Cardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.

Transcripción

1 Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de equivalencia entre conjuntos La clase de equivalencia de un conjunto A es el conjunto A = {B/B A} El cardinal o potencia de A es la clase de equivalencia de A Frecuentemente, para describir una de estas clases, especificaremos un elemento que pertenece a ella, que la represente Algunos cardinales tienen símbolos asignados Por ejemplo = 0; {1, 2,, n} = n; N = ℵ 0 ; R = c El símbolo ℵ se lee alef y corresponde a la primera letra del alfabeto hebreo La potencia de R, R = c, se llama la potencia del continuo Un conjunto se dice finito si tiene cardinal 0 ó n, n N En otro caso el conjunto se dice infinito Los cardinales 0 ó n, n N se llaman cardinales finitos Cualquier otro cardinal se llama cardinal transfinito Un conjunto que tiene cardinal finito o ℵ 0 se llama numerable; en otro caso el conjunto se llama no numerable Teorema 01 Si A es numerable y B A entonces B es numerable Demostración Si A es finito y B A, B es finito Supongamos que A es infinito entonces A = ℵ 0, es decir que existe f : A N biyectiva Luego f : B f(b) N es biyectiva Si f(b) es finito entonces B es finito Supongamos que f(b) es infinito Sea n 1 = mín f(b), n 2 = mín f(b) {n 1 }, etc Luego la aplicación g : f(b) N, g(n k ) = k es biyectiva y f(b) es numerable Corolario 02 Si A no es numerable y A B entonces B no es numerable Teorema 03 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable Demostración Sea A un conjunto infinito Construimos una sucesión de elementos de A de la siguiente forma: sea α 1 A A {α 1 } =, pues, de otro modo A sería finito Sea α 2 A {α 1 } De manera inductiva sea α n A {α 1,, α n 1 } (A {α 1,, α n 1 } pues, si no, A sería finito) Observemos que si n m, α n α m Luego B = (α n ) A y f : B N, f(α n ) = n es una biyección Corolario 04 Todo conjunto infinito es equivalente a un subconjunto propio Es decir, dado A un conjunto infinito, existe una biyección de A en un subconjunto propio de A

2 Demostración Si A es infinito, por el teorema anterior, existe B A, B = (α n ) infinito numerable Definamos f como la identidad en A \ B yf(α n ) = α n+1 Entonces f es una biyección de A en A {α 1 } Para ordenar cardinales finitos podemos decir que, dados A y B conjuntos finitos A < B si existe una biyección de A en un subconjunto propio de B Observemos que esta definición de orden no es satisfactoria para cardinales transfinitos: por ejemplo, las correspondencias n n + 1, n 2n, n n 2 son biyecciones de N en subconjuntos propios de N Dados dos conjuntos A y B, A B si existe una aplicación inyectiva f : A B Es fácil ver que es reflexiva y transitiva El siguiente teorema prueba que esta relación es antisimétrica, es decir que si A B y B A entonces A = B Se puede demostrar, aplicando el axioma de elección, que dados dos cardinales, siempre son comparables Teorema 05 (de Cantor-Bernstein) Sean A y B dos conjuntos tales que existen aplicaiones inyectivas f : A B y g : B A Entonces A y B son equivalentes Demostración Sea A 1 = g(b) A Definimos A 2 = g(f(a)), A 3 = g(f(a 1 )) y A k+2 = g(f(a k )), k N (observemos que A k+2 es equivalente a A k ) Si A = A 0 vale que A k A k+1, k 0 y A = (A k \ A k+1 ) D, (1) donde D = k=1 A k Análogamente, A 1 = k=0 (A k \ A k+1 ) D (2) k=1 Reordenando las fórmulas (1) y (2) obtenemos que A = D [(A 1 \ A 2 ) (A 3 \ A 4 )] [(A \ A 1 ) (A 2 \ A 3 ) ] A 1 = D [(A 1 \ A 2 ) (A 3 \ A 4 )] [(A 2 \ A 3 ) (A 4 \ A 5 ) ] Observemos que A\A 1 es equivalente a A 2 \A 3, A 2 \A 3 es equivalente a A 4 \A 5, ect, luego es posible construir una biyección entre A y A 1 ya que las uniones que figuran en ambas fórmulas son disjuntas De este modo A y A 1 son equivalentes y luego A y B también lo son Corolario 06 Sean a y b dos cardinales tales que a b y b a entonces a = b Dados a y b dos cardinales, decimos que a es menor que b, y lo notamos a < b, si a b y b a, es decir si A = a y B = b, existe una aplicación inyectiva f : A B pero no existe una aplicación inyectiva g : B A Corolario 07 ℵ 0 es el menor cardinal transfinito

