1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)

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1 Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A = A Si se supoe que se cooce el capital prestado C 0, la duració y el tato i, el problema cosiste e ecotrar la cuota de amortizació, el capital vivo y el capital amortizado. Cuota de amortizació E este caso, la igualdad C 0 = A 1 + A A se traduce e: Capital vivo C 0 = A A = C 0 E este caso la expresió C s = A s+1 + A s A s+ se traduce e: Capital amortizado C s = ( s) A = s C 0 Por último, la expresió para el capital amortizado M s = A 1 +A 2 + +A s = C 0 C s se traduce e M s = s A = s C 0 1

2 1.1 Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates Cuota de itereses La cuota de itereses geeral se obtiee como I s = C s 1 i. A partir de la expresió aterior para C s se obtiee que I s = C s 1 i = s + 1 y por lo tato la couta e s + 1 es C 0 i Térmios amortizativos I s+1 = C s i = s C 0 i Cada térmio amortizativo es la suma de la cuota de itereses y la cuota de amortizació (a s = I s + A s ). Co la expresió para I s y co A s = A se obtiee a s = C s 1 i + A = C 0 [1 + ( s + 1) i] y debido a que los itereses decrece y la amortizació es costate las cuotas irá decreciedo co el tiempo. Para ecotrar la relació etre los térmios amortizativos, a partir de la expresió para a s se obtiee a s+1 y se resta ambas a s a s+1 = (C s 1 C s ) = A i a s+1 = a s A i = = a 1 s A i Expresió que permite coocer todos los térmios a s ua vez coocido a 1. Como a 1 = I 1 + A 1 y lógicamete e el primer periodo los itereses so C 0 i juto co que e este préstamo A es costate, se obtiee que a 1 = C 0 i+a = A i+a = A ( i + 1) Los térmios amortizativos se obtiee restado la catidad A i al iicial y por lo tato so decrecietes. 2

3 Aputes: Matemáticas Fiacieras Ejemplo U préstamo de u milló de euros se va a amortizar e cico años utilizado el método de cuotas de amortizació costates. El tato de valoració se fija e el 12 %. Obteer la cuatía de los térmios amortizativos y el cuadro de amortizació del préstamo. E primer lugar, al ser u préstamo de cuotas de amortizació, se obtiee la cuatía de cada cuota de amortizació aplicado la relació de equivalecia Y por lo tato C 0 = A A = C 0 A = = = Ua vez que teemos la cuota de amortizació, se puede obteer el saldo del préstamo e cada periodo como C s = ( s) A = s C 0 Y por lo tato para s = 1 será C 1 = (5 1) = 80000, y de forma sucesiva se calcula C 2 = 60000, C 3 = 40000, C 4 = Ua vez que se tiee los saldos de cada periodo se obtiee las cuotas de itereses como I s = C s 1 i = s + 1 C 0 i Y por lo tato I 1 = C 0 i = ,12 = , I 2 = ,12 = y sucesivamete I 3, I 4 etc se puede obteer A 1 e I 1 de dos formas alterativas. Para obteer los térmios amortizativos se utiliza la expresió a k = A k + I k. 3

4 1.2 Préstamo: Método americao simple Así, por ejemplo, para a 1 = A 1 +I 1 = = , para a 2 = A 2 +I 2 = = y así sucesivamete. Fialmete el capital amortizado se calcula sumado las cuotas de amortizació hasta el periodo s. Ua vez que se hace los cálculos para todos los periodos se obtiee el cuadro de amortizació. Los resultados se preseta e la tabla siguiete: Periodo T. Amortizativos C. Itereses C. Amortizació Cap. Amort. Cap. vivo Préstamo: Método americao simple E este caso particular, e los 1 primeros periodos se paga úicamete itereses y se efectúa la amortizació total del préstamo e el último periodo. Es decir: A 1 = A 2 = = A 1 = 0 ya = C 0 Como siempre queda el mismo capital pediete de amortizar, las cuotas de itereses so siempre iguales I 1 = I 2 = = I = C 0 i y por lo tato los térmios amortizativos de los 1 periodos sólo tiee itereses. El térmio amortizativo del último periodo tiee los itereses más el capital total 4

