Ix ʹ = 8 mb 2, I. c) El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por una de las masas (eje z ʹ ) será:
|
|
- María del Pilar Moreno Rey
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 CALCULO DE MOMENTOS DE INECIA Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un rectángulo de lados a b. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa por su centro. a) allar el momento de inercia respecto de este eje. b) allar el I respecto de un eje paralelo al anterior que pase por las masas. c) allar el I respecto a un eje perpendicular al anterior que pase por una masa. Solución: I.T.I. a) Si aplicamos la definición de momento de inercia: I m i i tenemos que: i ʹ I 4 mb, I 4 m a b b) Para calcular el momento de inercia respecto de los nuevos ejes podemos hacerlo aplicando la fórmula anterior o utilizando el teorema de Steiner: a ʹ I ʹ I + 4mb I ʹ I + 4m a I ʹ 8 mb, I ʹ 8m a c) El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura que pase por una de las masas (eje z ʹ ) será: [ ] Iz ʹ + m( a) + m( b) + m ( a) + ( b) 8 m( a + b ) Lo cual podríamos haber calculado teniendo en cuenta que todas las partículas de nuestro sistema se encuentran en un plano podemos aplicar el teorema de los ejes perpendiculares: Iz ʹ I ʹ + I ʹ. Física Tema Página
2 Calcular el momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro de un disco de radio masa M al cual se le practica un agujero circular de radio /4 centrado a una distancia / del centro del disco. / /4 Solución: I.T.I., 4, I.T.T. 4 Podemos tratar dicho disco como la contribución de dos piezas: El momento de inercia respecto del eje Z de la pieza será:, M ( σ π ) σ π 4 σ π4 Si llamamos Z ʹ a un eje paralelo al eje Z que pase por el centro de la pieza utilizando el teorema de Steiner podemos calcular su momento de inercia respecto del eje Z:, ʹ, + M σ π 4 + σ π M + M ( ) σ π 4 4 El momento de inercia de toda la placa será: σ π ( ) + σ π + σ π 4,, ρπ ρπ 4 47 ρπ 4 5 ( ) 9 5 σ π 4 Finalmente calculando el valor de la densidad superficial σ sustituendo: σ M placa A placa M placa π π M placa π M placa Física Tema Página
3 Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de los siguientes cuerpos: a) esfera homogénea, b) cilindro hueco de paredes delgadas, c) cilindro homogéneo hueco de radio interior a eterior b, d) sistema formado por una barra cilíndrica de radio longitud L unida a dos esferas de radio. Solución: I.T.I. a) Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la esfera. Si dividimos nuestra esfera en diferenciales de masa dm con forma de coraza esférica de radio r espesor dr, todos los puntos de dicho dm se encuentran a la misma distancia del centro, r por lo tanto si calculamos el momento de inercia polar de la esfera respecto de dicho centro nos dará: I O r dm r ρ4πr dr ρ4π 5 5 M 4 3 π 4π M Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados X, Y Z tiene el mismo valor I I, además se verifica que: I + I + I O I I 5 M b) En el cilindro hueco de paredes delgadas todos sus puntos se encuentran a la misma distancia del eje de simetría, con lo que su momento de inercia respecto de dicho eje será: I M c) En el caso del cilindro de radio interno a eterno b podemos dividirlo en corazas cilíndricas de radio r espesor dr (todos los puntos de una de estas corazas se encuentran a la misma distancia del eje de giro). Llamando a la altura del cilindro, su momento de inercia será: b I r dm r ρ πr dr ρ π 4 b 4 a 4 a ( ) r dr M π( b a ) π 4 b4 a 4 ( ) M b + a ( ) d) En este caso nuestro objeto se puede descomponer en un cilindro dos esferas casi completas. El momento de inercia de dicho objeto será por lo tanto la suma de los momentos de inercia de las tres piezas:,cilindro +,esfera. Física Tema Página 3
4 Para el cilindro podemos calcular su momento de inercia de forma similar a como hicimos en el apartado anterior. Utilizando la fórmula anterior haciendo la sustitución b a, tenemos que: I cilindro M cilindro ( ρπ L) ρπ 4 L. Para el cálculo del momento de inercia de las dos piezas esféricas dividámoslas en rodajas de espesor dz radio r como se muestra en la figura. La relación entre r z es: r + z ( ) r 4 z La cantidad de masa contenida en una de las rodajas será: dm ρπ r dz Z z r Y la contribución de cada rodaja, considerada como un disco, al momento de inercia respecto del eje de simetría será: d,rodaja dmr ρπ r4 dz ρπ ( 4 z ) dz El momento de inercia de la pieza esférica será: d,rodaja z má. ρπ ( 4 z ) dz z mín. ρπ ( 64 8 z + z 4 )dz 3 ρπ 64 z 8 3 z z5 3 ρπ La masa de esta pieza esférica será: z má. ( ) dz M esfera dm rodaja ρπ 4 z z mín. ρπ 4 z 3 z3 El momento de inercia de todo el objeto será: 3 ρπ ,cilindro +,esfera ρπ 4 L Física Tema Página 4
