PRÁCTICA 13: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA

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1 PRÁCTICA 3: PRUEBA DE HIPÓTESIS DE BONDAD DE AJUSTE E INDEPENDENCIA E ocasoes ocurre que el ecargado de hacer u trabajo estadístco o está seguro de la dstrbucó de ua determada varable aleatora. Para solucoar tales dfcultades surge los llamados test de Bodad de Ajuste. Uo de ellos es el deomado cotraste ch-cuadrado y que cosste e comparar las frecuecas observadas e la muestra co las que debería haberse obtedo e ua poblacó que perteecese a ua dstrbucó de probabldad específca. De allí determamos s la varable tee la dstrbucó postulada (o teórca) o s o la tee. La prueba puede aplcarse tato a dstrbucoes dscretas como cotuas, auque prevamete el vestgador debe establecer ua partcó coveete del espaco muestral e sucesos mutuamete ecluyetes: para el caso de las dscretas, esta partcó puede darse aturalmete ; para las cotuas depede solamete del crtero del vestgador. La prueba etoces, quere dscerr s ua poblacó tee o o ua determada dstrbucó y por lo tato las hpótess adecuadas so: H 0 ) F X = F 0 H ) F X F 0 dode F X es la verdadera dstrbucó de la varable de terés X, y F 0 es la dstrbucó postulada y que está totalmete especfcada. Supogamos, etoces, que establecmos ua partcó del espaco muestral e sucesos mutuamete ecluyetes cada uo co probabldad teórca p y por lo tato p =. De allí, se compara la frecueca esperada s la dstrbucó postulada fuera certa e cada tervalo p (que es la probabldad p multplcada por el tamaño muestral ), co la observada e cada uo de ellos y que otamos, por medo del sguete estadístco: co las sguetes propedades: a) como χ p = p = = p = p ( p ) b) como los sucesos so ecluyetes: = Por medo del cotrate de razó de verosmltudes se puede demostrar que la dstrbucó astótca (es decr, cuado tede a fto) del mecoado estadístco es, como se puede tur a partr de su otacó, ua ch-cuadrado co ( ) grados de lbertad. Por lo tato, y como el estadístco compara la frecueca teórca co la observada, se rechaza H 0 cuado éste es grade y por ello, la regó crítca para u vel α os queda: Observacoes: R = χ = ( p ) p χ, α a) Los grados de lbertad correspode a la catdad de sucesos mutuamete ecluyetes meos uo, dado que la relacó = mplca que sólo evetos so depedetes. b) Como la dstrbucó del estadístco es astótca ello crea ua dfcultad e cuato a qué tamaño de muestra es aceptable. E geeral, se cosdera que la apromacó es buea s las frecuecas observadas para cada suceso so mayores o guales a cco ( 5, para todo ). c) S las frecuecas observadas para algú suceso so meores que 5, se debe agrupar co algú otro, reducédose e tal caso los grados de lbertad: éstos so sempre u grado meos que los sucesos fales cosderados.

2 d) S es ecesaro estmar algú parámetro, etoces el estadístco perde u grado de lbertad por cada parámetro estmado, e) La forma del estadístco es coherete co los que pretede medr. E prmer lugar ( p ) evalúa qué ta lejos está las observacoes de los valores teórcos. Luego, ( p ) evta que las dferecas e más y e meos se compese. Y por últmo la dvsó etre p, estadarza el cocete, de tal forma que dferecas e magtud tega sempre la msma dstrbucó. EJERCICIO (CANAVOS 0.) Sea X = Mes e que ocurre el acmeto e u hosptal Queremos elegr etre: H 0 ) X Uforme dscreta (,) H ) X o se dstrbuye Uforme dscreta (,) Como la varable es ua uforme dscreta y los sucesos posbles so =, etoces cada p = y como el tamaño total de acmetos es = 00, etoces p = 00, para todo. El límte de la regó crítca es, a u vel α = 0,0: χ, α = χ, 0,99 = 4,75. El valor del estadístco lo calculamos: χ = (90 00) 00 ( p ) p = (95 00) 00 (95 00) 00 (05 00) 00 (05 00) 00 (0 00) 00 (95 00) 00 (05 00) 00 (05 00) 00 (00 00) 00 (95 00) (00 00) = Por lo tato como 4 < 4,75, etoces o caemos e la R.C. y por lo tato o se rechaza H 0 a ese vel. Recordemos que el p-valor es la probabldad de que el estadístco de prueba tome valores peores, e el setdo de la regó crítca, que el que tomó e la muestra. E este caso: p-valor = P ( χ 4) = 0,03 Observacó: S el p-valor es mayor que el vel α, etoces o se rechaza H 0 y s es mayor, etoces se rechaza. EJERCICIO PUNTAJE FRECUENCIAS MARCA [, ) ( ) = FREC. REL. ) h ( ) h ( ) ( h ( ) [0, 0) 4 5 0, , ,98354 [0, 5) 49,5 0,689655,06897,98596 [5, 0) 7 7,5 0, ,844876, [0, 5) 7,5 0, , , [5, 30) 37 7,5 0,7586 3, , [30, 40) 35 0,074379, ,35085 [40, 50) ,05574, , , , Sea X = el putaje de ua prueba de u estudate. Queremos elegr etre las hpótess:

