UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

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1 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD.- INTRODUCCIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES APLICACIONES DE LAS DERIVADAS CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L HÔPITAL MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES OPTIMIZACION ACTIVIDADES SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES INTRODUCCIÓN. El concepto de derivada, íntimamente asociado al de límite, que ya estudiamos en la unidad anterior, constituyen, junto al de integral, los dos pilares fundamentales del Cálculo Infinitesimal, parte de las Matemáticas de suma importancia en nuestro mundo actual. Fue Fermat (60-665), adelantándose a Newton y Leibnitz, el primer matemático que formuló la idea de derivada en sus estudios de máimos y mínimos. Años después, Newton también llegó a la idea de derivada en sus investigaciones sobre velocidad. Por otra parte, Leibnitz también progresó en la definición de derivada y fue quien designó la derivada en la forma: d/dt, refiriéndose a cantidades infinitesimalmente pequeñas. Ya en el siglo XIX, los matemáticos de la época dieron rigor y precisión al concepto de derivada, conservándose prácticamente hasta nuestros días y siendo, junto con las integrales una de las herramientas más eficaces para múltiples campos de la ciencia como la Física, la Química o toda la Ingeniería. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

2 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Definición : Sea f una función definida en un intervalo a, b Dom f. Se llama tasa de variación media de [ ] f en dicho intervalo al cociente: TVM[ ] ( f ) a, b f ( a) f b b a Nota : Obsérvese que la tasa de variación media de una función en un intervalo coincide con la pendiente (recordemos que la pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje de abscisas) de la recta secante a la gráfica en los puntos correspondientes, es decir: f ( b) f ( a) m tgα TVM [ a, b] ( f ) b a Definición : Sea f una función definida en un entorno de un punto a de su dominio. f f ( a) Decimos que f es derivable en dicho punto si eiste y es finito: Lím. En tal a a caso, a este límite se le llama tasa de variación instantánea o derivada de la función en el f f ( a) f f ( a) punto. Se escribe: f '( a) Lím. Al cociente se le llama cociente a a a incremental. Nota : Sin más que hacer el cambio de variable h a, podemos obtener una definición equivalente y que fue la primera que apareció históricamente: f f ( a) f ( a + h) f ( a) f '( a) Lím Lím. Ambas definiciones son válidas y dependerá a a h 0 h del caso la idoneidad de emplear una u otra. Definición : Sea f una función definida en un entorno por la izquierda de un punto a de su dominio. Decimos que f es derivable por la izquierda en dicho punto si eiste y es f f ( a) finito: Lím. En tal caso, a este límite se le llama derivada por la izquierda de a a ' f f ( a) la función en el punto. Se escribe: f ( a) Lím a a Definición 4: Sea f una función definida en un entorno por la derecha de un punto a de su dominio. Decimos que f es derivable por la derecha en dicho punto si eiste y es f f ( a) finito: Lím. En tal caso, a este límite se le llama derivada por la derecha de la + a a ' f f ( a) función en el punto. Se escribe: f+ ( a) Lím+ a a Nota : Es evidente que una función es derivable en un punto cuando eisten sus derivadas laterales y coinciden. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

3 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Definición 5: Se dice que una función es derivable en un intervalo cuando lo es en todos sus puntos, entendiendo derivadas laterales en los etremos cerrados del intervalo si es que el intervalo es cerrado. Ejemplo : Sea a) f +. Veamos si es derivable en algunos puntos: ( ) + + ( )( ) f f Lím Lím Lím f '( ) b) ( 0 + ) ( 0) h h + ( ) f h f h h Lím Lím Lím f '( 0) h 0 h h 0 h h 0 h si. Veamos si es derivable en + si > ' h h( ) ( + ) h ( ) Lím Lím Lím ' h h( ) + ( + )( ) h+ ( ) Lím Lím Lím Ejemplo : Sea: h Así pues f no es derivable en.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Analicemos desde un punto de vista gráfico la definición de derivada de una función en un punto: Parece claro que, a medida que se acerca al punto a, las rectas secantes se acercan a la recta tangente en el punto a. Es además evidente, que las distintas tasas de variación media, correspondientes a los sucesivos cocientes incrementales, tienden, en caso de eistir, a la derivada. Podemos establecer, por tanto la siguiente interpretación geométrica de la derivada: Nota 4: (Interpretación geométrica de la derivada). Si una función f es derivable en un punto a, entonces, la derivada de f en a coincide con la pendiente de la recta a, f a. Así pues, las rectas tangente y tangente a la curva y f ( ) normal tienen por ecuaciones: a en el punto t : y f a f ' a a Recta tangente n : y f ( a) a Recta normal f ' Esta nota es una de las propiedades más importantes para entender bien todas las aplicaciones de las derivadas, por lo que debemos tomarnos su comprensión e interpretación en distintos contetos como uno de los objetivos esenciales de la unidad. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

