MATRICES. siendo. Ejercicio nº 1.- Ejercicio nº 2.- Dadas las matrices: b) Halla una matriz, X, tal que AX = B. Ejercicio nº 3.-
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- Marina Gómez Cruz
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1 MTRICES Ejeriio nº - Ejeriio nº - Ds ls mtries: ) Hll n mtriz tl qe Ejeriio nº - Reselve el sigiente sistem mtriil: Ejeriio nº - Cll los vlores e pr qe l mtriz: verifiqe l eión l one l O son respetivmente ls mtries ienti nl e oren tres Ejeriio nº - sieno e form qe en l mtriz Hll los vlores e Compre qe ) ; pr qe se mpl l igl e qe een tener vlor hll el es l mtriz ienti e oren Si I I
2 Ejeriio nº - Ls mtries e son ls soliones el sistem e eiones mtriiles: ; Hll e ll si tiene sentio e Ejeriio nº - D l mtriz : ) Cll ) Hll el vlor e Ejeriio nº 8- Reselve l eión mtriil sieno: Ejeriio nº - Se onsier l mtriz: one son tres números reles ritrrios ) Enentr n pr too ntrl n ( ) ) Cll Ejeriio nº - D l mtriz: ) Cll t t one t enot l mtriz trspest e
3 Ejeriio nº - Otén el rngo e l sigiente mtriz: Ejeriio nº - verig ál es el rngo e: Ejeriio nº - Cll el rngo e l mtriz: Ejeriio nº - Esti el rngo e l mtriz: t tles qe: ) Enentr ls mtries e l form t tles qe: ) Enentr tos ls mtries e l form M 8
4 Ejeriio nº - Hll el rngo e l sigiente mtriz: M 8 Ejeriio nº - Cll el rngo e l sigiente mtriz i ál es el número e olmns linelmente inepenientes: Ejeriio nº - Esti l epeneni o inepeneni linel el onjnto e vetores { ( ; ) ( ; ) ( ) } Ejeriio nº 8- ) Hll el rngo e l mtriz: i ál es el rngo e l mtriz s fils son ) Esti l epeneni o inepeneni linel el onjnto e vetores: ( ); ( ) ( ) Ejeriio nº - Dos los vetores: ( ); ( ; ) ( ) Esti l epeneni o inepeneni linel i ál es el rngo e l mtriz s fils son
5 Ejeriio nº - Esti l epeneni linel el onjnto e vetores: ( ; ) ( ; ) ( ) Ejeriio nº - En n ompñí se tilizn tres tipos e mteriles (mer plástio lminio) pr frir tres tipos e meles: sills meeors sofás según l tl: SILL MECEDOR SOFÁ MDER ni ni nies PLÁSTICO ni ni nies LUMINIO nies nies nies Otén mtriilmente ls nies e mer e plástio e lminio qe se hn tilizo pr frir sills meeors sofás Ejeriio nº - Los onsmos nles e g minerl pn lehe e tres fmilis vienen epresos en l mtriz L evolión e los preios e los ños viene reflej en l mtriz ) Hllr si es posile e inir qe informión proporion el proto mtriil ) Qé informión nos el elemento e l mtriz proto? PN GU F 8 F 8 F LECHE 8 PN 8 GU 8 LECHE 8 Ejeriio nº - En n erí se frin tres tipos e protos qe llmremos C qe se otienen prtir e htrr rón minerl ierts leiones metális según l tl jnt qe represent ls nies e mteril neesri pr frir n ni e proto: PRODUCTO MTERIL C CHTRR 8 CRÓN LECIONES Otener n mtriz qe iniqe ls nties e htrr rón leiones neesris pr l proión e nies e e e C
6 Ejeriio nº - Un empres proe tres ienes C Tiene tres ftorís n e ells proe los tres ienes en ls nties por hor sigientes: FCTORÍ FCTORÍ FCTORÍ C nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor En l Ftorí se trjn 8 hors iris l Ftorí fnion ls hors el í en l Ftorí se trjn hors iris ) Cll mtriilmente el número e nies iris e los ienes C qe fri l empres ) Si se trj rnte ís mes otén mtriilmente l proporión mensl e l empres en no e los ienes C Ejeriio nº - En n ppelerí vn vener rpets ernos olígrfos grpánolos en tres tipos e lotes: Lote : rpet erno olígrfo Lote : rpet ernos olígrfos Lote C: rpets ernos olígrfos C rpet est eros erno eros olígrfo eros ) Esrie n mtriz qe esri el ontenio (número e rpets ernos olígrfos) e lote ) Otén mtriilmente el preio totl e no e los lotes C
7 SOLUCIONES EJERCICIOS DE MTRICES Ejeriio nº - Solión: Cllmos e iglmos el reslto : tnto h e ser: Ejeriio nº - Ds ls mtries: ) Hll n mtriz tl qe sieno e form qe en l mtriz Hll los vlores e ( ) ó Si Si Compre qe )
