Cálculo Diferencial - Parcial No. 2

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1 Cálculo Diferencial - Parcial No. 2 Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes Marzo 18 de 2010 Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma universidad Duración: 80 minutos No está permitido el uso de calculadoras, libros, apuntes, etc Resolver cada punto en una hoja separada. Todos los puntos valen lo mismo. Nombre: Sección: 1. Utilizando la definición de la derivada, demostrar que si y = f(x) = x 2 + 2x + 1, entonces dy dx = f (x) = 2x + 2.

2 2. Encontrar las derivadas de las sigientes funciones: (a) y = f(x) = 3x 2 2x+1 (b) y = g(θ) = e sin(2θ) (c) y = h(x) = ln(arcsin( x)) 2

3 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva cosh(xy) ln(x+y 2 ) = 1, en el punto (0, 1). Compruebe primero que el punto (0, 1) efectivamente pertenece a la curva. 3

4 4. Un hombre camina de izquierda a derecha a lo largo de un camino recto a una velocidad de 1,2 mts/sg. Una linterna ubicada a 6 mts del camino rota de tal forma que el rayo de luz siempre esta apuntando al hombre. (a) A que velocidad rota el rayo de luz en el momento en que el hombre se encuentra a una distancia de 8 mts a la derecha del punto del camino, más cercano a la linterna? Las unidades de su respuesta deben ser rad/sg. (b) A que velocidad aumenta la distancia de la linterna al hombre, en este mismo momento? 4

5 Segundo Parcial de Cálculo Diferencial Sección 21 Tema B Departamento de Matemáticas 8 de marzo de 2010 Nombre: Código: I. [20 puntos] Calcular lo siguiente: 1 1 x 2 a) lím. x 0 x 2 x b) lím + 2 x 1 x + 1. c) La derivada de f(x) = d) La derivada de f(x) = sin 2 sin x+cos x 2x 2 +x+1. ( e x2). II. [30 puntos] Resuelva los siguientes problemas mostrando todo su trabajo y justificando todas sus respuestas. a) Una función f está definida del modo siguiente: { x 2, x 0 f(x) = ax + b, x > 0. Hallar los valores de a y b de modo que f sea derivable en x = 0. b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = 3 2x 2 2x + 1 en el punto (1, 1). c) Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de f(x) = 1 2x x + 2 y úselas para dibujar una gráfica aproximada de f. 1

6 Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial Parcial 2 Estudiante: Marcar esta hoja y devolverla con la de procedimiento. Fecha: 1 Sea g(x) = x+3 1 2x. Entonces hallar g (x) a partir de la definicion de derivada como limite. (La derivada obviamente es un cociente pero se pide como limite) 2 Deducir la derivada de y = T g 1 (2x) 3 Obtener y en x = 0 si e xy (x + y) 2Ln = y + 2xy y o decir si no se puede determinar justificando. 4 Derivar F (x) si F (x) = 3Sen(2T g(ex ))( 5 x ) 4 y hallar la pendiente de la recta tangente a la curva del punto x = 0 5 Hallar los puntos en donde la recta tangente a la curva es horizontal. Y = Sen( x 2 ) Sept de 2010.

7 Parcial 2 Cálculo Diferencial Septiembre 23 de 2010 crg. 1. Derivadas! a) Derive las siguientes funciones, es decir calcule y. 1) (4 ptos) y = tan 2 (x) + 2 (1 3x) 2) (3 ptos) y ln(y) = x ln(x) 3) (2 ptos) y x = 2x b) Muestre que la ecuación dada es verdadera para las siguientes funciones. 1) (2 ptos) Si f(x) = sin(x) + cos(x) entonces 2) (2 ptos) Si f(x) = e x sin(x) entonces 2. Considere la siguiente ecuación y 2 x 2 = 1 f (x) + f(x) = 0 f (x) + f (x) f(x) = e x cos(x) a) (3 ptos) Calcule los puntos donde la recta tangente es paralela al eje x. b) (3 ptos) Muestre que en el punto ( 3, 2) la recta tangente es perpendicular a la recta y = 2 3 x Verdadero o falso: Respuesta sin justificación no será tenida en cuenta a la hora de calificar a) (2 ptos) Sea f(x) = x Entonces f(x) no es continua en dos puntos. b) (3 ptos) lím x 0 sin(2x) tan(x) no existe. 4. (6 ptos) Considere la siguiente función f(x) = { x si x 0 2ax b x+1 si x > 0. Calcule a y b tal que la función sea diferenciable en x = 0. crg 1

8 Segundo exámen parcial Cálculo Diferenciál. MATE , I semestre de Solucionar los siguentes problemas. 1. (2 puntos) Por cuales valores del parametro k la función definida por { x f(x) = x > 0 x 3 + k x 0 es continua? Por tales valores de k es la función tambien diferenciabile? Justificar las respuestas. 2. (2 puntos) Derive las funciones: i.) f(x) = log((1 + 1/ 7) 99 ). ii.) y = x2 + 1 x 3 1 ; iii.) y = 7 x cosx; iv.) y = 1 x x. 3. (1 punto) Encuentre dy/dx por derivación implícita. x3 + y 3 = 1 + xy. 1

9 4. (1 punto) Halle los valores máximo y mínimo absolutos de f sobre el intervalo dado. f(x) = log(x 2 + 2x + 1), [0, 2]. 2

10 Segundo Parcial Cálculo Diferencial MATE1203 Sección 17 Septiembre 24 de 2010 (Segundo semestre de 2010) Recuerde que, a menos que se indique expresamente lo contrario, usted debe justificar plenamente sus respuestas a través de un proceso matemático y/o de castellano escrito 1. Considere la función f(x) = 4x x+1. Problemas a) Determine la función f (x) a través de límites. b) Determine la función f (x) a través de propiedades de las derivadas. 2. Determine el valor del límite lím θ 0 sen(θ) θ + tan(θ) 3. Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva y = sec 2 (x) cuando x = π Determine la derivada de y respecto a x (tan simplificada como sea posible) cuando las variables x y y están relacionadas por la igualdad 5. Calcule la derivada de la función simplificando mientras sea posible. x 5 + y 5 + 5x 4 y + 5xy x 3 y x 2 y 3 = 32. f(x) = ln( x x) + senh 1 (x)

11 Segundo Parcial Cálculo Diferencial MATE 1203 Sección 08 Marzo 8 de 2010 (Periodo académico: Primer semestre de 2010) Recuerde que, a menos que se indique expresamente lo contrario, usted debe justificar plenamente sus respuestas a través de un proceso matemático y/o de castellano escrito Problemas 1. [4 puntos] Determine los valores de las constantes a y b para los que la función f(x) es continua en todos los reales, cuando 3 ax+b x 1, f(x) = x 2 + 4x < x < 1, 3 ax+b 1 x. 2. [4 puntos] Determine todas las posibles asíntotas de la función f(x) = x2 3x + 2 x 4 5x [4 puntos] Calcule, a través de límites, la derivada de la función f(x) = x+1 x Encuentre (con justificación completa) los siguien- 4. [4 puntos] Considere la función g(x) = e tes límites: a) [2 puntos] lím g(x). x 0 b) [2 puntos] lím g(x). x sen(3x) 2+ x 5. [4 puntos] Determine la derivada de la función ( f(x) = tan 2 x + sen(x) + cos ( x 4)). x