MATRICES Y DETERMINANTES.

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1 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd MTRICES Y DETERMINNTES. INTRODUCCIÓN. Ls mrices precieron por primer vez hci el ño.8 inroducids por el inglés Jmes Joseph Silveron. El desrrollo de l eorí se debe l memáico y srónomo irlndés Hmilon en.8 y l inglés Cyley. Ese úlimo inroduo l noción mricil pr un sisem linel de ecuciones. demás de su uilidd pr esudir sisems precen de form nurl en geomerí, esdísic, economí, ec. L uilizción de ls mrices consiuye un pre esencil en los lengues de progrmción y que l myorí de los dos se inroducen en los ordendores en bls orgnizds en fils y columns. L uilizción de bses de dos implicn el empleo de operciones con mrices que esudiremos en ese em. DEFINICIÓN DE MTRIZ. TERMINOLOGÍ ÁSIC. form Un MTRIZ es un conuno de números reles ordendos en fils y columns de l m m n n mn En form brevid se escribe i ) mienrs que i represen un elemeno culquier de l mriz el elemeno que esá en l fil i y l column ). EJEMPLO. es un mriz que iene res fils y curo columns: m y n. Llmmos DIMENSIÓN de un mriz l produco indicdo del número de fils por el número de columns: m n y podemos escribir de form brevid m n i ) En el eemplo nerior, l dimensión es. IGULDD DE MTRICES. Dos mrices son igules cundo ienen l mism dimensión y los elemenos que ocupn igul posición son igules. dim ) dim ) i b i MTRICES Y DETERMINNTES

2 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd EJEMPLO. c. Ls mrices x b y c serán igules si, b, x y TIPOS DE MTRICES. Dependiendo de l form que engn ls mrices o como son sus elemenos, podemos disinguir lgunos ipos priculres de mrices: MTRIZ FIL es quell que iene un sol fil: ) n MTRIZ COLUMN es quell que iene un sol column: m MTRIZ CUDRD es l que iene igul número de fils que de columns: n n n n nn En cso conrrio se llm RECTNGULR: n n m m mn En un mriz cudrd, el conuno formdo por los elemenos ii se llm DIGONL PRINCIPL y el conuno de los elemenos i l que i n, se llm DIGONL SECUNDRI. Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Digonl PRINCIPL Θ Θ nn Θ Θ n Θ Θ Θ, n Digonl SECUNDRI n Θ Θ MTRIZ TRSPUEST. Dd un mriz se llm rspues de y se represen por, l mriz que se obiene de cmbindo fils por columns o vicevers. MTRICES Y DETERMINNTES

3 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Eemplo: Si 7 7 Es evidene que si es de dimensión m n, es de dimensión n m. MTRIZ NUL. Es quell en l que odos sus elemenos son nulos. Tmbién se llm mriz cero y se represen por. Pr mrices cudrds: MTRIZ DIGONL es quell que iene odos sus elemenos nulos slvo los de l digonl principl. nn MTRIZ ESCLR es un mriz digonl en l que odos los elemenos de l digonl principl son igules. MTRIZ UNIDD o IDENTIDD es un mriz esclr con los elemenos de l digonl principl igules. MTRIZ TRINGULR es quell en l que odos los elemenos por encim o debo) de l digonl principl son nulos. Tringulr superior si son nulos los elemenos siudos por debo de l digonl principl. nn n n Tringulr inferior si son nulos los elemenos siudos por encim de l digonl principl. nn n n MTRICES Y DETERMINNTES 6

