Matriz sobre K = R o C de dimensión m n

Transcripción

1 2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0 Identidad: I = 0 1 Transpuesta de una matriz: la matriz transpuesta es de dimensión n m A t = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Matriz diagonal: es una matriz cuadrada 1

2 Matriz triangular: triangular superior triangular inferior a a a n a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a mn a a 21 a 22 0 a m1 a m2 a mn Operaciones con Matrices M mn (K) es el conjunto de matrices m n con elementos en K Suma de matrices: para dos matrices A, B M mn (K) tal que A = (a ij ) y B = (b ij ), la suma es A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) Producto de una matriz por un escalar: dado una matriz A M mn (K) y un escalar λ K, λa = λ(a ij ) = (λa ij ) 2

3 Producto de matrices: dadas las matrices A M mn (K) y B M np (K), el producto es AB = C = (c ij ) M mp (K) donde c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a im b mj OJO, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, normalmente AB BA 22 Sistemas de Ecuaciones Lineales Conjunto de soluciones Clasificación de sistemas lineales: Sistema Incompatible (SI): No tiene soluciones Sistema Compatible Determinado (SCD): tiene una única solución Sistema Compatible Indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones Dos sistemas de ecuaciones diremos que son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones Método de eliminación de Gauss Matriz ampliada Se trata de hacer una escalera de ceros (la escalera puede tener descansillos) 3

4 23 Determinantes Dada una matriz A = (a ij ) M nn (K), la matriz adjunta A ij es la submatriz (n 1) (n 1) que se obtiene de A al eliminar la fila i y la columna j El determinante es una aplicación det : M nn (K) K El determinante de A se denota por A o por det(a) Definimos el adjunto α ij de A como el escalar El determinante de A es: α ij = ( 1) i+j A ij A = a 11 α 11 + a 21 α a n1 α n1 = a 11 A 11 a 21 A ( 1) n+1 a n1 A n1 En la formula se utilizan los elementos de la primera columna Se puede demostrar que la fórmula anterior vale para cualquier fila o columna Propiedades de los determinantes Intercambiar dos filas o dos columnas cambia el signo del determinante Sumar un múltiplo de una fila (o columna) a otra no altera el valor del determinante Multiplicar una fila o columna por un escalar λ multiplica el valor del determinante por λ 4

5 λa = λ n A A t = A Si A posee una fila o una columna llena de ceros = A = 0 Si A posee una fila (o columna) proporcional a otra = A = 0 AB = A B Con estas propiedades podemos aplicar el método de eliminación de Gauss para hacer ceros!!!cada cero nos quita trabajo!!! 24 Inversa de una matriz Dada una matriz cuadrada A, llamaremos inversa de A y la denotaremos por A 1 a una matriz tal que A 1 A = I y AA 1 = I No ( toda ) matriz cuadrada tiene inversa Por ejemplo, Una matriz es invertible cuando tiene inversa Teorema: A invertible A = 0 5

6 A 1 = 1 A α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α n1 α n2 α nn También se puede calcular la inversa con el método de eliminación de Gauss Si A = 0 entonces (A I) (I B) = B = A 1 t 25 Rango de una matriz Un menor de A es el determinante de una submatriz cuadrada que obtenemos de A suprimiendo algunas filas y/o columnas El rango de una matriz A es la dimensión del mayor menor no nulo de A Es decir, el rango es la dimensión de la mayor submatriz cuadrada de A cuyo determinante no es cero Para calcular el rango se puede utilizar, cómo no, el método de eliminación de Gauss 6

7 26 Teorema de Rouché-Fröbenius Regla de Cramer Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar todas sus soluciones Discutirl un sistema es analizar si posee una varias o ninguna solución Teorema de Rouché-Fröbenius: Sea A la matriz ampliada de un sistema y A la matriz obtenida al quitar la última fila a A (la columna de términos independientes) Entonces: El sistema tiene solución rg(a ) = rg(a) Si rg(a ) = rg(a) = n (número de incógnitas) = SCD Si rg(a ) = rg(a) < n (número de incógnitas) = SCI Regla de Cramer 27 Sistemas Homogéneos Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero Es decir, cuando la última columna de la matriz ampliada del sistema está llena de ceros Un sistema homogéneo tiene por lo menos una solución: x = 0, y = 0, z = 0, (la solución trivial) 7