CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE (1) 2x 3 > 4.

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 9-OCTUBRE-199 1) 3 > ) Sea la función 3 si 1 a + b si 1 << f) = c si = 3 +5 si>. Encontrar los valores de a, b, c para que la función sea continua en todo punto. 3) Encontrar las dos ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = + 1 que pasan por el origen. 4) Se desea hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 1 cm de lado, cortando cuadritos iguales de cada esquina. Hallar el máimo volumen que puede lograrse con una caja así. 5) Sea la función y = 3. a) Encontrar las asíntotas verticales y horizontales b) Encontrar los puntos de discontinuidad y clasificarlos c) Hacer un bosquejo de la gráfica ) Sea la función y = a) Encontrar las raíces, los puntos críticos y los puntos de infleión de la función b) Encontrar los intervalos de monotonía y de concavidad de la función c) Clasificar los puntos críticos especificando el criterio que usa d) Graficar la función canek.azc.uam.m: / 3/ 00. 1

2 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300 Respuestas 1) 3 > Sabemos que Consideramos dos casos: a) +1> 0 La desigualdad propuesta equivale a 3 > 4 +1) 3 > 4 +4 y ésta, a su vez, a las dos desigualdades 3 > 4 +4y 3 < 4 +4) 3 < 4 4. La primera equivale a 4 >3+4 >7 < 7 ; pero, como +1> 0 > 1, por este camino no eiste R que satisfaga a la desigualdad propuesta. Ahora veamos la segunda desigualdad: 3 < <3 4 < 1 < 1. Como para este caso > 1 1, 1 ). b) +1< 0 No tenemos solución en este caso, puesto que En resumidas cuentas el conjunto solución de la desigualdad propuesta es: CS = 1, 1 ). 0, no puede ser > Comprobemos por ejemplo que = 1 no satisface a la desigualdad original: 1 ) = = = = 10 = = ) Sea la función si 1 a + b si 1 << f) = c si = 3 +5 si>.

3 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E Encontrar los valores de a, b, c para que la función sea continua en todo punto. En los únicos puntos en donde hay duda de la continuidad es en = 1 yen = donde la función deja de ser lineal para pasar a ser cuadrática y viceversa, por lo que ahí tenemos que asegurar que: lím 1 f) =f 1) y que lím f) =f). Es decir, que: lím f) = lím f) = 1) 3= 3= y que lím f) = lím f) =c. + De aquí obtenemos las siguientes ecuaciones, dado que: lím f) = lím + b) =a 1) + b = a + b ; a lím f) = lím 1 1 3) = 1) 3= 3= 1; por lo que a + b = 1. También: ) 3 lím f) = lím = 3 ) + 5 = = 8 ; lím f) = líma + b) =a) + b =4a + b ; luego, 4a + b = 8 y también c =8. Resolvamos por último el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas { a + b = 1 4a + b =8. Restando de la segunda la primera obtenemos que: 3a =8 1) 3a =8+1 3a =9 a = 9 3 a =3. y sustituyendo este valor en la primera tenemos: 3+b = 1 b = 1 3 b = 4. Con estos valores la función continua en R es: 3 si si 1 << f) = 8 si = 3 +5 si> o bien: 3 f) = si 1 si 1 << +5 si.