3 3 H 0 ) X se dstrbuye ormal H ) X o se dstrbuye ormal E este caso hay que estmar los parámetros de la ormal. Ello lo hacemos e el cuadro de arrba y e él obteemos: µ ˆ = = 0,9 y ˆσ = S = 88,3. Co estas estmacoes calculamos las probabldades de cada tervalo s la dstrbucó es ormal y que deotamos por p, y los valores esperados p : [, ) F( ) F( ) p p ( p p [0, 0) 0,6783 0, , , , [0, 5) 0, ,6783 0, ,0477,56730 [5, 0) 0, , , ,0398 3, [0, 5) 0, , , ,987784, [5, 30) 0, , , ,877860,4745 [30, 40) 0, , , , ,7508 [40, 50) 0, ,0890 6, , ,9005 ) Como la catdad de sucesos (e este caso tervalos) es 7, y se estmaro parámetros los grados de lbertad del estadístco so 4 y por lo tato el valor crítco es χ 4, 00 = 3,767. El valor que toma el estadístco es, como se ve e el cuadro, χ 4 = 40,9 > χ 4, 00 = 3,767, co lo que caemos e la R.C. y por lo tato rechazamos H 0 al vel del %. Nota: E el cuadro de arrba se toma como p = F (0) = P ( X 0) e vez de F (0) F (0) y p 7 = F (40) e vez de F (50) F (40), a efectos de que p =, porque la Normal puede tomar valores etre y, y es ecesaro cosderar esta dscrepaca co la muestra. EJERCICIO 3 (CANAVOS 0.6) Sea X = úmero de persoas que desarrolla algua efermedad cardíaca Queremos dscerr etre las hpótess: H 0 ) X tee dstrbucó uforme (e las cuatro categorías) H ) X o tee dstrbucó uforme a) Como la catdad de categorías so cuatro y o se estmó gú parámetro los grados de lbertad del estadístco so tres. El valor de éste, co los datos de la muestra, es: χ 3 = (58 40) 40 (54 40) 40 (36 40) 40 ( 40) 40 = 33 Como el valor de tablas es χ 3, 00 =,34488 y 33 >,34488, etoces se rechaza H 0 y por lo tato a u vel del %, este evdeca estadístca sufcete para afrmar que la varable o es uforme. b) Advertrle al vestgador médco que la dstrbucó del estadístco es astótca.

4 4 EJERCICIO 4 (SEGUNDA REVISIÓN DE 998) ) Sea X = catdad de goles por partdo e el mudal de fútbol de Fraca 98 Las hpótess que os plateamos so: H 0 ) X tee dstrbucó Posso H ) X o tee dstrbucó Posso Como o coocemos el parámetro λ de la dstrbucó de Posso debemos estmarlo: ( ) = h ( ) h ( ) 0 5 0, ,565 0, ,035 0, , , ,7875 0, ,0785 0, ,0565 0, ,64065 Etoces λ ˆ = =,64. Por otra parte, como las observacoes e las dos últmas categorías so meores que 5 debemos reagrupar, para luego calcular sus probabldades postuladas: ( ) = p p ( p p ) 0 5 0, , , ,88306, , , ,9309 0, , ,006836, , , , , , , , Como la catdad de categorías falmete utlzadas es de 6, y se estma u parámetro etoces los grados de lbertad del estadístco so cuatro. La regó crítca a u vel del 5% queda: R = χ 4 > χ 4, 0,95 = 9,48773 y como χ 4 = 3,6348 < χ 4, 0,95 = 9,48773, o se rechaza H 0 al vel mecoado. 4 ) Como p-valor = P ( χ > 3,6348) = 0,45768 es mayor que 0,0. Además sabíamos que el 4 p-valor = P ( χ > 3,6348) > P ( χ > 9,48773) = 0,05 = α. 4 EJERCICIO 5 (EXAMEN DE FEBRERO DE 999) ) Sea X = úmero de pacetes que atede u odotólogo e ua semaa.) H 0 ) X se dstrbuye uforme dscreta H ) X o se dstrbuye uforme dscreta.) H 0 ) X tee ua dstrbucó co probabldades p = p = p 3 = 0,6 y p 4 = p 5 = 0,6 H ) X o tee dcha dstrbucó ) E este caso o hay que estmar gú parámetro y dado que la catdad de categorías es = 5:

