El problema de la recta tangente. 96 CAPÍTULO 2 Derivación
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- Victoria Cordero Valdéz
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1 96 CAPÍTULO Derivación. La derivada el problema de la recta tangente Hallar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Usar la definición de ite para calcular la derivada de una función. Comprobar la relación entre derivabilidad continuidad. Mar Evans Picture Librar ISAAC NEWTON (64-77 Además de sus trabajos relativos al Cálculo, Newton aportó contribuciones a la Física tan revolucionarias como la Le de la Gravitación Universal sus tres lees del movimiento. P El problema de la recta tangente El cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro problemas en los que estaban trabajando los matemáticos europeos en el siglo XVII.. El problema de la recta tangente (sección. esta sección. El problema de la velocidad la aceleración (secciones... El problema de los máimos mínimos (sección. 4. El problema del área (secciones. 4. Cada uno de ellos involucra la noción de ite podría servir como introducción al cálculo. En la sección. se hizo una breve introducción al problema de la recta tangente. Aunque Pierre de Fermat (60-665, René Descartes ( , Christian Hugens ( e Isaac Barrow ( habían propuesto soluciones parciales, la primera solución general se suele atribuir a Isaac Newton (64-77 a Gottfried Leibniz ( El trabajo de Newton respecto a este problema procedía de su interés por la refracción de la luz la óptica. Qué quiere decir que una recta es tangente a una curva en un punto? En una circunferencia, la recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al radio que pasa por P, como se muestra en la figura.. Sin embargo, en una curva general el problema se complica. Por ejemplo, cómo se podrían definir las rectas tangentes que se observan en la figura.? Afirmando que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla. Tal definición sería correcta para la primera curva de la figura., pero no para la segunda. También se podría decir que una recta es tangente a una curva si la toca o hace intersección en ella eactamente en el punto P, definición que serviría para una circunferencia pero no para curvas más generales, como sugiere la tercera curva de la figura.. Recta tangente a una circunferencia Figura. P f( P f( P = f( Recta tangente a una curva en un punto Figura. E X P L O R A C I Ó N Identificación de una recta tangente Utilizar una herramienta de graficación para representar la función ƒ( 4 5. En la misma pantalla, dibujar la gráfica 5, 5 5. Cuál de estas rectas, si es que ha alguna, parece tangente a la gráfica de ƒ en el punto (0, 5? Eplicar el razonamiento.
2 SECCIÓN. La derivada el problema de la recta tangente 97 (c, f(c f(c f(c = Recta secante que pasa por (c, ƒ(c (c, ƒ(c Figura. En esencia, el problema de encontrar la recta tangente en un punto P se reduce al de calcular su pendiente en ese punto. Se puede aproimar la pendiente de la recta tangente usando la recta secante* que pasa por P por otro punto cercano de la curva, como se muestra en la figura.. Si (c, ƒ(c es el punto de tangencia (c, ƒ(c es el otro punto de la gráfica de ƒ, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos se encuentra sustituendo en la fórmula m fc f c m sec c c m sec fc f c. Cambio en. Cambio en Pendiente de la recta secante. El miembro de la derecha en esta ecuación es un cociente de incremento o de diferencias. El denominador es el cambio (o incremento en el numerador ƒ(c ƒ(c es el cambio (o incremento en. La belleza de este procedimiento radica en que se pueden obtener más aproimaciones más precisas de la pendiente de la recta tangente tomando puntos de la gráfica cada vez más próimos al punto P de tangencia, como se muestra en la figura.4. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE En 67 el matemático René Descartes afirmó lo siguiente respecto al problema de la recta tangente: Y no tengo inconveniente en afirmar que éste no es sólo el problema de Geometría más útil general que conozco, sino incluso el que siempre desearía conocer. 0 Tangent Recta tangente line 0 Recta Tangent tangente line Aproimaciones a la recta tangente Figura.4 DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE CON PENDIENTE m Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contiene a c además eiste el ite 0 f c f c m 0 entonces la recta que pasa por (c, ƒ(c cuenta con una pendiente m es la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (c, ƒ(c. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (c, ƒ(c se llama también pendiente de la gráfica de f en c. * El uso de la palabra secante procede del latín secare, que significa cortar, no es una referencia a la función trigonométrica del mismo nombre.