4 4 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300 3) Encontrar las dos ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función y = + 1 que pasan por el origen. Cualquier punto de la gráfica de la función y = + 1 tiene por coordenadas 1, 1 +1) y la pendiente de cualquier recta tangente es y = 1. Luego, la ecuación de cualquier recta tangente es de la forma: y 1 +1)= 1 1 ). Ahora, si va a pasar por el origen 0, 0), estas coordenadas la deben satisfacer, por lo que 1 1= 1 1 ) 1 1= 1 1 =1 1 =1 1 = ±1; entonces las dos ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de y = + 1 que pasan por el origen son: y 1 + 1) = 1) 1) y = y = y también: y [ 1) + 1] = 1)[ 1)] y = y =. 4) Se desea hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 1 cm de lado, cortando cuadritos iguales de cada esquina. Hallar el máimo volumen que puede lograrse con una caja así. Si componemos la figura, tenemos: El volumen, que nos piden es: V ) = 1 ) = ) = Sus puntos críticos son: V ) = = 0 = 9 ± = 9 ± { ± 48 3 = = Podemos desechar = 1, pues físicamente no tiene sentido que sea negativo, en cuyo caso, para =3 cm el volumen es: V 3) = 3[1 3)] = 31 ) =3 =3 3 = 108 cm 3. Como: V ) =4 9 y V 3) = 7 9 < 0,

5 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E se trata de un máimo. 5) Sea la función f) = 3. a) Encontrar las asíntotas verticales y horizontales Como = ) D f = R {0, }. En su dominio: f) = ) 3= = lím f) = lím = ± pues ± ± lím ± 3 +7)= 3) + 7 = +7=1> 0y lím = 3 +7 ± )=0± ; por lo que la recta = es asíntota vertical. En cambio = 0 no es asíntota vertical pues: 3 +7 lím f) =lím 0 0 = 30) = 7 = 7. Para calcular las asíntotas horizontales estimamos: lím f) = lím 3 +7 ± ± = lím ± ) ) = 3+ 7 = lím ± 1 = = 3 1 = 3. Por lo que la recta y = 3 es asíntota horizontal. b) Encontrar los puntos de discontinuidad y clasificarlos Como f) = 3 ) es una función racional, es continua en su dominio y, de acuerdo a lo calculado en el inciso anterior, en = 0 la discontinuidad es removible; en = la discontinuidad es esencial, de hecho infinita. c) Hacer un bosquejo de la gráfica Una gráfica de la función f) que cumple con lo anterior es:

6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300 f) La única raíz de f) es cuando: 3 +7=0 3 = 7 = 7 3 = 7 3. ) Sea la función f) = a) Encontrar las raíces, los puntos críticos y los puntos de infleión de la función Tenemos que =0 3 4)=0 =0& = 4 son las raíces de la función ; f ) =4 3 1 =4 3)=0 =0& = 3 son los puntos críticos ; f ) =1 4 =1 )=0 =0& =; así mismo, para el signo de la segunda derivada usamos la tabla Intervalo: Un valor de f f ) es, 0) f 1)= 1) 3) > 0 positiva 0, ) f 1) = 11 ) < 0 negativa, + ) f 3) = 13)3 ) > 0 positiva Entonces los puntos: [0,f0)] = 0, 0) & [,f)] = [, 3 4)] = [, 8 )] =, 1) son de infleión, pues en ellos la gráfica cambia el sentido de su concavidad. b) Encontrar los intervalos de monotonía y de concavidad de la función Veamos el signo de la primera derivada Intervalo: Un valor de f : f ) es f) es, 0) f 1) = 4 1) 1 3) < 0 negativa decreciente 0, 3) f 1) = 41) 1 3) < 0 negativa decreciente 3, + ) f 4) = 44) 4 3) > 0 positiva creciente

7 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E Por lo calculado en el inciso anterior: f) es cóncava en, 0), ) y convea en 0, ), ya que en tales conjuntos la segunda derivada es positiva y negativa, respectivamente. c) Clasificar los puntos críticos especificando el criterio que usa Como f) pasa de ser decreciente a ser creciente, por el criterio de la primera derivada, concluimos que en el punto: [3,f3)] = [3, )] = [3, 7 1)] = 3, 7) hay un mínimo que resulta ser absoluto; en cambio en el origen no hay valor etremo pues la función pasa de ser decreciente a ser decreciente también. d) Graficar la función Podemos calcular también lím ± f) = Con todo lo anterior, la gráfica de f) es: [ lím )] =+. ± f)