4 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ls mrices ringulres se uilizn en l resolución de sisems de ecuciones por el méodo de Guss. MTRIZ SIMÉTRIC: es un mriz cudrd que coincide con su rspues, es decir, i, i i MTRIZ NTISIMÉTRIC: es un mriz cudrd que coincide con l opues de su rspues, es decir, i, OPERCIONES CON MTRICES. SUM DE MTRICES. i i Dds dos mrices i ) y b i ) de l mism dimensión, se define l sum como or mriz C c i ) de igul dimensión que los sumndos y donde c i i bi PROPIEDDES:. sociiv: C) ) C. Conmuiv:. Elemeno neuro o nulo:. Elemeno simérico u opueso: Dd un mriz se define l mriz opues ) como quell que se obiene de cmbindo el signo odos sus elemenos y se verific que ) ). Dos mrices son opuess cundo su sum es l mriz nul. Es úlim propiedd nos permie definir l DIFERENCI de mrices de l siguiene mner: Dds dos mrices i ) y b i ) de igul dimensión, se define l diferenci como ) y su érmino generl será: di i bi. NOT: L sum y diferenci de mrices no se puede definir si sus dimensiones son disins. PRODUCTO DE UN MTRIZ POR UN NÚMERO. Dd un mriz i ) y un número rel k, se define el produco k como or mriz de igul dimensión que y cuyo érmino generl nos viene ddo por b k. i i Eso nos quiere decir que pr muliplicr un numero por un mriz se muliplicn odos y cd uno de los elemenos de l mriz por dicho número. PROPIEDDES:. Disribuiv pr l sum de mrices: k ) k k. Disribuiv pr l sum de números reles: k h) k h. Pseudosociiv: k h ) k h). Elemeno neuro: El es el elemeno unidd de los números reles). MTRICES Y DETERMINNTES 7

5 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Por no, el conuno M m n ) con ls operciones que cbmos de definir iene esrucur de espcio vecoril rel. PRODUCTO DE MTRICES. El produco de mrices es un poco más complicdo que ls operciones neriores. Vmos empezr muliplicndo dos mrices priculres: un mriz fil de dimensión n) y un mriz column n ). El produco de un mriz fil n) por un mriz column n ) es un número que se obiene muliplicándols érmino érmino y sumndo los resuldos de l siguiene mner: b b Eemplo: n ) b b b b n bn ) b n ) ) Observemos que si el número de columns de l mriz fil no coincide con el número de fils de l mriz column, ess mrices no podrímos muliplicrls. Ese produco vmos uilizrlo pr definir el produco de dos mrices: Sen dos mrices m n y n p, se define el produco como or mriz C cuyos elemenos se obienen de l siguiene form: c i i b i b i b es decir, el elemeno c i de l mriz produco se obiene muliplicndo l fil i de l mriz por l column de l mriz. c i b b bn ) b i i i in i b i b i b in bn Debemos observr que pr poder muliplicr dos mrices el número de fils de l mriz debe ser igul l número de columns de l mriz. L mriz produco iene ns fils como l mriz y ns columns como l mriz. in b n MTRICES Y DETERMINNTES 8

6 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd PROPIEDDES.. sociiv: C C ) ). No verific l propiedd conmuiv: en generl,. Si es un mriz de orden n, se verific que: I I n n. Disribuiv: C C ) Con ess propieddes y ls viss neriormene pr l sum, { M n ),, } iene esrucur de nillo unirio no conmuivo. Eercicios. Dds ls mrices y Clculr: ) ) ) ) ) ) ) ) Observndo los resuldos de los producos y podemos ver como el produco de mrices no es conmuivo. 6. L mriz X l que X Opermos sin susiuir ls mrices y despendo X nos qued: X Enonces, un vez desped l mriz X, susiuyendo ls mrices y y operndo, nos qued: X MTRICES Y DETERMINNTES 9

7 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Dds ls mrices: y Clculr: ) 6 6 b) 6 7 c) d) e) f) g) ) Si observmos los dos úlimos resuldos, veremos que son igules y, en consecuenci, llegmos l siguiene conclusión: ) demás, es evidene que se verific que ) MTRICES Y DETERMINNTES

