POLÍGONOS. α3 α 4 α 5. α 7 α Definición. Sean: A 1, A 2,...A n, n distintos puntos del plano. Trazamos los segmentos: A 1A 2,

Transcripción

1 A 7 A 6 A 8 α 7 α 8 α A 5 α 6 A α α α α 5 A A A Un agricultor contrata a una compañía constructora para que realice el cálculo del área de un terreno que se encuentra en una explanada y que desea adquirir. La forma del terreno es arbitraria y se muestra en la figura. El ingeniero encargado se sitúa en el punto de su interior y selecciona 8 puntos A, A,...A 8, que descansan sobre el lindero del terreno. El dibujo se encuentra a escala : 00. A continuación mide con su teodolito los ángulos α, α,..., α 8, así como los segmentos A i. Una aproximación del área del terreno es el área de la región poligonal encerrada por el polígono A A A A A 5 A 6 A 7 A 8 ; y esta se puede calcular sumando las áreas de los triángulos formados.. Definición Sean: A, A,...A n, n distintos puntos del plano. Trazamos los segmentos: A A, A A, A A,, An A n, A na. La unión de estos segmentos recibe el nombre de polígono si se cumplen las siguientes dos propiedades: a. No es posible que descansen, sobre una misma recta, dos segmentos con un punto en común. b. Dos segmentos cualesquiera sólo pueden intersecarse en sus extremos. Clasificación de los Polígonos Según su número de lados se clasifican en: Número de lados Nombre Triángulo Pentágono Heptágono Nonágono Endecágono Pentadecágono Icoságono

2 . Elementos A β A β α α α A β β α α 5 A β 5 A 5 El Pentágono- Base Militar de USA Lados: A A, A A, AA, A A5, A5A Son los segmentos que conforman el polígono. Vértices: A, A,, A 5 Son las intersecciones de dos lados consecutivos. Ángulos interiores: α, α,, α 5 Son los ángulos formados por dos lados consecutivos. Ángulos Exteriores: β, β,, β 5 Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo. El ángulo interior y el ángulo exterior correspondiente, son suplementarios. Diagonales: Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Ejercicio: Para los siguientes polígonos indique los lados, el número de lados y los vértices. A B P K H G F E C D T S R Q M L N Polígono n (número de lados) Vértices Lados ABCDEFGH 8 A, B, AB, BC,

3 . Polígonos convexos y no convexos Un polígono es convexo si el segmento que une dos puntos interiores cualesquiera del polígono está contenido en el interior del polígono. En caso contrario el polígono se denomina no convexo. Ejemplo: Cuál de los siguientes polígonos es convexo y cuál es no convexo? A B Nota: en este curso vamos a tratar solo con polígonos convexos.. Discusión sobre las características más importantes de todos los polígonos convexos Notas Sα Sβ d D lados lados En cuántos triángulos puedo dividir el cuadrilátero? 80 ( ) = ( ( ) ) 5 lados 6 lados n lados 6 5 n n- 5 En cuántos triángulos puedo dividir el pentágono? 80 ( ) = En cuántos ( ) triángulos puedo 80 ( ) = dividir el hexágono? ( ) En cuántos triángulos puedo dividir el n-ágono? 80 ( ) = ( ( ) ) ( )( ) ( )

4 Ejercicios 0 ) En cuántos triángulos dividen al polígono las diagonales trazadas desde un vértice? a) Si el polígono tiene 6 lados b) Si el polígono tiene n lados ) Encuentre la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de lados, usando el razonamiento inductivo mostrado anteriormente. ) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es 60, encuentre el número de lados de un polígono. ) En un decágono: a) Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice? b) Cuántas diagonales tiene el decágono entonces? 5) Encuentre el número de lados de un polígono, si se cumple que la suma de las medidas de sus ángulos internos es el doble que la de sus ángulos externos. 5. Polígonos y circunferencias Polígono inscrito Es aquel polígono cuyos vértices están sobre la circunferencia. Polígono circunscrito Es aquel polígono cuyos lados son tangentes a la circunferencia. R r Nota: No todos los polígonos se pueden inscribir ni circunscribir a una circunferencia, aquí se muestra un par de ejemplos. Algunas reflexiones: ) Un triángulo siempre se puede inscribir y circunscribir a circunferencia? ) Un cuadrilátero siempre puede ser inscriptible y circunscriptible a una circunferencia? ) Un trapecio puede ser siempre inscriptible y circunscriptible? ) Entonces qué tipo de trapecios son inscriptibles?

5 6. Polígonos regulares 6. Definición: es todo polígono que tiene sus lados congruentes y sus ángulos congruentes entre sí. TRIÁNGUL (EQUILÁTER) CUADRILÁTER (CUADRAD) PENTÁGN HEXÁGN HEPTÁGN CTÁGN NNÁGN DECÁGN 6. Elementos Trace con un compás la circunferencia inscrita al polígono regular presentado. Qué puede observar con respecto al radio y al centro de dicha circunferencia inscrita? Trace con un compás la circunferencia circunscrita al polígono regular presentado. Qué puede observar con respecto al radio y al centro de dicha circunferencia circunscrita?

6 l 5 ap 5 Centro: Se denomina centro de un polígono regular al punto, centro de la circunferencia inscrita (radio = r) o circunscrita (radio = R). θ R Radio: Se denomina radio (R) de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al polígono. l 5 Apotema: Se denomina apotema (ap) de un polígono regular al segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno cualquiera de los lados. (bserve que se cumple que ap = r) θ ap 5 = r R A. Central: Se denomina ángulo central (θ) de un polígono regular al menor ángulo formado por dos radios que unen el centro y dos vértices consecutivos cualesquiera del polígono. 6. Discusión de las características más importantes de todos los polígonos regulares convexos. Si todos los ángulos y lados son congruentes entre sí, entonces: Notas α (A. Interior) β (A. Exterior) θ (A. Central) n 6 n- 5

7 6. Casos más relevantes Triángulo Equilátero Triángulo Equilátero Cuadrado Cuadrado Hexágono Regular Hexágono Regular Ejercicios 0 ) Se tiene una circunferencia de cm de radio. Calcule el área del cuadrado inscrito. ) Se circunscribe una circunferencia en un triángulo equilátero de lado cm. Calcule cuál es el perímetro de dicha circunferencia. ) En un hexágono regular de lado 6cm está inscrita una circunferencia; calcule el área de dicha circunferencia. ) Calcule el área encerrada por la circunferencia inscrita y circunscrita a un cuadrado de lado cm. 5) Calcule el área del triángulo formado al unir los puntos medios de un hexágono regular de lado cm.

8 6.5 bservaciones: Todos los lados son congruentes. Todos los ángulos internos son congruentes. 80 ( n ) Cada ángulo interno mide:. n Si se trazan segmentos desde el centro hacia dos vértices consecutivos del polígono regular, siempre se forman triángulos isósceles. El apotema de un polígono regular cae en el punto medio del lado. 7. Cálculo de áreas usando trigonometría. Calcule el área de cada figura mostrada: a. Error! b c. d 0º 5 0º 0º 8 0º. El propietario desea encontrar el área de un terreno rectangular, para esto se contrata un topógrafo, pero este le indica lo siguiente El ángulo que forma un lado de 580m del terreno con la diagonal es de 7. Cuál es el área del terreno?

9 HEXÁGN Nº de lados n = 6 Suma de los ángulo interiores = 70º Ángulo interior = 0º PENTÁGN Nº de lados n = 5 Suma de los ángulo interior = 50º Ángulo interior = 08º