5 Que se puede escribir en función de la masa del objeto sustituendo la densidad en función de ésta: M M cilindro + M esfera ρπ L M ρ π L L L + 3 M Si hubiésemos considerado desde el principio esferas completas el resultado no hubiese diferido mucho del anterior (como se puede comprobar dando valores para L ) vendría dado por: L L M Calcular el momento de inercia de una esfera hueca respecto a un eje que pasa por su centro. Solución: I.T.I., 4, I.T.I. 4 Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la esfera. Todos los puntos de la esfera se encuentran a la misma distancia de dicho centro, por lo tanto si calculamos su momento de inercia polar respecto de dicho punto nos dará: I O M. Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados X, Y Z tiene el mismo valor I I, además se verifica que: I + I + I O I I 3 M Determínese el momento de inercia de un cono circular recto respecto a: a) su eje longitudinal, b) un eje que pasa por el vértice del cono es perpendicular a su eje longitudinal, c) un eje que pasa por el centro de gravedad del cono es perpendicular a su eje longitudinal. Solución: I.T.I., 4, I.T.T. 4 Orientemos el eje X de forma que sea el eje longitudinal del cono, como se muestra en la figura. Dividamos al cono en rodajas circulares de espesor d radio r. La relación entre r es: Física Tema Página 5 z
6 r r La cantidad de masa contenida en una de las rodajas será: dm ρπ r d ρπ d a) El momento de inercia del cono será igual a la suma de los momentos de inercia de todas las rodajas: I di dmr ρπ 4 d ρπ 4 Para escribir el resultado en función de la masa del cono: M dm ρπ d 3 ρπ ρ 3M π Sustituendo en la epresión del momento de inercia: I 3 M b) Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes Y ʹ Z ʹ contenidos en el plano de cada rodaja paralelos respectivamente a los ejes Y Z. Para cada rodaja tendremos: 4 por simetría: di ʹ d ʹ teorema de los ejes perp.: di di ʹ + di z ʹ di ʹ d ʹ di 4 dmr Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada rodaja respecto del eje Y: di di ʹ + dm 4 ρπ 4 4 d + ρπ 4 d ρπ d El momento de inercia del cono respecto del eje Y será: Física Tema Página 6
7 I di ρπ d 5 ρπ M 4 + c) Consideremos un eje Y C.M. paralelo al eje Y que pase por el C.M. del cono. Sabiendo que el C.M. del cono se encuentra a una distancia de su vértice de tres cuartos de su altura aplicando el teorema de Steiner: I I C. M. + M 3 4 I C. M. 3 M + 4 Dada la semiesfera + + z, z. Calcular sus momentos de inercia I, I e Solución: I.T.I., 4, I.T.T. 4 Para una esfera completa tenemos que el momento de inercia respecto de cualquier eje que pase por su centro es: z I,esfera I,esfera,esfera 5 M esfera Cada semiesfera contribue de igual forma al momento de inercia de la esfera completa, por lo tanto: I,semiesfera I,semiesfera,semiesfera 5 M esfera 5 M esfera 5 M semiesfera Es decir la epresión matemática resulta ser la misma, dos quintos de la masa por el radio al cuadrado, pero teniendo en cuenta que ahora la masa de nuestra pieza es la de una semiesfera, no la de la esfera completa. Física Tema Página 7
8 Calcular el centro de masas de medio paraboloide ( ) de revolución alrededor del eje X, cuo radio en la base es, la altura es, su vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular sus momentos de inercia I, I e. Si Y es un eje paralelo al eje Y pero que pasa por la base del paraboloide, calcular I. Solución: I.T.I. 4, I.T.T., 4 z Sea el semiparaboloide de la figura orientado a lo largo del eje X, de altura radio. Dado que el plano XY es un plano de simetría que divide al semiparaboloide en dos mitades simétricas, el C.M. se encontrará en dicho plano, con lo cual la coordenada z del C.M. será nula: z C.M. z r Para el cálculo de la coordenada del C.M. dividimos al semiparaboloide en rodajas en forma de semidiscos de radio r espesor d. La ecuación del paraboloide nos da la relación entre la coordenada el radio r de los semidiscos: k r k k r El volumen de cada uno de los semidiscos será: dv π r d π d El volumen total del semiparaboloide será: V dv π d 4 π La coordenada del C.M. será: a dv π d 6 π C.M. dv dv 3 Física Tema Página 8
