NOMBRE: VECTORES EN EL PLANO. Ángel de la Llave Canosa

Transcripción

1 NOMBRE: VECTORES EN EL PLANO Ángel de la Llave Canosa 1

2 VECTORES EN EL PLANO VECTOR FIJO Un vector fijo AB es n segmento orientado, qe está definido por dos pntos: Un pnto origen y n pnto extremo. Los elementos de n vector fijo son: Pnto de aplicación, Módlo Dirección Sentido A (Origen) B (Extremo) 1. Representa el vector fijo pnto B = (3, 5). AB qe tiene por origen el pnto A = ( 3. 1) y por extremo el. Describe el origen y el extremo de los sigientes vectores fijos. P R P = Q = S R = S = 3. Calcla, sando el teorema de Pitágoras, las longitdes de los segmentos PQ y RS. Q 4. Enncia na definición de vector opesto

3 VECTOR LIBRE Un vector libre representa n desplazamiento. Un vector libre está definido por n módlo, na dirección y n sentido. Un vector libre se describe por ss componentes: desplazamiento horizontal y desplazamiento vertical. B Ejemplo Si A = ( 1, ) y B = (3, 5), el desplazamiento qe lleva de A a B es 4 nidades hacia la derecha y 7 nidades hacia arriba. De modo qe el vector libre asociado al vector fijo AB es v = B A = ( 3,5) ( 1, ) = (4,7) A Cada vector fijo tiene asociado n vector libre qe se obtiene haciendo la diferencia de las coordenadas del pnto extremo menos las coordenadas del pnto origen. v = B A Todos los vectores fijos qe tienen el mismo módlo, la misma dirección y el mismo sentido representan el mismo vector libre. Si dos segmentos orientados (vectores fijos) representan el mismo vector libre se dice qe son vectores fijos eqipolentes. vectores fijos eqipolentes qe representan el mismo vector libre 3

4 5. Representa en nos ejes coordenados los sigientes pntos A = (0, 1); B =( 3, ); C = (4, 4) y D = (0, 5) Calcla los vectores libres asociados a los sigientes vectores fijos a) c) AB = B A = ( 3, 1) b) CD = d) BC DA A (Origen) v (Vector) B = A + v (Extremo) Si a n pnto (origen) se le aplica n desplazamiento (vector libre) se obtiene n pnto (extremo). B = A + v Pto. extremo = pto. origen + vector desplazamiento 6. Cál es el pnto qe reslta de desplazar el pnto A = (1, 1) n vector v = (, 3)? Haz n dibjo. 7. Sma el vector v = (, 3) a los pntos A = (0, 0); B = ( 4. ); C = (, 1) y D = (0, 3). Calcla y representa los pntos a) A + v = (0, 0) + (, -3) = (, 3) b) B + v = c) C + v = d) D + v = 4

5 8. Qé vector v hay qe smar al pnto P = (1, 4) para obtener el pnto Q = ( 3, 1) de modo qe Q = P + v? [PISTA: v = Q P ] 9. Pon dos ejemplos de vectores fijos eqipolentes al vector B = (1, 1). Haz n dibjo. AB en donde A = ( 3, 4) y VECTOR DE POSICIÓN Dado n pnto P del plano, se llama vector posición al vector OP, qe tiene por origen el origen de coordenadas. P De este modo, na vez fijado el origen, cada pnto del plano se identifica con s vector posición. Las coordenadas del pnto P se identifican con las coordenadas del vector libre qe traslada el origen de coordenadas O al pnto P. O vector posición del pnto P 5

6 SUMA DE VECTORES LIBRES Regla del paralelogramo Geométricamente, la sma de dos vectores se hace sando la regla del paralelogramo. Expresión analítica v + v Para smar dos vectores se sman ss componentes ( 1, ) + (v 1, v ) = ( 1 + v 1, + v ) Smar dos vectores libres significa hacer dos desplazamientos scesivos. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR El resltado de mltiplicar n escalar (número real) por n vector es otro vector qe tiene por módlo el prodcto del valor absolto del escalar por el módlo del vector, por dirección la misma qe el vector y por sentido el mismo qe el del vector, si el escalar es positivo, y el opesto si el escalar es negativo. λ ( 1, ) = (λ 1, λ ) 1 1 Para constrir gráficamente el prodcto de n número escalar por n vector, se tiliza el teorema de Thales, 6