5 5 χ = ( p ) p χ 4 3) La regó crítca, a u vel del 5%, es: R = χ > = 9, χ4, 0,95 E la tabla sguete se calcula el valor del estadístco: DÍA p p ( p p ) 0 0,6 9,6 0, ,6 9,6 0, ,6 9,6 0, ,6 5,6 0, ,6 5,6 0, ,43693 Etoces, χ 4 = 0,4368 < χ 4, 0,95 = 9,48773 y por lo tato o rechazamos H 0 al 5% de sgfcacó: el odotólogo o tee evdeca estadístca sufcete para afrmar que, co los uevos horaros, la dstrbucó de sus pacetes e los días de la semaa, haya cambado. 4) Cometemos u error de tpo II cuado o rechazamos H 0 sedo H 0 falsa. E este caso sería sosteer que la dstrbucó o cambó, a pesar de la ueva estratega de atecó del odotólogo, cuado e realdad sí lo hzo. EJERCICIO 6 (SEGUNDA REVISIÓN DE 996) X = la demada total semaal de u producto e mles de Kg. Para calcular las probabldades de la muestra presetada e el cuadro, debemos hallar la fucó de dstrbucó: t a) s [ 0, ) F X () = 3 dt = 0 6 t 7 t b) s [, ) F X () = dt ( 0 t 6) dt t = ( 5 t 6t) = = ) La prueba tee, etoces, las sguetes hpótess: H 0 ) X tee dstrbucó F X H ) X o tee dstrbucó F X Como la catdad de categorías de la muestra es 4 y o se estma gú parámetro, los grados de lbertad so 3 y por lo tato la regó crítca a u vel del 0% es: R = χ > = 6,539 3 χ3, 0,90 E el sguete cuadro calculamos el valor del estadístco:

6 6 [, ) F( ) F( ) p p ( p p [ 0; 0,5) 9 0, , , , [0,5; ) 6 0, , , , ,90476 [;,5) 95 0, , , , , [,5; ) 35 0, , , , , ) Etoces 0,54693 = 3 < χ3, 0,90 χ = 6,539 y por lo tato o rechazamos H 0 al 0%. ) E ambas pruebas la decsó es o rechazar H 0 porque o tego evdeca estadístca sufcete para hacerlo. Esto sgfca, que a dcho vel, o se puede hallar dferecas sustacales, co los datos de la muestra obteda, etre las dstrbucoes postuladas y la real. Lo que sucede e la realdad es que s o se rechaza dos dstrbucoes dsttas, éstas o debería ser muy dferetes. EJERCICIO 7 (CANAVOS 0.4) E este ejercco aplcaremos el Test de Ajuste de Kolmogorov-Smroff, el cual se dseñó específcamete para determar s ua varable aleatora cotua tee o o determada dstrbucó. A tales efectos, se utlza la fucó de dstrbucó empírca (vsta e la Práctca 9, Ejercco 7): F () = { X } la cual es, como vmos aterormete, la fucó que vale 0, hasta el mímo dato de la muestra; vale etre el mímo y el segudo más chco; etre el segudo y el tercero más chco;... y, del más grade e adelate. S llamamos X () al dato más chco de la muestra, X () al segudo más chco,..., y X () al más grade, podemos grafcar la fucó de la sguete maera: X () X () X ( ) E el Ejercco 7 de la mecoada práctca 9, demostramos que F () es u estadístco cosstete para estmar F X () = P (X ). Kolmogorov y Smroff demostraro que:

