Apuntes de cálculo en una variable real. Eduardo Liz Marzán

Transcripción

1 Apuntes de cálculo en un vrible rel Edurdo Liz Mrzán Vigo, Diciembre de 2006

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3 Índice Generl Preinres. Introducción L relción de orden en el conjunto de los números reles El vlor bsoluto Funciones reles de vrible rel Límites y continuidd 5 2. Introducción Límite de un función en un punto Continuidd Límites en infinito Cálculo de límites Algunos teorems pr funciones continus Cálculo diferencil 3. Introducción Derivd de un función en un punto Función derivd. Derivds sucesivs Propieddes de ls derivds L regl de L Hôpitl Extremos reltivos de un función El teorem del vlor medio El teorem de Tylor Cálculo integrl Introducción Primitiv de un función L integrl definid El teorem fundmentl del cálculo Integrles impropis Sucesiones Introducción Sucesiones convergentes y divergentes

4 5.3 Cálculo de límites Límites superior e inferior Sucesiones recursivs Series 4 6. Introducción Series de números reles Series de términos positivos. Criterios de convergenci Convergenci bsolut Series de potencis Referencis 5

5 Introducción En lgunos plnes de estudio de ls ingenierís qued todví un primer signtur de Cálculo dedicd l cálculo en un vrible rel. A mí prticulrmente me prece muy útil empezr construir ls css desde los cimientos, por lo que soy plenmente prtidrio de seguir imprtiendo este curso. En l E. T. S. de Ingenieros de Mins de l Universidd de Vigo se le dedicn 45 hors de clse en ls que es posible explicr l mteri que quí se recoge con bundntes ejercicios y ejemplos explictivos. L prte teóric de este libro contiene los principles conceptos, resultdos y propieddes con lgunos ejemplos. Sólo se incluyen lguns demostrciones sencills, que juegn el ppel de mostrr que muchs veces los resultdos más útiles no son los más complicdos. L usenci de demostrciones permite tomrse cierts licencis en cunto l orden de los contenidos (que me perdonen los más purists). Tmpoco se incluye mteril como tbls de derivds porque se supone que el lumno que se mtricul en primero de ingenierí debe mnejr perfectmente ese tipo de coss. Se ñdirá posteriormente un prte de ejercicios bsd en exámenes de Cálculo I de Mins. Mientrs sig imprtiendo l signtur, es prte crecerá con cd nuev convoctori y los nuevos exámenes resueltos se pueden descrgr en mi págin web

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7 Cpítulo Preinres. Introducción. En este curso se estudi el cálculo en un vrible rel, con lo que el conjunto protgonist es el de los números reles, que denotremos por R. En este cpítulo preinr recordremos lguns cuestiones importntes que se utilizn en los tems siguientes, como l relción de orden totl de los números reles, el vlor bsoluto y el concepto de función..2 L relción de orden en el conjunto de los números reles. Un crcterístic fundmentl en el conjunto R de los números reles es que existe un relción de orden totl comptible con ls operciones. En prticulr, se verificn ls siguientes propieddes:. Si x y y z R entonces x + z y + z. 2. Si x y y λ > 0 entonces λx λy. 3. Si x y y λ < 0 entonces λx λy. En prticulr, x y = x y. 4. Si 0 < x < y entonces 0 < /y < /x. Intervlos. L relción de orden permite definir los intervlos, que son los subconjuntos de números reles que usremos más hbitulmente. Si, b son dos números reles tles que < b, se definen los siguientes intervlos: (, b) = {x R / < x < b} (Intervlo bierto de extremos y b). [, b] = {x R / x b} (Intervlo cerrdo de extremos y b). [, b) = {x R / x < b}. (, b] = {x R / < x b}.

8 2. Preinres Observciones:. Estos dos últimos se llmn intervlos semibiertos o semicerrdos. 2. Todos estos tipos de intervlos se llmn intervlos finitos o cotdos. Los intervlos cerrdos cotdos [, b] se llmn tmbién intervlos compctos. Existen otros intervlos infinitos o no cotdos: Abiertos: (, ) = {x R / x > }, (, b) = {x R / x < b}. Cerrdos: [, ) = {x R / x }, (, b] = {x R / x b}. Obsérvese que R = (, ) tmbién es un intervlo no cotdo..3 El vlor bsoluto. Se define el vlor bsoluto de un número rel x como Propieddes { x =. x 0, x R y demás x = 0 x = x = x, x R. 3. x y = x y, x, y R. 4. x + y x + y, x, y R. x si x 0 x si x < 0 5. Si r > 0 entonces x r r x r x [ r, r]. L propiedd 5 permite crcterizr el intervlo [x 0 r, x 0 + r] centrdo en x 0 R y de rdio r > 0 en términos del vlor bsoluto: x [x 0 r, x 0 + r] x x 0 r. Lo mismo se obtiene pr intervlos biertos utilizndo l desiguldd estrict.

9 .4. Funciones reles de vrible rel. 3.4 Funciones reles de vrible rel. Ls funciones reles de vrible rel son el objeto principl de los primeros tems del curso. En est sección repsmos lgunos conceptos relciondos. Se D un subconjunto de R. Un función rel de vrible rel (en delnte nos referiremos ell únicmente como función) es un correspondenci f : D R que sign cd número x D un único número f(x) R que se llm imgen de x. El conjunto D se llm dominio de definición de f. Se llm imgen de f o rngo de f l conjunto f(d) = {f(x) / x R}. Por ejemplo, l plicción f(x) = ln(x) está definid únicmente en D = (0, ) y su imgen es f(d) = R, y que todo número rel y se puede escribir como y = ln(e y ) = f(e y ). Composición de funciones. Sen f : D R, g : D 2 R. Si f(d ) D 2, se puede definir l composición (g f) : D R como (g f)(x) = g(f(x)), x D. Por ejemplo, si f(x) = x 2 + y g(x) = ln(x), se define (g f) : R R como (g f)(x) = g(f(x)) = ln(x 2 + ), x R. Se dice que dos funciones f : D R, g : D 2 R son inverss si (g f)(x) = x, x D y (f g)(y) = y, y D 2. Si f y g son inverss, se denot g = f. Por ejemplo, ls funciones f(x) = e x y g(x) = ln(x) son inverss y que g(f(x)) = ln(e x ) = x, x R ; f(g(y)) = e ln(y) = y, y (0, ). En generl, unque un función f : D R teng invers, no es sencillo clculrl. Por ejemplo, l función f : R R definid por f(x) = x+e x tiene invers pero no se puede encontrr un expresión sencill pr ell. En ocsiones, sber que l función tiene invers tmbién es útil, unque no se pued clculr explícitmente. Ls funciones que tienen invers se llmn funciones inyectivs. Se crcterizn por l siguiente propiedd: f es inyectiv si y sólo si pr culquier pr de números reles distintos x, y D sus imágenes f(x), f(y) tmbién son distints. Por ejemplo, l función f : R R definid por f(x) = x 2 no es inyectiv y que f( ) = f() =. L clse más interesnte de funciones inyectivs son ls funciones monótons. Un función f : D R es estrictmente creciente si pr culquier pr de números reles distintos x, y D se cumple que x < y = f(x) < f(y). Diremos que f es es estrictmente decreciente si x < y = f(x) > f(y). Ls funciones estrictmente crecientes o decrecientes se llmn funciones estrictmente monótons. Es inmedito probr que tod función estrictmente monóton es inyectiv y por tnto tiene invers. Por ejemplo, l función f(x) = x + e x menciond ntes es clrmente creciente y que x < y = x + e x < y + e y.