7 10. Explica con ejemplos qé se entiende en Física por magnitdes escalares y por magnitdes vectoriales. 11. a) Sma gráficamente los ventores y v qe están dibjados. a) Escribe las coordenadas de los vectores smandos y v y del vector sma + v b) Calcla y dibja el vector v a) b) v 1. Sean los vectores = (1, 4) y v = (, 6), calcla y dibja a) + v b) 5 c) 3 v d) 3 + v 13. Calcla el vector x qe hay qe smar a = (, ) para obtener v = (0, 6). De modo qe + x = v. [PISTA: despeja x ] 14. Considera dos pontos A y B. Qé pnto es el pnto M qe se define así? M = A + AB = A + ( B A) = ( A + B) 7

8 VECTORES COORDENADOS Al vector nitario en el eje vertical horizontal hacia la derecha se le denomina i. Al vector nitario en el eje vertical hacia arriba se le denomina j De este modo n vector de coordenadas ( 1, ) pede escribirse como = 1 i + j. j O i 15. Si = (, 3); v = (3, 1) y w = (8, 1), calcla los escalares α y β de modo qe w = α + β v. [PISTA: Hay qe resolver n sistema de dos ecaciones con dos incógnitas] MÓDULO DE UN VECTOR LIBRE El módlo de n vector libre es la longitd del desplazamiento qe representa. Para calclar el módlo de n vector libre expresado en coordenadas se aplica el teorema de Pitágoras. = 1 + Ejemplo. El módlo del vector = (3, ) es = 3 + = Calcla el módlo de los sigientes vectores libre a) = ( 1, 5) b) v = (, 3) c) w = ( 1, ) a) = b) v = c) w = 17. Calcla cál es el prodcto escalar de los vectores coordenados. a) i i = b) i j = c) j i = d) j j = 8

9 MÓDULO DE UN VECTOR FIJO. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos pntos es el módlo del vector qe los ne. Si A = (a 1, a ) y B = (b 1, b ) la distancia d(a, B) entre ambos pntos viene dada por la fórmla: ( b ) d( A, B) AB = ( b + a = 1 a1) 18. Cál es el módlo del vector fijo distancia entre los pntos A y B? AB siendo qe A = (, 3) y B = (, 1)? Cál es la 19. Calcla las coordenadas de n pnto del eje de ordenadas qe esté a na distancia de 5 nidades del pnto P = (4, 0). Haz n dibjo. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El prodcto escalar de dos vectores es n número escalar qe es el prodcto de los módlos de los dos vectores por el coseno del ánglo qe forman. v = v cos( α ) Ejemplo: Calcla el prodcto escalar de los vectores = (, 0) y v = (4, 4). Para hallar el prodcto escalar calcla v primero se = + 0 = v 4 4 = + = 3 = 4 ( α ) = cos( 45º ) cos = De modo qe v = v cos = ( α ) = 4 8 v = (4, 4) = (, 0) α = 45º 9

10 Expresión analítica del prodcto escalar. Si los vectores = ( 1, ) y v = (v 1, v ) están definidos por ss coordenadas, el prodcto escalar viene dado por el la sigiente expresión: Ejemplo: Calcla el prodcto escalar del ejemplo anterior sando la expresión analítica v = (,0) ( 4,4) = = = 8 ( 1, ) ( v1, v ) = 1v1 v v = + 0. Bsca información para explicar el sentido del prodcto escalar en la Física. Por ejemplo, el prodcto escalar es el trabajo qe desarrolla na ferza al efectar n desplazamiento. 1. Para demostrar la expresión analítica de prodcto escalar hay qe desarrollar esta expresión. Completa la demostración. j v = 1 i + j v1 i + v j = 1v1 i i + 1v i j+ v1 j i + v j. Calcla los sigientes prodctos escalares: a) (, 4) (3, 3) = b) (, ) (3, 3) = c) (, 3) (0, 3) = A continación vamos a ver algnas aplicaciones del prodcto escalar Módlo de n vector = cos(0º ) = = Vectores perpendiclares Dos vectores, no nlos, son perpendiclares si s prodcto escalar es cero. v = 0 v En efecto, si dos vectores son perpendiclares el coseno del ánglo qe forman es cero y, por tanto, s prodcto escalar es cero. 10