9 Para la coordenada del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma coordenada. 4r Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a una distancia 3π del diámetro, vamos a tomar esta posición como la representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior. semidisco dv 4r 3π dv 4r 3π πr d 3 r3 d 3 d C.M. dv semidisco dv Vamos a calcular ahora los momentos de inercia del semiparaboloide. Para simplificar los cálculos vamos a realizarlos para el paraboloide completo después dividiremos por dos. Si dividimos el paraboloide en rodajas de espesor d (igual que hacíamos en los cálculos anteriores pero ahora las rodajas son círculos completos) la cantidad de masa contenida en una de las rodajas será: dm ρπ r d ρπ d su momento de inercia respecto del eje X será la suma de los momentos de inercia de todas las rodajas: I, parab. di dmr 4 ρπ d 6 ρπ 4 Para escribir el resultado en función de la masa del paraboloide: M parab. dm ρπ d ρπ ρ M π 6 5π Sustituendo en la epresión del momento de inercia: I 3 M parab. Para el cálculo de I, tenemos que por simetría I. Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes Y * Z * Física Tema Página 9
10 contenidos en el plano de cada rodaja paralelos respectivamente a los ejes Y Z. Para cada rodaja tendremos: por simetría: di * d* teorema de los ejes perp.: di di * + d* di * d* di 4 dmr Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada rodaja respecto del eje Y: di di * + dm 4 ρπ 4 d + ρπ 3 d El momento de inercia del paraboloide respecto del eje Y será: 4 I, parab. di ρπ 4 d + ρπ 3 d ρπ M parab. 3 + Para el semiparaboloide los momentos de inercia pedidos serán la mitad, pero como su masa a es la mitad la epresión será la misma: I 3 M semiparab. I M semiparab. 3 + El área por debajo de la curva a(/h) n, con entre h, gira alrededor del eje X genera un sólido de revolución homogéneo de masa m. Eprésese el momento de inercia del sólido respecto al eje X respecto al eje Y en términos de m, a n. Solución: I.T.I. 3, I.T.T., 3 Vamos a dividir ese sólido de revolución en rodajas circulares de radio espesor d. La contribución al momento de inercia respecto del eje X de cada una de las rodajas será: di dm ρπ d ( ) ρπ 4 d ρπ a 4 4 n h 4 n El momento de inercia respecto del eje X de todo el sólido será: d Física Tema Página
11 I di h ρπ a 4 4 n h 4 n d ρπ a 4 h 4n + Para ponerlo en función de su masa calculamos ésta: h h m dm ρπ d ρπ a n h n d ρπ a h n + ρ ( n + )m πa h Sustituendo en la epresión del momento de inercia: I n + 4n + ma Calculemos ahora el momento de inercia respecto del eje Y. Consideremos primeramente unos ejes Y * Z * contenidos en el plano de cada rodaja paralelos respectivamente a los ejes Y Z. Para cada rodaja tendremos: por simetría: di * d* teor. de los ejes perp.: di di * + d* di * d* di 4 dm n 4 4 ρπ a 4 h d 4 n Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de cada rodaja respecto del eje Y: di di * + dm 4 ρπ a 4 n n+ 4 d + ρπ a h 4 n h n d El momento de inercia del sólido respecto del eje Y será: I di h 4 ρπ a 4 4 n h 4 n d + ρπ a n+ h n d 4 ρπ a 4 h 4n + + ρπ a h 3 n + 3 n + 4 4n + ma n + + n + 3 mh Física Tema Página
CALCULO DE CENTROS DE MASA
CALCULO DE CENTOS DE MASA Determinar la posición del C.M. de un semicono. Solución: I.T.I., I.T.T., 4 Sea el semicono de la figura orientado a lo largo del eje X, de altura radio. Dado que el plano XY
Más detallesVIII. MOMENTOS DE INERCIA
VIII. MOMENTOS DE INECIA ecordemos que el momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. El momento de inercia, en cambio es la suma de los productos
Más detallesINTEGRALES TRIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(x, y, z) dzdydx, dibujar la región de integración y escribir
INTEGALES TIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(,, ) ddd, dibujar la región de integración escribir Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si D 1, D 2 D 3 son las proecciones
Más detallesVIII. MOMENTOS DE INERCIA
VIII. MOMENTOS DE INERCIA Recordemos que el momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. El momento de inercia, es cambio es la suma de los productos
Más detallesAplicaciones de las integrales dobles
Aplicaciones de las integrales dobles Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en física en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.. El área de una región plana R en
Más detalles11 Cuerpos geométricos
89485 _ 0369-0418.qxd 1/9/07 15:06 Página 369 Cuerpos geométricos INTRODUCCIÓN Los poliedros, sus elementos y tipos ya son conocidos por los alumnos del curso anterior. Descubrimos y reconocemos de nuevo
Más detallesVOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION
OLUMENES DE SÓLIDOS DE REOLUCION Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo
Más detallesUniversidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística
Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del examen final del curso Cálculo de una variable Grupo: Once Período: Inicial del año Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. (x ) sen(x )
Más detallesUNIDAD 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (II). CUERPOS DE REVOLUCIÓN.