7 7 sup F () F () 0 y que la dstrbucó de los sguetes estadístcos o depede de la dstrbucó de X: D X = sup (F () F ()), D = sup (F () F ()) y D = sup F () F () X X a codcó de que la dstrbucó de X sea cotua. Nótese que decr que la dstrbucó de los estadístcos atedchos o depede de X, dca que esa dstrbucó es fja y que se puede tabular (de hecho está tabulada y e cualquer lbro básco aparece). La demostracó del Teorema, e geeral, o aparece e los lbros de teto y está fuera del alcace de este curso: smplemete se quere putualzar que ella está basada e la coocda propedad de que la varable aleatora Y = F X (X) U [ 0, ] ( F X (X) es aplcar F X a la varable aleatora X) a codcó de que X sea cotua. Estamos e codcoes, etoces, para cotrastar las hpótess: H 0 ) F X () = F 0 () H ) F X () F 0 () Como s F 0 es la verdadera dstrbucó de X, etoces se debe cumplr que sup F () F0 () = sup F () F () 0, se rechazará H 0 s D K. Por lo tato, para que el vel de X sgfcacó sea α, la regó crítca debe ser: R = D D, α Tres observacoes fales: a) como el tamaño de muestra es, fto, etoces: sup F () F0 () = má F () F0 () b) má F () F0 () = má má F () F0 () (para ecotrar el mámo se puede [ X ( ) X() ) tomar el mámo e cada tervalo, y de esos mámos tomar el mámo) c) E cada tervalo [ X ( ) X ( )), la fucó F () es costate, y como F 0 () es crecete, el má F () F0 () se alcaza sólo e los etremos. [ X ( ) X() ) Pasemos a la resolucó del ejercco: X

8 8 F 0 () F () F () F 0 ( ε) F () F 0 () 9 0, ,04 0,04 0, , ,08 0, , , , 0, , , ,6 0, , ,7056 0,4 0, , , ,8 0, , , ,3 0, , , ,4 0, , ,8076 0,48 0, , , ,5 0, , , ,56 0, , , ,6 0,963 0, , ,68 0, , , ,7 0,3703 0, , ,76 0, , , ,8 0,8095 0, , ,84 0, , , ,84 0, , , ,84 0, , , ,88 0, , , ,88 0, , , ,88 0, , , ,9 0, , , ,9 0, , , ,9 0, , , ,9 0, , , ,96 0, , , ,96 0, , , ,96 0, , , ,96 0, , , ,96-0, , , , ,0930 0, , Notacó: Los tervalos [ X ( ) X ( )) se defe aturalmete y so, a vía de ejemplo: (, 9), [9,0),.... [49, 50), [50, ). La otacó F 0 ( ε) correspode a evaluar F 0 e el etremo zquerdo de cada tervalo. S hallamos el mámo del valor absoluto de las columas F () F 0 ( ε) y F () F 0 (), obteemos que D = 0,4809 < 0.7 = D, α, co lo cual o teemos evdeca estadístca ecesara para rechazar H 0 al vel del 5%. EJERCICIO 8 E este ejercco y e los posterores de esta Práctca veremos las llamadas Pruebas de Hpótess de Idepedeca, las cuales aplcaremos a dos rasgos dsttos de ua msma poblacó (para más aspectos el razoameto es relatvamete smlar). La dea cosste e comparar, de maera smlar al Test de Ajuste Ch-cuadrado, las frecuecas realmete observadas e la muestra, para cada suceso, co las que teórcamete debería haberse observado e el caso de ser certa las hpótess ula de depedeca.

9 9 Las hpótess que se platea etoces, so: H 0 ) X y Y so depedetes H ) X y Y o so depedetes Como la catdad de categorías que se toma es u cojuto fto, s llamamos p. a la probabldad margal del -ésmo suceso de la varable X y p.j al j-ésmo suceso de la varable Y, las hpótess aterores so equvaletes a las sguetes: H 0 ) p j = p. p.j, para todo =,,, r y todo j =,,..., s (sedo r y s la catdad de posbles sucesos de las varables X y Y respectvamete) H ) p j p. p.j, para algú y j. S puede especfcarse las probabldades margales p. y p.j, etoces bajo la hpótess ula, la estadístca: r s ( Nj p. p.j) χ rs = p j. p = =. j tee ua dstrbucó astótca ch-cuadrado co (r s ) grados de lbertad S embargo, la mayoría de las veces puede o coocerse los valores de las probabldades margales, por lo que se estma e base a la muestra. Para ello se usa los estmadores de máma verosmltud de p. y p.j que so respectvamete:.. j pˆ. = y pˆ. j = dode. y.j so las frecuecas absolutas del -ésmo suceso de la varable X y del j-ésmo suceso de la varable Y. Afortuadamete, la estadístca ch-cuadrado permaece como la apropada para la prueba, sempre que se emplee los estmadores atedchos y se le reste u grado de lbertad por cada parámetro estmado. Etoces como p r. = s y p, este (r ) parámetros de la varable X y (s ) parámetros de la varable Y a estmar y por lo tato el úmero de grados de lbertad será (r s (r ) (s ) = (r ) (s ). Al susttur las probabldades por los estmadores os queda la estadístca:.. j r s (Nj ) χ (r ) (s ) =. j=. j.. j S la hpótess ula es certa N j está prómo a y el estadístco toma valores pequeños, y por ello la regó crítca a u vel α os queda:.. j r s (Nj ) R = χ (r ) (s ) = χ ( r ) (s ), α j=. Las hpótess que os plateamos e este ejercco so: H 0 ) X y Y so depedetes H ) X y Y o so depedetes dode X = la categoría de la poblacó ecoómcamete actva (P:E:A.) y Y = la edad de la P:E:A:. j. j =