10 4. Preinres

11 Cpítulo 2 Límites y continuidd 2. Introducción. En este cpítulo se introducen los conceptos de límite de un función en un punto y de límite en infinito. L noción de límite conduce l importnte definición de continuidd. Al finl del tem se enuncin vrios teorems importntes que dependen de form esencil de l continuidd. 2.2 Límite de un función en un punto. Se x 0 R y se f un función definid en los intervlos (x 0 r, x 0 ) y (x 0, x 0 + r) pr lgún r > 0. Se dice que existe el límite de f en x 0 si ocurre un de ls siguientes posibiliddes:. f(x) = y 0 x x 0 R si ls imágenes de los puntos cercnos x 0 se proximn y 0. Formlmente, x x 0 f(x) = y 0 [ ε > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 + δ), x x 0 = f(x) y 0 < ε]. 2. x x 0 f(x) = si ls imágenes de los puntos cercnos x 0 tomn vlores rbitrrimente grndes. Formlmente, f(x) = [ M > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 + δ), x x 0 = f(x) > M]. x x 0 3. x x 0 f(x) = si ls imágenes de los puntos cercnos x 0 tomn vlores negtivos rbitrrimente grndes en vlor bsoluto. Formlmente, f(x) = [ M > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 + δ), x x 0 = f(x) < M]. x x 0 x 0. Si no sucede ningun de ls situciones nteriores, diremos que no existe el límite de f en 5

12 6 2. Límites y continuidd En ocsiones no existe el límite de un función en x 0, pero existe lguno de los límites lterles. El concepto de límite lterl se define de form muy precid l de límite. Se f un función rel. Si x 0 es un número rel tl que f está definid en un intervlo (x 0 r, x 0 ) pr lgún r > 0 entonces diremos que existe el límite por l izquierd de f en x 0 si ocurre un de ls siguientes posibiliddes: ) f(x) = y 0 [ ε > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) y 0 < ε]. x x 0 2) f(x) = [ M > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) > M]. x x 0 3) f(x) = [ M > 0, δ > 0 / x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) < M]. x x 0 Si f(x) = ± se dice que l rect verticl x = x 0 es un síntot verticl de l x x 0 gráfic de f por l izquierd. De modo completmente nálogo (cmbindo (x 0 δ, x 0 ) por (x 0, x 0 +δ)) se define el límite por l derech de f en x 0 si f está definid en un intervlo de l form (x 0, x 0 + r) pr lgún r > 0. Se denot f(x). Si x x + 0 de f por l derech. x x + 0 f(x) = ± se dice que l rect verticl x = x 0 es un síntot verticl de l gráfic Observción. Si f está definid en intervlos de l form (x 0 r, x 0 ) y (x 0, x 0 + r) pr lgún r > 0 entonces existe f(x) si y sólo si existen los límites lterles y coinciden, es decir, x x 0 f(x) = f(x). Por ejemplo, consideremos l función f : (, 0) (0, ) R definid x x 0 x x + 0 por f(x) = / x. Existe f(x) = y que / x tom vlores rbitrrimente grndes y x 0 positivos cundo x se proxim cero tnto por l derech como por l izquierd. Otros ejemplos:. Se f : (0, ) R definid por f(x) = ln(x). Existe f(x) = y que ln(x) tom x 0 + vlores rbitrrimente grndes y negtivos cundo x se proxim cero por l derech. 2. Se f : ( π/2, π/2) R definid por f(x) = tg (x). f(x) = ; f(x) =. x π/2 x π/ Se f : (, 0) (0, ) R dd por f(x) = sen(x)/x. Veremos que existe x 0 f(x) =.

13 2.3. Continuidd Continuidd. Se f : I R un función definid en un intervlo bierto I. Se dice que f es continu en un punto x 0 I si existe el límite de f en x 0 y demás f(x) = f(x 0 ). x x 0 Si f no es continu en x 0, diremos que f tiene un discontinuidd en x 0. Considerremos dos tipos distintos de discontinuiddes:. Discontinuidd de slto. Se produce cundo existen los límites lterles de f en x 0 pero no coinciden. Se dice que el slto es finito si los dos límites lterles son finitos. Si lguno de ellos es infinito, diremos que el slto es infinito. 2. Discontinuidd esencil. Se produce cundo no existe lguno de los límites lterles de f en x 0. Ejemplos:. Se f : R R definid por f(x) = { sen(x) si x 0 ln(x) si x > 0. Existe un discontinuidd de slto infinito en x 0 = 0, y que x 0 2. Se f : R R definid por x 0 x 0 f(x) = sen(0) = 0 ; f(x) = ln(x) =. + + f(x) = { sen(x) si x 0 sen(/x) si x > 0. Existe un discontinuidd esencil en x 0 = 0, y que no existe f(x) = sen(/x). x 0 + x 0 + L rzón es que cundo x se proxim cero por l derech, l función f tom todos los vlores entre y en cd intervlo de l form [/(kπ), /(kπ + 2π)], k N. Se dice que un función es continu en un conjunto A si es continu en todos los puntos de A. Algunos ejemplos de funciones continus. Ls funciones más comunes son continus en sus dominios de definición. Por ejemplo: Ls funciones polinómics p(x) = 0 + x + 2 x n x n, donde 0,,..., n R, son continus en R. Ls funciones rcionles (cocientes de polinomios) r(x) = p(x)/q(x) son continus en su dominio de definición, es decir, en el conjunto de los números reles x tles que q(x) 0.

14 8 2. Límites y continuidd L función exponencil e x es continu en R y ln(x) es continu en (0, ). Ls funciones trigonométrics sen(x), cos(x), tg (x) y sus inverss rc sen(x), rc cos(x), rctg (x) son continus en sus respectivos dominios de definición. Los ejemplos nteriores, combindos con ls propieddes que enuncimos continución, permiten probr l continuidd de muchs funciones. Propieddes.. L composición de funciones continus es un función continu. Por ejemplo, l función f(x) = ln( + cos(x) ) es continu en R y que f(x) = f (f 2 (f 3 (f 4 (x)))), donde f (x) = ln(x), f 2 (x) = + x, f 3 (x) = x y f 4 (x) = cos(x) son continus. 2. Si f y g son funciones continus en x 0 entonces ls funciones (f +g) y (f g) son continus en x 0. L función f/g es continu en x 0 si g(x 0 ) 0. Por ejemplo, l función f(x) = e x /(x ) es continu pr todo x. 2.4 Límites en infinito. Se f un función definid en el intervlo (, ) pr lgún R. Diremos que existe el límite de f en si ocurre un de ls siguientes posibiliddes: ) x f(x) = y 0 [ ε > 0, M > 0 / x > M = f(x) y 0 < ε]. 2) x f(x) = [ M > 0, M > 0 / x > M = f(x) > M ]. 3) x f(x) = [ M > 0, M > 0 / x > M = f(x) < M ]. Si no sucede ningun de ls situciones nteriores, diremos que no existe el límite de f en infinito. De modo completmente nálogo se define el límite de f en si f está definid en (, b) pr lgún b R. Si y 0 R es el límite de f en ±, entonces l rect horizontl y = y 0 es un síntot horizontl de l gráfic de f. Ejemplos:. x ex =, x ex = /x = /x = 0. x x 3. No existe x sen(x).