8 8 Solión: ) Se trt e pror qe l one l es l mtriz ienti e oren Efetmos el proto: ) Despejmos en l igl mltiplino por l izqier por : l prto ) onoemos ; lego: Ejeriio nº - Reselve el sigiente sistem mtriil: Solión: Llmmos: sí el sistem qe: omo qerimos emostrr I 8 ; ( ) ( )
9 tnto: Ejeriio nº - Cll los vlores e pr qe l mtriz: verifiqe l eión l one l O son respetivmente ls mtries ienti nl e oren tres Solión: Cllmos l e iglmos : ( ) ( ) ( ) ( ) 8 I
10 H e ser: tnto el únio vlor e qe he qe se verifiqe l igl propest es Ejeriio nº - Solión: Cllmos l e iglmos : sí tenemos qe h e ser: tnto: 8 Ejeriio nº - Ls mtries e son ls soliones el sistem e eiones mtriiles: ± pr qe se mpl l igl e qe een tener vlor hll el es l mtriz ienti e oren Si I I I 8 8 ; e tiene sentio si ll e Hll
11 Solión: Llmmos: sí el sistem qe: tnto: L solión l sistem es: Mtries inverss: no tiene mtriz invers Veámoslo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; entones: qe Spongmos es eir: ; no eiste Lego imposile imposile
12 (Se ompre qe l) Ejeriio nº - Solión: Pr hllr tenemos en ent qe: Utilizno los resltos el prto ) tenemos qe: : Cllmos e one : ; tnto: : l mtriz D ) Cll ) Hll el vlor e ) I I ( ) I I ) I
13 Ejeriio nº 8- Reselve l eión mtriil sieno: Solión: Despejmos en l eión propest: Cllmos l invers e : Opermos pr otener l : ( ) I I entones: Llmmos e one: ; tnto: I
14 Ejeriio nº - Se onsier l mtriz: ) Enentr n pr too ntrl n Solión: tnto omo tenemos qe n pr n ) Tenieno en ent lo otenio en ): Ejeriio nº - D l mtriz: ) Cll t t one t enot l mtriz trspest e son tres números reles ritrrios one ( ) Cll ) ) ( ) ( ) ( ) t tles qe: ) Enentr ls mtries e l form t tles qe: ) Enentr tos ls mtries e l form
15 Solión: ) L mtriz trnspest e es: ) Imponemos l oniión : Ejeriio nº - Otén el rngo e l sigiente mtriz: tnto: t t t t tnto : one R ) t tnto : one R M
16 Solión: Ejeriio nº - verig ál es el rngo e: Solión: Ejeriio nº - Cll el rngo e l mtriz: ( ) rn tnto M ( ) rn tnto 8
17 Solión: Ejeriio nº - Esti el rngo e l mtriz: Solión: Ejeriio nº - Hll el rngo e l sigiente mtriz: ( ) rn tnto ( ) rn tnto 8 M
18 8 Solión: Ejeriio nº - Cll el rngo e l sigiente mtriz i ál es el número e olmns linelmente inepenientes: Solión: Cllmos el rngo e l mtriz : Esto signifi qe h os olmns linelmente inepenientes en ; ls otrs os epenen linelmente e ells Ejeriio nº - Esti l epeneni o inepeneni linel el onjnto e vetores ( ) rn tnto M ( ) rn tnto ( ) ( ) ( ) { } ; ; rngo e l mtriz s fils son es el ál i
19 Solión: Esto signifi qe los vetores son linelmente epenientes H os vetores linelmente inepenientes el terero epene e ellos Ejeriio nº 8- ) Hll el rngo e l mtriz: ) Esti l epeneni o inepeneni linel el onjnto e vetores: Solión: El número e vetores linelmente inepenientes es el rngo e tnto los vetores son linelmente inepenientes : rngo e l mtriz s fils son el Estimos rngo e l mtriz es el tnto ( ) ( ) ( ) ; ) ( ) rn tnto oinien on los vetores qe ls olmns e l mtriz Oservmos )
20 Ejeriio nº - Dos los vetores: Esti l epeneni o inepeneni linel i ál es el rngo e l mtriz s Solión: Ejeriio nº - Esti l epeneni linel el onjnto e vetores: Solión: Estiemos el rngo e l mtriz s fils son los tres vetores os El rngo oinie on el número e vetores linelmente inepenientes tnto el rngo e l mtriz es Lego h os vetores linelmente inepenientes; el terero se pee esriir omo ominión linel e los otros os Ejeriio nº - En n ompñí se tilizn tres tipos e mteriles (mer plástio lminio) pr frir tres tipos e meles: sills meeors sofás según l tl: ( ) ( ) ( ) ; ; son fils : rngo e l mtriz s fils son los vetores el Cll rngo e l mtriz es el tnto son linelmente inepenientes signifi qe Esto ( ) ( ) ( ) ; ; son linelmente epenientes tres vetores Los SILL MECEDOR SOFÁ MDER ni ni nies PLÁSTICO ni ni nies LUMINIO nies nies nies
