Liceo N 1 Javiera Carrera 8 años 2011

Transcripción

1 GUIA DE ESTUDIO : Cuerpos geométricos Prof. Juan Schuchhardt E. DEFINICIÓN: Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están limitados por superficies planas y de contorno poligonal. Un poliedro cualquiera tiene: caras, aristas, vértices, ángulos. Caras: Son los polígonos planos que limitan el poliedro. Hay caras básales y caras laterales. Las caras laterales son regiones rectangulares y las caras basales son regiones poligonales cualesquiera, es decir, pueden ser un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un pentágono, etc. Caras basales Caras laterales rectángulo ABCD rectángulo EFGH a rectángulo ABFE rectángulo DCGH rectángulo ADHE a rectángulo BCGF Aristas: Son las intersecciones de dos caras. Se puede decir también que son los lados de los polígonos que forman las caras del poliedro. El poliedro tiene aristas laterales y aristas basales. Aristas laterales: AE, BF, CG, DH; Aristas basales: AB, BC, CD, DA y EF, FG, GH, HE Vértices: Son las intersecciones de tres o más caras. También se definen como los puntos en que se cortan las aristas. Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H Ángulos diedros: Es la abertura comprendida entre dos caras que se cortan 1.

2 Ángulos poliedros: Es la abertura que se forma en la intersección dos a dos de varias caras. A es el vértice del ángulo poliedro Los cuerpos geometricos corresponde a una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares. Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro. Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras y a los que Platón recurrió incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares. Tetraedro 4 caras (triángulos Hexaedro (cubo 6 caras (cuadrados Octaedro 8 caras (triángulos Dodecaedro Icosaedro 12 caras (pentágono s regulares 20 caras (triángulos N de caras N de vértices N de aristas N de lados de cada cara N aristas concurrente s en un vértice

3 Tetraedro regular: está formado por 4 caras triangulares Hexaedro regular: (cubo: está formado por 6 cuadrados. Octaedro regular: está formado por 8 triángulos. Dodecaedro regular: lo forman 12 caras pentagonales. Icosaedro regular: está constituida por 20 triángulos. Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases, cuyos planos son paralelos

4 Pirámide: Poliedro que tiene una cara que es un polígono cualquiera al que se llama base y las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común llamado vértice. 3. Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvas; se llaman cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención especial y cuyas superficies y volúmenes estaban ya estudiados en la obra de Euclides. Cuerpos redondos: Son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por superficies curvas. Cono Esfera Cilindro

5 Área total y volumen de cuerpos goometricos 4. Figura Esquema Área Volumen Cilindro A total = 2π r ( h + r V = π r 2 h Esfera A total = 4π r 2 Cono A total = π r 2 + π r g Cubo A = 6 a 2 V = a 3 Prisma A = (perim.base h + 2 area base V = área base h Pirámid e

6 5. Poliedros regulares Figura Esquema Área Volumen Tetraedro 4 caras, triángulos Octaedro 8 caras, triángulos Cubo 6 caras, cuadrados A = 6 a 2 Dodecaedro 12 caras, pentágonos regulares A = 30 a ap. Icosaedro 20 caras, triángulos Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei ( Físico y astrónomo italiano. 6.