UNIDAD 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO (II). CUERPOS DE REVOLUCIÓN. Unidad 12: Geometría del espacio (II). Cuerpos de revolución. Al final deberás haber aprendido... Describir cuerpos de revolución e identificar
Más detallesMATEMÁTICAS 1º DE ESO
MATEMÁTICAS 1º DE ESO LOE TEMA XII: POLIEDROS Y CUERPOS DE REDONDOS Poliedros. o Elementos de un poliedro y desarrollo plano. Prismas. o Elementos y tipos de prismas. Pirámides. o Elementos y tipos de
Más detallesDecimos que la superficie esférica es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto fijo llamado centro.
8 LAS SUPERFICES COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Como hemos dicho en la página del presente capítulo, los planos, la superficie esférica, los cilindros los conos pueden tratarse con relativa facilidad en el espacio
Más detallesmartilloatomico@gmail.com
Titulo: CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE. Año escolar: Estática - Ingeniería Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo
Más detallesFigura 1.3.1. Sobre la definición de flujo ΔΦ.
1.3. Teorema de Gauss Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra La ley de Coulomb y el principio de superposición permiten de una manera completa describir el campo electrostático de un sistema dado de
Más detallesEjercicios Resueltos
Ejercicios Resueltos ANGULOS 1. Si el complemento de ángulo x es x, Cuál es el valor de x en grados? x + x = 90 3x = 90 x = 90 /3 x = 30. Si el suplemento del ángulo x es 5x, Cuál es el valor de x? 5x+x=
Más detallesÁngulos. Semejanza. ABE ˆ, ACE ˆ o ADE ˆ son ángulos inscritos en la. n 2 180º. En la circunferencia:
GEOMETRÍA Ángulos En la circunferencia: ABE ˆ, ACE ˆ o ADE ˆ son ángulos inscritos en la circunferencia y son todos iguales. AOE ˆ es el ángulo central correspondiente y su medida es dos veces la medida
Más detalles1 Indica cuál es el valor de los ángulo Â, Bˆ. en las siguientes figuras: a) b) 2 Calcula los ángulos dados por letras:
1 Indica cuál es el valor de los ángulo Â, Bˆ y Ĉ en las siguientes figuras: a) b) Calcula los ángulos dados por letras: 3 Calcula el valor del ángulo A. 4 Dados los ángulos los mismos. a 45 0 30.y b 6
Más detallesÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Poliedros. Para calcular el área de un poliedro calculamos el área de cada una de sus caras y las sumamos.
TEMA 9: ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS REGULARES Un poliedro se llama regular cunado cumple las dos condiciones siguientes: Sus caras son polígonos regulares idénticos. En cada vértice
Más detalles1 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta: 2 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
1 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta: Calcula en la siguiente figura el elemento que falta: Calcula el valor de la diagonal de un ortoedro de aristas cm, 4 cm y 5 cm. 4 Comprueba la fórmula
Más detalles1. Sea f una función definida en I = [1, 2] [1, 4] del siguiente modo: (x + y) 2, x y 2x, 0, en el resto.