21 Otén mtriilmente ls nies e mer e plástio e lminio qe se hn tilizo pr frir sills meeors sofás Solión: Orgnizmos los tos qe tenemos en os mtries; s proto nos l mtriz qe smos: SILL MECED SOFÁ MDER SILLS MDER PLÁSTICO MECEDORS PLÁSTICO LUMINIO SOFÁS LUMINIO Es eir se hn tilizo nies e mer e plástio e lminio Ejeriio nº - Los onsmos nles e g minerl pn lehe e tres fmilis vienen epresos en l mtriz L evolión e los preios e los ños viene reflej en l mtriz ) Hllr si es posile e inir qe informión proporion el proto mtriil ) Qé informión nos el elemento e l mtriz proto? PN GU F 8 F 8 F LECHE 8 PN 8 GU 8 LECHE 8 Solión: ) L mtriz es l es Pr poer efetr el proto e os mtries el número e olmns e l primer ee oiniir on el número e fils e l segn tnto el proto no se pee her pero el sí PN GU LECHE 8 F 8 PN 8 F 8 8 GU F LECHE 8 F F 8 8 F L mtriz nos el gsto nl e fmili en el totl e los tres protos rnte los ños ) El elemento 8 orrespone l fmili terer en el ño ; es eir nos ini el gsto totl e est fmili en los tres protos rnte ese ño
22 Ejeriio nº - En n erí se frin tres tipos e protos qe llmremos C qe se otienen prtir e htrr rón minerl ierts leiones metális según l tl jnt qe represent ls nies e mteril neesri pr frir n ni e proto: PRODUCTO MTERIL C CHTRR 8 CRÓN LECIONES Otener n mtriz qe iniqe ls nties e htrr rón leiones neesris pr l proión e nies e e e C Solión: Orgnizmos los tos qe tenemos en os mtries; s proto nos l mtriz qe smos: CHTRR 8 CRÓN LECIONES C CHTRR CRÓN C LECIONES Es eir neesitremos nies e htrr e rón minerl e leiones Ejeriio nº - Un empres proe tres ienes C Tiene tres ftorís n e ells proe los tres ienes en ls nties por hor sigientes: FCTORÍ FCTORÍ FCTORÍ C nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor nies/hor En l Ftorí se trjn 8 hors iris l Ftorí fnion ls hors el í en l Ftorí se trjn hors iris ) Cll mtriilmente el número e nies iris e los ienes C qe fri l empres ) Si se trj rnte ís mes otén mtriilmente l proporión mensl e l empres en no e los ienes C Solión: ) Orgnizmos en os mtries los tos qe tenemos; s proto nos l mtriz qe smos: FCT C FCT FCT FCT 8 FCT FCT C
23 Es eir í se frin en totl (entre ls tres ftorís e l empres) nies e nies e e C ) L mtriz oteni en ) nos l proporión iri: si l mltiplimos por (los ís qe se trjn mes) otenremos l proión mensl: C C 8 tnto mes se frin en l empres (entre ls tres ftorís) nies e nies e 8 e C Ejeriio nº - En n ppelerí vn vener rpets ernos olígrfos grpánolos en tres tipos e lotes: Lote : rpet erno olígrfo Lote : rpet ernos olígrfos Lote C: rpets ernos olígrfos C rpet est eros erno eros olígrfo eros ) Esrie n mtriz qe esri el ontenio (número e rpets ernos olígrfos) e lote ) Otén mtriilmente el preio totl e no e los lotes C Solión: ) L mtriz será: CRPETS C CUDERNOS OLíGRFOS ) Los preios e rpet erno olígrfo se resmen en l mtriz: CRPET CUDERNO OLíGRFO Si mltiplimos l mtriz oteni en ) on est últim otenremos l mtriz qe smos: CRPET C CUDERNO OLíGRFO CRPET CUDERNO OLÍGRFO C Es eir el lote est eros el lote eros el lote C eros
Tema 2 Matrices Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
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Hacia la universidad Álgebra lineal
Hi l universi Álger linel OPCIÓN A Soluionrio. Un mtriz ur A se llm ntisimétri uno su trspuest es igul su opuest. Otén l form generl e un mtriz A e oren que se ntisimétri. Clul A, A y A. Consieremos l
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MATRICES Y DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS D l triz A, qué relión een gurr ls onstntes pr que se verifique l igul A A. Cluleos A : A. Coo se h e uplir que A A, teneos que:, por tnto se otiene el siguiente
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