11 Cálclo del ánglo qe forman dos vectores v cos ( α ) = v Ejemplo: Calcla el ánglo qe forman los vectores = (, 1) y v = ( 1, 3). Aplicando la fórmla anterior cos ( α ) = v = v + 3 = 5 5 = = 5 1 = = ( 1) ( 1) De donde = α cos 1 = 135º 3. Haz n dibjo ilstrativo del ejemplo anterior. 4. Si = (5, 3) y v = (x, 5) son dos vectores perpendiclares, halla el valor de x. 5. Los módlos de dos vectores son 3 y 5, respectivamente, y forman n ánglo de 60º. Cál es s prodcto escalar? 6. Si = (1, 3) y v = (3, 0), calcla el ánglo qe forman los vectores (Dedce de ahí qe los ánglos opestos por el vértice son igales) y v. 11

12 7. Observa qe los vectores = (a, b) y v = ( b, a) son perpendiclares. Utiliza esto para decir n vector perpendiclar a = (, 5). Haz n dibjo. a b PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR b a Las operaciones con el prodcto escalar se peden manejar simbólicamente sando las sigientes propiedades: a) propiedad conmtativa: a b = b a b) Distribtiva de la sma: a b + c = a b + a c c) Prodcto por n número escalar: λ a b = λ a b = a λ b 8. Desarrolla los prodctos escalares a) a + b a + b = b) a b a b = c) a + b a b = 9. PARA INVESTIGAR Bsca en libros o en internet na demostración del teorema del coseno tilizando el prodcto escalar. 30. EN EL CUADERNO DE MATEMÁTICAS Haz n resmen personal de los contenidos de estas fichas de trabajo. Escríbelo en t caderno de Matemáticas. Pedes ampliarlos o completarlos con información o ilstraciones qe encentres en libros o en internet. 1

13 PROBLEMA GLOBAL: a) Utiliza el cálclo vectorial para hallar las longitdes de los lados y la medida de los ánglos del triánglo qe tiene ss vértices en los pntos A = (0, ), B = (4, 6) y C = (8, 0). b) Utiliza la trigonometría para calcla la medida de la altra del triánglo correspondiente al vértice A. Calcla el área del triánglo. Solciones: a) a = 7,11: b = 8,46; c = 5,657; A = 59º; B = 79º; C = 4º b) h a = 5,5; Área = 0,0 13

14 EXAMEN NOMBRE: 1. Dados los pntos A = (, 3) y B = (6, 8), a) Representar el segmento orientado AB b) Decir qé vector libre v = B A.representa el desplazamiento de A hasta B c) Calcla el pnto Q = P + v siendo el pnto P = ( 1, 4). Haz n dibjo.. Con los datos del ejercicio anterior a) Calcla la longitd del segmento AB b) Calcla el módlo del vector v. c) Son igales? 14

15 3. Un vector libre tiene de coordenadas = ( 4,7) v. Dibja n segmento orientado, eqipolente con él con origen en el pnto A = (, ). Cál es el extremo, de ese segmento orientado? B = A + v, 4. a) Calcla la longitd del segmento AB, siendo las coordenadas de de los pntos A = (, 3) y B = ( 4, 6). b) Calcla las coordenadas del pnto medio del segmento AB. Investiga cómo hacerlo. c) Haz n dibjo. 15

16 5. a) Representa los vectores libres v = ( 3,5) y w = ( 5,) con origen en el origen de coordenadas. b) Representa también el vector sma v + w. Explica qé es la regla del paralelogramo c) Haz na definición del vector opesto a no dado. d) Representa el vector v w. e) Representa el vector v 6. Un vector libre = (, 5) v tiene s extremo en el pnto Q = ( 3, 7), Cáles son las coordenadas del pnto origen P de modo qe v = PQ? Haz n dibjo. 7. Calcla el ánglo qe forma con la horizontal el vector = (,6) dibjo y sa el concepto de tangente trigonométrica] v. [Pista: haz n 8. Estdia si son perpendiclares los sigientes pares de vectores a) = (, 8) y v = (4, 1). b) = ( 3, 7) y v = (, -1). 16

17 9. Calcla el ánglo qe forman los vectores = (5, 10) y v = (10, 0). Haz n dibjo aproximado 10. Los vértices de n triánglo son los pntos A = (0, 0); B = (8, 0) y C = (,10). Haz n dibjo. a) Escribe los vectores correspondientes a cada no de ss lados y calcla s módlo. a = BC = b = CA = c = AB b) Utiliza el prodcto escalar para calclar los ánglos A, B y C del triánglo. c) Calcla el área del triánglo. 17