4 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. Proposición : Si f es derivable en el punto a, entonces es continua en a. Nota 5: Como consecuencia de la proposición anterior, si una función no es continua en un punto, entonces, no puede ser derivable en dicho punto. Nota 6: El recíproco de la proposición no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porqué ser derivable. Definición 6: Se dice que una función f tiene un punto anguloso en a si f es continua en a y no derivable, siendo derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto, es decir, si es continua y eisten las derivadas laterales pero no coinciden. Gráficamente, un punto anguloso es aquel en el que las tangentes saltan de la izquierda a la derecha del punto. Por el contrario, las funciones derivables son redondeadas y sus tangentes no dan saltos. Ejemplo : Si recordamos los ejemplos y, cuyas epresiones eran: si f ( ) + y h + si > La primera es redondeada y no tiene picos, la segunda presenta picos (puntos angulosos) en los puntos en los que no eran derivables. Este hecho es bastante frecuente en funciones con valores absolutos y en funcione definidas a trozos. Además de esto, con estos ejemplos podemos comprobar que la continuidad no implica la derivabilidad ya que se trata de tres funciones continuas en todo su dominio. 5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Definición 7: Sea f : D R una función derivable en un dominio D' D. Se llama f ' : D ' R función derivada primera de f a la función. De manera análoga se define la f ' función derivada segunda de f en un dominio D '' D ', como la derivada de la derivada, f '' f ' ', la derivada tercera como la derivada de la segunda, etc. es decir Nota 7: Es importante observar que, mientras que la derivada de una función en un punto es un número, la función derivada, como su propio nombre indica, es una función, precisamente la que a cada punto asocia la derivada puntual. Ejemplo 4: Hallemos la función derivada de la función f ( ). Sea a R cualquiera. f f ( a) a ( a)( + a) f '( a) Lím Lím Lím a. Así pues, podemos concluir a a a a a a que la función es derivable en todo su dominio, siendo f ' Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 4

5 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA Proposición : (Álgebra de derivadas). Sean f y g dos funciones derivables en entonces: a) f ± g es derivable en a f ± g ' a f ' a ± g ' a b) k f es derivable en c) f g es derivable en a d) Si g ( a) 0, f g a, y se cumple: a y se cumple: ( k f )'( a) k f '( a) k R y se cumple: ( f g )'( a) f '( a) g ( a) + f ( a) g '( a) y se cumple: f '( a) g ( a) f ( a) g '( a) f / g ' a [ g ( a) ] es derivable en a Proposición : (Regla de la cadena). Sea g una función derivable en función derivable en g ( a) ( f g) '( a) f ' g ( a) g ' a, entonces f g es derivable en 7.- DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES. a y f una a y se cumple que: Veamos en este punto las derivadas de las funciones elementales que estudiaremos (ª tabla) y una tabla resumen de las reglas de derivación vistas en el punto anterior (ª tabla), que nos evitarán el largo procedimiento del cálculo de la derivada con definición. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Simple Compuesta Función Derivada Función Derivada y k y ' 0 y y y y y y n y ' y ' n y ' y ' e y ' n n y f n n y ' nf f ' y f y f ( ) n y n f ( ) n n e a ' ln y ln y log a y a a y ' y ' y lnf ( ) lna y f ( ) y y ' f y ' f f ' y ' f ( ) f ' y ' n n f f ( ) e ' ' y f e f ( ) a log a f n f y ' f ' a lna '( ) f y ' f f '( ) ln y ' f a Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 5

6 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES OPERACIONES CON DERIVADAS Suma/Resta ( f ± g )'( ) f '( ) ± g '( ) Producto por escalar ( k f )'( ) k f '( ) Producto ( f g )'( ) f '( ) g ( ) + f ( ) g '( ) Cociente f ' g f g ' ( f / g )' g Composición (Regla de la cadena) ( ) f g ' f ' g g ' Nota 8: Además de las derivadas de funciones elementales y de las reglas de derivación, es bastante importante que tengamos en cuenta algunas de las propiedades de los logaritmos que pasamos a recordar a continuación, ya que, al transformar productos y divisiones en sumas y restas, además de potencias en productos, facilitan bastante el cálculo de derivadas logarítmicas aplicando las propiedades antes de derivar. Pasamos a recordarlas: a) b) log y log + log y a a a log / y log log y a a a y c) log y log a a Vamos a dedicar en este punto un tiempo a resolver algunas situaciones que requerían el cálculo de derivada y que hemos pospuesto hasta disponer de la tabla de derivadas. Nota 9: (Estudio de la derivabilidad) Lo primero que podemos observar, a la vista de la tabla, es que la mayoría de las funciones elementales no son sólo continuas y derivables, sino que sus derivadas son también continuas (y en la mayoría de los casos nuevamente derivables). Esto nos permite estudiar la derivabilidad derivando las funciones y tomando límites y hallar derivadas puntuales derivando y sustituyendo. Esto simplifica bastante el estudio de la derivación. Veamos un ejemplo ya hecho utilizando este método: Ejemplo 5: Si tomamos la misma función del ejemplo : si si < h( ) h' ( ) + si > si > f ' f ' + ( ) Así pues, se concluye que no es derivable en, ya que tiene un punto anguloso. Obsérvese también que al derivar una función a trozos, las desigualdades pasan a ser estrictas momentáneamente hasta que no tengamos seguridad de la derivabilidad de la misma en el punto en cuestión. Ejemplo 6: Hallemos las recta tangente y normal a la curva y 5 + en. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 6

