Estadística Inferencial 3.7. Prueba de hipótesis para la varianza. σ gl = n -1. Es decir: Ho: σ 2 15 Ha: σ 2 > 15 (prueba de una cola)
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- Ángeles Rico Carrasco
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1 UNIDAD III. PRUEBAS DE HIPÓTESIS 3.7 Prueba de hipótesis para la varianza La varianza como medida de dispersión es importante dado que nos ofrece una mejor visión de dispersión de datos. Por ejemplo: si se determina que la población califica en promedio con 6 el desempeño del gobierno; al decir que la varianza es de cero (y por lo tanto la desviación estándar es de cero) podemos confiar en que aproximadamente la misma calificación le asignaría toda la población, en otras palabras, en términos generales la población en su conjunto ve al gobierno con la misma calificación ya que no hay variación o dispersión en dicha calificación. Por el contrario, con la misma calificación promedio de 6 pero con una varianza muy alta podemos interpretar que hay gente contenta con el gobierno que le ha asignado calificaciones muy arriba del 6; pero hay un conjunto poblacional muy molesto con el gobierno que asigna calificaciones muy por debajo del 6. Este tipo de información solo es posible mediante el análisis de la varianza. Otro campo del conocimiento donde la varianza se ocupa en gran medida es en control de calidad; cuando un producto se elabora el área de control de calidad busca que los productos esté dentro de ciertos límites de tolerancia, pero también que la variabilidad de un producto sea lo menor posible. De ahí viene la filosofía seis sigma (significa seis veces la varianza). Nuevamente consideramos que la población sigue una distribución de probabilidad normal, para lo cual usamos el siguiente estadístico de prueba: ( n - 1) s = gl = n -1 Este estadístico de prueba se le conoce como ji cuadrada Ejemplo: Una empresa del giro alimenticio desea determinar si el lote de una materia prima tiene o no una varianza poblacional mayor a 15 en su grado de endulzamiento. Se realiza un muestreo de 0 elementos y se obtiene una varianza muestral de 0.98; realizar la prueba de hipótesis con alfa = Paso 1. Determinar la hipótesis Nula Ho y Alternativa Ha. Ho: La varianza poblacional es igual a 15. (Algunos autores colocarían La varianza poblacional es igual o menor a 15 ). Ha: Es decir: Ho: 15 Ha: > 15 (prueba de una cola) Paso. Determinar el nivel de significancia. Definido por el analista, en este caso se desea usar α = 0.05 Esta es la forma gráfica de ji cuadrada v α El área sombreada representa alfa o la fracción de error. Nótese que es prueba de una cola por lo que alfa no se divide en dos. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1
2 Paso 3. Calcular los intervalos o valores críticos que implican ese nivel de significancia. α v Usamos α = 0.05 y v (grados de libertad)=0-1=19 Leemos en la tabla: = Gráficamente queda de la siguiente forma: = ( n - 1) s = gl = n -1 Donde: gl = Grados de libertad n = número de elementos en la muestra s =varianza muestral =varianza considerada por la hipótesis nula = ji- cuadrada (también conocido como chi-cuadrada). Para este problema la sustitución queda: gl = n -1 = 0 1 = 19 ( ) ( ) n - 1 s = = = Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la Hipótesis nula verdadera. = = En este caso cae dentro de la región que hace válida la hipótesis nula. Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula. Se acepta que la varianza poblacional es igual a 15 como hipótesis nula. Paso 4. Calcular el estadístico de la prueba. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3 Ejemplo. Un negocio debe pagar horas extra dada la demanda incierta de su producto, por lo cual en promedio se pagan 50 horas extra a la semana el gerente de recursos humanos considera que siempre se ha tenido una varianza de 5 en las horas extras demandadas. Si se toma una muestra de 16 semanas se obtiene una varianza muestral de 8.1. Determine con alfa = 0.10 si la varianza poblacional de las horas extras demandadas a la semana puede considerarse igual a 5. Paso 1. Determinar la hipótesis Nula Ho y Alternativa Ha. Ho: La varianza poblacional es igual a 5. Ho: = 5 Ha: La varianza poblacional No es igual a 5. Ha: 5 Nótese que es una prueba de dos colas. Paso. Determinar el nivel de significancia. En este caso se desea usar α = 0.10 Paso 3. Calcular los intervalos o valores críticos que implican ese nivel de significancia. Se muestrean 16 semanas entonces hay 15 grados de libertad. Dado que es un problema de dos colas: α/ = 0.05 Área de cola izquierda = 0.05 Área de cola a la derecha = 0.05 Por lo tanto para ubicar la posición de la variable ji-cuadrada, se considera una cola con = = = Paso 4. Calcular el estadístico de la prueba. ( n - 1) s ( 16-1) 8.1 = = = Paso 5. Determinar si el estadístico cae dentro de la región que hace la Hipótesis nula verdadera. Al ubicar el estadístico de prueba notamos que cae en la región que hace verdadera la hipótesis nula. = = = = Cada sección sombreada representa un área de 0.05; pero la tabla solo ofrece áreas de colas a la derecha, no a la izquierda. Paso 6. Aceptar o rechazar la hipótesis nula. Se acepta que la varianza poblacional es igual a 5 como hipótesis nula. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3
4 Actividad 3.6. Pruebas de hipótesis para varianza. Problema 1. Una empresa consultora desea determinar la variablidad existente en la opinión pública sobre el desempeño del Gobierno del Estado; históricamente la varianza ha sido de en los puntos de calificación que le otorga la ciudadanía al gobierno; en el último muestreo se detecto una varianza de 3 tomando como referencia rápida 0 personas; hay elementos estadísticos suficientes para asegurar que la varianza ha AUMENTADO? Realice la prueba de hipótesis para contestar la pregunta anterior con un alfa = 0.1. Realice: a) Redacción de la prueba de hipótesis, indicando si debe ser prueba de una o dos colas. b) Determine mediante el estadístico de prueba ji cuadrada si se acepta o rechaza la hipótesis nula y cuál sería la consecuencia del resultado obtenido para la pregunta. Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS de este trabajo (INDIVIDUAL), las rúbricas se indican en la liga siguiente: SIN EL PROCEDIMIENTO LA ACTIVIDAD NO ES VÁLIDA Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx No olvide enviarse copia a sí mismo del correo que envía, si usa Outlook solicite confirmación de entrega y de lectura. Problema. Una empresa desea concursar para ganar un contrato con el gobierno como proveedor de concreto; uno de los requisitos es la resistencia a la compresión del concreto a los 8 días de haberse preparado la mezcla. La empresa ganadora dice que mantiene excelentes controles de calidad en su concreto y como tal hay una varianza muy baja en resistencias a la compresión, del orden de 16 kg f /cm 4 ; pero al hacerle en la UNAM unas pruebas de resistencia se detecta una varianza mas elevada de 5 kg f /cm 4 hay evidencia estadística suficiente para considerar que el proveedor está mintiendo y en realidad la desviación estándar es DIFERENTE a 16 kg f /cm 4? c) Redacción de la prueba de hipótesis, indicando si debe ser prueba de una o dos colas para responder la pregunta. d) Determine mediante el estadístico de prueba ji cuadrada si se acepta o rechaza la hipótesis nula y cuál sería la consecuencia del resultado obtenido para la pregunta. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4
5 Estadística Inferencial 3.7. Prueba de hipótesis para la varianza Para v > 40 α v v 1 + z α 9 v 9 v Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5
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