ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN

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1 DP. - AS Matemáticas ISSN: X ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN Dada la función y , calcula: (a) Dominio de la función. (b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 00 (c) Puntos máimos y mínimos. (d) Puntos de infleión. (e) Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo. (f) Haz un esbozo de la gráfica de la función. RESOLUCIÓN Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos: y y' y'' 1-18 y''' 1 Al tratarse de una función polinómica sencilla: Dom (y) (-, + ) { R} RESOLUCIÓN apartado b Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que estrictamente decreciente cuando verifica y' < 0 B y'> 0 y Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio: MÉTODO I ± ± ± MÉTODO II ( - 1)( - ) Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: 1 Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determinan estos dos valores R Decreciente La función es estrictamente creciente para < 1 > para 1 < < RESOLUCIÓN apartado c La función "y" alcanzará un máimo o un mínimo cuando y' 0 y' según acabamos de calcular en el apartado anterior: 1 1 Máimo o mínimo? Máimo o mínimo? Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda: y'' 1-18 y estrictamente decreciente 1

2 Abel Martín y''(1) < 0 y''() 1-18 > 0 y(1) y() MÁXIMO MÍNIMO Veamos cuáles son esos puntos: y MÁXIMO (1, ) MÍNIMO (, 1) RESOLUCIÓN apartado d Para que haya un punto de infleión la primera condición es que y'' 0 y'' /1 9/ / 1.5 Habrá un punto de infleión para 1.5? y''' 1 y''' 1 y''' 0 Punto de infleión y y(1.5) PUNTO DE INFLEXIÓN (1.5, 1.5) RESOLUCIÓN apartado e Para el estudio de la concavidad de una función se estudia el signo de la derivada segunda de dicha función: f''() > 0 Cóncava hacia arriba (cóncava) f''() < 0 Cóncava hacia abajo (convea) y'' Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determina este valor R Convea Cóncava La función es cóncava hacia abajo para < 1.5, cóncava hacia arriba para >1.5, presentando un punto de infleión en (1.5, 1.5) COMPROBACIÓN VISUAL con la CALCULADORA GRÁFICA Dada la función y , calcula: (a) Dominio de la función. (b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 004 (c) Puntos máimos y mínimos. (d) Puntos de infleión. (e) Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo. (f) Haz un esbozo de la gráfica de la función. RESOLUCIÓN B Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.

3 DP. - AS Matemáticas ISSN: X Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos: y y' y'' 1-18 y''' 1 Al tratarse de una función polinómica sencilla: Dom (y) (-, + ) { R} RESOLUCIÓN apartado b Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que y' > 0 y estrictamente decreciente cuando verifica y'< 0 Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio: MÉTODO I ± ± ± MÉTODO II ( - 1)( - ) Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: 1 Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determinan estos dos valores R Decreciente La función es estrictamente creciente para < 1 > para 1 < < RESOLUCIÓN apartado c La función "y" alcanzará un máimo o un mínimo cuando y' 0 y''(1) < 0 y''() 1-18 > 0 y(1) y() y' según acabamos de calcular en el apartado anterior: 1 1 Máimo o mínimo? Máimo o mínimo? Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda: MÁXIMO MÍNIMO y'' 1-18 Veamos cuáles son esos puntos: y MÁXIMO (1, 11) MÍNIMO (, 1) RESOLUCIÓN apartado d Para que haya un punto de infleión la primera condición es que y'' 0 y'' /1 9/ / 1.5 Habrá un punto de infleión para 1.5? y''' 1 y estrictamente decreciente

4 Abel Martín y''' 1 y''' 0 Punto de infleión y y(1.5) PUNTO DE INFLEXIÓN (1.5, 10.5) RESOLUCIÓN apartado e Para el estudio de la concavidad de una función se estudia el signo de la derivada segunda de dicha función: f''() > 0 Cóncava hacia arriba (cóncava) y'' f''() < 0 Cóncava hacia abajo (convea) Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determina este valor R Convea Cóncava La función es cóncava hacia abajo para < 1.5, cóncava hacia arriba para >1.5, presentando un punto de infleión en (1.5, 10.5) RESOLUCIÓN apartado f COMPROBACIÓN VISUAL con la CALCULADORA GRÁFICA ClassPad 00 de CASIO Dada la función y , calcula: (a) Dominio de la función. (b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 005 (c) Puntos máimos y mínimos. (d) Puntos de infleión. (e) Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo. (f) Haz un esbozo de la gráfica de la función. RESOLUCIÓN Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos: y y' y'' - 18 y''' Al tratarse de una función polinómica sencilla: Dom (y) (-, + ) { R} RESOLUCIÓN apartado b Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que estrictamente decreciente cuando verifica y'< 0 B y'> 0 y 4 Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.