7 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Lo primero que hacemos es llamarla f 5 + para sustituir en valores numéricos con rigor. Recordemos que las fórmulas de la tangente y la normal, para este t : y f ( ) f '( )( ) Recta tangente caso serían: n : y f ( ) ( ) Recta normal f ' f y f ', para lo cual, derivamos la función: Así pues, necesitamos hallar f ' 5. Así pues: Proponemos las actividades, y. f ( ) 7 t : y 7 t : y + 0 simplificando 0 f '( ) n : y 7 ( ) n : y + Ejemplo 7: Vamos a mostrar ahora varios ejemplos de cómo se usa la tabla de derivadas y las reglas de derivación: a) y + 6 y ' 4 b) y + + y ' y ln y ' ln + ln + ln d) y y ' 6 6 e e e e ( ) e ( ) e) y y ' 4 4 / / f) y 4 y ' ln 4 4 g) y ln( + ) y ' + c) Se propone la actividad APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 8..- Cálculo de límites: Reglas de L Hôpital. Proposición 4: (Regla de L Hôpital): Sean y g( ) f entorno reducido de a tales que Lím a g f ' f Si eiste Lím, entonces también eiste Lím a g' a g resultado también es válido para límites en el infinito. f funciones derivables en un presenta la indeterminación 0 0 o bien y coincide con el anterior. El. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 7

8 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES En la práctica, esto supone que en la mayoría de las situaciones en las que se nos presenten indeterminaciones de tipo cociente, podemos derivar numerador y denominador y ver si el límite resultante eiste, ya que, en tal caso, coincidirá con el anterior. Ejemplo 8: Resolvamos los siguientes límites: L' H ln a) Lím Lím Lím b) [ ] L ' H ln Lím ln 0 Lím Lím Lím Se propone la actividad Monotonía y etremos relativos. Definición 8: Sea f una función definida en un intervalo Sea f una función definida en un intervalo (, ) creciente en el intervalo ( a, b ) dice que f es creciente en el intervalo, a, b / < f f entorno Definición 0: Sea f una función definida en un intervalo Sea f una función definida en un intervalo (, ) decreciente en el intervalo (, ) Se dice que f es decreciente en el intervalo, a, b / < f f entorno Definición : Cuando las desigualdades de las definiciones anteriores son estrictas, hablamos de función estrictamente creciente o decreciente. a) Si b) Si f ' a > 0 f es creciente en a f ' a < 0 f es decreciente en a Nota 0: En general, el recíproco de la proposición anterior, no es cierto, es decir, no todas las funciones derivables en un punto y crecientes (o decrecientes) en el punto tienen porqué tener derivada positiva (o negativa). Lo único que podemos asegurar es que si una función es derivable y creciente (decreciente), entonces f ' ( a) 0 f '( a) 0 Veamos un contraejemplo: a b. Se Definición 9: Se dice que una función f es creciente en un punto a si eiste un a ε, a + ε de dicho punto en el que f es creciente. si a b. a b si Definición : Se dice que una función f es decreciente en un punto a si eiste un a ε, a + ε de dicho punto en el que f es decreciente. Proposición 5: (Monotonía): Sea f una función derivable en un punto a. Entonces: Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 8

9 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Ejemplo 9: Consideremos la función en su gráfica, se trata de una función creciente en todo su dominio y, en particular en 0. Sin embargo, es evidente que su derivada no f ' 0 0 es positiva ya que Nota : Análogamente se obtiene un resultado para intervalos: a) b) Consideremos la función Si f ' > 0 a, b f es creciente en el intervalo a, b Si f ' < 0 a, b f es decreciente en el intervalo a, b A partir de esta proposición, el estudio de la monotonía de una función derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su función derivada en dicho dominio. Este método, que durante el curso pasado no lo podíamos llevar a cabo, será una potente herramienta a la hora de conocer las características gráficas de una función dada algebraicamente. Veamos un ejemplo: Ejemplo 0: Estudiemos la monotonía de la función fácil 0 f ' 6 f ' Estudiando el signo de la derivada con las raíces calculadas: f es creciente en (,0) (, + ) Así pues, podemos concluir que: f es decreciente en 0, Observemos lo visto desde un punto de vista gráfico: Es evidente que la monotonía en la gráfica se corresponde con los visto estudiando el signo de la derivada. Una interpretación de esto bastante interesante para la comprensión de este apartado es observar lo que ocurre con las pendientes de las tangentes a la gráfica en los distintos intervalos. Se puede observar que en los intervalos en los que la función es creciente, las rectas tangentes también lo son y en los que la función es decreciente, las rectas tangentes son decrecientes también. Esto era de esperar, ya que, según vimos en la interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la recta tangente en un punto coincidía con la derivada en dicho punto. Definición : Se dice que una función f alcanza un máimo relativo a, f a si eiste un entorno a ε, a + ε del punto a en un punto si eiste un entorno tal que f ( ) < f ( a ) ( a ε, a + ε ) { a } Definición 4: Se dice que una función f alcanza un mínimo relativo a, f a si eiste un entorno a ε, a + ε del punto a f en un punto si eiste un entorno tal que f ( ) > f ( a) ( a ε, a + ε ) { a}.. Como podemos ver Estudiemos la monotonía de la función f definida en R : Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 9

