1.- MÉTODO DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIAGRAMA DE ÁRBOL. En este diagrama de árbol podemos ver cuáles son todas las posibilidades

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1 4º ESO A y B (Opción B) - I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz) Departamento de Matemáticas Curso 2010/2011 TEMAS 13 y 14.- COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 1.- MÉTODO DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIAGRAMA DE ÁRBOL El método de la multiplicación: Nos sirve para saber cuántos resultados se pueden dar al realizar un experimento que consta de dos o más fases. Por ejemplo, si tengo 5 camisas, 3 pantalones y 4 pares de zapatos, de cuántas formas distintas puedo combinarlos para vestirme? El método de la multiplicación consiste en descomponer el experimento en otros más simples y después multiplicar los resultados de cada uno. En este ejemplo, se podría hacer un cuadro como el siguiente: Prenda camisas pantalones pares de zapatos Nº de resultados Formas distintas de combinarlos: Hay 60 maneras diferentes para vestirse Si queremos saber cuáles son los resultados de un experimento podemos usar un diagrama de árbol. Por ejemplo: De cuántas maneras se pueden colocar las letras de la palabra FIN? Cuáles son todas las posibilidades? Posición de la letra 1ª 2ª 3ª Nº de posibilidades Nº total de resultados: En este diagrama de árbol podemos ver cuáles son todas las posibilidades Se suele usar diagrama de árbol cuando el nº de resultados no es excesivamente grande 1 Se tira un dado 2 veces. Cuántos resultados distintos podemos obtener? 2 Tres ciudades A, B y C están comunicadas por carreteras. Para ir de la ciudad A a la B hay 4 carreteras y para ir de la ciudad B a la C hay 2 carreteras. a) Cuántos caminos diferentes hay para ir de A a C pasando por B? b) Haz un diagrama de árbol y escribe todos los resultados. 3 En una bolsa hay cinco bolas: roja, verde, azul, negra y blanca. Se elige una bola al azar y se tira una moneda al aire. a) Cuántos resultados distintos puedes obtener? b) Cuáles son todos los resultados? 4 La matrícula de un coche con el nuevo sistema de matriculación está formada por un número de cuatro cifras y tres consonantes de un total de veintiuna posibles. Cuántos coches se pueden matricular con este sistema? Pág. 230: 1, 2 y 3 Pág. 231: 5, 6 y 7 Pág. 240: 29 y NÚMEROS COMBINATORIOS Factorial de un número: Dado un número natural n, se llama factorial de n al producto de n por todos los números naturales menores que él (excluyendo el 0). El factorial de n se representa por n! y se lee n factorial. n! n.(n - 1).(n - 2) Ejemplos: 1! 1 ; 2! ; 3! ! y así sucesivamente 0! 1 (por convenio) El factorial de un número también se puede hallar con la calculadora científica. Por ejemplo, si queremos calcular 13! con la calculadora científica, el proceso es el siguiente: 13 x!. Nos da como resultado: Prueba a calcular 14! y la calculadora te dará el resultado en notación científica: 8, El resultado tiene 11 cifras: tantas cifras no caben en la pantalla Si intentas calcular 70! verás que te da error pues el resultado es un número tan grande que, ni en notación científica, lo puede expresar ya que el exponente de 10 es mayor de 99 Número combinatorio: Dados dos números naturales n y m (con n n! m n) se define m m!. (n-m)! n se lee n sobre m y se llama número combinatorio m Ejemplos : 5 5! 5! 5.4.3! 5.4.3! !. (5-3)! 3!. 2! 3!. 2! 3!. 2! 2! 15 15! !. 11! 4!. 11!! Usando la definición de factorial (sin usar la calculadora científica) calcula los siguientes factoriales: a) 5! b) 6! c) 7! d) 8! 2 Usando la calculadora científica halla los siguientes factoriales: a) 9! b) 10! c) 11! d) 12! 3 Calcula los siguientes números combinatorios: a) 6 b) 10 c) 20 2 d) 7 7 e) f)