15 2.5. Cálculo de límites Cálculo de límites. Ls siguientes propieddes son útiles pr el cálculo de límites:. Sen f y g dos funciones. Supongmos que existen f(x) R y x x 0 puede ser ± ). Entonces: x x 0 g(x) R (x 0 () (b) (c) (d) (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). x x 0 x x 0 x x 0 ( ) ( ) (f(x) g(x)) = f(x) g(x). x x 0 x x 0 x x 0 ( ) ( ) (f(x)/g(x)) = f(x) / g(x), si g(x) 0. x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 ( f(x) g(x)) = x x 0 ( f(x) x x 0 ) x x 0 g(x), si x x 0 f(x) > 0. Alguns de ls propieddes nteriores se pueden extender l cso en que lguno de los límites es ±, teniendo en cuent ls relciones formles + =, =, λ = si λ > 0, λ = si λ < 0, =. ( ) 2. Si g es continu y existe f(x) entonces x x 0 Por ejemplo, x 0 ln(x + ) = ln x x 0 g(f(x)) = g ( ) (x + ) = ln() = 0. x 0 3. Si f(x) = 0 y g está cotd en un entorno de x 0 entonces x x 0 Por ejemplo, sen(x)/x = 0, y que sen(x) está cotd y x x x 0 f(x) x. (f(x) g(x)) = 0. x x 0 /x = Si f, g, h son tres funciones tles que h(x) f(x) g(x) en un entorno de x 0 y h(x) = x x 0 g(x) entonces f(x) = h(x) = g(x). x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 5. x x 0 f(x) = 0 x x 0 f(x) = 0. En muchos cso el cálculo de límites conduce indeterminciones. Alguns de ells se resolverán utilizndo l regl de L Hôpitl, que se introduce en el tem siguiente. 2.6 Algunos teorems pr funciones continus. En est sección se recogen cutro resultdos muy útiles bsdos en l continuidd. Son resultdos muy intuitivos que se deducen del siguiente teorem: Teorem 2. Se I un intervlo rel y f : I R un función continu. Entonces f(i) = {f(x) / x I} tmbién es un intervlo. Además, si I = [, b] es un intervlo compcto entonces f([, b]) = [c, d] tmbién es un intervlo compcto.

16 0 2. Límites y continuidd Como consecuencis de este resultdo se tienen los siguientes teorems importntes: Teorem 2.2 (Teorem de los vlores extremos) Se f : [, b] R un función continu. Entonces existen m, M R tles que m = min f(x), M = mx f(x). x [,b] x [,b] Por ejemplo, se f : [0, 2] R definid por f(x) = x 4 2x 2. Se puede probr que min f(x) = f() = ; mx f(x) = f(2) = 8. x [0,2] x [0,2] Este resultdo no tiene por qué ser cierto si f no es continu o no está definid en un intervlo compcto. Por ejemplo, l función f : (0, 2) R definid por f(x) = /x es continu pero no existe mx f(x) y que f(x) =. x (0,2) x 0 + Teorem 2.3 (Teorem de los vlores intermedios) Se f : [, b] R un función continu. Sen m = min f(x), M = mx f(x). Pr culquier c tl que m < c < M existe l x [,b] x [,b] menos un número x [, b] tl que f(x) = c. Teorem 2.4 (Teorem de Bolzno) Se f : [, b] R un función continu. Si f() f(b) < 0 entonces existe l menos un número x [, b] tl que f(x) = 0. El teorem de Bolzno es un buen herrmient pr probr l existenci de ceros de un función. (Diremos que c es un cero o un ríz de f si f(c) = 0.) Por ejemplo, l función continu f(x) = e x x 4 tiene un cero en el intervlo [, 2] y que f() = e > 0 y f(2) = e 2 6 < 0. Teorem 2.5 (Teorem de punto fijo) Si f : [, b] [, b] es un función continu entonces existe l menos un punto fijo de f en [, b], es decir, x [, b] / f(x) = x. Obsérvese que pr plicr este teorem es necesrio comprobr que f es continu y que f : [, b] [, b], es decir, f(x) [, b], x [, b]. Por ejemplo, l función continu f(x) = e x tiene un punto fijo en [0, ] y que x [0, ] = e f(x) = f(x) [0, ].

17 Cpítulo 3 Cálculo diferencil 3. Introducción. El cálculo diferencil, bsdo en el concepto de derivd de un función en un punto, es l herrmient más eficz pr obtener propieddes de un función como sus intervlos de crecimiento, decrecimiento, concvidd y convexidd. Tmbién tiene importntes plicciones l cálculo de límites (y por tnto de síntots) y l proximción de funciones por otrs más sencills. 3.2 Derivd de un función en un punto. Consideremos un función f : I R, donde I es un intervlo bierto (cotdo o no). Se dice que f es derivble en un punto x 0 I, si existe el siguiente límite y es finito: h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h En cso de que exist, se llm derivd de f en x 0 y se denot por f (x 0 ). Si el límite no existe o es infinito, diremos que f no es derivble en x 0 o que no existe l derivd de f en x 0. Un definición equivlente de f (x 0 ) se obtiene tomndo h = x x 0 : f (x 0 ) = x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Ejemplo: L función f(x) = x 2 es derivble en todo punto x R y demás f f(x + h) f(x) (x + h) 2 x 2 (x) = = h 0 h h 0 h h 2 + 2xh = = (h + 2x) = 2x. h 0 h h 0 Tmbién se pueden definir ls derivds lterles de f en x 0. Se llm derivd por l izquierd de f en x 0, y se denot f (x 0 ), l límite f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ), h 0 h

18 2 3. Cálculo diferencil siempre que éste exist y se finito. Análogmente, se define l derivd por l derech f (x + 0 ) tomndo el límite por l derech. Propiedd. f es derivble en x 0 si y sólo si existen f (x 0 ) y f (x + 0 ) y demás f (x 0 ) = f (x + 0 ). Ejemplos:. L función f(x) = x no es derivble en x 0 = 0 y que f (0 f(0 + h) f(0) h ) = = h 0 h h 0 h = h h 0 h = f (0 + f(0 + h) f(0) h ) = = h 0 + h h 0 h = h h 0 + h =. 2. L función f(x) = { x 2 si x 0 x 2 si x > 0 es derivble en x 0 = 0 y f (0) = 0 y que f (0 h 2 ) = h 0 h = h 0 ( h) = 0 f (0 + h 2 ) = h 0 h = h = 0. h 0 En cso de que un función f esté definid en un intervlo compcto [, b], l derivd de f en se define como l derivd por l derech y l derivd de f en b se entenderá como l derivd por l izquierd. Interpretción geométric. Ddos x 0 R y h R, el cociente (f(x 0 + h) f(x 0 ))/h represent l pendiente de l rect y = R h (x) que ps por los puntos del plno (x 0, f(x 0 )) y (x 0 + h, f(x 0 + h)). Estos puntos están sobre l gráfic de f y ls rects y = R h (x) se proximn cundo h tiende cero l rect y = R(x) tngente l gráfic de f en el punto (x 0, f(x 0 )). Por tnto, un función f es derivble en x 0 si existe l rect tngente l gráfic de f en el punto (x 0, f(x 0 )) y demás su pendiente es finit (no es un rect verticl). L derivd de f en x 0 represent l pendiente de dich rect tngente, cuy ecución es y = R(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Por ejemplo, l función f(x) = x 2 es derivble en x 0 = y f () = 2. Por tnto, l rect tngente l gráfic de f en el punto (, ) es y = R(x) = + 2(x ) = 2x. Ls gráfics de f y R se representn en l figur 3..