5 DP. - AS Matemáticas ISSN: X Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio: 18 ± ± 4 88 ( - )( - 4) 18 ± Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: 4 Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determinan estos dos valores R Decreciente La función es estrictamente creciente para < > 4 y estrictamente decreciente para < < 4 RESOLUCIÓN apartado c Método I Basándonos en el estudio del crecimiento de la función podemos decir que hay un máimo relativo en y un mínimo relativo en 4: Máimo relativo (, y) miramos tabla de valores (, 0) Mínimo relativo (4, y) miramos tabla de valores (4, - 4) Método II La función "y" alcanzará un máimo o un mínimo cuando y' 0 y''() < 0 y''(4) 4-18 > 0 y() y(4) y' según acabamos de calcular en el apartado anterior: 1 máimo o mínimo? 4 máimo o mínimo? Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda: MÁXIMO MÍNIMO y'' - 18 Veamos cuáles son esos puntos: y MÁXIMO (, 0) MÍNIMO (4, - 4) RESOLUCIÓN apartado d Para que haya un punto de infleión la primera condición es que y'' 0 RESOLUCIÓN apartado e y'' / Habrá un punto de infleión para? y''' y''' 0 Punto de infleión y y() PUNTO DE INFLEXIÓN (, - ) 5

6 Abel Martín Para el estudio de la concavidad de una función se estudia el signo de la derivada segunda de dicha función: f''() > 0 Cóncava hacia arriba (cóncava) f''() < 0 Cóncava hacia abajo (convea) y'' Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determina este valor - + R Convea Cóncava La función es cóncava hacia abajo para <, cóncava hacia arriba para >, presentando un punto de infleión en (, - ) RESOLUCIÓN apartado f COMPROBACIÓN VISUAL con la CALCULADORA GRÁFICA 008 Dada la función f() - 81, calcula: (a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (b) Puntos máimos y mínimos relativos. (c) Haz un esbozo de la gráfica de la función. Una función f() se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que f'() > 0 y estrictamente decreciente cuando verifica f'() < 0 y' - 1 Estudiamos el signo de esta nueva función derivada, para lo que factorizaremos el polinomio: ( - 54) Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores: 0 54 Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos que determinan estos dos valores R Decreciente BH ** PAU OVIEDO Junio 1994 La función es estrictamente decreciente para < 0 > 54 y estrictamente decreciente para 0 < < 54 RESOLUCIÓN apartado b La función "y" alcanzará un máimo o un mínimo cuando y' máimo o mínimo? y' - 1 ( - 54) máimo o mínimo? Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.

7 DP. - AS Matemáticas ISSN: X y''(0) 0-1 < 0 Máimo. (0, y) y''(54) 54-1 > 0 Mínimo. (54, y) Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda: y'' y - 81 y (0, 0) Máimo 54 y - 81 y (0, - 787) Mínimo RESOLUCIÓN apartado c Al realizar la tabla de valores y con la ayuda del estudio realizado a lo largo del problema: 009 Si f ' es la derivada de la función dada por f() ( 0), calcula (a) f'(- 0.5) (b) Dibuja la función f() f() f'() f'() f'(- 0.5) (- 0.5) ( - 1) - 5 ( 0.5) f'(- 0.5) - 70 Al ser una parábola con a > 0 sabemos que tendrá un mínimo: y' (.5, y) (.5, - 55.) Al realizar la tabla de valores y con la ayuda del estudio realizado a lo largo del problema: 1 BH ** PAU OVIEDO Junio

8 Abel Martín (a) Encuentra f'() donde f' es la derivada de la función f dada por f() ( 0). (b) Dibuja la función f() f() ( 0). y f'() f'() f'() BH ** PAU OVIEDO Sept. 005 Al ser una parábola donde a < 0 sabemos que va a presentar un máimo en: y' Al realizar la tabla de valores y con la ayuda del esttudio realizado a lo largo del problema: 8 Aplicación de derivadas. Estudio local de una función.