Unidad 8: Óptica. Naturaleza de la luz. II Propagación de la luz

Transcripción

1 Óptica 7.1 Unidad 8: Óptica I Naturaleza de la luz Durante la historia, han ido apareciendo distintas teorías acerca de la luz. Dos teorías se demostraron como las más competentes: La teoría corpuscular, defendía que los focos luminosos emitían pequeños corpúsculos que eran interpretados por nuestros ojos como imágenes. Estas pequeñas partículas permitían explicar fenómenos como la reflexión y la refracción muy fácilmente, sin embargo fallaba al explicar fenómenos como la difracción. Además, dos luces podían cruzarse sin estorbarse. Su principal impulsor en el s XVII era Isaac Newton. La teoría ondulatoria, consideraba que la luz era la propagación de una perturbación ondulatoria en el medio. No encontraba dificultad para explicar los fenómenos, sin embargo, en un principio se consideraba que las ondas necesitaban de un medio material para propagarse, por lo que hubo que inventar un medio material que llamaron éter que permitiera esa propagación. Su principal defensor era Christiaan Huygens Ambas teorías convivieron en el tiempo, la primera se impuso durante bastante tiempo sólo gracias al mayor prestigio de Newton. El descubrimiento de fenómenos de interferencia (Thomas Young) y el de Maxwell de que la luz era realmente una onda electromagnética decantaron definitivamente la balanza a favor de la teoría ondulatoria a finales del s XIX. Un fenómeno inexplicado a principios del siglo XX que consiste en obtener electrones al iluminar ciertos metales con luz, condujo a Einstein (basándose en el trabajo de Plank) a introducir unas partículas de luz, llamadas fotones, para explicarlo de energía E=h ν. Más tarde, Louis de Broglie propone que si la luz (onda) puede comportarse como partícula (corpúsculo) un corpúsculo se debe porder comportar como onda. En algunos experimentos se demuestra el carácter ondulatorio de la materia. Actualmente se acepta el principio de dualidad onda corpúsculo. En ciertos experimentos la luz se comporta como una onda y en otros se comporta como corpúsculo. Cómo pueden convivir ambas realidades es algo que se ampliará en la unidad de Física Cuántica. II Propagación de la luz La luz propaga sus frentes de ondas en todas direcciones en un medio homogéneo e isótropo. Las líneas perpendiculares a estos frentes de ondas se conocen con el nombre de rayos de luz. No podemos ver los rayos, lo más parecido que se ha podido construir a un rayo de luz es un haz láser, que emite fotones de luz coherente en una dirección determinada. Su velocidad de propagación es de c = m/s en el vacío o el aire. En otros medios materiales transparentes, la velocidad es algo menor. Definimos el índice de refracción n como el cociente de la velocidad de la luz entre la velocidad de la luz en el medio. Será por tanto un número mayor que la unidad.

2 Óptica 7.2 n= c v A veces se usa el índice de refracción relativo de dos medios que es el cociente de los índices de cada uno de los medios: n 2,1 = n 2 n Principio de Fermat Llamamos camino óptico al producto del índice de refracción del medio por el camino recorrido: C = n s Si la luz en su recorrido atraviesa varios medios con índices de refracción distintos: n C=n 1 s 1 +n 2 s 2 + = n i s i = n(s) ds i=1 El principio de Fermat establece que la luz sigue siempre un camino óptico mínimo (el tiempo empleado entre dos puntos es el mínimo posible). 2 - Leyes de la Óptica Geométrica Experimentalmente, se comprueba que la luz al cambiar de medio a otro con distinto índice de refracción cambia su dirección de propagación. Esto fue enunciado por Snell en 1620 en su famosa ley de Snell. Para entender la ley hay que tener en cuenta una serie de definiciones: La superficie que separa un medio de otro se supondrá plana Al rayo que incide sobre la superficie de separación se le llama rayo incidente Al rayo que se propaga por el segundo medio se le llama rayo refractado Al punto de contacto de los rayos con la superficie de separación lo llamaremos punto de incidencia A la línea perpendicular a la superficie que pasa por el punto de incidencia la llamaremos normal a la superficie. Los ángulos de incidencia y refracción se miden a partir de la normal 2.1) Ley de Snell n i sen i=n r sen r