19 3.3. Función derivd. Derivds sucesivs. 3 4 f(x) 3 2 R(x) Figur 3.: Gráfic de f(x) = x 2 y su tngente en (, ). 3.3 Función derivd. Derivds sucesivs. Se f : I R un función. Se dice que f es derivble en I si es derivble en todos los puntos de I. En este cso se puede definir l función derivd de f: f : I R x f (x) Si l función f es su vez derivble en I entonces se define l derivd segund (o derivd de orden 2) de f como f (x) = (f ) (x), x I. En generl, si n 2, existe l derivd de orden n de f y f n ) es derivble en I entonces se define f n) (x) = (f n ) ) (x), x I. En este cso, se dice que f es n veces derivble en I y f n) se llm derivd n-ésim de f en I. Por convenio, se define f 0) (x) = f(x). Se dice que un función es de clse n en I y se denot f C n (I) si f es n veces derivble en I y l función f n) es continu. Si f tiene derivds de todos los órdenes entonces se dice que f es de clse infinito y se denot f C (I). Ejemplos:. L función f(x) = e x es de clse infinito en R y que existen tods ls derivds sucesivs de f. De hecho, f n) (x) = e x, n N. 2. L función f : R R definid por es derivble en R, pero su derivd f(x) = f (x) = { x 2 si x 0 x 2 si x > 0 { 2x si x 0 2x si x > 0

20 4 3. Cálculo diferencil no es derivble en x = 0. Por tnto f C (R) pero f C 2 (R). Observción. Tod función derivble es continu. Sin embrgo, no tod función continu es derivble. Por ejemplo, l función f(x) = x es continu en R pero no es derivble en x = Propieddes de ls derivds. Sen f : I R, g : I R dos funciones derivbles en un punto x 0 I. Entonces:. (f + g) es derivble en x 0 y (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2. (λf) es derivble en x 0 y (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ), λ R. 3. (f g) es derivble en x 0 y (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). 4. Si g(x 0 ) 0, (f/g) es derivble en x 0 y (f/g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0 )) 2. Regl de l cden. Se conoce con el nombre de regl de l cden l fórmul pr l derivd de l composición de dos funciones. Sen f : D R, g : D 2 R tles que f(d ) D 2. Si f es derivble en x 0 y g es derivble en f(x 0 ) entonces (g f) es derivble en x 0 y demás Ejemplo. (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). L función f(x) = e (x2) es derivble en R y f (x) = (2x)e (x2), x R. 3.5 L regl de L Hôpitl. En est sección nos sltmos el orden usul por dos rzones: l primer es que l regl de L Hôpitl es l plicción de ls derivds más relciond con el tem nterior. De hecho es probblemente el método más efectivo pr el cálculo de límites en el cso de indeterminciones. El segundo motivo es que no se incluye l demostrción del teorem y eso nos permite dejr el teorem del vlor medio pr más delnte. Teorem 3. (Regl de L Hôpitl) Se x 0 R. Sen f y g dos funciones definids y derivbles en los intervlos (x 0 r, x 0 ) y (x 0, x 0 + r) pr lgún r > 0, de tl mner que g no se nul en esos intervlos. Supongmos que se cumplen ls siguientes condiciones: () f(x) = g(x) = 0 o x x 0 x x 0 f(x) = g(x) = x x 0 x x 0 (b) Existe (f (x)/g (x)) = l (l puede ser finito o infinito). x x 0

21 3.5. L regl de L Hôpitl. 5 Entonces existe (f(x)/g(x)) y x x 0 f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). El resultdo del teorem sigue siendo cierto si x 0 = ± y ls funciones f y g son derivbles en intervlos de l form (, ) o (, b). Tmbién se plic pr el cálculo de límites lterles en cso de que f/g sólo esté definid l izquierd o l derech de x 0. Ejemplo. sen(x) cos(x) = = cos(0) =. x 0 x x 0 Órdenes de crecimiento Hy muchs funciones que tienen límite infinito en infinito. Sin embrgo, tmbién es importnte l mgnitud del crecimiento. Por ejemplo, es sbido que el crecimiento exponencil es más rápido que el crecimiento logrítmico. Sen f, g dos funciones tles que f(x) = g(x) =. L regl de L Hôpitl yud x decidir cuál de ells crece más rápido. Diremos que f y g tienen el mismo orden de crecimiento cundo cundo x tiende infinito si (f(x)/g(x)) = c > 0. Si (f(x)/g(x)) = diremos x x que el orden de crecimiento de f en infinito es myor que el de g. x Los siguientes órdenes de crecimiento en infinito están ordendos de myor menor:. Crecimiento exponencil: f crece exponencilmente cundo x tiende infinito si existen constntes > 0 y c > 0 tles que x (f(x)/ex ) = c. 2. Crecimiento superlinel: f crece superlinelmente cundo x tiende infinito si existen constntes > y c > 0 tles que x (f(x)/x ) = c. 3. Crecimiento linel: f crece linelmente cundo x tiende infinito si existe un constnte c > 0 tl que (f(x)/x) = c. x 4. Crecimiento sublinel: f crece sublinelmente cundo x tiende infinito si existen constntes (0, ) y c > 0 tles que x (f(x)/x ) = c. 5. Crecimiento logrítmico: f tiene crecimiento logrítmico cundo x tiende infinito si existe un constnte c > 0 tl que (f(x)/ ln(x)) = c. x Por ejemplo, vemos que el crecimiento sublinel es más rápido que el logrítmico usndo l regl de L Hôpitl. En efecto, x x ln x = x x x = x x =, > 0.

22 6 3. Cálculo diferencil 3.6 Extremos reltivos de un función. Ls siguientes plicciones que veremos del cálculo diferencil se dirigen en primer lugr l estudio culittivo de ls funciones, con especil tención l crecimiento, decrecimiento, concvidd y convexidd. Pero, demás, los teorems que se incluyen en est sección tienen muchs otrs plicciones. Empezmos recordndo el concepto de máximo y mínimo reltivo de un función. Se f : D R un función. Se dice que f lcnz un máximo reltivo en un punto x 0 D si existe un número r > 0 tl que f(x) f(x 0 ) pr todos los puntos x D tles que x x 0 < r. Análogmente, f lcnz un mínimo reltivo en un punto x 0 D si existe un número r > 0 tl que f(x) f(x 0 ) pr todos los puntos x D tles que x x 0 < r. Observciones:. En culquier de los dos csos nteriores se dice que f tiene un extremo reltivo en x El extremo es estricto si ls desigulddes que relcionn f(x) y f(x 0 ) son estricts. 3. El extremo es bsoluto si ls desigulddes f(x) f(x 0 ) o f(x) f(x 0 ) se cumplen pr todo x D. En virtud del teorem de los vlores extremos (Teorem 2.2), si f : [, b] R es un función continu entonces siempre se lcnzn el máximo y el mínimo bsolutos, es decir, existen x, x 2 [, b] tles que f(x ) f(x) f(x 2 ), x [, b]. El siguiente resultdo fcilit l búsqued de los extremos reltivos de un función. Teorem 3.2 (Teorem del extremo reltivo) Se f : I R un función derivble en un intervlo bierto I. Si f tiene un extremo reltivo en un punto x 0 I entonces f (x 0 ) = 0. Demostrción. Supongmos que f (x 0 ) > 0. Entonces f(x) f(x 0 ) = f (x 0 ) > 0. x x 0 x x 0 En consecuenci, los términos (f(x) f(x 0 )) y (x x 0 ) tienen el mismo signo en un intervlo (x 0 r, x 0 + r) pr lgún r > 0. Por lo tnto, f(x) > f(x 0 ) si x > x 0 y f(x) < f(x 0 ) si x < x 0. Esto quiere decir que f no puede lcnzr un extremo reltivo en x 0. El rzonmiento si f (x 0 ) < 0 es completmente nálogo. Por tnto, l únic posibilidd pr que f teng un extremo reltivo en x 0 es que f (x 0 ) = 0. Observciones:. Este teorem sólo proporcion un condición necesri pr l existenci de extremos. El hecho de que f (x 0 ) = 0 no grntiz que f teng un extremo en x 0. Por ejemplo, l función f : R R definid por f(x) = x 3 no tiene ningún extremo reltivo y sin embrgo f (0) = 0.