10 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Proposición 6: (Condición necesaria de etremo relativo): Sea f una función derivable en un punto a. Si f tiene en dicho punto un etremo relativo, entonces f ' a 0. Nota : La condición anterior no es suficiente, es decir, puede darse que una función con derivada nula en un punto no tenga etremo relativo en dicho punto. Como contraejemplo nos sirve el ejemplo. Proposición 7: (Criterio de la derivada segunda): Sea f una función dos veces derivable en a, siendo f ' ( a) 0 y f ''( a) 0. Entonces: f '' a > 0 f presenta en a, f a un mínimo relativo. a) Si b) Si f '' a < 0 f presenta en a, f a un máimo relativo. Nota : En la situación de la proposición anterior, si primera derivada no nula en signo de dicha derivada. Ejemplo : Con la función del ejemplo, es evidente que los candidatos a etremos relativos se obtienen en la forma: fácil 0 f ' 6 f ' f ''( 0) 6 < 0 Máimo relativo en ( 0,0 ) f '' 6 6 f '' 6 > 0 Mínimo relativo en (, 4 ) Otra forma de establecer si un etremo es máimo o mínimo relativo es estudiar su monotonía a la izquierda y derecha del punto en cuestión. Nota 4: Al igual que la monotonía, se puede observar la estrecha relación entre el estudio analítico y el gráfico ya que, como se puede observar, las rectas tangentes en puntos en los que la función es derivable son horizontales, es decir, de pendiente nula, cosa que no es de etrañar puesto que la pendiente es la derivada, como ya hemos visto en numerosas ocasiones. Nota 5: Hay que tener en cuenta que hay puntos en los que una función no es derivable. Así que si queremos ver si un punto singular es o no un etremo, hemos de actuar de forma distinta (sin usar la derivada). Lo más habitual es evaluar la función en puntos genéricos de la forma a ε y a + ε y ver lo que ocurre con sus imágenes. Se proponen las actividades 6, 7 y Curvatura y puntos de infleión. Definición 5: Se dice que una función f es convea en un a, f a si eiste un entorno del punto a ε, a + ε en el punto. Si f tiene en dicho punto un etremo relativo, entonces ( ) En la situación de la proposición anterior, si que la recta tangente a la curva está situada por debajo de la gráfica de la función. f ' a 0 y f '' a 0 pero la a es de orden par, el criterio sigue siendo válido con el si eiste un entorno del punto Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 0

11 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Definición 6: Se dice que una función f es cóncava en un a, f a si eiste un entorno del punto a ε, a + ε en el punto que la recta tangente a la curva está situada por encima de la gráfica de la función. Definición 7: Diremos que una función es convea en un intervalo todos sus puntos. Definición 8: Diremos que una función es cóncava en un intervalo todos sus puntos. a) a) Si f '' a > 0 f es convea en a Si f '' a < 0 f es cóncava en a Nota 6: En general, el recíproco de la proposición anterior, no es cierto, es decir, no todas las funciones dos veces derivables en un punto y conveas (o cóncavas) en el punto tienen porqué tener derivada segunda positiva (o negativa). Lo único que podemos asegurar ar es que si una función es dos veces derivable y convea f '' a 0 f '' a 0 (cóncava), entonces Veamos un contraejemplo: Ejemplo : Consideremos la función trata de una función convea en todo su dominio y, en particular en es evidente que su derivada segunda no es positiva ya que f '' 0 0 Nota 7: Análogamente se obtiene un resultado para intervalos: a) b) Si f '' > 0 a, b f es convea en el intervalo a, b Si f '' < 0 a, b f es cóncava en el intervalo a, b A partir de esta proposición, el estudio de la curvatura de una función dos veces derivable en un dominio se puede realizar estudiando e el signo de su derivada segunda en dicho dominio. Veamos un ejemplo: Ejemplo : Estudiemos la curvatura si eiste un entorno del punto ( ) Consideremos la función 4 f es evidente que su derivada segunda no es positiva ya que f ' + 9 f '' Viendo el signo de la derivada ª con las raíces calculadas: f es convea en, + Así pues, podemos concluir que: f es cóncava en (,). Como podemos ver en su gráfica, se Estudiemos la curvatura de la función convea en un intervalo (, ) cóncava en un intervalo (, ) f definida en R : fácil a b si lo es en a b si lo es en Proposición 8: (Curvatura) Sea f una función dos veces derivable en a. Entonces: 0. Sin embargo, Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

12 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Si observamos la gráfica, vemos que, efectivamente, los intervalos de conveidad corresponden a intervalos en los que las pendientes de las rectas tangentes van creciendo, con lo que las derivadas son crecientes y, por tanto, las derivadas de las derivadas, que son las derivadas segundas, son positivas. Lo contrario ocurre en los intervalos de concavidad. Definición 9: Se dice que una función tienen un punto de a, f a si la función cambia de curvatura en a, es infleión en decir, si pasa de cóncava a convea o de convea a cóncava. Geométricamente, en un punto de infleión, la recta tangente pasa de estar por debajo de la gráfica a estar por encima o viceversa. Proposición 9: (Puntos de infleión) Sea f una función tres veces derivable en a. '' 0 ''' 0, entonces f tiene un punto de infleión en (aa, f a. Si f ( a) y f ( a) Nota 8: En la situación de la proposición anterior, si primera derivada no nula en a es de orden impar, el criterio sigue siendo válido con el signo de dicha derivada. Ejemplo 4: La función del ejemplo 7 tiene un punto de infleión en f ''' 6 0. En la situación de la proposición anterior, si Se proponen las actividades 9 y Representación gráfica de funciones. Nota 9: (Aspectos a tratar para la representación gráfica de funciones) Aunque para representar gráficamente una función no son imprescindibles todas las características que vamos a ver a continuación, en un plano general, debemos tratar: ) Dominio: Para ello, recordamos que hay que tener en cuenta que: f '' a 0 y f ''' a 0 pero la Las funciones racionales no están definidas en las raíces del denominador. Las funciones radicales de índice par solo eisten cuando el radicando es positivo o nulo. El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo. ) Puntos de corte con los ejes y signo: Los puntos de corte y el estudio del signo suelen ser útiles ya que restringen bastante la zona de trazado de la función. Recordamos que los puntos de corte con los ejes se determinan a partir de los siguientes sistemas: ) La función del ejemplo 7 tiene un punto de infleión en, ya que Eje OX: y f y f Eje OY: y 0 0 Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