3 Óptica ) Ley de la reflexión Es aplicable cuando tras tocar el rayo la superficie de separación, se mantiene en el mismo medio. Si aplicáramos la ley de Snell teniendo en cuenta que n i =n r sen i=sen r Se deduce entonces la ley de la reflexión i= r En superficies irregulares, los rayos reflejados salen en direcciones distintas (reflexión difusa), pero si la superficie es pulida, todos los rayos reflejados salen en la misma dirección (reflexión especular). Es fácil comprobar que una reflexión especular produce una inversión izquierda-derecha. 3 - Fenómeno de Reflexión Total Si nos paramos a analizar la ley de Snell, vemos cuando pasamos de medio con un índice de refracción mayor a uno con índice menor, el ángulo refractado es siempre mayor que el de incidencia. Si vamos aumentando el ángulo incidente, el refractado llega un momento que se convierte en 90º. En este momento, el ángulo incidente se conoce con el nombre de ángulo límite. Si seguimos aumentando el ángulo de incidencia, se produce el fenómeno de reflexión total y todos los rayos de luz que inciden se reflejan especularmente en la superficie. Una de las aplicaciones más importantes de éste fenómeno es la fibra óptica, que es capaz de guiar rayos de luz a grandes distancias por reflexión total. Ejercicios 1. Una onda electromagnética que se propaga en el vacío tiene una longitud de onda de m. Calcula su longitud de onda cuando penetra en un medio de índice de refracción 1,5. 2. Una lámpara de sodio emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío λ 0 = 5, m (luz amarilla) que se propaga en el agua, cuyo índice de refracción es 1,34. Halla: 1. La velocidad de propagación de la luz en el agua. 2. La frecuencia y la longitud de onda de dicha luz en el agua. 3. Si un rayo incide desde el aire (n a = 1) con un ángulo de 60º con respecto a la normal, calcula el índice de refracción del segundo medio para que el ángulo refractado sea la mitad. 4. Un rayo de luz monocromática que se propaga por el aire incide sobre una superficie de agua. Determina el ángulo de incidencia para el que el rayo reflejado es perpendicular al

4 Óptica 7.4 refractado (el índice de refracción del agua vale 1,33). 5. Estudia el comportamiento de un rayo de luz que incide en una lámina transparente de caras planas y paralelas. 6. Considera dos láminas de caras plano paralelas de espesor 1,5 cm cada una, unidas por una de sus caras. El índice de refracción de la primera es 1,4 y el de la segunda, 1,8. Calcula la desviación que sufre un rayo que incide en la primera de las caras con un ángulo de 60º, desde el aire. 7. Estudia el comportamiento de un rayo de luz que incide en una cara de un prisma óptico de ángulo φ. 8. Sobre un prisma de 45º e índice de refracción 1,6 incide un rayo que forma un ángulo de 40º con la normal de la primera cara del prisma. Calcula el ángulo de salida del rayo emergente y el ángulo de desviación. 9. Calcula el ángulo que forman entre si, los rayos rojo y violeta después de atravesar una lámina de caras plano paralelas de 3 cm de longitud si el índice de refracción para cada color es: n r = 1,32; n v = 1,35 y el ángulo de incidencia es de 30º. 10. A la luz del resultado anterior, explica el fenómeno de dispersión cromática (colores) que sucede en los prismas. 11. Un rayo de luz monocromática que se propaga por el aire incide sobre una superficie de agua. Determina el ángulo de incidencia para el que el rayo reflejado es perpendicular al refractado (el índice de refracción del agua vale 1,33). 12. Calcula el ángulo límite para un rayo de luz que se propaga en agua y quiere salir al aire. 13. El brillo de las piedras preciosas se debe a las múltiples reflexiones que se producen en su interior. Calcula a partir de qué ángulo se produce la reflexión total entre el diamante y el aire si sus índices de refracción son: n D = 2,42 y n A = Un haz de luz que viaja por el aire incide sobre un bloque de vidrio. Los haces reflejado y refractado forman ángulos de 30º y 20º, respectivamente, con la normal a la superficie del bloque. 1. Calcula la velocidad de la luz en el vidrio y el índice de refracción de dicho material. 2. Explica qué es el ángulo límite y determina su valor para al caso descrito. 15. Un rayo de luz verde pasa de una placa de vidrio de índice de refracción n = 1,5 al aire. La longitud de onda de la luz en la placa es m. Calcula: 1. La longitud de onda de la luz verde en el aire. 2. El ángulo crítico a partir del cual se produce la reflexión total. 16. Un rayo monocromático incide en la cara vertical de un cubo de vidrio de índice de refracción n = 1,5 sumergido en agua. Con qué ángulo debe incidir para que en la cara superior del cubo haya reflexión total?