23 3.7. El teorem del vlor medio El teorem sólo se puede plicr en intervlos biertos. Si f está definid en un intervlo compcto [, b], el teorem se puede usr en el intervlo (, b). En los extremos del intervlo se debe estudir directmente l posible existenci de extremos. Por ejemplo, l función f(x) = x 2 definid en el intervlo [, ] tiene tres extremos reltivos: un mínimo reltivo en x = 0 y máximos reltivos en x = y en x =. Un de ls consecuencis del teorem del extremo reltivo es el teorem de Rolle. Teorem 3.3 (Teorem de Rolle) Se f : [, b] R un función derivble. Si f() = f(b) entonces existe l menos un punto x 0 [, b] tl que f (x 0 ) = 0. Demostrción. Si f es constnte en [, b] entonces f (x) = 0, x (, b). En otro cso, el mínimo y el máximo bsolutos de f en [, b] son distintos. Como f() = f(b), necesrimente uno de ellos se lcnz en un punto x 0 (, b). El teorem 3.2 grntiz que f (x 0 ) = 0. Como consecuenci del teorem de Rolle se puede relcionr el número de ceros de un función derivble f con el número de ceros de f. Corolrio 3. Se f : I R un función derivble definid en un intervlo rel I. Entre dos ceros consecutivos de f existe l menos un cero de f. En consecuenci, si f tiene n ceros en I entonces f tiene lo sumo (n + ) ceros en I. Demostrción. Sen c < c 2 dos ceros consecutivos de f. Entonces f : [c, c 2 ] R es continu y f(c ) = f(c 2 ). Por el teorem de Rolle, existe l menos un punto x 0 (c, c 2 ) tl que f (x 0 ) = 0. Ejemplo. Vemos que l función f(x) = 2e x x 3 tiene exctmente un ríz positiv. En efecto, f (x) = 2e x = 0 e x = /2 x = ln(/2). Como ln(/2) = ln(2) < 0, f no tiene ríces en (0, ) y por tnto f tiene lo sumo un ríz positiv. Por otr prte, como f(0) = < 0, f() = 2e 4 > 0, el teorem de Bolzno permite firmr que f tiene un cero en el intervlo (0, ). 3.7 El teorem del vlor medio. Un de ls consecuencis principles del teorem de Rolle es el teorem del vlor medio. Teorem 3.4 (Teorem del vlor medio) Se f : [, b] R un función derivble. Entonces existe l menos un punto x 0 (, b) tl que f(b) f() = f (x 0 )(b ). Demostrción. L prueb de este resultdo consiste en plicr el teorem de Rolle l diferenci entre f y l rect que ps por (, f()) y (b, f(b)). En efecto, se g : [, b] R definid por [ ] f(b) f() g(x) = f(x) f() + (x ). b

24 8 3. Cálculo diferencil Como g es derivble y g() = g(b) = 0, existe un x 0 (, b) tl que g (x 0 ) = 0. Por tnto, g (x 0 ) = f (x 0 ) f(b) f() b = 0 = f (x 0 ) = f(b) f(). b A continución se obtienen lguns consecuencis de este resultdo. Incluiremos ls pruebs de lguno de ellos. Corolrio 3.2 (Derivds de funciones definids trozos) Se f un función continu en un punto x 0 y derivble en los intervlos (x 0 r, x 0 ) y (x 0, x 0 + r) pr lgún r > 0. Supongmos que existen f (x) y f (x). Entonces f es derivble en x 0 si y sólo si x x 0 en x 0. f (x) = x x + 0 x x 0 x x + 0 f (x). Además, en ese cso, f (x 0 ) = x x 0 f (x) y por tnto f es continu Este resultdo simplific el estudio de l derivbilidd en lgunos csos. consideremos l función f : R R definid por Por ejemplo, f(x) = Clrmente f es derivble pr todo x 0 y f (x) = { x 2 si x 0 x 2 si x > 0 { 2x si x < 0 2x si x > 0 Como f (x) = f (x) = 0, se deduce que f es derivble en x = 0 y f (0) = 0. Por x 0 x 0 + tnto f está definid y es continu en R: f (x) = { 2x si x 0 2x si x > 0 Ahor, como f (x) = { 2 si x < 0 2 si x > 0 es clro que f (x) = 2 f (x) = 2 y por tnto no existe f (0). x 0 x 0 + Corolrio 3.3 (Intervlos de crecimiento y decrecimiento) Se f un función derivble en un intervlo (, b). () Si f (x) > 0, x (, b) entonces f es estrictmente creciente en (, b). (b) Si f (x) < 0, x (, b) entonces f es estrictmente decreciente en (, b).

25 3.7. El teorem del vlor medio. 9 Demostrción. Probremos el prtdo (): Sen x, y (, b) tles que x < y. Tenemos que demostrr que f(x) < f(y). Aplicndo el teorem del vlor medio en el intervlo [x, y] se deduce l existenci de un punto x 0 (x, y) tl que f(y) f(x) = f (x 0 )(y x). Entonces: f (x 0 ) > 0 = f(y) f(x) > 0 = f(x) < f(y). Corolrio 3.4 (Determinción de máximos y mínimos reltivos) Se f : I R un función definid en un intervlo bierto I. Supongmos que f es dos veces derivble en un entorno de un punto x 0 I y f (x 0 ) = 0. () Si f (x 0 ) > 0 entonces f lcnz un mínimo reltivo estricto en x 0. (b) Si f (x 0 ) < 0 entonces f lcnz un máximo reltivo estricto en x 0. Demostrción. Como ntes, probremos el primer prtdo. Como f (x 0 ) > 0, l función f tom vlores positivos en un intervlo (x 0 r, x 0 + r) pr lgún r > 0. Por el corolrio 3.3, f es estrictmente creciente en (x 0 r, x 0 + r). En consecuenci, f (x) > f (x 0 ) = 0 si x > x 0 y f (x) < f (x 0 ) = 0 si x < x 0. Por tnto, f es estrictmente decreciente en (x 0 r, x 0 ) y estrictmente creciente en (x 0, x 0 +r). Esto quiere decir que f tiene en x 0 un mínimo reltivo estricto. El último de los corolrios que veremos sirve pr determinr los intervlos de concvidd y convexidd de l gráfic de un función. Recordmos estos conceptos. Se f : I R un función derivble en un intervlo I. En este cso se puede definir l rect tngente l gráfic de f en cd punto (x 0, f(x 0 )), x 0 I. Se dice que l función es convex en I si l gráfic de f qued por encim de culquier rect tngente dich gráfic en los puntos del intervlo I. Si l gráfic de f qued por debjo de culquier rect tngente dich gráfic en los puntos del intervlo I se dirá que f es cóncv en I. Si f es convex un ldo de x 0 y cóncv otro se dirá que f tiene en x 0 un punto de inflexión. El ejemplo típico de función convex en R es f(x) = x 2, mientrs que el de función cóncv es f(x) = x 2. Ambs se muestrn en l figur Figur 3.2: Gráfics de x 2 y x 2.