10 0 CUADRO DE VALORES OBSERVADOS < > 60 O.I.M O.C O.S DESOC Luego de calcular las probabldades estmadas medate las fórmulas atedchas, podemos obteer u cuadro de valores esperados (multplcado aquellas por el tamaño de la muestra): CUADRO DE VALORES ESTIMADOS < > 60 O.I.M O.C O.S DESOC Como el valor del estadístco es χ 6 = 5,6554 > 3,9676 = χ 6, 0,97, etoces rechazamos H 0 a u vel del 3%: teemos evdeca estadístca sufcete para rechazar la hpótess de depedeca etre ambas varables. EJERCICIO 9 (SEGUNDA REVISIÓN DE 997) ) Como e el cuadro de valores observados las tres prmeras columas da 03, 93 y 94 respectvamete, lo msmo debe suceder co las de los valores esperados y por lo tato: α = 03 (4,7 5,4 8,8 7,9) = 6, β = 93 (,3 3,9 6,9 6,) = 3,7 γ = 94 (,6 4 7, 6,3) = 4 ) H 0 ) Hay depedeca etre la marca de yogur comprada más frecuetemete H ) No la hay O equvaletemete, defedo X = la marca de yogur más frecuetemete comprada y Y = la característca prcpal del yogur y además p. la probabldad de que X sea la marca -ésma y p.j la probabldad de que Y sea la característca j-ésma: H 0 ) H ) p j = p. p.j, para todo =,,, 5 y todo j =,,..., 5 p p. p.j, para algú y j j 3) Como o hay que estmar gú parámetro el estadístco tee 4 grados de lbertad y como χ 4 = 40,45 > 36,45 = χ 4, 0,95, etoces rechazamos H 0 a u vel del 5%: teemos evdeca estadístca sufcete para rechazar la hpótess de depedeca etre ambas varables. 4) Recordamos que el p-valor es la probabldad de que suceda lo que sucedó o algo peor e el setdo de la regó crítca, o sea: p-valor = P ( χ 4 > 40,45) Pero como: P ( χ > 40,45) < P ( χ > 36,45) = α p < α 4 4

11 EJERCICIO 0. H 0 ) Los atrbutos so depedetes H ) Los atrbutos o so depedetes α = 0,0 RC = {Muestras tales que χ } ( m ).( q ) > Hay que hallar el cuadro de valores esperados para calcular el estadístco ch-cuadrado CUADRO DE VALORES ESPERADOS SI N0 TOTAL CÁNCER OTRA TOTAL El valor del estadístco e la muestra es 740,74. El estadístco ch-cuadrado tee, e este caso grado de lbertad. El valor de tablas que acumula 0,99 es 6,63 y, por tato, el valor de la muestra cae e la regó típca. Coclusó: las varables o so depedetes. Es fácl advertr que la asocacó se da etre las categorías ser fumador y morr de cácer de pulmó.. P(Morr de cácer de pulmó / Ser fumador) = 00 /.000 = 0,0 P(Morr de cácer de pulmó / No ser fumador) = 00 / = 0,0 Observacó: e este ejercco resulta que es 9 veces más probable morr de cácer de pulmó s se es fumador que s o se es. Los estudos realzados e la década del 50 ( Vejetud: humao tesoro Tálce) e EEUU mostraba que este coefcete llegaba a 9. EJERCICIO (CANAVOS 0.) Sea X = la marca de prefereca de u cosumdor y Y = la regó geográfca e la que habta. Como e ejerccos aterores, queremos probar: H 0 ) X y Y so depedetes H ) X y Y o so depedetes Elaboramos el cuadro: CUADRO DE VALORES ESPERADOS ESTIMADOS REGIÓN REGIÓN REGIÓN 3 MARCA A 39 48,75 9,5 7 MARCA B 5, , ,5 57 MARCA C 68, , , El estadístco ch-cuadrado, e este caso, tee cuatro grados y lbertad y como dada la muestra χ 4 = 3,76754 < χ 4, 0,95 = 9,48773, o rechazamos H 0, es decr que o hay evdeca ecesara sufcete para rechazar la hpótess de depedeca etre ambas varables.