5 III Sistemas ópticos Óptica 7.5 Cuando la luz se propaga a través de distintos medios materiales se usan los siguientes conceptos: Rayo de luz La perpendicular a los frentes de ondas. Sus trayectorias son reversibles y además son independientes de otros rayos (pueden cruzarse sin variar sus trayectorias) Sistema óptico Son los distintos medios materiales que va atravesando el rayo en su propagación caracterizados por su índice de refracción. Cuando los centros de todos los medios materiales se pueden unir mediante una línea recta, se dice que el sistema óptico es centrado. Si un punto de luz (objeto) tras atravesar el sistema se convierte en otro punto de luz (imagen) se dice que el sistema es estigmático (en caso contrario es astigmático) 1 - Convenio DIN Para estudiar los sistemas ópticos se usan las normas DIN. La luz se propaga siempre de izquierda a derecha Las distancias positivas o negativas se miden según unos ejes cartesianos con origen en el centro del sistema óptico. Los ángulos respecto a la normal son positivos si se gira el rayo hacia la normal en sentido horario y negativos en caso contrario. Los ángulos respecto al eje óptico siguen la notación habitual vista en matemáticas Las magnitudes y símbolos referidas a la imagen, son las mismas que las referidas al objeto pero con una prima 2 - Dioptrio esférico Llamamos dioptrio la superficie de separación de dos medios isótropos y homogéneos con distinto índice de refracción. Si ésta superficie es esférica (R=cte) el dioptrio se llama esférico. Si tenemos en cuenta la imagen, aplicando Snell a la refracción que sucede Teniendo en cuenta la geometría de la imagen, n 1 sin î=n 2 sin î ' Triángulo PAC: Triángulo ACP: α+β+(180º î )=180º î=α+β î ' +α' +(180º β)=180º r =β α'

6 Óptica 7.6 Sustituyendo en la ley de Snell n 1 sin(α+ beta)=n 2 sin (β α') En la aproximación paraxial (ángulos pequeños) sin φ φ En esta aproximación la ley anterior queda como n 1 (α+β)=n 2 (β α') Por otra parte los ángulos se pueden expresar en función de las distancias α=tan α= h s β=senβ= h R con lo cual la ley de Snell queda como n 1( h s + h R) =n 2( h R h s' ) α'=tan α '= h s' si simplificamos y operamos: n 2 s ' n 1 s = n n 2 1 R Ec. General del Dioptrio Esférico Los rayos paralelos al eje que atraviesan un dioptrio esférico se juntan en un punto llamado foco. Existen dos focos, el foco objeto y el imagen. La distancia al foco imagen (distancia focal imagen) se puede obtener con s= : f ' = n 2 R n 2 n 1 La distancia al foco objeto (distancia focal objeto) se obtiene con s'= : f = n 1 R n 2 n 1 Si dividimos ambas relaciones Si sumamos ambas relaciones f f '= n 1 n 2 f + f '=R Dividiendo la ecuación general del dioptrio entre su segundo miembro se puede llegar a f s + f ' =1 Fórmula de Gauss s' Aumento lateral de un dioptrio es el cociente del tamaño de la imagen y la del objeto β= y' y = n 1 s' n 2 s Aumento lateral Ejercicios: 1. Escribe las ecuaciones del dioptrio cuando la superficie de separación es plana ( R= ) 2. Explica por qué al mirar el fondo de un estanque en calma parece menos profundo de lo que en realidad es (n agua > n aire ). Para ayudarte, obtén la imagen de un objeto puntual situado en el fondo. 3. Calcula la posición de las focales objeto e imagen de un sistema óptico formado por una canica de vidrio de índice de refracción n = 1,4 y radio R = 2 cm. Si la canica tiene una burbuja a 1 cm de su centro, en qué posición la verá un observador?

