prepara TU SElECTIVIDAD

Transcripción

1 prepara TU SElECTIVIDAD Se considera la función f ( ) = ( + a) e a siendo a un parámero real. a) Razone a qué es igual el dominio de f ( ). b) Deermine el valor de a para que la gráfica de f() pase por el puno (0, -). c) Para a = -, deermine los inervalos de crecimieno y de decrecimieno de f ( ). Eisen máimos y mínimos relaivos de f ( )? En caso afirmaivo, decir dónde alcanzan y su valor. (Aragón. Junio 006. Opción B. Cuesión ) a) Dom f = R ya que se raa del produco de una función polinómica y una eponencial. 0 b) f( 0) =- ae = a =- c) f( ) = ( -) e = - f'( ) = e + ( -)(- ) e = = 0 = En (-`, -) (, + `) f' ( ) < 0 f( ) de En (-, ) f' ( ) > 0 f( ) En = - se alcanza un mínimo cuyo valor es f (-) = -e y en = se alcanza un máimo cuyo valor es f () = e -. Esudia y represena la función: f( ) = ( ) (Navarra. Junio 007. Ejercicio. Opción A) Dominio = R - {} Cores con eleje : f( ) = 0 = 0 = 0 ( 0, 0) ( - ) Core con el eje : = 0 y = 0 (0, 0) lim lim ` ( - ) ( - ) = ` Asínoa verical: = = Asínoa horizonal: y = No iene asínoas oblicuas ni ramas parabólicas. y' = - ( - ) = 0 = 0 En (-`, 0) (, + `) y' < 0 Funciónde En (0, ) y' > 0 Función En = 0 se alcanza un mínimo.

2 Represenación de funciones + y" = = 0 =- ( - ) En (- `, 0) y" < 0 Funciónconvea En ( 0, ) (, + `) y" > 0 Función cóncava En = - se alcanza un puno de infleión. y = = La función f()= + represena la concenración de oígeno en un esanque + conaminado por residuos orgánicos en un iempo (medido en semanas). a) Halla los inervalos de crecimieno y decrecimieno de f ( ) para 0 así como los insanes donde la concenración de oígeno es máima y mínima. b) De forma razonada, y conforme a los daos aneriores, represena gráficamene la función para 0, esudiando con odo dealle sus asínoas. (La Rioja. Junio 00. Pare C. Problema ) a) Esudiamos la función para 0. y' = - + = = 0 =- (noválida) En (, + `) f' ( ) > 0 f( ) En ( 0, ) f' ( ) < 0 f( ) de En = se alcanza un mínimo. La concenración de oígeno es máima cuando = 0 y vale, y es mínima si = y vale. b) Asínoas vericales: no iene. lim - + = ` + Asínoa horizonal: y = Posición de la curva respeco de la asínoa: = < 0 f()esá por debajo de la asínoa. ` No iene asínoas oblicuas ni ramas parabólicas cuando +`.

3 una función f ( ), 0 0, en la que el iempo esá epresado en años, represena los beneficios de una empresa (en cienos de miles de euros) enre los años 990 ( = 0) y 000 ( = 0): + si 0 < + 5 si < 6 f() = ( + 0) si 6 0 a) Represenar gráficamene f ( ), esudiando: punos de core, inervalos de crecimieno y decrecimieno. b) En qué años iene la empresa el máimo beneficio? cuál es dicho beneficio? Durane cuáno iempo hubo pérdidas? (Galicia. Sepiembre 005. Bloque. Ejercicio ) a) Dom f = [0, 0] lim + = - lim - + 5= Coninua en = + f ( ) = f ( 6) = lim - + 5= = - 6 Coninua en = 6 lim (- + 0) = (- 6+ 0) = + 6 Así, f ( ) es coninua en [0, 0]. si 0< < - < < f'( )= si 6 - si 6< < 0 En ( 0, ) f' ( ) > 0 f( ) En (0, ) presena un mínimo y en (, ), un máimo. En (, 6): f'( )= 0 = En (, ) f' ( ) < 0 f( ) de En (, 6) f' ( ) > 0 f( ) En los punos (, ) y (6, ) presena dos máimos y en (, -), un mínimo. Cores con el eje : = - + 5= 0 = 5 En ( 60, ) f' ( ) = - < 0 f() de En el puno (6, ) presena un máimo y en (0, 0), un mínimo. b) El máimo beneficio se obiene para = y = 6, es decir en 99 y 996 y vale.000. Hubo pérdidas enre el año 99 y el año 995.

4 Represenación de funciones 5 El rendimieno (epresado en porcenaje) de ciero moor durane 60 minuos de funcionamieno sigue la función: A + B + C f()= si si 0 < 60 Sabiendo que inicialmene el rendimieno es del 0 %, que a los 0 minuos de funcionamieno es de un 75 % y que el 00 % de rendimieno se alcanza a los 0 minuos de funcionamieno: a) Deerminar las consanes A, B y C. Jusificar la respuesa. b) Represenar la función. (Eremadura. Sepiembre 00. Opción B. Problema ) a) f (0) = 0 C = 0 f( 0) = A+ 0B+ C = A+ 0B = 75 f( 0) = 00 A+ 0B = 00 00A+ 0B = 75 A = - 00A+ 0B = 00 B = si b) f()= si 0< 60 En [0, 0]: f'( ) = f() f (0) = 0 f (0) = 75 f (0) = 00 En (0, 60] se raa de una función consane Se sabe que la derivada de la función f ( ) viene dada por f '( ) = + 9. a) Deermina los inervalos de crecimieno y decrecimieno de la función original f ( ). Dónde alcanza la función f ( ) sus máimos y mínimos locales? b) obén la reca angene a f ( ) en el puno = sabiendo que f () = 5. (Casilla y León. Sepiembre 006. Bloque B. Preguna )

5 a) f'( )= = 0 f"( )= 6 - = = f"( ) =- 6< 0 En = se alcanzaunmáimo. f"( ) = 6> 0 En = se alcanzaunmínimo. En (-`, ) (, +`) la función es. En (, ) la función es de. b) f'( ) = =- Ecuación de la reca angene: y - 5=-( - ) y = y =- + 5