13 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ) Continuidad: Estudiando la continuidad de la función podemos observar posibles saltos, discontinuidades evitables y enlazar con el estudio de las asíntotas. 4) Asíntotas: Son quizás el aspecto más determinante a la hora de la representación gráfica. Hemos de estudiar, de la forma que vimos en la unidad anterior, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. 5) Simetría: Aunque no es, en absoluto, un aspecto fundamental, puede ayudarnos a entender la gráfica de una forma global y detectar posibles errores. Recordemos que: Si f f f es par Si f ( ) f ( ) f es impar 6) Periodicidad: Es útil en determinadas funciones, casi en su mayoría, trigonométricas ya que permite restringir el estudio a un intervalo concreto. Recordemos que una función f es f + P f Dom f. periódica de período P cuando 7) Monotonía y etremos relativos: Se estudian como hemos visto en el punto 9. del tema, mediante el estudio del signo y las raíces de la derivada primera. 8) Curvatura y puntos de infleión: Se estudian como hemos visto en el punto 9. del tema, mediante el estudio del signo y las raíces de la derivada segunda. Ejemplo 5: Estudiemos y representemos la función f ) Dominio: Es evidente que 0 ± Dom f R {,} ) Puntos de corte con los ejes y signo: y Eje OX: Así pues, el único punto de corte y 0 O 0,0. El signo de la función es: con los ejes es el origen ) Continuidad: Es inmediato ver que f es continua en su dominio con saltos infinitos en los puntos de discontinuidad pero eso lo vemos más claramente en las asíntotas. 4) Asíntotas: Verticales: Lím + 0 Tiene una asíntota vertical en Lím Lím Lím + 0 Tiene una asíntota vertical en Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

14 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Oblicuas m Lím Lím Lím ± ± ± + n Lím Lím Lím Lím Lím ± ± ± ± ± 0 ± Así pues, tiene una asíntota oblicua en y Horizontales No tiene ya que tiene oblicuas en ambos sentidos. 5) Simetría: ( ) ( ) f f ( ) f es impar 6) Periodicidad: Es evidente que no es periódica. 7) Monotonía y etremos relativos: 0 ( ) 4 4 f ' 0 0. Estudiando su ( ) ( ) signo: Luego: f es creciente en (,, + y decreciente en (,,, Es evidente que la función alcanza un máimo relativo en, relativo en, 8) Curvatura y puntos de infleión: ( f '' Para estudiar la curvatura, vemos el signo: Así pues, f es convea en (,0, + infleión en O ( 0,0). ) ) ) y cóncava en ( ) ( ) ) y un mínimo, 0, con un punto de Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 4

15 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES La gráfica queda como sigue: Se propone la actividad Optimización. Definición 0: Sea f una función definida en un dominio D. Decimos que f tiene en el a, f a un máimo absoluto f < f a D. punto Definición : Sea f una función definida en un dominio D. Decimos que f tiene en el a, f a un mínimo absoluto f > f a D. punto máimo absoluto si mínimo absoluto si Nótese que los conceptos de etremos relativos y absolutos son similares pero distintos. Mientras que el etremo relativo se centra en lo que ocurre alrededor del punto en un entorno cerca de él, los etremos absolutos abarcan un dominio mayor. En resumen, los etremos relativos son los mayores (menores) de los valores que toma la función cerca de ellos mientras que los absolutos son los mayores (o menores) de todo el dominio estudiado. En numerosas situaciones físicas, geométricas, económicas, se plantean problemas que consisten en optimizar funciones, es decir, en hallar sus máimos y/o mínimos absolutos en determinados dominios de definición de las mismas. A menudo, la dificultad de ello no radica en optimizar en sí las funciones, sino en encontrar su epresión algebraica. Nota 0: (Optimización de funciones) Optimizar una función consiste en determinar sus máimos y/o mínimos absolutos de dicha función en un dominio concreto. Para ello los pasos recomendados son los siguientes: Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 5

16 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES º) Comprender bien el enunciado del problema y etraer la información necesaria para escribir la epresión algebraica de la función a optimizar y su dominio. Es bastante frecuente que la función de una variable pueda epresarse a partir de una función de dos variables y de unas restricciones, también llamadas ligaduras. º) Determinar los etremos relativos a los que se refiera el problema (máimos y/o mínimos) aplicando lo visto en la proposición 7. º) Determinar otros puntos evaluables, es decir, aquellos puntos que pudieran ser, en principio, etremos absolutos, pero que no sean etremos relativos. Estos serán los puntos aislados, puntos de discontinuidad, puntos angulosos y etremos de intervalos cerrados. 4º) Evaluar todos los candidatos etraídos del º y º paso en la función. Además hemos de ver la tendencia de la función en puntos de discontinuidad y en el infinito para ver posibles ausencias de etremos. Ejemplo 6: Hallemos dos números positivos cuya suma sea 0 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. f (, y ) y º) Sean e y los números. El problema de optimización es: Má. Ligadura: + y 0 Si despejamos y de la ligadura y sustituimos en la función, nos queda la función de una f ( 0 ) + 0 variable: Má, ya que se trata de dos números positivos. Dom f ( 0,0) º) Es claro que la función es continua y derivable en todo su dominio, por ser polinómica. 0 Domf Hallamos sus máimos relativos: f ' f '' f '' 0 60 < 0. Así pues, se trata de un máimo relativo. º) No hay puntos singulares. 4º) Hemos de evaluar en 0 y ver la tendencia de la función en los etremos abiertos: f Máimo absoluto Límf Lím f 0 0 Así pues, el máimo absoluto se alcanza para 0 Por tanto, los números buscados son el 0 y al 0, siendo el producto máimo Ejemplo 7: Se quiere fabricar una caja de volumen máimo que sea el doble de larga que de ancha y que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. Calculemos las medidas que debe tener la caja y su volumen máimo: º) Llamemos, y, z al ancho, largo y alto respectivamente, tal y como se representa en el dibujo adjunto. Es evidente que el Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 6

