EXAMEN RESUELTO Septiembre de 2002

Transcripción

1 EXMEN RESUELTO Sepieme de V L{ 45} ë ë Sen los suespcios de R : V ë ë V Hll: Ls dimensiones uns ses de los es suespcios. L dimensión del suespcio VV c Uns ecuciones implícis del suespcio V V. d Compo si V V son suespcios suplemenios. Dimensiones uns ses de los es suespcios. P se l dimensión de V pongmos los ecoes que engendn ese suespcio en un mi esclonándol és de opeciones elemenles eemos cuáles son linelmene independienes: 4 5 Vemos que ls dos úlims fils son popocionles con lo que deducimos que l dimensión de V es un se puede se l fomd po los ecoes oiginles: { ---} o l fomd po los ecoes nsfomdos: { }. Respeco V se ose que ls coodends de los ecoes que peenecen ese suespcio dependen de dos pámeos con lo cul su dimensión es. Un se puede se: - - es deci l fomd po los ecoes: { - } V iene epesdo po un ecución implíci po lo que podemos se su dimensión plicndo: dim suespcio dim espcio nº de ecuciones :implícis es deci que como l dimensión del espcio es l de R es el númeo de ecuciones implícis es igul endemos que l dimensión del suespcio V es. Un se puede se l fomd po ecoes que cumpln l ecución implíci po ejemplo: { - }

2 Dimensión del suespcio VV Ponemos en un mi los ecoes de l se de V V l esclonmos con opeciones elemenles 5 Se osen ecoes linelmene independienes luego l dimensión de V V es. c Uns ecuciones implícis del suespcio V V P se el nº de ecuciones uilimos l siguiene ecución: dim V V dim R - nº de ecuciones implícis demás uilimos l ecución: dim V V dim V dim V - dim V V Si hcemos lo mismo que en el pdo eemos que l dimensión de V V es con lo que l dimensión de l inesección es lo cul nos lle que el nº de ecuciones implícis es. Un de l dos ecuciones puede se l que descie V que nos l d el enuncido del polem l o puede se l que desci V que l hllmos de l siguiene fom: Po lo no l se el ngo de l mi igul l úlim fil h de se ceo luego ls ecuciones implícis de l inesección son: d Compuee si V V son suespcios suplemenios. P que esos dos suespcios sen suplemenios se iene que cumpli que: dim V V dim V V o lo que es lo mismo que l dimensión de l inesección se ceo. Eso no ocue pues l sum de ls dimensiones de V V es 4 sin emgo como se puede compo fácilmene l dimensión de l sum es po lo que se deduce que no son suplemenios.

3 Se f un plicción linel de R en R con mi socid siméic especo de ls ses cnónics l que: f l es un uolo de f - es un uoeco de f Deemin l mi un se especo de l cul l mi socid f se digonl. L mi socid un plicción linel iene po columns ls imágenes de los ecoes de un se en nueso cso l se cnónic luego l pime column de l mi es f po l popiedd de linelidd de l plicción. demás como nos dicen que dich mi es siméic seá: c Si es un uolo -IX siendo X un uoeco de socido. X Luego p seá: X es un mi singul que coesponde un sisem linel homogéneo con soluciones disins l iil. Luego h de se: c c * Teniendo en cuen que V- es un uoeco de f h de se: -IV siendo el uolo coesdpondiene dicho uoeo. c Susiuendo en * se oiene: c con lo cul: Vemos ho si es o no digonlile:

4 I l se uoloes simples l mi es esicmene digonlile siendo l mi digonl: D Deeminemos un se especo de l cul l mi socid f se l mi D: P : V / Con lo cul un uoeco peeneciene l suespcio V es: - Pocediendo de fom nálog oenemos que p un uoeco es - Tl como nos indic el enuncido del polem. p un uoeco es. Luego un se en l cul l mi socid f es l mi digonl D es l: { } ' B

5 .- Se conside en 4 R l siguiene fmili de foms cudáics:.- Digonli l fom cudáic enconndo un se de ecoes conjugdos..5 punos.- Clsific l fom cudáic según los loes de. puno L mi socid l fom cudáic es: l se w podemos om deeminmos eniendo en cuen que h de se conjugdo de Elegimos h de se conjugdo de : p 4 h de se conjugdo de luego: Si Si 4 luego w w w. w 4 4 Luego l mi digonl socid l fom cudáic en l se: } { 4 B es: D R w ;

6 4.- Sen los punos P88 Q Se conside el plno p pependicul l segmeno PQ po su puno medio..- Oene l ecución del plno p..75 punos.- Clcul l poección oogonl del puno O soe p..75 punos c.- Hll el olumen del eedo deemindo po los punos en los que el plno co los ejs coodendos el oigen de coodends. puno El puno medio del segmeno PQes el: M P PQ 88/-6--8 El plno que ps po M es pependicul l eco PQ--4-6 es el: 4 6 con lo cul: π 6 4 L poección oogonl de O soe π iene dd po: P o O n siendo n un eco pependicul l plno luego: 64 P deemin hllmos l inesección del OPo con el plno π: / 6 P o Luego: P o /664 c Volumen del eedo Clculmos los punos de inesección del plno con los ejes de coodends: 4 B C. C El olumen del eedo es: /*e se*lu luego: V 4 * * 4 B