7 Óptica Calcula la profundidad real a la que se encuentra un pez que observamos a 1 m de profundidad, en el agua n = 1,33. Recuerda que lo que vemos es la profundidad aparente. 5. Una moneda de plata está en el fondo de una piscina de 4 m de profundidad. Un haz de luz reflejado en la moneda emerge de la piscina formando un ángulo de 20º respecto a la superficie del agua y entra en el ojo de un observador. Dibuja el esquema de rayos. Calcula la profundidad a la que el observador ve la moneda. Compara esta altura con la que se apreciaría si el observador se situara en la vertical de la moneda. 6. En una pecera esférica de 35 cm de radio y llena de agua con índice de refracción n = 1,33, se encuentra un pez situado exactamente en el centro de la misma. Calcula la posición en que se observará el pez desde el exterior, si el índice de refracción del aire es n = 1. IV Trazado de rayos Para encontrar dónde se forma la imagen de un objeto en un sistema óptico, debemos recordar que los puntos sobre el eje del sistema óptico, tienen su imagen también sobre el eje. Además conviene trazar los siguientes rayos, cuyo comportamiento es fácilmente predecible: 1. Uno que llega paralelo al eje (desde el infinito) y que tras pasar por el sistema pasará por el foco imagen del mismo ( f ' ) 2. Uno que pasa por el foco objeto del sistema y que sale del mismo paralelo al eje. 3. Un rayo que pasa justo por el centro del sistema óptico y que no sufre ningún tipo de desviación. V Espejos Llamamos espejo a una superficie pulida y opaca que es capaz de reflejar los rayos de luz. Se suelen clasificar según su curvatura. Espejo esférico es el que tiene una superficie completamente esférica. Pueden ser cóncavos (R<0) o convexos (R>0). Se caracterizan por su centro de curvatura C que se encuentra a una distancia R del centro del espejo (O) situado sobre el eje óptico. Se pueden aprovechar las ecuaciones del dioptrio para obtener las del espejo esférico suponiendo que n 1 = n 2 (la luz cambia de sentido pero no de medio)

8 Su distancia focal es entonces f = n 1 R n 2 n 1 f = R 2 Óptica 7.8 Por otra parte del dioptrio n 2 s ' n 1 s = n n 2 1 R Y el aumento lateral es de β= n 1 s' n 2 s Ejercicio: 1 s ' +1 s = 2 R = 1 f β= s' s 1. Averigua las ecuaciones de un espejo plano ( R= ) 2. Ante un espejo cóncavo de 80 cm de radio y a 2 m de distancia se coloca un objeto de 10 cm de altura. Calcula la distancia focal, la posición de la imagen y su tamaño. 3. Delante de un espejo plano y a 30 cm de él se coloca un objeto de 1 m de altura. Calcula la distancia a la que se forma la imagen y su tamaño. 4. Sin hacer cálculos, indica las características de la imagen que se formará en un espejo de 15 cm de radio, cuando el objeto está situado a 7 cm. 5. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura R. Dibuja los diagramas de rayos necesarios para localizar la imagen de un objeto pequeño en forma de flecha situado sobre el eje del espejo a una distancia d del extremo del espejo en los casos siguientes: a) d = 2R b) d = R/3 6. Indica en cada caso si la imagen es virtual o real, derecha o invertida y reducida o ampliada. 7. Discute físicamente, ayudándote de un diagrama de rayos, si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Un espejo cóncavo no puede producir una imagen virtual, derecha y mayor de un objeto. 8. Un objeto está a 10 cm de un espejo convexo cuyo radio de curvatura es de 10 cm. Utiliza el diagrama de rayos para encontrar su imagen, indicando si es real o virtual, derecha o invertida. 9. Considera un espejo esférico cóncavo de 1 m de radio. Para este espejo determina: 1. Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su imagen sea derecha. 2. Las posiciones sobre el eje óptico principal donde hemos de colocar un objeto para que su imagen sea real. 3. La posición del objeto si su imagen es real y el aumento lateral vale Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de 60 cm. A 100 cm por delante del espejo colocamos un objeto de 10 cm de altura. 1. Calcula la posición de la imagen de este objeto. Di si la imagen es real o virtual. 2. Calcula la altura de la imagen y di si esta es derecha o invertida. 3. Haz un diagrama de rayos que represente la situación descrita en el que también aparezca la imagen.