8 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD. El deerminne de un mriz cudrd es un número que se obiene prir de los elemenos de l mriz. Se represen por o de). Vemos como clculmos deerminnes sencillos pr después dr el slo oros de orden superior: Deerminne de orden dos. Se l mriz cudrd de dimensión dd por Definimos el deerminne de de l siguiene form: Eemplo: Si 7 7 Deerminne de orden res. Es un número socido un mriz clculdo de l siguiene form: Podemos observr que en cd produco hy un fcor por cd fil y column; demás l mid de los producos ienen signo más y l or mid signo menos. Pr recordr esos producos que nos dn el vlor del deerminne de orden, se uiliz l siguiene regl: PRODUCTOS CON PRODUCTOS CON SIGNO SIGNO Es regl se conoce con el nombre de Regl de SRRUS. Or form de recordr los producos del desrrollo de un deerminne de orden res seri l siguiene: MTRICES Y DETERMINNTES

9 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Digonles de izquierd derech: Digonles de derech izquierd: c c c c c Eemplo: 6 6) ) ) 6) Propieddes de los deerminnes.. El deerminne de un mriz cudrd es igul que el deerminne de su rspues. Es propiedd nos indic que odo lo que pudiérmos decir pr fils, mbién serí válido pr ls columns.. Si permumos enre sí dos fils o columns) de un mriz, el deerminne cmbi de signo, sin vrir su vlor bsoluo.. Si odos los elemenos de un fil o column) de un mriz cudrd son ceros, el deerminne de dich mriz es cero.. Si un mriz cudrd iene dos fils o columns) igules, enonces su deerminne vle cero.. Si un mriz cudrd iene dos fils o columns) proporcionles, su deerminne vle cero. 6. Si los elemenos de un fil o column) de un deerminne se muliplicn por un número, el deerminne qued muliplicdo por dicho número. 7. Si un fil o column) de un mriz cudrd es combinción linel de dos o más fils o columns), enonces el deerminne de l mriz vle cero. 8. El deerminne de un mriz cudrd no cmbi si se susiuye un fil o column) por un combinción linel de ell con ls resnes fils o columns). plicndo es propiedd de form reierd, el deerminne de un mriz cudrd se puede converir en oro del mismo vlor que el ddo, de l form que, odos los elemenos de un fil o column) elegid, sen cero, excepo uno de ellos. 9. El deerminne de un mriz ringulr o digonl es igul l produco de los elemenos de l digonl principl.. Si cd elemeno de un fil o column) de un mriz cudrd se escribe como sum de dos sumndos, el deerminne de dich mriz es igul l sum de dos deerminnes que ienen igules ods ls fils o columns), slvo l que se hy descompueso, en l que el MTRICES Y DETERMINNTES

10 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd primer deerminne iene los primeros sumndos y el segundo deerminne los segundos sumndos. MENOR COMPLEMENTRIO Y DJUNTO DE UN ELEMENTO DE UN MTRIZ CUDRD. Se un mriz cudrd de orden n y i uno culquier de sus elemenos. Se llm MTRIZ COMPLEMENTRI del elemeno i l mriz que resul de l suprimir l fil i y l column l fil y l column en l que se encuenr dicho elemeno). Se design por M i y, evidenemene, será un mriz de orden n. Se llm MENOR COMPLEMENTRIO del elemeno mriz complemenri. i l deerminne de l Se llm DJUNTO del elemeno i, y lo represenremos por i, l menor complemenrio del elemeno i muliplicdo por ± según que l sum de los subíndices del elemeno se pr o impr, es decir i ) i En consecuenci, el duno de un elemeno es el menor complemenrio de ese elemeno fecdo del signo ó, según l posición que ocupe el elemeno en l mriz. Desrrollo de un deerminne por los elemenos de un fil o column. Consideremos el desrrollo del deerminne de orden : Si scmos fcor común los elemenos de un fil o column p.e. los elemenos de l primer fil) nos qued: ) ) ) ) El conenido de cd uno de los prénesis del desrrollo nerior coincide con el desrrollo de un deerminne de orden y podrímos expresrlo de l form: ) M i ) ) ) Ese resuldo podemos generlizrlo pr el deerminne de un mriz cudrd de culquier orden de l siguiene form: El deerminne de un mriz cudrd es igul l sum de los elemenos de un fil o column culquier, muliplicdos por sus dunos correspondienes. i i i i i i in in MTRICES Y DETERMINNTES n n