3 98 CAPÍTULO Derivación f( m = (, La pendiente de ƒ en (, es m Figura.5 EJEMPLO La pendiente de la gráfica de una función lineal Encontrar la pendiente de la gráfica de ƒ( en el punto (,. Solución Para encontrar la pendiente de la gráfica de ƒ cuando c, aplicar la definición de la pendiente de una recta tangente como se muestra a continuación: f f La pendiente de ƒ en (c, ƒ(c (, es m, como se observa en la figura.5. NOTA En el ejemplo, la definición de la pendiente de ƒ por medio de ites concuerda con la definición analizada en la sección P.. La gráfica de una función lineal tiene la misma pendiente en todos sus puntos. Esto no sucede en las funciones no lineales, como se puede observar en el siguiente ejemplo. EJEMPLO Rectas tangentes a la gráfica de una función no lineal Recta tangente en ( 4 f( = Recta tangente en (0, La pendiente de ƒ en un punto cualquiera (c, ƒ(c es m c Figura.6 Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de ƒ( en los puntos (0, (,, que se ilustran en la figura.6. Solución Sea (c, ƒ(c un punto cualquiera de la gráfica de ƒ. La pendiente de la recta tangente en él se encuentra mediante: 0 f c f c c c 0 c c c 0 c 0 c 0 c. De tal manera, la pendiente en cualquier punto (c, ƒ(c de la gráfica de ƒ es m c. En el punto (0, la pendiente es m (0 0 en (, la pendiente es m (l. NOTA Observar que en el ejemplo, c se mantiene constante en el proceso de ite (cuando 0.
4 SECCIÓN. La derivada el problema de la recta tangente 99 Recta tangente vertical La definición de la recta tangente a una curva no inclue la posibilidad de una recta tangente vertical. Para éstas, se usa la siguiente definición. Si ƒ es continua en c c La gráfica de ƒ tiene recta tangente vertical en (c, ƒ(c Figura.7 f c f c 0 o f c f c 0 la recta vertical, c, que pasa por (c, ƒ(c es una recta tangente vertical a la gráfica de ƒ, por ejemplo, la función que se muestra en la figura.7 tiene tangente vertical en (c, ƒ(c. Si el dominio de ƒ es el intervalo cerrado [a, b], se puede ampliar la definición de recta tangente vertical de manera que inclua los etremos, considerando la continuidad los ites por la derecha (para a por la izquierda (para b. Derivada de una función Se ha llegado a un punto crucial en el estudio del cálculo. El ite utilizado para definir la pendiente de una recta tangente también se utiliza para definir una de las dos operaciones fundamentales del cálculo: la derivación. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La derivada de ƒ en está dada por f 0 f f siempre que eista ese ite. Para todos los para los que eista este ite, f es una función de. Observar que la derivada de una función de también es una función de. Esta nueva función proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (, ƒ(, siempre que la gráfica tenga una recta tangente en dicho punto. El proceso de calcular la derivada de una función se llama derivación. Una función es derivable en si su derivada en eiste, derivable en un intervalo abierto (a, b si es derivable en todos cada uno de los puntos de ese intervalo. Además de ƒ(, que se lee ƒ prima de, se usan otras notaciones para la derivada de ƒ(. Las más comunes son: f, d d,, d d f, D. Notaciones para la derivada. La notación dd se lee derivada de con respecto a o simplemente d, d. Usando notaciones de ites, se puede escribir d d 0 0 f. f f
5 00 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO Cálculo de la derivada mediante el proceso de ite Calcular la derivada de ƒ(. Solución AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la definición para encontrar la derivada de una función, la clave consiste en volver a epresar el cociente incremental (o cociente de diferencias, de manera que no aparezca como factor del denominador. f 0 0 f f 0 Definición de derivada Cabe recordar que la derivada de una función ƒ es en sí una función, misma que puede emplearse para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto (, ƒ( de la gráfica de ƒ. EJEMPLO 4 Uso de la derivada para calcular la pendiente en un punto Encontrar ƒ( para ƒ(. Calcular luego la pendiente de la gráfica de ƒ en los puntos (, (4,. Analizar el comportamiento de ƒ en (0, 0. Solución Se racionaliza el numerador, como se eplicó en la sección.. (, (0, 0 m La pendiente de ƒ en (, ƒ(, 0, es m Figura.8 f( = 4 (4, m 4 f , > 0 f f Definición de derivada. En el punto (, la pendiente es ƒ(. En el punto (4, la pendiente es ƒ(4. Ver la figura.8. En el punto (0, 0 la pendiente no está definida. Además, la gráfica de ƒ tiene tangente vertical en (0, 0.