26 20 3. Cálculo diferencil Corolrio 3.5 (Concvidd y convexidd) Se f : I R un función dos veces derivble en un intervlo bierto I. () Si f (x) > 0, x I entonces f es convex en I. (b) Si f (x) < 0, x I entonces f es cóncv en I. (c) Si f tiene en x 0 un punto de inflexión entonces necesrimente f (x 0 ) = 0. Demostrción. Probemos el prtdo (). Pr ello, escogemos un punto x 0 I; tenemos que demostrr que l gráfic de f qued por encim de l rect tngente dich gráfic en el punto (x 0, f(x 0 )). Recordemos que l ecución de l rect tngente es y = r(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). Por tnto, debemos probr que f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x I. Como f (x) > 0, x I, se deduce que f es estrictmente creciente en I. Distinguimos los csos x > x 0 y x < x 0. Por el teorem del vlor medio, pr cd x > x 0 existe un punto ξ x (x 0, x) tl que f(x) f(x 0 ) = f (ξ x )(x x 0 ). Como f es creciente, f (ξ x ) > f (x 0 ) y por tnto: f(x) f(x 0 ) = f (ξ x )(x x 0 ) > f (x 0 )(x x 0 ) = f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). El cso x < x 0 se resuelve de form completmente nálog. 3.8 El teorem de Tylor. Se f : I R un función definid en un intervlo rel I. El teorem de Tylor estblece l form de proximr l función f por un polinomio en un entorno de un punto x 0 I. El cso más sencillo consiste en proximr por l rect tngente l gráfic de f en (x 0, f(x 0 )), es decir, por el polinomio de grdo uno p (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Obsérvese que p es el único polinomio de grdo que stisfce ls relciones p (x 0 ) = f(x 0 ), p (x 0) = f (x 0 ). L rect tngente es un primer proximción de l función f en un entorno del punto x 0. Cbe esperr que podmos mejorr est proximción si imponemos condiciones dicionles l polinomio (y por tnto incrementmos su grdo). Pr un función n veces derivble en I se define el polinomio de Tylor de grdo n de f centrdo en x 0 l único polinomio p n (x) de grdo menor o igul que n que stisfce ls n + ecuciones p n (x 0 ) = f(x 0 ), p n(x 0 ) = f (x 0 ),..., p n) n (x 0 ) = f n) (x 0 ). Su expresión brevid es l siguiente: p n (x) = f(x 0 ) + n k= f k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k.

27 3.8. El teorem de Tylor. 2 Es decir, p n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. Por ejemplo, si f(x) = e x y x 0 = 0, el polinomio de Tylor de grdo 3 de f centrdo en cero es: p 3 (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + f (0) x 3 = + x + x2 2! 3! 2 + x3 6, y que f(0) = f (0) = f (0) = f (0) = e 0 =. Usndo este polinomio, podemos proximr e x en puntos próximos cero. Por ejemplo, e = e /2 p 3 (/2) = +/2+/8+/48 = L clculdor proporcion e =.64872, con lo que ls dos primers cifrs decimles son corrects. El teorem de Tylor permite estimr el error cometido cundo proximmos un función por el polinomio de Tylor. Teorem 3.5 (Teorem de Tylor) Se f : [, b] R un función derivble n + veces y se x 0 [, b]. Entonces, pr cd x [, b], existe un número ξ x entre x 0 y x tl que f(x) = p n (x) + r n (x), donde r n (x) = f n+) (ξ x ) (n + )! (x x 0) n+. El término r n (x) se llm resto del polinomio de Tylor de grdo n de f centrdo en x 0 y proporcion el error cometido en l proximción y que f(x) p n (x) = r n (x), x I. Por ejemplo, el polinomio de Tylor de grdo tres de f(x) = sen(x) centrdo en x 0 = 0 es p 3 (x) = x x 3 /6. El error cometido l proximr sen(/2) por p 3 (/2) es f iv) (ξ x ) r 3 (/2) = 4! ( ) 4 2, ξ x (0, /2). Ddo que f iv) (ξ x ) = sen(ξ x ), ξ x (0, /2), se tiene que: sen(/2) p 3 (/2) = r 3 (/2) 4! 2 4 = De hecho p 3 (/2) = /2 /48 = y l clculdor proporcion sen(/2) = Finlizmos el tem con dos plicciones del teorem de Tylor pr obtener condiciones preciss pr l existenci de extremos reltivos y puntos de inflexión de un función f suficientemente regulr (con suficientes derivds sucesivs).

28 22 3. Cálculo diferencil Corolrio 3.6 (Criterio pr l existenci de extremos) Se f : I R un función de clse n en un intervlo bierto I. Se x 0 I tl que f (x 0 ) = 0 y se n el orden de l primer derivd de f que no se nul en x 0, es decir f k) (x 0 ) = 0 si k < n y f n) (x 0 ) 0. () Si n es pr y f n) (x 0 ) > 0 entonces f es tiene un mínimo reltivo estricto en x 0. (b) Si n es pr y f n) (x 0 ) < 0 entonces f es tiene un máximo reltivo estricto en x 0. (c) Si n es impr entonces f no tiene un extremo reltivo en x 0. Demostrción. Demostrmos el prtdo (). El polinomio de Tylor de grdo n de f centrdo en x 0 es p n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f n ) (x 0 ) n! (x x 0 ) n = f(x 0 ), y que f k) (x 0 ) = 0 si k < n. Por el teorem de Tylor, existe un ξ x entre x 0 y x tl que f(x) = p n (x) + r n (x) = f(x 0 ) + f n) (ξ x ) (x x 0 ) n. n! Como n es pr y f n) (x 0 ) > 0, se cumple que (x x 0 ) n > 0 y f n) (ξ x ) > 0 pr x x 0 en un entorno (x 0 r, x 0 + r) de x 0. Por tnto, f(x) = f(x 0 ) + f n) (ξ x ) (x x 0 ) n > f(x 0 ), x (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r). n! De quí se deduce que f tiene en x 0 un mínimo reltivo estricto. Corolrio 3.7 (Criterio pr l existenci de puntos de inflexión) Se f : I R un función de clse n en un intervlo bierto I. Se x 0 I tl que f (x 0 ) = 0 y se n el orden de l primer derivd de f myor que dos que no se nul en x 0, es decir f k) (x 0 ) = 0 si 2 k < n y f n) (x 0 ) 0. Entonces f tiene un punto de inflexión en x 0 si y sólo si n es impr. Ejemplo. Consideremos l función f(x) = x 4 x 3. f (x) = 4x 3 3x 2 = 0 x = 0 ó x = 3/4 f (x) = 2x 2 6x = 0 x = 0 ó x = /2. Pr x = 0 se tiene que f (0) = f (0) = 0, f (0) = 6 0. Por tnto, f tiene en x = 0 un punto de inflexión. Pr x = 3/4 se tiene que f (3/4) = 0, f (3/4) = 9/4 > 0. Por tnto, f tiene en x = 3/4 un mínimo reltivo estricto. Pr x = /2 se tiene que f (/2) = 0, f (/2) = 6 0. Por tnto, f tiene en x = /2 un punto de inflexión. L gráfic se muestr en l figur 3.3.

29 3.8. El teorem de Tylor /2 3/4 Figur 3.3: Gráfic de l función f(x) = x 4 x 3.