11 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Con es regl se reb el orden del deerminne que se quiere clculr un unidd menos. Pr evir muchos cálculos conviene que l fil o l column por l que desrrollemos eng el myor número de ceros posibles y, si no es sí, se pueden hcer por el méodo de reducción plicndo ls propieddes de los deerminnes. EJEMPLO: Clculr el siguiene deerminne desrrollndo por los elemenos de l primer fil: ) ) ) 7 ) 6 Clculr los siguienes deerminnes: 6 { C C C } 6 Hemos reducido el deerminne de orden oro de orden. Llegdos quí, enemos dos posibiliddes: desrrollr ese deerminne de orden direcmene, plicndo l regl de Srrus o seguir l reducción igul que nes. susiuimos: F F F F F F ) ) Susiuimos: F F F F F F F F F Como nos h queddo un mriz ringulr, su deerminne es igul l produco de los elemenos de l digonl principl y nos qued: 8 MTRICES Y DETERMINNTES

12 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Clculr el siguiene deerminne: x x x x x x x x x x x x plicndo ls propieddes de los deerminnes: x x x Susiuimos: x x x F F F x x x F F F x x x F F F x x x x x x x x x x x ) x x x x x x x x Susiuimos: x ) x ) ) C C C x x x Susiuimos: x x x ) ) x ) ) ) C C C x ) x x) x ) x ) x ) x ) Clculr los siguienes deerminnes: ) b) c) d) Clculr el vlor del deerminne: b c b c Obener, simplificndo, el desrrollo del deerminne: bc b b c b b b c b c bc MTRICES Y DETERMINNTES

13 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Clculr por rnsformciones elemenles sin uilizr l regl de Srrus) y usificndo los psos), el deerminne b c b c c b Hllr el vlor del deerminne n n n n Resolver l ecución x x x x x Resolver l ecución x x b x c b c Sbiendo que d e f y uilizndo correcmene ls propieddes de los g h i deerminnes, clculr: d c f b e f e d d f e c b g i h i h g DETERMINNTE DEL PRODUCTO DE MTRICES. Sen y dos mrices cudrds de orden n. El deerminne de l mriz produco es igul l produco de los deerminnes de mbs mrices: MTRICES Y DETERMINNTES 6

14 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd MTRIZ INVERS: CÁLCULO. Mrices regulres y singulres. Un mriz cudrd de orden n se dice que es REGULR si su deerminne es disino de cero, es decir: es regulr Eemplo: Si su deerminne es cero, se dice que es SINGULR. es singulr Comprobr si son regulres o singulres ls siguienes mrices: Mriz dun. Dd un mriz cudrd de orden n, se llm MTRIZ DJUNT de, y se represen por d ), l mriz que se obiene de susiuyendo cd elemeno por su duno: d n n n n nn Como y hemos viso, se verific que l sum de los producos de los elemenos de un fil o column) por sus dunos es igul l deerminne de l mriz. Sin embrgo, l sum de los producos de los elemenos de un fil o column) por los dunos de un fil o column) prlel ell es igul cero, y que serí igul l desrrollo de un deerminne que endrí dos fils o columns igules). plicndo ess dos firmciones podrímos demosrr que el produco de un mriz cudrd por l rspues de su dun es un mriz esclr con vlor consne igul l deerminne de l mriz. Eemplo: Clculr ls mrices duns de ls mrices del eercicio nerior. Comprobr que d ) MTRICES Y DETERMINNTES 7