2 4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/ VARIACIONES Y COMBINACIONES Concepto de variación y combinación Se llaman variaciones al nº de resultados que se pueden obtener en un experimento en el que al cambiar de orden los elementos en uno de los resultados se obtiene un resultado distinto. Por ejemplo, si formamos números de 3 cifras a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, no es lo mismo el número 243 que el 432 Se llaman combinaciones al nº de resultados que se pueden obtener en un experimento en el que al cambiar de orden los elementos en cualquiera de los resultados se obtiene el mismo resultado. Por ejemplo, si vamos a elegir a 2 alumnos de esta clase, es lo mismo elegir a Alberto-María que María-Alberto Tipos de variaciones y cálculo Variaciones con repetición: Son aquellas en las que se pueden repetir los elementos en los resultados del experimento. Por ejemplo, formar números de 3 cifras a partir de los dígitos 1,2,3,4,5,6 El nº de resultados se puede calcular por el método de la multiplicación: Posición de la cifra 1ª 2ª 3ª Nº de posibilidades En total, se podrían formar números En general, para calcular las variaciones con repetición podemos usar la fórmula: m siendo n el número total de elementos VR(n,m) n y m el número de elementos de cada resultado En el ejemplo anterior tendríamos VR(6,3) Permutaciones sin repetición: Son las variaciones sin repetición en las que intervienen todos los elementos en cada resultado Por ejemplo, formar números de 6 cifras distintas a partir de los dígitos 1,2,3,4,5,6 El nº de resultados se puede calcular por el método de la multiplicación: Posición de la cifra 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª Nº de posibilidades En total, se podrían formar números En general, para calcular las permutaciones sin repetición podemos usar la fórmula: P(n) V(n,n) n.(n-1).(n-2) n! siendo n el número total de elementos En el ejemplo anterior tendríamos P(6) 6! 720 Cálculo de las combinaciones Para calcular las combinaciones sin repetición podemos usar la fórmula: n n! C(n,m) siendo n el número total de m m!. (n-m)! elementos y m el número de elementos de cada resultado En el ejemplo de elegir a dos alumnos de esta clase tendríamos 22 22! C(22,2) ! !. 20! 2!. 20! Variaciones sin repetición: Son aquellas en las que se NO se pueden repetir los elementos en los resultados del experimento. Por ejemplo, formar números de 3 cifras distintas a partir de los dígitos 1,2,3,4,5,6 El nº de resultados se puede calcular por el método de la multiplicación: Posición de la cifra 1ª 2ª 3ª Nº de posibilidades Resumen Cómo saber que tipo de fórmula aplicar en un problema de combinatoria? Se toma un resultado cualquiera del experimento y se observa que condiciones se cumplen siguiendo el siguiente cuadro: En total, se podrían formar números En general, para calcular las variaciones sin repetición podemos usar la fórmula: V(n,m) n.(n-1).(n-2)... producto de m factores decrecientes de 1 en 1 empezando por n. Siendo n el número total de elementos y m el número de elementos de cada resultado En el ejemplo anterior tendríamos V(6,3)

3 4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/ Un camarero descansa 2 días cualesquiera a la semana. Cuántas posibilidades se pueden dar? 2 Con los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 calcula cuántos números de 4 cifras se pueden formar si a) Las cifras deben ser distintas b) Se pueden repetir las cifras 3 De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un coche? 4 En la final de unas olimpiadas corren la final de 100 m lisos 8 atletas. De cuántas formas se puede configurar el podium? 5 Un examen tipo test consta de 8 preguntas y cada una de ellas tiene 3 posibles respuestas. De cuántas formas distintas puede contestarse el examen si es obligatorio contestarlas todas? 6 Con las letras de la palabra BRAVO, cuántas palabras, con o sin sentido, pueden formarse? 7 En una montaña hay 8 casas. Cada casa se comunica con cada una de las restantes por un camino. Cuántos caminos hay en total? 8 Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar 5 veces un dado? 9 Un partido político cuenta con quince candidatos para formar listas de cinco candidatos con el fin de ocupar las vacantes de presidente, vicepresidente, secretario de organización, información y propaganda. Cuantas listas distintas se podrán preparar? 10 De cuántas formas se pueden elegir 3 alumnos en esta clase? 11 De cuántas formas pueden repartirse 5 regalos diferentes entre 5 personas, de forma que cada uno tenga un regalo solamente? 12 Si disponemos de 4 entradas de cine para repartirlas entre 9 personas, De cuántas formas se pueden entregar? 13 Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 14 resultados? 14 A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuántos saludos se han intercambiado? 15 Cuántas diagonales tiene un icoságono? 1 Cuantas palabras de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b? 2 En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisión interna de 3 personas. Cuántas comisiones se pueden formar? 