30 24 3. Cálculo diferencil

31 Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Introducción. Los conceptos más importntes de este cpítulo son los de primitiv e integrl, íntimmente relciondos grcis l teorem fundmentl del cálculo. Aunque clásicmente está ligdo l cálculo de áres, l myor importnci del cálculo integrl viene dd precismente por su relción con el cálculo de primitivs, el proceso inverso l derivción. En este tem se introduce el concepto de integrl definid pr funciones continus trozos sin mencionr ls sums de Riemnn. Un trtmiento riguroso se puede encontrr en culquier de los libros de l bibliogrfí. 4.2 Primitiv de un función. El cálculo de primitivs es el proceso inverso l cálculo de derivds, unque result técnicmente mucho más complicdo. Se f : I R un función definid en un intervlo rel I. Se dice que l función F : I R es un primitiv de f en I si F es derivble en I y F (x) = f(x), x I. Propiedd. Se f : I R un función definid en un intervlo rel I. Si F y G son dos primitivs de f entonces existe un constnte rel C tl que F (x) G(x) = C. En prticulr, si conocemos un primitiv de f entonces culquier otr primitiv se obtiene de ell sumándole un constnte. Si F (x) es un primitiv de f, se suele decir tmbién que F es un integrl de f y se denot por f(x) dx. Integrles inmedits. Ls primitivs de lguns funciones son muy sencills teniendo en cuent ls derivds de ls funciones más usules. Por ejemplo, x n dx = xn+ n +. e x dx = e x. 25

32 26 4. Cálculo integrl dx = ln( x ). x sen(x)dx = cos(x). cos(x)dx = sen(x). cos 2 (x) dx = dx = rctg(x). + x2 ( + tg 2 (x))dx = tg (x). En l myorí de ls ocsiones result muy complicdo reconocer simple vist un primitiv. Ls siguientes propieddes son de utilidd:. Integrl de un sum. Sen u y v dos funciones. Entonces (u(x) + v(x))dx = u(x)dx + v(x)dx. 2. Fórmul de integrción por prtes. Sen u y v dos funciones derivbles. Entonces u(x)v (x)dx = u(x)v(x) v(x)u (x)dx. Est fórmul es un consecuenci de l fórmul de l derivd de un producto. Si denotmos u = u(x), du = u (x)dx, l fórmul se suele escribir en form más breve como udv = uv vdu. Ejemplo. Clculr xe x dx. Tomndo u = x, dv = e x dx, se tiene du = dx, v = xe x dx = udv = uv vdu = xe x e x dx = e x. Por tnto, e x dx = xe x e x = (x )e x. 3. Cmbio de vrible. Si F es un primitiv de f entonces G(x) = F (u(x)) es un primitiv de g(x) = f(u(x))u (x). Est propiedd se deduce de l regl de l cden y suele escribir del siguiente modo: f(u(x))u (x)dx = f(u)du = F (u(x)).

33 4.3. L integrl definid. 27 Csos prticulres: u n (x)u (x)dx = un+ (x) n +. e u(x) u (x)dx = e u(x). u (x) dx = ln( u(x) ). u(x) En generl, l plicción de este método no result tn direct. sen(x) Ejemplo. Clculr 2 cos 3 (x) dx. Tomndo u = u(x) = cos x, se tiene du = u (x)dx = sen(x)dx. Así, sen(x) 2 cos 3 (x) dx = du = du = 2u3 2 u3 2 2u 2 = 4u 2 = 4 cos 2 (x). 4.3 L integrl definid. Consideremos un función continu f : [, b] R de tl form que f(x) 0, x [, b]. Se define formlmente l integrl definid de f en [, b] como l medid del áre encerrd entre l gráfic de f, el eje de bsciss y = 0 y ls rects verticles x =, x = b. Se denot por b f(x)dx. Por ejemplo, si f : [0, 3] R está definid por f(x) = 2, x [0, 3], entonces l integrl de 3 f en [0, 3] es el áre de un rectángulo de bse 3 y ltur 2. Por tnto, f(x)dx = 2 3 = Figur 4.: Integrl de l función f(x) = 2 en [0, 3]. A continución definimos l integrl definid en el cso generl en que f tom vlores positivos y negtivos en [, b]. En primer lugr se definen l prte positiv f + y l prte

34 28 4. Cálculo integrl negtiv f de f: f + (x) = { f(x) si f(x) 0 0 si f(x) < 0 ; f (x) = { f(x) si f(x) 0 0 si f(x) > 0 Ests dos funciones tomn vlores myores o igules que cero y se verific que f(x) = f + (x) f (x), x [, b]. Se define b f(x)dx = b f + (x)dx b f (x)dx. Por tnto, l integrl de f en [, b] represent l diferenci entre el áre que encierr l prte de l gráfic de f situd por encim del eje x y l que encierr l prte situd por debjo de éste. Por ejemplo, áre. 2 0 x dx = 0, y que los dos triángulos de l figur 4.2 tienen l mism Figur 4.2: Integrl de l función f(x) = x en [0, 2]. Propieddes. De est definición se deducen fácilmente ls siguientes propieddes:. Linelidd: b (λf(x) + µg(x))dx = λ b f(x)dx + µ b g(x)dx, λ, µ R. 2. Monotoní: f(x) g(x), x [, b] = 3. Integrl y vlor bsoluto: 4. Aditividd: Si < c < b entonces b b f(x)dx = b f(x)dx b f(x)dx f(x) dx. c f(x)dx + b c b f(x)dx. g(x)dx.

35 4.4. El teorem fundmentl del cálculo El teorem fundmentl del cálculo. El resultdo principl de est sección estblece l relción entre l integrl definid y el cálculo de primitivs. Empezmos con un resultdo previo. Teorem 4. (Teorem de l medi integrl) Se f : [, b] R un función continu. Entonces existe un punto ξ [, b] tl que Demostrción. Sen b f(x)dx = f(ξ)(b ). m = min{f(x) / x [, b]} ; M = mx{f(x) / x [, b]}. Teniendo en cuent que m f(x) M, x [, b], y usndo l propiedd de monotoní, se tiene: b m(b ) f(x)dx M(b ) = m b f(x)dx M. b Recordemos que el teorem 2.3 (de los vlores intermedios) grntiz que l función continu f tom todos los vlores entre m y M. Por tnto, existe ξ [, b] tl que f(ξ) = b b f(x)dx. El resultdo se obtiene multiplicndo por (b ) l iguldd nterior. Se f : [, b] R un función continu. Se llm integrl indefinid de f en [, b] l función F : [, b] R definid por x F (x) = f(t)dt, x [, b]. Teorem 4.2 (Teorem fundmentl del cálculo) Si F es l integrl indefinid de f en [, b] entonces F (x) = f(x), x [, b], es decir, F es un primitiv de f en [, b]. Demostrción. Se x [, b). Vemos que F (x + ) = f(x). En efecto: Por el teorem de l medi integrl: h x+h x F (x + F (x + h) F (x) ) = = h 0 + h h 0 + h x+h x f(t)dt. f(t)dt = f(ξ h ), ξ h [x, x + h] = F (x + ) = h 0 + f(ξ h) = f(x). Del mismo modo se prueb que F (x ) = f(x), x (, b].