15 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Mriz invers. Se un mriz cudrd de orden n. Se llm MTRIZ INVERS de or mriz de orden n, que represenremos por, que verific que I. No ods ls mrices ienen invers. Pr que un mriz dmi invers iene que ser regulr. Exisen vris forms de clculr, si exise, l invers de un mriz: plicndo l propi definición y resolviendo el sisem que resul. Medine rnsformciones elemenles plicds un mriz: Méodo de Guss-Jordn. El méodo de Guss-Jordn consise en relizr operciones elemenles sobre un mriz formd por y l mriz idenidd I I), hs rnsformrl en I ). Por deerminnes: Según hemos viso, el produco de un mriz cudrd por l rspues de su dun es un mriz esclr con elemeno consne igul. Podrímos escribir: d ) I Luego, [ d ) ] I En consecuenci, por l definición de l mriz invers de, l obenemos medine l expresión: d ). Pr clculr l mriz invers por ese méodo dremos los siguienes psos:. Clculmos el deerminne de l mriz. Si ése es igul cero no exisirá mriz invers.. Clculmos l mriz dun de. Trsponemos l mriz nerior: d ). Dividimos por dividimos cd uno de los elemenos de l mriz). EJERCICIOS PROPUESTOS.. Clcul l mriz invers, si exise, de ls siguienes mrices: C D MTRICES Y DETERMINNTES 8

16 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd MENOR DE UN MTRIZ. Dd un mriz m n, se llm SUMTRIZ de l mriz culquier mriz que se obeng de ell suprimiendo ciers fils y ciers columns. En l mriz obenemos si suprimimos l primer fil y l ercer column, mriz de dimensión que es un submriz de. Si suprimimos l ercer fil y l ercer y cur columns, enemos C submriz cudrd de orden de l mriz. que es un En consecuenci, ls submrices de un mriz podrán ser recngulres o cudrds dependiendo de ls fils o columns que suprimmos en l mriz. Llmmos MENOR de orden h de un mriz l deerminne de un submriz cudrd de dimensión h h de l mriz. Si dich submriz esá formd por ls h primers fils y ls h primers columns de l mriz, el menor se llm MENOR PRINCIPL de l mriz. En el eemplo nerior de l submriz C, su deerminne es C ) es un menor de orden y, demás, principl. RNGO DE UN MTRIZ. Se llm RNGO de un mriz l orden del myor menor no nulo de l mriz dd. Por no, si es un mriz de dimensión m n y h es el rngo de, quiere decir que exisirá lgún menor de orden h disino de cero y odos los menores de orden superior { h, h, } serán nulos. De or form: Si un menor de orden h de un mriz es disino de cero y odos los menores de orden h ) que se pueden formr ñdiendo un fil p de l mriz y cd un de ls columns que no figurn en el menor son nulos, enonces dich fil p es combinción linel de ls fils de l mriz que inervienen en el menor. En consecuenci, el rngo de un mriz es el número de fils o columns) de l mriz que son linelmene independienes. CONSECUENCIS: Si en un mriz se inercmbin dos fils o columns) se obiene or mriz de igul rngo que. MTRICES Y DETERMINNTES 9