3 De cuántas formas pueden colocarse 6 libros distintos en una estantería vacía? 4 El juego de la Primitiva consiste en rellenar un bloque señalando 6 números a elegir entre el 1 y el 49. Cuántas bloques habría que rellenar para garantizar los 6 aciertos? 5 De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? 6 Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los dígitos impares? 7 Con las letras de la palabra PELUCA Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer? 8 Un estudiante tiene que resolver ocho cuestiones de doce en un examen. De cuántas maneras puede elegirlas? 9 En una carrera participan cinco coches. Cuántas clasificaciones se pueden producir al final, si no hay empates? (En cada clasificación entran los 5 coches) 10 Con un punto y una raya (símbolos clásicos del alfabeto Morse) Cuántas señales distintas de 5 símbolos pueden hacerse? 11 Se dispone de siete colores para diseñar una bandera que tiene tres franjas horizontales de igual ancho pero de distinto color. Cuántas banderas se pueden diseñar que no tenga ningún color repetido? 12 De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de 8 butacas de un cine? 13 De una baraja española (40 cartas), se extraen tres cartas sin reemplazamiento Cuántos resultados distintos puede haber? 14 Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar una moneda 7 veces? 15 Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar grupos de 3 para realizar guardias. De cuántas formas se puede hacer? 16 En una carrera de siete caballos, cuántas clasificaciones distintas pueden producirse si se supone que no hay ningún tipo de empate? (En cada clasificación entran los 7 caballos) 17 En una clase de 18 alumnos hay que formar un grupo de 6. De cuántas maneras puede hacerse? 18 Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. Hay 7 candidatos. De cuántas formas puede hacerse? 19 Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 5 entradas. De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película? 20 En el pasillo de un hotel hay diez lámparas que se pueden encender o apagar una a una. Cuántas iluminaciones distintas se pueden dar? - 3 -

4 4.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS Experimento determinista: Es aquel cuyo resultado se puede predecir de antemano. Por ejemplo, calentar agua a 100 ºC o soltar un lápiz; pues al calentar el agua sabemos seguro que hervirá y al soltar el lápiz seguro que se caerá. Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado depende del azar y, aunque conocemos todos los posibles resultados, no se puede predecir de antemano el resultado que se va a obtener. Por ejemplo, lanzar un dado o una moneda son experimentos aleatorios. Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto formado por todos los resultados que podemos obtener al hacer el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, pues 1,2,3,4,5,6 son todos los posibles resultados que podemos obtener. Suceso aleatorio: Es el conjunto formado por algunos resultados de un experimento aleatorio. Por tanto, un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Los sucesos se representan con letras mayúsculas Suceso seguro: Es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el suceso A salir cara o cruz { C, X } siempre ocurre, pues al lanzar la moneda siempre saldrá cara o cruz. A es un suceso seguro. Observa que A coincide con el espacio muestral, E. Suceso imposible: Es aquel que nunca ocurre. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado el suceso A salir un numero mayor que 6 nunca ocurre. A es un suceso imposible. El suceso imposible es el conjunto que no tiene ningún elemento". Este conjunto se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo Suceso elemental: Es el que tiene un sólo elemento. Por ejemplo, el experimento de lanzar un dado tiene 6 sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} Suceso contrario o complementario Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario de A (se representa por A c o también por A ) es aquel que ocurre cuando no ocurre A. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A salir numero par {2,4,6}, entonces el suceso contrario es A c no salir numero par salir numero impar {1,3,5} Sucesos incompatibles: Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. En caso contrario, los sucesos son compatibles. Ejemplos: Si sacamos una carta de la baraja, los sucesos A salir un basto, B salir una espada son incompatibles, pues no puede salir a la vez un basto y una espada Sin embargo, en el lanzamiento de un dado, los sucesos A salir un número par B salir un número primo, son compatibles pues si sale un 2, ocurren los dos sucesos a la vez: 2 es un número par y también es un número primo 1 Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Elegir al azar una provincia andaluza b) Extraer sucesivamente dos bolas de una bolsa que contiene 2 bolas rojas y 2 negras. c) Sumar los puntos obtenidos al tirar un dado dos veces d) Lanzar una moneda 3 veces e) Lanzar una moneda y luego sacar una bola de una bolsa que tiene 3 bolas (roja, verde, azul) 2 Lanzamos un dado dodecaédrico (12 caras), describe los sucesos: a) A salir un número mayor que 7 b) B salir un múltiplo de 4 c) C salir un número menor que 3 d) D salir un número de dos cifras e) E salir un número mayor que 12 f) F { 2, 3, 5, 7, 11 } g) G { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } h) H salir un número menor que 13 i) Cuántos sucesos elementales tiene el experimento? j) Describe el suceso contrario de los sucesos A, B, D y F k) Determina si los sucesos B y C son compatibles l) Y los sucesos A y B? 3 Una bolsa contiene 2 bolas verdes, 3 negras y 1 blanca. Sacamos las 2 bolas sin devolver a la bolsa. a) Describe el espacio muestral b) Describe los sucesos: A la primera bola es blanca B La segunda bola es verde C Una bola es blanca y la otra negra D las 2 bolas son blancas c) Describe el suceso contrario de A y de B d) Son B y C compatibles? e) Y A y C? 4 Se lanza un dado dos veces y después se suman los puntos obtenidos. a) Describe el espacio muestral b) Describe los sucesos A obtener 8 B obtener 10 C obtener un número primo mayor que 5 D obtener 6-4 -

5 1 Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles son deterministas: a) Extraer una carta de una baraja española. b) Darle a la tecla 4 de la calculadora c) Poner agua durante 2 horas a -20 ºC d) Sacar al azar una bola de una bolsa que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 e) Elegir un número del 1 al Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Elegir al azar una asignatura de 4º ESO de entre Matemáticas, Lengua e Inglés b) Se lanza un dado dos veces y después se restan los puntos obtenidos c) Lanzar una moneda 2 veces d) Lanzar una moneda y luego sacar una bola de una bolsa que tiene 2 bolas (blanca y negra) 3 Una bolsa contiene 3 bolas azules, 2 rojas y 1 verde. Sacamos las 2 bolas sin reemplazamiento. a) Describe el espacio muestral b) Describe los sucesos: A la primera bola es roja B La segunda bola es azul C Una bola es azul y la otra verde D ninguna bola es azul F las 2 bolas son verdes c) Describe el suceso contrario de cada uno de los anteriores d) Averigua si son compatibles o incompatibles: 1) A y B 2) A y C 3) A y D 4) B y C 5) B y D 6) C y D Pág. 247: El 4 Pág. 258: El OPERACIONES CON SUCESOS Unión de sucesos: La unión de dos sucesos A y B es otro suceso formado por los elementos de A y B. La unión de los sucesos A y B se representa por A U B. El suceso A U B es el que ocurre cuando ocurre A ó B Intersección de sucesos: La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso formado por los elementos comunes de A y B. La intersección de los sucesos A y B se representa por A B. 1 Se saca una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Expresa en forma de uniones e intersecciones: a) salir impar y no múltiplo de 3 b) salir par o múltiplo de 3 c) salir impar y múltiplo de 3 2 Se lanza un dado dodecaédrico. Sea A múltiplo de 4 B múltiplo de 6. Calcula A U B y A B El suceso A B es el que ocurre cuando ocurre A y B a la vez Si no hubiese elementos comunes entonces A B. En este caso A y B son incompatibles Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, tomamos los sucesos: A "salir nº par" 2, 4,6 B "salir nº primo" 2,3,5 A U B "salir nº par ó primo" 2,3, 4,5,6 A B "salir nº par y primo" 2 3 Se saca una carta de la baraja. Sean A salir un 4 B salir una espada. Determina los sucesos: A U B, A B, A y B Pág.248: 7 y 8 Pág. 249: 10 y 11 Pág. 258: 39 y