17 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES (, ) V y y z problema de optimización es: Má y. Si despejamos y, z de las Ligaduras: + y + z ligaduras y sustituimos en la función, nos queda la función de una variable: V ( ) 6 + Má, ya que se trata de longitudes positivas. DomV 0, º) Es claro que la función es continua y derivable en todo su dominio, por ser polinómica. 0 DomV Hallamos sus máimos relativos: V ' / 9 V '' V '' / 9 4 < 0. Así pues, se trata de un máimo relativo. º) No hay puntos singulares. 4º) Hemos de evaluar en / 9 y ver la tendencia de la función en los etremos abiertos: V / 9 8 / 4 Máimo abs. LímV Lím V 0 / Así pues, el máimo absoluto se alcanza en / 9 Por tanto, las medidas de la caja son 4/9 de largo, /9 de ancho y / de alto, siendo el volumen máimo 8/4. Proponemos las actividades y. 9.- ACTIVIDADES ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Actividad : Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: a) f si < 4 si g b) Actividad : Determina los valores de los parámetros a y b para que sea derivable en + si 0 todo su dominio la función: f + a + b si > 0 Actividad : Dada la función: f si si > Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 7

18 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de f. b) Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa. Actividad 4: Deriva las siguientes funciones: a) y b) 4 d) y ( e ) + e) g) y ln ( ) y + c) y f) y ln( + 7) y e e h) y log ( ) + + k) y ln e y ln n) y ln e j) y ln( e ) m) Actividad 5: Halla el valor de los siguientes límites: + i) y ln l) y ln( 4 ) e a) Lím + e + b) Lím 0 c) + + Lím + Actividad 6: Estudia la monotonía de las siguientes funciones: a) f ( ) 4 b) g ( ) + 5 c) h + Actividad 7: Halla los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) b) g + 5 c) h + + Actividad 8: Halla b y c para que la curva punto ( 0,4 ). y + b + c tenga un máimo relativo en el Actividad 9: Estudia la curvatura y los puntos de infleión de las siguientes funciones: 4 a) f ( ) 9 b) g ( ) + 8 c) h ( ) e Actividad 0: Halla la ecuación de la recta tangente a la curva punto de infleión. y 4 0 en su Actividad : Estudia y representa las siguientes funciones: a) e y e b) y Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 8

19 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad : Teniendo terreno suficiente, se desea vallar una parcela rectangular que limita con un río que pasa por uno de los lados del terreno. La valla del lado opuesto al río cuesta el metro y la de los otros dos lados a el metro. Cuál es la superficie máima que podemos vallar si disponemos de 400? Actividad : Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón rectangular de 8050 cm cuatro cuadrados y doblando convenientemente, se construye una caja. Calcula la longitud del lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja obtenida sea máimo. ACTIVIDADES DE DESARROLLO Actividad 4: Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f d) p 5 e + b) g 4 L e) q ( + ) c) ( L h + f) 4 5 r e Actividad 5: Las siguientes gráficas corresponden a las funciones derivadas de las funciones f, g, h y j. a) Cuál de las siguientes funciones tiene puntos de tangente horizontal? b) Cuál de estas gráficas es la función derivada de una polinómica de primer grado? c) Cuál de estas gráficas corresponde a la función derivada de una polinómica de segundo grado? Actividad 6: Cuál de los siguientes apartados representa la gráfica de una función f y la de su derivada f? Justifica tu respuesta a) b) c) Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 9

20 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad 7: Cuál de las siguientes gráficas pueden ser posibles? Justifica la respuesta. a) b) c) d) Actividad 8: Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las gráficas de las siguientes funciones en los puntos indicados: a) f + 6 en Actividad 9: Halla un punto de la curva perpendicular a la recta + 5 y. g + en b) y 7 + en el que la tangente sea Actividad 0: Halla el valor que deben tomar a y b para que la función: f a + + ln + si 0 + be si < 0 sea continua y derivable en 0 Actividad : Se sabe que la función a + b si < 0 f es derivable en el intervalo (0,5 ) y verifica que c + si 5 f 0 f 5. Cuánto valen a, b y c? Actividad : Sea Se sabe que la función f : [ 0,5] f e a) Calcula los límites en el infinito. b) Determina los intervalos de monotonía y los etremos locales de la función. R dada por Actividad : Indica cuál es el triángulo de área máima de entre todos los isósceles de perímetro 0 cm. Actividad 4: Una hoja de papel debe contener 8 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm. cada uno y los laterales cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Actividad 5: Se desea construir una lata de conservas de forma cilíndrica de área total 50 cm y volumen máimo. mo. Halla el radio de la base y la altura de la lata. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 0

