste S? Mdrid: septiere 997 ) No. Si on ondiiones no hí inoptiilidd, tpoo puede herl on. ) Sí, por l rón nterior. ) No neesriente, si > n, l eliinr un euión el siste seguirí siendo optile deterindo. En el so prtiulr de que fuer n, el siste resultnte serí un siste de Crer