La integral múltiple Problemas resueltos. Sea f una función definida en I [, ] [, 4] del siguiente modo: { (x + y), x y x, f(x, y), en el resto. Indique, mediante un dibujo, la porción A del rectángulo
Más detallesx = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)
CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Cálculo de áreas de superficies planas un de curva
Más detallesConceptos básicos de Geometría
Conceptos básicos de geometría La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí. A continuación veremos
Más detallesNº caras. Nº vértices
Tipo De Caras (Ángulo Interior) Triángulo Equilátero (60º) Cuadrado (90º) Pentágono (108º) Hexágono (10º) Nº caras por vértice Suma de los ángulos de cada vértice Nº caras Nº vértices Nº aristas C + V
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detalles1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones. e) f) es divisible por 6. a) b) c) d) e) f)
1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones. a) b) c) d) e) f) es divisible por 6. g) 2. Halle la solución de las siguientes desigualdades de primer orden. g)
Más detallesUNIDAD 10. FIGURAS PLANAS: POLÍGONOS CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
UNIDAD 10. FIGURAS PLANAS: POLÍGONOS CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 1. POLÍGONOS: DEFINÍCIÓN, ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN. 2. POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES. 3. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS: CLASIFICACIÓN. 4.
Más detalles4. GEOMETRÍA // 4.4. ÁREAS Y VOLÚMENES.
4. GEOMETRÍA // 4.4. ÁREAS Y VOLÚMENES. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS. 4.4.1. Áreas de polígonos. El área de un triángulo es Área(ABC) = 1 2 ch = 1 cb sin α 2 Si el triángulo
Más detallesINTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS. 1.- Evalué (, ), donde f es la función dada, y = (, ): 1 4, 0 2.
INTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS 1.- Evalué (, ), donde f es la función dada, y = (, ): 1 4, 0 2. 1 1 4, 0 1 a.- (, ) = 2 1 4, 1 2 2 1 < 3, 0 < 1 b.- (, ) = 1 1 < 3, 1 2 3 3 4,
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS º BACHILLERATO ÍNDICE. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.... 4.. SISTEMAS DE REFERENCIA... 4.. COORDENADAS DE UN PUNTO... 4.3. COORDENADAS
Más detallesTrigonometría y problemas métricos
Trigonometría y problemas métricos 1) En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.
Más detallesMomento angular de una partícula. Momento angular de un sólido rígido
Momento angular de una partícula Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv L=r mv Momento angular
Más detallesUnidad didáctica 3. Cálculo de superficies y volúmenes
Unidad didáctica. Cálculo de superficies y volúmenes.1 Cálculo de superficies. En el presente apartado se estudiarán las superficies, perímetros y relaciones geométricas más importantes de las principales
Más detallesVIII. MOMENTOS ESTÁTICOS
VIII. MOMENTOS ESTÁTICOS El momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. Ha momentos estáticos del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos,
Más detallesTema 8. Geometría de la Circunferencia
Tema 8. Geometría de la Circunferencia 1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia 1.1 Ecuación de la circunferencia centrada en el origen 1. Ecuación de la circunferencia con centro
Más detallesMatemáticas 4 Enero 2016
Laboratorio #1 Vectores I.- Calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. 1) u = 3i + 2j 4k; v = i + 5j 3k 2) u = i + 2j 3k; v = 1i 2j + 3k 3) u = 1 2 i + 1 3 j +
Más detallesrad, y rad = 360 Ejercicio 1 Realizar las conversiones de grados a radianes y de radianes a grados de los siguientes ángulos:
Trigonometría 1.- Ángulos En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean dos unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián
Más detallesa) A la mitad del número le sumo 3 y el resultado es 8 ( ) 9 b) En la ecuación 3x = 54 Qué valor puede tomar x? ( ) Rombo
Guía Matemáticas 3 ELIGE LA RESPUESTA CORRECTA.. Anota en el paréntesis de la derecha la letra que corresponda. a) A la mitad del número le sumo 3 y el resultado es 8 9 b) En la ecuación 3 = 54 Qué valor
Más detallesUNIDAD X - GEOMETRIA. Ejercitación
UNIDAD X - GEOMETRIA Programa Analítico Segmentos. Operaciones con segmentos. Ángulos. Clasificación de los ángulos: Complementarios, suplementarios, adyacentes, alternos-internos, opuestos por el vértice.
Más detallesVolumen de Sólidos de Revolución
60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido
Más detallesEJERCICIOS Nº 10: GEOMETRIA ANALITICA. se extiende hacia cada extremo en una longitud igual a su longitud original. Halle las coordenadas de
EJERCICIOS Nº 1: GEOMETRIA ANALITICA 1) Determine x si el punto A (x,3) equidista de B ( 3, ) y de C (7,4) Respuesta ) Determine los puntos de trisección del segmento de recta AB donde A( 6, 9), B(6,9)
Más detallesTEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas
Más detallesÁNGULOS EN POLÍGONOS. Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : a b c. Ejercicio nº 2.-
ÁNGULOS EN POLÍGONOS Ejercicio nº 1.- En los siguientes polígonos, halla la media del ángulo : a b c Ejercicio nº.- Halla el valor del ángulo en cada uno de estos casos: a b c Ejercicio nº 3.- Halla el
Más detalles2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto
Tema 6 Integración Definida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral definida ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = x dx dv
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detallesCÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES
CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ .-Hallar una primitiva
Más detallesResistencia de Materiales. Roberto Imaz Gutiérrez. Este capítulo se publica bajo Licencia Creative Commons BY NC SA 3.0. Capítulo 7.