21 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad 6: Halla a y b para que la función puntos y. f aln + b + tenga etremos en los Actividad 7: Determina los valores de a y b que hacen que la función tenga un punto de infleión para 0. Actividad 8: Estudia y representa las siguientes funciones: f a e + b 9 a) y b) y ln c) y + e ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD Actividad 9: (0) Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen t dados, en millones de euros, por la función: B ( t ) t + 9 t, 0 t 8, donde la 4 variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación. a) Estudia la monotonía y los etremos de B ( t ). b) Dibuja la gráfica de B ( t ) en el intervalo [ ] los beneficios de esta empresa en sus 8 años de eistencia. 0,8 y eplica, a partir de ella, la evolución de Actividad 0: (0) Sea f ( ) una función cuya función derivada, f ' gráfica una parábola que corta al eje OX en los puntos (,0 ) y ( 5,0) (, 4)., tiene por y con vértice a) Estudia razonadamente la monotonía de f ( ). b) Determina las abscisas de los etremos relativos de la función f ( ). c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( ) en el punto de abscisa, sabiendo que f 5. Actividad : (0) Estudia la derivabilidad de la función: Actividad : (0) Sea la función: f si 6 6 si > e si 0 f si 0 < si > a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función. b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( ) en el punto de abscisa 0. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

22 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad : (0) En una empresa, el número de montajes diarios realizados por un t + 7 trabajador depende de los días trabajados según la función M ( t ), t, donde t + t es el número de días trabajados. a) Cuántos montajes realiza el primer día? Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) Qué ocurrirá con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifica si es cierta dicha creencia. d) Dibuja la gráfica de la función. Actividad 4: (0) Sea la función: f b + si + a si > a) Determina los valores de a y b parra que dicha función sea continua en y, además, tenga un mínimo en. b) Para a y b 6, determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa. Actividad 5: (0) a + si a) Sea la función: f. Determina los valores de a y b, para que b 4 si > la función f sea derivable en. + b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g en el punto de abscisa 0. Actividad 6: (0) De la función f se sabe que su función derivada es f ' a) Estudia la monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica pasa por el punto tangente en dicho punto. Actividad 7: (0) a) Dada la función,, calcula la ecuación de la recta f + a + b, determina los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, ) y alcanza un etremo en. b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la función abscisa. g +, en el punto de Actividad 8: (0) a a) Para la función f definida de la forma: f, determina, razonadamente, los + b valores de a y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación y como asíntota horizontal la de ecuación y. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

23 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES b) Para la función g, definida de la forma g ( ) +, determina: su dominio, sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus etremos relativos. Con estos datos, haz un esbozo de su gráfica. a si Actividad 9: (0) Sea la función: f b si > a) Calcula a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en. b) Representa gráficamente la función para a.5 y b 0.5. Actividad 40: (0) Se considera la función f a) Determina la monotonía y curvatura de la función. b) Calcula sus asíntotas. c) Represéntala gráficamente. + Actividad 4: (0) Sea P ( t ) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: t si 0 t 5 P ( t ) 00t 50 si t > 5 t + 5 a) Estudia la continuidad de la función P. b) Estudia la derivabilidad de P en t 5. c) Estudia la monotonía de dicha función e interpreta la evolución del porcentaje de células afectadas. d) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? Actividad 4: (0) Sean dos funciones, f y g, tales que las epresiones de sus f ' + y g '. funciones derivadas son, respectivamente, a) Estudia la monotonía de las funciones f y g. b) De las dos funciones f y g, indica, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula. c) Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? Actividad 4: (0) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f e ln( 5) b) g h ln c) 6 Actividad 44: (0) Determina los valores que han de tomar a y b para que la función: f + a si < 7 4 b si sea derivable en R. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página

24 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad 45: (0) a) Calcula la función derivada de f e ( + ) b) Se sabe que la epresión que representa el número medio de clientes N ( t ) que acuden un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan N t at + bt,0 t 8, a, b R. abiertos, es Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha sido de 60 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. Actividad 46: (0) Las funciones I t t + t y G t t t + con t representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 8 años. a) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) Determina la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntala gráficamente. c) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máimos? Calcula el valor de ese beneficio. Actividad 47: (0) Sea la función + 4 si < 4 f si < si 4 a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de f. b) Determina los etremos locales de f. c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa. Actividad 48: (0) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: + 5 ( ) ( ; ln 4 ) ; f g + e + h Actividad 49: (0) Se considera la función dada por: f a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. b) Halla las ecuaciones de las asíntotas de esta función. Actividad 50: (0) Sea la función f a si si > si 0 + si > 0 + si + < Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 4

25 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES a) Calcula el valor de a para que f sea continua en. b) Para a, estudia la continuidad y derivabilidad de f. Actividad 5: (0) El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B ( t ) representada a continuación: B t t t + 5 si 0 t 6 8, donde t es el tiempo transcurrido en meses. t + si 6 t < a) Estudia la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses. b) Cuándo fue mínimo el beneficio? Cuál fue dicho beneficio? c) Representa gráficamente la función B ( t ). Cuándo fue máimo el beneficio? A cuánto ascendió? Actividad 5: (0) a) La gráfica de la función derivada, f ' de una función f es una parábola que corta al eje,0 y,0, 4. OX en los puntos ( ), y tiene su vértice en Estudia, a partir de ella, la monotonía de la función f e indica la abscisa de cada etremo relativo. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( ) e en el punto de abscisa 0. Actividad 5: (0) a) Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la función: 4 f +. b) Halla los intervalos de monotonía, los etremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de infleión de la función g ( ) + +. Actividad 54: (0) Sea la función: f + si 4 a 4 si > a) Halla el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor. b) Para a, eiste alguna asíntota vertical de esa función? Y horizontal? Razona las respuestas y calcula, en caso afirmativo, dichas asíntotas. f. Calcula: Actividad 55: (00) Sea a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Las coordenadas de sus etremos relativos. c) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 5