6 SECCIÓN. La derivada el problema de la recta tangente 0 En muchas aplicaciones, resulta conveniente usar una variable independiente distinta de, como se manifiesta en el ejemplo 5. EJEMPLO 5 Cálculo de la derivada de una función Encontrar la derivada de la función t respecto a t. Solución Considerando ƒ(t, se obtiene d dt t0 f t t f t t Definición de derivada. t0 t t t t f t t t t f t t. t0 t t t tt t t Combinar las fracciones del numerador. 4 t t0 t0 t ttt t tt t Cancelar el factor común t. Simplificar. (, t. Evaluar el ite cuando t t 4 En el punto (, la recta t 4 es tangente a la gráfica de t Figura.9 6 TECNOLOGÍA Se puede utilizar una herramienta de graficación para corroborar el resultado del ejemplo 5. Es decir, usando la fórmula ddt t, se sabe que la pendiente de la gráfica de t en el punto (, es m. Esto implica que, usando la forma punto-pendiente, una ecuación de la recta tangente a la gráfica en (, es (t o t 4 como se muestra en la figura.9. Derivabilidad continuidad La siguiente forma alternativa como ite de la derivada es útil al investigar la relación que eiste entre derivabilidad continuidad. La derivada de ƒ en c es (, f( fc c f f c c Fórmula alternativa de la derivada. c f( f(c siempre que dicho ite eista (ver la figura.0. (En el apéndice A se demuestra la equivalencia de ambas fórmulas. Observe que la eistencia del ite en esta forma alternativa requiere que los ites unilaterales c f f c c f f c c c Cuando tiende a c, la recta secante se aproima a la recta tangente Figura.0 c eistan sean iguales. Estos ites laterales se denominan derivada por la izquierda por la derecha, respectivamente. Se dice que ƒ es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en (a, b eisten además la derivada por la derecha en a la derivada por la izquierda en b.
7 0 CAPÍTULO Derivación f( = [[ ]] La función parte entera no es derivable en 0, a que no es continua en ese punto Figura. Si una función no es continua en c, no puede ser derivable en c. Por ejemplo, la función parte entera o maor entero f no es continua en 0, en consecuencia no es derivable en 0 (ver la figura.. Esto se comprueba con sólo observar que f f f f Derivada por la izquierda. Derivada por la derecha. Aunque es cierto que derivable implica continua (como se muestra en el teorema., el recíproco no es cierto. En otras palabras, puede ocurrir que una función sea continua en c no sea derivable en c. Los ejemplos 6 7 ilustran tal posibilidad. EJEMPLO 6 Una gráfica con un punto angular m f( m La función f que se muestra en la figura. es continua en. Sin embargo, los ites unilaterales f f 0 Derivada por la izquierda. ƒ no es derivable en, porque las derivadas laterales no son iguales Figura. 4 f f 0 Derivada por la derecha. no son iguales. Por consiguiente, ƒ no es derivable en la gráfica de ƒ no tiene una recta tangente en el punto (, 0. f( / EJEMPLO 7 Una gráfica con una recta tangente vertical La función ƒ( es continua en 0, como se observa en la figura.. Sin embargo, como el ite ƒ no es derivable en 0, porque tiene tangente vertical en ese punto Figura. f f es infinito, se puede concluir que la recta tangente en 0 es vertical. Por tanto, ƒ no es derivable en 0. En los ejemplos 6 7 se puede observar que una función no es derivable en un punto donde su gráfica cuenta con un punto angular o una tangente vertical.
8 SECCIÓN. La derivada el problema de la recta tangente 0 TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación utilizan los programas de cálculo Maple, Mathematica TI89, para realizar una derivación simbólica. Otros la hacen numérica, calculando valores de la derivada mediante la fórmula f f f donde es un número pequeño como Observa algún problema con esta definición? Por ejemplo, usándola cuál sería la derivada de ƒ( en 0? TEOREMA. DERIVABLE IMPLICA CONTINUA Si ƒ es derivable en c, entonces ƒ es continua en c. DEMOSTRACIÓN Para comprobar que ƒ es continua en c bastará con mostrar que ƒ( tiende a ƒ(c cuando c. Para tal fin, usar la derivabilidad de ƒ en c considerando el siguiente ite. Puesto que la diferencia ƒ( ƒ(c tiende a cero cuando c, se puede concluir que f f c. De tal manera, ƒ es continua en c. c f f c c c c f f c c c c 0 fc 0 f f c c c Los siguientes enunciados epresan en forma resumida la relación que eiste entre continuidad derivabilidad:. Si una función es derivable en c, entonces es continua en c. Por tanto, derivable implica continua.. Es posible que una función sea continua en c sin ser derivable. En otras palabras, continua no implica derivable (ver el ejemplo 6.. Ejercicios En los ejercicios, estimar la pendiente de la curva en los puntos (, (,. Con el fin de resolver los ejercicios 4, utilizar la gráfica que se muestra a continuación.. a b (, (, (, (, (4, 5 (, 4 5 f 6. Identificar o trazar en la figura cada una de las cantidades siguientes.. a b a f f 4 b c f 4 f f 4 f 4 f (, (, (, (, 4. Escribir un símbolo de desigualdad ( o entre las cantidades dadas. a b f 4 f f 4 f 4 4 f 4 f 4 f
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