Roberto Imaz Gutiérrez. Este capítulo se publica bajo Licencia Creative Commons BY NC SA 3.0 Capítulo 7. TORSIÓN 7.1 TORSIÓN PURA DE UN CILINDRO CIRCULAR Consideramos aquí únicamente, el caso de una barra
Más detallesTEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio,
Más detallesÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
ÁRES Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS. CUERPOS GEOMÉTRICOS En nuestro entorno observamos continuamente objetos de diversas formas: pelotas, botes, cajas, pirámides, etc. Todos estos objetos son cuerpos
Más detallesCÁLCULO DEL CENTRO DE MASA
1 Notas del curso "Física General I". CC-BY-SA 17 Guillermo Andree Oliva ercado, gandreoliva.org CÁLCULO DEL CENTRO DE ASA Centro de masa de objetos unidimensionales Cuando tenemos objetos unidimensionales,
Más detalles5. INTEGRALES MULTIPLES
5. INTEGRALES MULTIPLES INDICE 5 5.. Integrales iteradas. 5.. Definición de integral doble: áreas y volúmenes..3 5.3. Integral doble en coordenadas polares 5 5.4. Aplicaciones de la integral doble (geométricas
Más detallesEC = ½. m i. ( r i ) 2 2. EC = ½. m i r i. 2 + ½. m 2 r 2 EC TOTAL = ½.
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regional Rosario UDB Física Cátedra FÍSICA I Capitulo Nº 9: ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS Energía en el movimiento rotacional Para deducir esta relación, consideramos
Más detallesSUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA EN CADA PREGUNTA.
CUADERNILLO DE GEOMETRIA I.- SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA EN CADA PREGUNTA. 1.- SON LOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN TODOS LOS ÁNGULOS IGUALES. A) EQUILÁTERO B) ACUTÁNGULO C) ISÓSCELES D) ESCALENO E) RECTÁNGULO
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO FÍSICA I
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO FÍSICA I PROBLEMAS RESUELTOS José Carlos JIMÉNEZ SÁEZ Santiago RAMÍREZ DE LA PISCINA MILLÁN 6.- GEOMETRÍA DE MASAS 6 Geometría de Masas
Más detallesGeometría Analítica Enero 2016
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Halle el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos dados 1) ( 3, 3), ( -1, -3), ( 4, 0) 2) (-2, 5), (4, 3), (7, -2) II.- Demuestre que los puntos
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que
Más detallesINTEGRALES MÚLTIPLES. 9 xy c) 4
de 6 TRABAJO PRÁCTICO Nº A.M. II - INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES DOBLES - Calcule las siguientes integrales: a d d d d d b d d sen e 6 d d --. Grafique la región de integración eprese la integral invirtiendo
Más detallesFiguras Planas. 100 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Comprueba si los siguientes ángulos son complementarios: a) 72 + 35.
Figuras Planas. 100 Ejercicios para practicar con soluciones 1 Comprueba si los siguientes ángulos son complementarios: a) 7º y 35 b) 6º y 64º a) 7 + 35 = 107 90 No son complementarios. b) 6 + 64 = 90
Más detalles13Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 250
PÁGINA 50 Pág. 1 Á REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios: 1 a) b) 5 dm 4 cm cm 5 cm 8 cm a) 5 = 5 dm b) 8 = 8 cm P =
Más detallesf (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) =
MATEMÁTICAS II - EXAMEN PRIMER PARCIAL - 4/11/11 Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio 1. La curvatura de una función f en un punto x viene
Más detalles1. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado:
CAPÍTULO. GEOMETRÍA AFÍN.. Problemas. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado: a) A(,, ), v = (,, ) ; b) A(0,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesAMPLIACIÓN DE CÁLCULO. Curso 2008/9. Hoja 1: Integración en varias variables.