9 Óptica En unos almacenes se utilizan espejos convexos, para conseguir un amplio margen de observación y vigilancia con un espejo de tamaño razonable. Uno de los espejos permite a la dependienta, situada a 5 m del mismo, inspeccionar el local entero. Tiene un radio de curvatura de 1,2 m. Si un cliente está a 10 m del espejo, a qué distancia de la superficie del espejo está su imagen? Está detrás o delante del espejo? Si el cliente mide 2 m, qué altura tendrá su imagen? 12. Puede formarse una imagen virtual con un espejo cóncavo? Razona la respuesta utilizando las construcciones gráficas que consideres oportunas. VI Lentes delgadas Una lente es un material transparente limitado por dos superficies esféricas. Según los radios de las superficies podemos encontrar distintos tipos de lentes (ver figura). Aplicando sucesivamente la ecuación de los dioptrios, sumando ambas expresiones y despejando se obtiene la ecuación de las lentes delgadas n 1 s ' n 1 s =(n 2 n 1 ) ( 1 R 1 1 R 2) Si esta lente se sitúa en el aire, n 1 = 1 con lo que obtenemos 1 s ' 1 s =(n 1) 2 ( 1 1 R 1 R 2) De esta ecuación se pueden obtener las distancias focales: 1 =(n f 2 1)( 1 1 R 1 R 2) y 1 f ' =(n 1) 2 ( 1 1 R 1 R 2) por tanto f = f ' Con las que se puede llegar a la ecuación del fabricante de lentes 1 s ' 1 s = 1 f ' Muchas veces, las lentes se caracterizan mediante la inversa de su distancia focal llamada potencia. Se mide en m -1 o dioptrías. D= 1 f Ejercicio: 1. Obtener las condiciones focales que se deben cumplir para que una lente sea convergente y para que sea divergente. 2. Calcula el valor de la distancia focal de una lente biconvexa simétrica de radio R = 2 m y n = 1,5.

10 Óptica Sin realizar ningún tipo de cálculos, indica las características de la imagen formada por una lente divergente cuando el objeto se sitúa muy lejos de la lente. 4. Obtén gráficamente la imagen de un objeto situado a una distancia de una lente delgada convergente igual a dos veces su distancia focal. Indica las características de la imagen obtenida. 5. Una lupa se emplea para poder observar con detalle objetos de pequeño tamaño. 6. Explica el funcionamiento óptico de una lupa: qué tipo de lente es? Dónde debe situarse el objeto? Su imagen, es real o virtual?, derecha o invertida? 7. Dibuja un trazado de rayos que explique gráficamente el proceso de formación de imagen de una lupa. 8. La lente delgada convergente de la figura tiene una focal imagen f = 40 cm. 1. Calcula la posición y el tamaño de la imagen de cada uno de los dos objetos indicados en la figura, O1 y O2, ambos de altura y = 2 cm. 2. Comprueba gráficamente tus resultados, mediante trazados de rayos.