el blog de mate de aida CSII: derivadas

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1 el blo de mte de id CSII: derivds Pá. TASAS E VARIACIÓN L siuiete tbl orece el úmero de cimietos e cd mes lo lro de u ño e u determid poblció: Meses 7 8 Ncimietos Pr sber, por ejemplo, cómo vrido el úmero de cimietos etre los meses de Eero y Abril, bstrá co dividir l vrició de cimietos etre l vrició de los meses: cimietos/mes El úmero que se obtiee mide l vrició medi del úmero de cimietos mesul. Idic que, por térmio medio, el úmero de cimietos de u mes otro umetdo e. Si cemos lo mismo etre Abril y Septiembre teemos: cimietos/mes A este úmero se llm Ts de Vrició Medi. E eerl: d u ució deiid e u itervlo [,b], se llm ts de vrició medi de l ució e [,b] l cociete: b TVM b L Ts de Vrició Medi es l proporció etre l vrició de l orded y l vrició de l bscis e el itervlo [,b]. Por tto se trt de l pediete de l rect secte l ráic de e el itervlo [,b]. ERIVAA E UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de ls tss de vrició medi cudo los itervlos cosiderdos so cd vez más pequeños, es lo que, mtemáticmete, etedemos por derivd de dic ució e dico puto. Se dice que u ució es derivble e u puto de bscis "" si eiste: L derivd de u ució e u puto es u úmero rel.

2 el blo de mte de id CSII: derivds Pá. Si es derivble e "", este límite se llm l derivd de e "". Pr desir este límite se utiliz diverss otcioes: y,,, d/d, [] Como l derivd de u ució e u puto viee dd por u límite, podemos deiir ls derivds lterles de l siuiete orm: Se llm derivd por l izquierd de l ució e el puto = l siuiete límite, si es que eiste: Se llm derivd por l derec de l ució e el puto = l siuiete límite, si es que eiste: L derivd por l izquierd y por l derec se llm derivds lterles. L derivd por l izquierd se desi por -, y l derivd por l derec +. L ució es derivble e el puto = si eiste ls derivds lterles y ésts coicide. E este cso: = + = - Clculemos l derivd de l ució e =: '. Como y ' Clculremos l derivd de = e el puto = :. Por tto =., sustituyedo: ' Es decir, = es derivble e el puto = y =. CONTINUIA Y ERIVABILIA Si u ució es derivble e u puto derivd iit, etoces es cotiu e él. El recíproco o es cierto. U ució es cotiu e u puto si, o lo que es lo mismo, si: Vmos demostrr que esto se cumple:

3 el blo de mte de id CSII: derivds Pá. - ` FUNCIÓN ERIVAA. ERIVAAS SUCESIVAS Hemos visto como clculr l derivd de u ució e u puto =. Pero si or queremos clculr l derivd de e dos o más putos, tedremos que repetir los cálculos pr cd uo de ellos. L orm de evitr l repetició de los cálculos es determir l ució derivd de pr u puto eérico y después prticulrizr e los putos desedos. L ució derivd de u ució dd o simplemete derivd es u ució que soci cd, dode l ució es derivble, su derivd. L ució derivd de y= se desi por y = o y viee dd por: ' Clculemos l ució derivd de l ució deiició de derivd: ' Por ejemplo, e =: ==.. Pr ello sustituimos por e l ' Vmos clculr l ució derivd de l ució : ' Coocid l ució derivd ', podemos clculr l derivd de e culquier puto. Por ejemplo: ' o '. erivds sucesivs: A prtir de l ució derivd primer se puede deiir tmbié, si eiste, su derivd, y recibe el ombre de derivd seud. Se desi por y = o. Aálomete se deie ls ucioes derivds tercer, curt,, -ésim, que se desi por,,, o,,,.

4 el blo de mte de id CSII: derivds Pá. REGLAS PARA EL CÁLCULO E ERIVAAS Pr clculr ls derivds de opercioes co ucioes se puede cer de orm rápid si se siue ls siuietes rels de derivció. Ests rels está bsds e l deiició de derivd y e ls propieddes de los límites relciods co ls opercioes co ucioes. erivd de u ució costte k erivd de erivd de u ució poteci, siedo u úmero culquier / / / / erivd del producto de u úmero por u ució ' k k erivd de l sum de ucioes, + : [+]= + Ejemplo: erivd del producto de dos ucioes []='+' Ejemplo: erivd del cociete de dos ucioes ` ` Ejemplo: erivd de u ució compuest. Rel de l cde: ' '

5 el blo de mte de id CSII: derivds Pá erivd de ls ucioes epoeciles [e ]=e [ ]=l e e 7 7 l7 7 7 e e l 7 erivd de ls ucioes lorítmics [l]= lo l l 7 7 lo l l l l l l erivd de ls ucioes trioométrics Seo [se]=cos Coseo [cos]=-se [se]=cos cos se TABLA E ERIVAAS SUMA E OS FUNCIONES [+] = [] + [] PROUCTO E UN NÚMERO [k] = k []; kr REAL POR UNA FUNCIÓN PROUCTO E OS FUNCIONES [] = [] + [] FUNCIÓN COMPUESTA []= FUNCIÓN CONSTANTE [k]=, kr FUNCIÓN IENTIA []= FUNCIÓN POTENCIAL COCIENTE E OS FUNCIONES ' FUNCIÓN EXPONENCIAL e e e e ' l l ' FUNCIÓN LOGARÍTMICA l l ' ' l ' lo lo FUNCIÓN SENO [se]=cos [se]=cos FUNCIÓN COSENO [cos]=-se [cos]=-se l

6 el blo de mte de id CSII: derivds Pá. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si tommos u ució que es derivble e =, y cosidermos los putos P=, y Q=+,+, l rect que ps por estos dos putos es secte l ráic de, y l ts de vrició medi, TVM, es su pediete. Al clculr l derivd de l ució e el puto, esto es,, se tom el límite de TVM cudo tiede cero. Pero si se ce cd vez más pequeño, el puto + se proim l puto y el puto + l puto, es decir, el puto Q tiede l puto P, y l rect secte l ráic de l ució, que ps por los putos P y Q, tiede l rect tete l ráic de e el puto P. Así pues, si queremos llr l ecució de l rect tete l ráic de y= e =, dispoemos de los siuietes dtos: - El puto de teci es,. - L pediete de l rect es m=. A prtir de estos dtos se obtiee que: L ecució de l rect tete l ráic y= e el puto = es: y-=`- FUNCIONES NO ERIVABLES Hemos visto que eiste ucioes que o so derivbles e todo su domiio. Si u ució o es cotiu e u puto, tmpoco será derivble. Pero puede que l ució se cotiu e u puto y o se derivble. Eiste ucioes e cuy ráic se puede observr los llmdos putos ulosos y costituye, juto co los putos de discotiuidd, los putos e que l ució o es derivble.