17 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Si un fil o column) de l mriz esá formd por ceros, el rngo de es igul l de l mriz que se obiene de suprimiendo dich fil o column). Si un fil o column) es combinción linel de ors fils o columns) de l mism mriz, se puede suprimir dich fil o column) y que no fec l rngo de l mriz. CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ. Teorem. L condición necesri y suficiene pr que un mriz de dimensión m n eng rngo r es que exis un menor de orden r, exrído de l mriz, disino de cero y que odos los menores de orden r sen nulos. M r rngo ) r M r Teniendo en cuen ese eorem, pr clculr el rngo de un mriz podemos seguir los siguienes psos:. L únic mriz que iene rngo cero es l mriz nul; culquier or mriz endrá un rngo igul o myor que.. Se observ simple vis si exisen fils o columns que sen combinción linel de ors prlels ells, en cuyo cso se suprimen.. Se r de enconrr, por ser fácil el cálculo, un menor de segundo orden no nulo. Si lo hubiese, podemos firmr que rngo). Si no exise un menor de segundo orden disino de cero y l mriz no es nul, enonces podemos concluir que rngo).. Supueso que rngo), ñdiremos l menor de segundo orden no nulo que hemos obenido ls fils y columns resnes pr formr menores de ercer orden. Si odos fuesen nulos, podemos firmr que rngo). Si exise un menor de ercer orden disino de cero, podemos firmr que rngo).. De form nálog se proseguirí hs que se erminrn ls fils y ls columns. EJEMPLO: Clculr el rngo de l mriz 6 6 Observndo l mriz dd podemos lo siguiene: ) L ercer fil es igul que l segund muliplicd por. b) Tmbién se verific que F F.F) y F F F Por no, el rngo de l mriz es igul l rngo de l mriz que resul de suprimiendo ls fils ercer, cur y quin: MTRICES Y DETERMINNTES

18 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd r ) r pueso que el menor de orden, Clculr el rngo de l siguiene mriz: Pueso que no se r de l mriz nul, su rngo será myor o igul uno. Tommos un menor de orden dos el formdo por ls dos primers fils y ls dos primers columns) y vemos si es disino de cero o no: 9 y, por no, el rngo). Tomndo ese menor como bse, ñdimos l ercer fil y con ls disins columns vmos formndo odos los menores de orden res que podmos: y, por no, el rngo). 8 ) Psmos formr menores de orden curo y ver si hy lguno disino de cero: Susiuimos: F F F F F F) Susiuimos: ) 8 C C C Como hemos enconrdo un menor de orden disino de cero y no podemos formr menores de orden superior y que no enemos más fils, el rngo de nuesr mriz será : rngo). Clculr el rngo de ls siguienes mrices: MTRICES Y DETERMINNTES

19 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd 6 6 C MTRICES Y DETERMINNTES

20 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Mrices y deerminnes: relcion de eercicios.. Obener ls mrices y que verifique el sisem:. Demosrr que. I, siendo I. Resolver l siguiene ecución mricil: x y y x. Si es un mriz cudrd n n, l que, e I es l mriz unidd n n, qué mriz es, si I? n n. Probr que, siendo l mriz 6. Clculr por inducción respeco de n: n 7. Clculr los vlores de pr los que el rngo de l siguiene mriz es : 8. Se un mriz de orden. Demosrr y son simérics. Un mriz se dice que es siméric si es igul su rspues. 9. Dd l mriz λ. verigur pr que vlores del prámero λ, l mriz λ no iene invers. Clculr l invers cundo λ.. Exise un mriz l que el produco. se un mriz de res fils, siendo? n MTRICES Y DETERMINNTES

21 Jun nonio González Mo Profesor de Memáics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd. Cómo deben ser ls mrices recngulres M y N pr que puedn efecurse ls muliplicciones MN y NM? Rzon l respues.. Clculr el rngo de l mriz según los diferenes vlores de R, siendo Pr que vlores de R exise?. Probr que l mriz iene invers y clculrl: m m m. Hllr los vlores de x pr los cules l mriz no iene invers: x x. Dds ls mrices I deerminr, si es posible, un vlor de λ pr el que l mriz λ.i) se l mriz nul. 6. Obener un vecor no nulo ),,, c b u de mner que ls mrices siguienes engn, simulánemene, rngo : c b c b 7. Selecividd - Junio 97) Dds ls mrices, e I se pide: ) Esudi si exise y, si es sí, clcul l invers de. ) Esudi si exise y, si es sí, clcul l invers de. ) Deermin un mriz X que verifique. ) X I MTRICES Y DETERMINNTES