26 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad 56: (00) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f e { } b) g + ln ( ) Actividad 57: (00) Sea la función f h + c) 5 si + si > a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función. b) Represéntala gráficamente. Actividad 58: (00) Sean las funciones: ; h f si si 0 + si 0 < + si 0 < a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función f en 0. b) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función h en 0. c) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (sin picos) de un túnel, indica, razonadamente la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel. Actividad 59: (00) Sea la función definida por: si < 4 4 si > 4 f si a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa. Actividad 60: (00) Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. El volumen de agua, en m, que hay en cada momento en el depósito, desde t que empieza a vaciarse, viene dado por la función: V ( t ) 8 t +, donde t es el tiempo en minutos. a) Cuál es la capacidad del depósito? b) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? V t. c) Representa gráficamente la función d) Calcula la derivada de esa función en t 8 e interpreta su significado. Actividad 6: (00) Sea la función: f + a + b a) Determina los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, ) y alcanza un etremo local en el punto de abscisa. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 6

27 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES b) Tomando a 8 y b 0 deduce la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula. Actividad 6: (00) a) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 5 f g + ; ( + ) ln( + ) b) Halla las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de h +. Actividad 6: (00) Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La epresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N ( t ) 4t t. a) A qué hora el número medio de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo? b) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes. a qué hora cerrará? c) Representa gráficamente N ( t ) 4t t, con N ( t ) 0. Actividad 64: (009) Sea la función: f + si < + 0 si 0 a) Analiza la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio. b) Determina la asíntota horizontal, si la tiene. c) Determina la asíntota vertical, si la tiene. Actividad 65: (009) Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C t 0,t + 4t + 5, 0 t 5 (t años transcurridos desde el año 000) a) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación? b) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? c) Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función Interpreta el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. Actividad 66: (009) C t en t 8. a) Halla las funciones derivadas de las funciones definidas por las siguientes epresiones: ln( ) f ( ) ; g ; h e + b) Determina el dominio y las asíntotas de la función: m 4 Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 7

28 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad 67: (009) a) Sea la función: f si 0 si > 0 + b) Se consideran las funciones: g ( ), h derivadas. f Actividad 68: (009) Sea la función:. Estudia su continuidad y su derivabilidad. +. Halla sus funciones si si > a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función f. b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función f y el punto de abscisa. Actividad 69: (009) Sea la función: f ( ). a) Calcula los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y etremos relativos, si los tuviese. b) Determina su curvatura y punto de infleión. c) Halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente. Actividad 70: (009) Sea la función real de variable real: f a) Representa gráficamente la función. b) Estudia la continuidad de la función. c) Estudia la derivabilidad de la función. Actividad 7: (009) Sea la función f + si < si a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto ( 0, ). b) Estudia la monotonía de f. c) Halla las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y representa gráficamente la función. Actividad 7: (009) Sea la función: f : f R R definida mediante: e si 0 + si > 0 a) Es f continua en 0? Es continua en su dominio? b) Es f derivable en 0? Es derivable en su dominio? c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa. Actividad 7: (009) La función derivada de una función f viene dada por: f ' + 9 Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 8

29 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES a) Obtén los intervalos de monotonía de la función f y los valores de en los que dicha función alcanza sus etremos locales. b) Determina los intervalos de concavidad y conveidad de la función f.,5, calcula la ecuación de la recta c) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto tangente a la gráfica de f en dicho punto. Actividad 74: (009) Sea la función f a + b + a) Determina el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máimo en f. y que b) Para a b, halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES Actividad : a) f es continua y derivable en R b) g es continua en R y derivable en R {, } Actividad : a y b 0 Actividad : a) f es continua y derivable en { } Actividad 4: a) y ' 4 R b) b) y ' 4( ) ( ) d) y ' 6e ( e ) t : y 6 n : y c) + e) y ' 4e e f) y ' ln + 6e h) y ' i) y ' j) y ' ln + ln e + l) y ' 4 ( ) Actividad 5: m) y ' a) + b) / c) / Actividad 6: a) f es creciente en (,) y decreciente en (,+ ) b) g es creciente en (,0) (, + ) y decreciente en ( 0, ) c) h es creciente en R { } n) y ' e y ' g) ( 4 + 5) ( ) ln y ' k) y ' Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 9

30 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad 7: a) f tiene un máimo relativo en A (,4) b) g tiene un máimo relativo en ( 0,5) c) h tiene un máimo relativo en ( 0, 0 6) B ( 0, 0 6) Actividad 8: b 0 y c 4 Actividad 9: a) f es convea en 7 A,. b) g es convea en (,, +, + y cóncava en,. Tiene un punto de infleión en ) y cóncava en (, ) infleión en A(, ) y B (, ). c) h es convea en Actividad 0: y 6,+ y cóncava en A y un mínimo relativo en B (, y cóncava en (,) B y un mínimo relativo en. Tiene dos puntos de. Tiene un punto de infleión en A, e. ) Actividad : a) b) Actividad : La superficie máima es de 0000 m, para un cuadrado de lado 00 m. Actividad : 0 cm Actividad 4: 5 e 5 5 a) f ' 4 c) h ' 5 + e) q '( ) L Actividad 5: b) g ' 4 L( ) d) p' 4 ( ) f) r ' 5 e Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 0