3 Demostración Supongamos que A = ℵ 0 y B = ℵ es transfinito Por el Teorema 03 existe f : A B inyectiva Luego ℵ 0 ℵ Teniendo en cuenta el orden que definimos podemos decir que un conjunto A es finito si A < ℵ 0, infinito si A ℵ 0, A es numerable si A ℵ 0 y no numerable si A > ℵ 0 Teorema 08 La unión de una familia numerable de conjuntos numerables es numerable Demostración Sea {A n } n N tal que cada A n es numerable Podemos suponer que los A n son disjuntos (si no, consideramos A 1 = A 1, A n = A n \ n 1 k=1 A k, si n > 1) Es decir que A n = (a nk ) k N Sea A = n N A n Definimos la siguiente aplicación de A en N El conjunto A se mira como la siguiente matriz infinita A 1 : a 11 a 12 a 13 a 14 A 2 : a 21 a 22 a 23 a 24 A 3 : a 31 a 32 a 33 a 34 A n : a n1 a n2 a n3 a n4 y se ordena n A n como indica el diagrama Es decir, se consideran las diagonales ordenadas Entonces se obtiene una aplicación f : A N inyectiva (ya que algunos de los A n pueden ser finitos) Observemos que en la demostración anterior hemos ordenado el conjunto de pares ordenados de números naturales {(m, n) : m, n N} el siguiente modo: dados dos pares (m, n) y (m, n ) consideramos que (m, n) < (m, n ) si m + n < m + n, es decir si el primer par pertenece a una diagonal anterior al segundo Si ambos pares están en la misma diagonal, es decir si m + n = m + n entonces (m, n) < (m, n ) si m < m Se deja como ejercicio calcular la fórmula explícita de esta función Corolario 09 El conjunto de números racionales es numerable Demostración Dado r Q, r = p q, p, q Z, q 0 Para q Z, q 0 fijo, sea A q = { p q : p Z} Entonces A q es numerable y Q = q Z A q Luego Q es numerable Veamos algún ejemplo de un conjunto no numerable: Teorema 010 El intervalo [0, 1] no es numerable Demostración Basta ver que para toda sucesión (a n ) n N [0, 1] puedo hallar un número c [0, 1] que no pertenece a la sucesión Para esto determinamos un intervalo [p 1, q 1 ] [0, 1] tal que a 1 / [p 1, q 1 ] tal que q 1 p 1 = 1 3 (éste será uno de los intervalos [0, 1 3 ], [ 1 3, 2 3 ], [ 2 3, 1])

4 A continuación fijamos un intervalo [p 2, q 2 ] [p 1, q 1 ] tal que a 2 / [p 2, q 2 ] y q 2 p 2 = 1/9 En general determinamos un intervalo [p n, q n ] [p n 1, q n 1 ] tal que a n / [p n, q n ] y q n p n = 1 3 n Sea {c} = n=1 [p n, q n ], es decir c = lím n p n = lím n q n Entonces c a n, n ya que a n / [p n, q n ] Corolario 011 R no es numerable y c = R > ℵ 0 A continuación veremos que dado un cardinal arbitrario ℵ siempre existe un cardinal mayor Dado un conjunto A, consideremos el conjunto partes de A, P(A) = {X : X A}, de todos los subconjuntos de A Este conjunto es equivalente al conjunto de funciones de A en {0, 1}, que notaremos {0, 1} A (es decir, {0, 1} A = {f : A {0, 1}}) Para ver esta equivalencia basta considerar la aplicación g : P(A) {0, 1} A, g(b) = χ B, donde B A y χ B es la función característica de B, ie, 1 si x B χ B (x) = 0 si x / B Teniendo en cuenta esta observación, si A = ℵ el cardinal de P(A) será notado 2 ℵ, es decir 2 ℵ = P(A) = {0, 1} A Teorema 012 Para cualquier cardinal ℵ, ℵ < 2 ℵ Demostración Supongamos que A = ℵ La aplicación f : A P(A), f(a) = {a}, a A es inyectiva y luego ℵ 2 ℵ Veamos que no puede existir una biyección g : A P(A) Sea g : A P(A) cualquier aplicación Veamos que la imagen de g es un conjunto propio de P(A) Sea B A definido como B = {a A : a / g(a)} entonces B / Im g y B P(A) pues supongamos que B = g(a 0 ) para algún a 0 A Entonces a 0 B si y sólo si a 0 / g(a 0 ) = B lo cual es absurdo 1 Operaciones con números cardinales La suma de dos números cardinales m y n es, por definición, la potencia de la unión de dos conjuntos disjuntos A y B tales que A = m y B = n Si denotamos m + n a esta suma, entonces m + n = A B, donde A B =, A = m y B = n Observemos que si A = m y B = n entonces los conjuntos A 1 = {1} A y B 1 = {2} B son disjuntos y A 1 = A y B 1 = B El producto mn de los números cardinales m y n se define como mn = A B,