AMPLIACIÓN DE CÁLCULO. Curso 2008/9. Hoja 1: Integración en varias variables. 1. Calcular para =[0, 1] [0, 3] las integrales (a) xydxdy. (b) xe y dxdy. (c) y 2 sin xdxdy. 2. Calcularlasintegralesdoblessiguientesenlosrecintosqueseindican:
Más detalles9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 200
PÁGINA 200 Pág. 1 T ipos de cuerpos geométricos 1 Di, justificadamente, qué tipo de poliedro es cada uno de los siguientes: A B C D E F Hay entre ellos algún poliedro regular? A 8 Prisma pentagonal recto.
Más detallesApuntes Trigonometría. 4º ESO.
Apuntes Trigonometría. 4º ESO. Conceptos previos: Notación: En un triángulo, los vértices se denotan con letras mayúsculas (A, B y C). Los lados se denotan con la letra minúscula del vértice opuesto al
Más detallesTEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA
TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 6.1. Ecuaciones de la recta. - Vector director. - Ecuación vectorial. - Ecuaciones paramétricas. - Ecuación contínua. - Ecuación general. - Ecuación punto-pendiente. - Ecuación
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 TRASLACIÓN Y/O
Más detalles10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 10.1 Indica cuál de estos poliedros es cóncavo y cuál es convexo. a) Cóncavo b) Convexo 10. Completa la siguiente tabla. Caras (C ) Vértices (V )
Más detallesCUERPOS GEOMÉTRICOS. Clases de cuerpos geométricos. Los poliedros. Los poliedros regulares.
CUERPOS GEOMÉTRICOS. Se denominan cuerpos geométricos a aquellos elementos que, ya sean reales o ideales - que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente - ocupan un volumen en el espacio desarrollándose
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA
PROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA ) Uno de los vértices de un paralelogramo ABCD es el punto A(, ) y dos de los lados están sobre las rectas r : 3x -y- =, s : 6x -7y- =. Calcula los demás vértices. Como el
Más detallesMATE-1207 Cálculo Vectorial Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2. (a) Si f(x,y), g(x,y) son dos funciones continuas en D, entonces
Universidad de los Andes epartamento de Matemáticas MATE-27 Cálculo Vectorial Taller 2 - Preparación Segundo Parcial P2. Conteste Falso o Verdadero. Justifique matemáticamente. (a) Si f(x,y), g(x,y) son
Más detallesColegio Universitario Boston. Geometría
34 Conceptos ásicos Triángulo: Se define como la figura geométrica plana, cerrada de tres lados. Triángulo equilátero: Es el triángulo que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos internos iguales,
Más detallesPor el teorema de Green, si llamamos D al interior del cuadrado, entonces. dxdy. y. x P. 1 dx. 1 (4x 3 2y) dy =
TEOREMA E GREEN. 1. Calcular y dx x dy, donde es la frontera del cuadrado [ 1, 1] [ 1, 1] orientada en sentido contrario al de las agujas del reloj. Por el teorema de Green, si llamamos al interior del
Más detallesPortal Fuenterrebollo Olimpiada Matemáticas Nivel III (3º 4º ESO) OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL III (3º - 4º ESO)
Portal Fuenterrebollo Olimpiada Matemáticas Nivel III (º º ESO) OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL III (º - º ESO) 6. Encima de un triángulo equilátero de lado cm, colocamos un círculo de cm de radio, haciendo
Más detalles3. Funciones y gráficas
Componente: Procesos físicos. Funciones gráficas.1 Sistemas coordenados En la maoría de estudios es necesario efectuar medidas relacionadas con los factores que intervienen en un fenómeno. Los datos que
Más detallesRAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo. Seno: Se define el seno del ángulo como el
Más detallesCalcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm.
OPTIMIZACION DE FUNCIONES Calcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm. S = пrg Si los triángulos DCO y DAB que son semejantes, pues OC AB y poseen un
Más detallesVolúmenes de cuerpos geométricos
Volúmenes de cuerpos geométricos TEORÍA Cuerpos geométricos En nuestro entorno observamos continuamente objetos de diversas formas: pelotas, botes, cajas, pirámides, etc. Todos estos objetos son cuerpos
Más detallesPéndulo de torsión y momentos de inercia
Prácticas de Física Péndulo de torsión y momentos de inercia 1 Objetivos Curso 2009/10 Determinar la constante de un muelle espiral Determinar el momento de inercia de varios sólidos rígidos Comprobar
Más detalles1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función. z = f(x, y) = 3x xy 2
1. Usando la definición correspondiente demostrar que la función es diferenciable en todo R 2. z = f(x, y = 3x xy 2 Se debe verificar que para todo (a, b en R 2, existen funciones, de = x y k = y, ɛ 1
Más detallesLEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD
LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD Supongamos un fluido contenido entre dos grandes láminas planas y paralelas de área A separadas entre sí por una pequeña distancia Y. Fig. 1 Fluido contenido entre los láminas
Más detallesrad, y rad = 360 Ejercicio 1 Realizar las conversiones de grados a radianes y de radianes a grados de los siguientes ángulos:
Trigonometría 1.- Ángulos En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean dos unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián
Más detallesA.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones:
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Juan Jesús Pascual TRIGONOMETRÍA A. Introducción teórica A. Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. A.. Valores del seno, coseno tangente para
Más detallesPÁGINA 196. 1 Di qué tipo de prisma es cada uno de los siguientes. Indica cuáles son regulares. Dibuja el desarrollo del primero de ellos.