36 30 4. Cálculo integrl Corolrio 4. (Regl de Brrow) Si G es un primitiv de f en [, b] entonces b f(x)dx = G(b) G(). Demostrción. Como l integrl indefinid es un primitiv de f, existe un constnte rel C tl que G(x) = x f(t)dt + C. Por tnto, ( b G(b) G() = ) ( ) f(x)dx + C f(x)dx + C = L regl de Brrow es un herrmient eficz pr el cálculo de áres. b f(x)dx. Ejemplo. Hllr el áre encerrd entre l gráfic de l prábol y = x 2 y el eje x entre x = y x =. Como F (x) = x 3 /3 es un primitiv de f(x) = x 2, se tiene: Áre = x 2 dx = F () F ( ) = = Integrles impropis. Hst el momento hemos considerdo integrles de funciones continus definids en un intervlo [, b]. En lgunos cso, el concepto de integrl se puede extender funciones definids en intervlos no cotdos. Se f : [, ) R un función continu y cotd. Entonces podemos definir b f(x)dx pr cd número rel b >. Diremos que f es integrble en [, ) si existe el límite cundo b tiende infinito de ess integrles. Este límite se llm integrl impropi de f en [, ) y se denot por: f(x)dx = b b f(x)dx. Si el límite es un número rel, diremos que l integrl impropi es convergente. Si es infinito, diremos que l integrl impropi es divergente. Ejemplo. L integrl impropi En efecto, si α > entonces b dx = dx = xα b xα b dx es convergente si α > y divergente si α. xα ( ( α)x α ] b ) = ( ) α b b α = α.

37 4.5. Integrles impropis. 3 Si α < el mismo rgumento prueb que Finlmente, si α = entonces ( ) b b α dx =, y que xα = b ( b α ) =. b ( ) dx = dx = ln(x)] b = (ln(b) ln()) =. x b x b b El concepto de integrl impropi se define de form nálog pr funciones continus definids en un intervlo (, b]: b f(x)dx = b f(x)dx. Si f : R R es continu entonces tmbién se puede definir l integrl impropi de f en R 0 si existen f(x)dx y f(x)dx. 0 Si mbs son convergentes entonces diremos que l integrl impropi de f en R es convergente. Además: Ejemplo. 0 + x 2 dx = f(x)dx = + x 2 dx f(x)dx + 0 f(x)dx. ( ) ) dx = rctg (x)] 0 + x2 + (rctg (x)] b 0 = b = rctg (b) rctg () = π b 2 + π 2 = π. Resultdos de comprción. Muchs veces result difícil clculr l primitiv de un función pr determinr si l correspondiente integrl impropi es convergente. En lgunos csos es posible resolver este problem utilizndo resultdos de comprción. Criterio. Sen f : [, ) R, g : [, ) R dos funciones continus y positivs. Entonces: f(x)dx tmbién conver-. Si f(x) g(x), x [, ) y ge. 2. Si f(x) g(x), x [, ) y g(x)dx converge entonces g(x)dx diverge entonces f(x)dx tmbién diverge.

38 32 4. Cálculo integrl Ejemplo. L integrl impropi integrl impropi de e x en (, ) es convergente: e x dx = b b e x2 dx es convergente y que e x2 e x, x [, ) y l ( e x dx = e x] ) ( b = e e b) = b b e. A diferenci de lo que ocurre con l función e x, encontrr un primitiv de e x2 muy complicd. es un tre Criterio 2. Sen f : [, ) R, g : [, ) R dos funciones continus y positivs tles que f(x) existe = l. Entonces: x g(x). Si l (0, ) entonces 2. Si l = 0 y 3. Si l = y Ejemplo. L integrl impropi f(x)dx converge g(x)dx converge entonces g(x)dx diverge entonces g(x)dx converge. f(x)dx tmbién converge. f(x)dx tmbién diverge. 2 + x 3 dx es convergente y que + x6 (2 + x 3 )/( + x 6 ) 2x 3 + x 6 x /x 3 = x + x 6 = 2. dx converge y x3 Convergenci bsolut. Se f : [, ) R un función continu. Si f no es positiv, los criterios nteriores no se pueden plicr directmente. Sin embrgo, sí que se pueden plicr l función f(x). Teniendo b b en cuent que f(x)dx f(x) dx, se deduce que si f(x) dx es convergente entonces tmbién lo es f(x)dx y demás f(x)dx f(x) dx. y Por ejemplo, como sen(x) x 2 x 2, x sen(x) dx converge, se deduce que x2 x 2 dx es convergente y demás sen(x) x 2 dx sen(x) x 2 dx dx =. x2

39 4.5. Integrles impropis. 33 Observción. Se dice que l integrl impropi f(x) dx es convergente. f(x)dx es bsolutmente convergente si Integrles impropis de segund especie. b Se f : (, b] R un función continu y no cotd. Supongmos que existe f(x)dx. c + c b Si el límite es finito, diremos que l integrl impropi de segund especie f(x)dx es convergente. Si el límite es infinito, se dice que l integrl impropi es divergente. Del modo nálogo se define l integrl impropi de f en [, b) si f : [, b) R es un función continu no cotd y existe Ejemplos. c b c f(x)dx.. Se f : (0, ] R definid por f(x) = /x. Clrmente f no está cotd y que x 0 +(/x) =. 0 dx = x c 0 + c x dx = ln(c)) =. c 0 +(ln() Por tnto, l integrl impropi 0 0 (/x)dx es divergente. 2. Se f : (0, ] R definid por f(x) = ln(x). Como ntes, f no está cotd y que ln(x) =. x 0 + ( ) ln(x)dx = ln(x)dx = x(ln(x) )] c 0 + c 0 + c = c(ln(c) ) =. c 0 + Por tnto, l integrl impropi c 0 ln(x)dx es convergente. En los cálculos de este ejemplo se h utilizdo el método de integrción por prtes pr clculr un primitiv de ln(x) y l regl de L Hôpitl pr determinr el límite de l expresión c(ln(c) ) cundo c tiende cero por l derech.

40 34 4. Cálculo integrl

41 Cpítulo 5 Sucesiones 5. Introducción. Hst el momento hemos visto los tems del nálisis en un vrible más importntes en l comprensión de fenómenos continuos, como ls leyes del movimiento o l ley de enfrimiento. Existen otros procesos en los que ls mgnitudes involucrds se miden sólo cd cierto tiempo. Se llmn procesos discretos y precen en cmpos muy vridos como l economí o l biologí, pero demás son muy importntes pr proximr fenómenos continuos difíciles de nlizr directmente. El concepto más importnte en el estudio de fenómenos discretos es el de sucesión. En este tem se introducen lguns propieddes y criterios de convergenci. 5.2 Sucesiones convergentes y divergentes. Un plicción x : N R que sign cd número nturl n un número rel x(n) proporcion un sucesión de números reles x(0), x(), x(2),.... En generl denotremos x n = x(n) pr cd número nturl n e identificremos l sucesión con el conjunto {x n / n N} = {x 0, x, x 2,... }. L denotremos por {x n } n N o simplemente {x n }. En muchs ocsiones l sucesión {x n } está definid por un término generl. Por ejemplo, x n = /(n + ) es el término generl de l sucesión {, /2, /3, /4,... }. En otros csos, l sucesión está definid por recurrenci y no es sencillo determinr el término generl. Por ejemplo, consideremos l célebre sucesión de Fiboncci construid prtir de x 0 =, x = por l recurrenci x n = x n + x n 2 pr todo n 2. Los primeros términos son x 0 =, x =, x 2 = x + x 0 = 2, x 3 = x 2 + x = 3, x 4 = x 3 + x 2 = 5,... Límites. Diremos que un sucesión {x n } tiene límite x R o que converge x si los términos de l sucesión se proximn x cundo n tiende infinito. Se denot x n = x. Formlmente, x n = x [ ε > 0, N N / n N x n x < ε.] 35