5 donde A = m y B = n Ejercicio: Demostrar que si m, n N entonces las definiciones anteriores coinciden con las operaciones de suma y producto en N Ejercicio: Probar que si n N entonces ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0, ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 y ℵ 0 n = ℵ 0 La suma y el producto satisfacen las propiedades asociativa y conmutativa Proposición 11 (Propiedad distributiva) Si m, n, p son cardinales entonces m(n + p) = mn + mp Demostración Sean A, B y C tales que A = m, B = n, C = p y B C = Entonces A (B C) = (A B) (A C) Además (A B) (A C) = Luego A (B C) = A B + A C Corolario 12 Si a y n son cardinales, n N, entonces an = a + a + + a, en donde el segundo miembro tiene n términos Demostración Aplicar inducción sobre n y la propiedad distributiva Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de funciones de A en B se nota B A Es decir que B A = {f : A B, f función } Si A = a y B = b definimos el cardinal b a = B A Es fácil ver que se verifican las siguientes fórmulas donde m, n y p son números cardinales n m+p = n m n p (mn) p = m p n p (n m ) p = m mp Recordemos que P(X) = {0, 1} X, para cualquier conjunto dado X luego, por definición, P(X) = 2 X

6 2 Propiedades del numero c Definimos el número c como la potencia de R Dados a, b R, (a, b) = [a, b] = R = c, ya que dos intervalos arbitrarios (a, b) y (c, d) siempre son equivalentes y ( π 2, π 2 ) es equivalente a R, pues f : ( π, π ) R, f(x) = tg x es una biyección Como c = (a, b) 2 2 [a, b] R = c, ya que (a, b) [a, b] R y,(a, b) = c, resulta que estos cardinales coinciden Ejercicio: Probar que c = c + n = c + ℵ 0 = c + c = nc, donde n N La siguiente proposición vincula los cardinales ℵ 0 y c Proposición 21 2 ℵ 0 = c Demostración Sea A = {0, 1} N, es decir el conjunto de sucesiones de ceros y unos Entonces A = 2 ℵ 0 Sea B el subconjunto de A de las sucesiones (x n ) tales que x m = 0 si m n 0, para algún n 0 N Definimos f : A R de la siguiente forma: si x = (x n ) B x i f(x) = 2 = (0, x 1x i 2 ) 2, si x = (x n ) A \ B La función f es inyectiva y Luego, f(a) = c = A Corolario 22 ℵ ℵ 0 0 = c = c ℵ 0 f(x) = 1 + i=1 i=1 x i 2 i = (1, x 1x 2 ) 2 (1, 2) f(a) R Demostración 2 ℵ 0 ℵ ℵ 0 0 c ℵ 0 = (2 ℵ 0 ) ℵ 0 = 2 ℵ 0 2 = 2 ℵ 0 Aquí usamos la siguiente propiedad: si m, n y p son cardinales tales que m n entonces m p n p Corolario 23 c = cℵ 0 = c 2 = c ℵ 0 Demostración c cℵ 0 c 2 c ℵ 0 = c Corolario 24 2 c = ℵ 0 c = c c Demostración c c = (2 ℵ 0 ) c = 2 ℵ 0c = 2 c, pues aplicando el corolario anterior ℵ 0 c = c