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 196 1 Di qué tipo de prisma es cada uno de los siguientes. Indica cuáles son regulares. Dibuja el desarrollo del primero de ellos. a) b) c) d) a) Triangular,
Más detalles9Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 186
9Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 186 Pág. 1 En la Casa de la Cultura se ha montado una exposición fotográfica. En ella se recogen modernos edificios en los que los poliedros y los
Más detallesTema 11 Cuerpos geométricos
Tema 11 Cuerpos geométricos 11.1 Poliedros regulares y semirregulares Tareas 11/11/: todos los ejercicios de la página 08. Además, completa la tabla análoga de los poliedros duales para el icosaedro y
Más detallesPRÁCTICA: MOMENTOS DE INERCIA Y PÉNDULO FÍSICO
PRÁCTICA: MOMENTOS DE INERCIA Y PÉNDULO FÍSICO Parte I: MOMENTOS DE INERCIA Objetivo: Determinar experimentalmente el momento de inercia de un disco respecto a su centro de gravedad y respecto a distintos
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 015 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPerímetro de un polígono regular: Si la longitud de un lado es y hay cantidad de lados en un polígono regular entonces el perímetro es.
Materia: Matemática de Séptimo Tema: Área de Polígonos Qué pasa si te piden que encuentres la distancia del Pentágono en Arlington, VA? El Pentágono, que también alberga el Departamento de Defensa de EE.UU.,
Más detalleswww.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,
Más detallesVII. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
VII. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 7.. SECCIONES CÓNICAS Cuando un plano corta a un cono circular recto de dos mantos, la sección que resulta de dicho corte determina ciertas curvas llamadas CÓNICAS.
Más detallesMatemáticas II - Geometría
PAU Matemáticas II - Geometría 2008.SEPTIEMBRE.1.- Dados los dos planos π 1 : x + y + z = 3 y π 2 : x + y αz = 0, se pide que calculeis razonadamente: a) El valor de α para el cual los planos π 1 y π 2
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS ) Dadas las coordenadas del punto A(, ). Hallar la ecuación de la recta (r) paralela al eje por dicho punto. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela al eje por dicho punto. )
Más detallesCUERPOS DE REVOLUCIÓN
PROPÓSITOS: Identificar los cuerpos redondos o de revolución. Resolver problemas, donde se aplique el volumen y área de cuerpos de revolución. CUERPOS DE REVOLUCIÓN Existen cuerpos geométricos que no tienen
Más detalles1. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n por el método estándar y el de Horner.
Interpolación. Hallar el número de operaciones en la evaluación de un polinomio p n () = a + a + + a n n por el método estándar y el de Horner.. Hallar el polinomio de interpolación de Lagrange y de Newton
Más detalles3Soluciones a los ejercicios y problemas
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 0 Pág. P RACTICA Números reales a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: ; ;, ) 9 7;,; ; ; π b) Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos
Más detallesSÓLIDOS Y RAZONES DE SEMEJANZA 11.1.1 11.1.3
Capítulo 11 SÓLIDOS Y RAZONES DE SEMEJANZA 11.1.1 11.1. En este capítulo, los alumnos analizarán las figuras tridimensionales, que se conocen como sólidos. Revisarán cómo calcular el área de superficie
Más detallesLos números complejos
7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0
Más detallesCampo Eléctrico. Fig. 1. Problema número 1.
Campo Eléctrico 1. Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, tal como se indica en la figura 1. a) Hallar el módulo, dirección y sentido de la fuerza eléctrica
Más detallesLa circunferencia y el círculo
La circunferencia y el círculo Contenidos 1. La circunferencia. La circunferencia Elementos de la circunferencia. 2. Posiciones relativas. Punto y circunferencia. Recta y circunferencia. Dos circunferencias.
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es
Más detalles