6 6.- FRECUENCIA Y PROBABILIDAD. PROBABILIDAD DE UN SUCESO. REGLA DE LAPLACE. Lanzamos una chincheta y consideramos el suceso A "caer con la punta hacía arriba" Formamos una tabla y obtenemos los siguientes resultados: n nº de lanzamientos n A nº de veces que ocurre A Frecuencia relativa de A fr(a) n A n 0,2 0,46 0,32 0,332 0, En este ejemplo, las frecuencias relativas se aproximan cada vez más a 0,33. Se dice que la probabilidad de A es 0,33 Como este método es bastante laborioso, el matemático francés Pierre-Simón Laplace ideó una regla para calcular probabilidades en aquellos experimentos en los que todos los resultados sean equiprobables. Dado un suceso A, la probabilidad de que ocurra A se representa por p(a) y nos indica si es más o menos frecuente que ocurra dicho suceso. Para calcular la probabilidad de un suceso A se utiliza una regla o fórmula que se llama regla de Laplace 1 En una urna hay 3 bolas blancas, 2 negras y 5 azules. Se saca una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea negra b) Sea negra o azul c) No sea azul d) Sea blanca y negra e) Sea blanca, negra o azul f) Sea roja 2 En un instituto el 32% de los alumnos repite curso. Se elige un alumno al azar. a) Cual es la probabilidad de que repita curso? b) Y la probabilidad de que no repita? 3 Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado octaédrico al aire se obtenga: a) Un número impar. b) Un número mayor que 4. c) Un número menor o igual que 3. d) Un múltiplo de 7. e) Un número menor que 7 f) Un múltiplo de 4 p(a) Casos favorables a que ocurra A Casos posibles 4 Se saca una carta de la baraja española de 40 cartas. Halla la probabilidad de que: a) Sea una espada b) Sea una figura c) Sea el rey de bastos d) Sea una figura y un oro Propiedades de la probabilidad 1) La probabilidad de un suceso siempre es un número entre 0 y 1 (ambos incluidos): 0 p(a) 1 e) Sea una copa o un basto f) Sea una copa y un oro g) Sea un rey h) No sea un as i) No sea una copa 2) p(e) 1, siendo E el espacio muestral (suceso seguro) 3) p( ) 0, siendo el suceso imposible 4) p(a) 1 p(a ), p(a ) 1 p(a) 5 Se lanza un dado tetraédrico 2 veces. Halla la probabilidad de que el producto de sus puntos: a) Sea par b) No sea 6 c) Sea un múltiplo de 5 d) Sea 3 ó 4 e) Sea inferior a 10 f) Sea par o primo 6 Sean A y B dos sucesos aleatorios de forma que p(a) 3/10, p(b) 3/5, p(a B) 1/5. Calcula: a) p(a c ) b) p(a U B) 5) p(a U B) p(a) + p(b) p(a B) 7 Sean A y B dos sucesos tales que p(a) 0,24, p(b) 0,36 y p(a U B) 0,6. Son A y B incompatibles? 6) Si A y B son sucesos incompatibles, entonces p(a U B) p(a) + p(b) 1 Sean A y B dos sucesos aleatorios de forma que p(a) 1/6, p(b) 1/4, p(a B) 1/3. Calcula: a) p(a c ) b) p(b c ) c) p(a U B) Pág. 251: 17, 18 y 19 Pág. 252: El 23 Pág. 253: 24 y 25 Pág 258: 42 y 44 Pág. 259: 54 Pág. 261:

7 7.- PROBABILIDAD CONDICIONADA Dados dos sucesos, A y B, se llama probabilidad de A condicionada a B a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. La probabilidad de A condicionada a B se representa por p(a / B) y se puede calcular usando la fórmula: P(A/B) P(A B) P(B) Ejemplo: En un grupo de personas hay 8 mujeres fumadoras y 25 no fumadoras y también hay 12 hombres fumadores y 50 no fumadores. Estos datos los podemos organizar en una tabla (llamada tabla de contingencia) Hombre Mujer Total Fuma No fuma Total Si elegimos una persona al azar, Cuál es la probabilidad de que fume sabiendo que es mujer? Le llamamos A "la persona fuma" B "la persona es mujer". Lo que queremos calcular es p(a / B) Usamos la fórmula: p(a / B) P(A B) P(B) P(fume y sea mujer) P(sea mujer) ,242 24,2% 1 En una clase hay 12 chicos y 16 chicas. Las dos terceras partes de los chicos y la mitad de las chicas tienen el pelo moreno y el resto rubio. Se elige una persona al azar. Halla la probabilidad de que: a) Sea hombre b) Sea mujer morena c) Sea hombre rubio d) Sea morena y rubia e) Sea morena f) Sea morena sabiendo que se ha elegido una chica 2 En una clase de 30 alumnos hay 12 chicos, de los cuales 9 tienen 14 años y el resto 15 años; de las chicas hay 2 con 15 años, otras dos con 16 años y el resto tiene 14 años. Se elige un alumno al azar. Halla la probabilidad de que: a) Sea un chico de 15 años b) sea un chico o tenga 14 años c) Tenga 15 años sabiendo que es chica d) Tenga 14 años sabiendo que es chico e) Tenga 14 años 3 En un curso el 40% son hombres, el 30% usan gafas, y 15% son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: a) Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, qué probabilidad hay de que sea hombre? 1 En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a) Si tiene los cabellos castaños, cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c) Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? Pág. 254: El 27 Pág. 260: 56, 57, 59, 60 y