5 Aputes: Matemáticas Fiacieras a 1 = a 2 = = a 1 = C 0 i ya = C 0 i + C 0 El capital vivo de cada periodo es C 0 ya que o se amortiza ada hasta el fial. Por lo tato el capital amortizado de cada periodo es 0. Ejemplo U préstamo de u milló de euros se va a amortizar e cico años utilizado el método americao. El tato de valoració se fija e el 12 %. Obteer la cuatía de los térmios amortizativos y el cuadro de amortizació del préstamo. E primer lugar, al ser u préstamo americao, las cuotas de amortizació so 0 y las cuotas de itereses so siempre iguales segú la expresió: I k = C 0 i = ,12 = Así todos los térmios amortizativos tiee el mismo valor a k = I k = salvo el último e el cual la cuota de amortizació es el préstamo total A 5 = C 0 = y por lo tato a 5 = I 5 + A 5 = = A cotiuació se preseta el cuadro de amortizació Periodo T. Amortizativos C. Itereses C. Amortizació Cap. Amort. Cap. vivo

6 1.3 Préstamo: Amortizació co los itereses fraccioados 1.3. Préstamo: Amortizació co los itereses fraccioados E alguos prestamos los itereses del préstamo se paga de forma fraccioada a lo largo del año mietras que la amortizació se hace forma aual. E estos casos, e el cotrato figura el tato omial de frecuecia m (j m ) co el que se valora la operació y a partir de ahí se obtiee el rédito (i m ) y el tato efectivo aual (i) como i m = j m m y i = (1 + i m) m 1 E cada periodo (año) los itereses se paga m veces al año y cada uo co cuatía I s,m = C s 1 i m. La cuota de amortizació se paga ua sola vez e cada periodo (al fial del mismo) co cuatía A s. Por lo tato, e cada periodo hay m térmios amortizativos co cuatías de: I s,h coh = 1, 2,, m 1 a s,h = I s,m + A s h = m Para obteer la ecuació equivalete se puede operar co el rédito i m o bie co el tato efectivo i. E este segudo caso se sustituye los m pagos de u periodo por uo solo que sea equivalete C s 1 i m S m im + A s = C s 1 i m (1 + i m) m 1 i m + A s = C s 1 i + A s y por lo tato se sustituye ua cotraprestació de m capitales por otra de capitales, siedo ahora la ecuació de equivalecia C 0 = (C s 1 i + A s ) (1 + i) s s=1 El caso particular más famoso es el Método Fracés 6

7 Aputes: Matemáticas Fiacieras Itereses fraccioados - Método Fraces E este caso la aualidad costate se descompoe e m pagos cada uo de ellos al fial del subperiodo m co itereses y otro al fial de año co itereses y amortizació. Al fial del año se debe verificar: a = C s 1 i + A s Siedo las cuotas de itereses e cada periodo m iguales a I s,m = C s 1 i m. Las cuotas de amortizació sigue la ley recurrete vista e el apartado del método fracés A s+1 = A s (1 + i) = A 1 (1 + i) s coa 1 = C 0 S i siedo i el tato efectivo equivalete a j m. Los capitales vivos se obtiee de forma recurrete como C s = C s 1 A s al igual que los capitales amortizados M s = M s 1 + A s y por último se puede hallar las cuotas de itereses como I s,h = C s 1 i m Ejemplo U préstamo de u milló de euros se va a amortizar e cico años utilizado el método fracés pagádose los itereses de forma trimestral. El tato de valoració 7

8 1.3 Préstamo: Amortizació co los itereses fraccioados omial aual se fija e el % (tato aual efectivo del 12 %). Obteer la cuatía de los térmios amortizativos y el cuadro de amortizació del préstamo. Para resolver el ejercicio se debe ecotrar los tipos efectivos y el rédito de frecuecia 4. El tipo efectivo ya viee e el euciado, y el rédito de frecuecia 4 se obtiee como i 4 = j 4 4 = 0, = 0, Los itereses de cada trimestre del primer año se obtiee como I s,h = C s 1 i m = , = 28737,34472 Al fial del primer año (último trimestre) se debe pagar la cuota de itereses más la cuota de amortizació. La cuota de amortizació se obtiee a partir de la expresió A 1 = C 0 S i = , = ,7319 A partir de dicho valor se obtiee los demás a partir de la expresió A s = (1 + i) s 1 A 1. Así, para obteer A 2 = (1 + 0,12) ,7319 = ,8998 y así sucesivamete. Por último, para obteer los térmios amortizativos al fial de cada año se utiliza que a s = I s,h + A s. Por ejemplo, para s = 1 se obtiee que a 1 = 28737, ,7319 = ,0767 Las relacioes etre los capitales pedietes so iguales que los casos ateriores. Por último, el cuadro amortizativo se preseta a cotiuació: 8

9 Aputes: Matemáticas Fiacieras Periodo trim. T. Amortizativos C. Itereses C. Amortizació Cap. Amort. Cap. vivo Préstamo: Amortizació co periodos de carecia E alguas ocasioes, especialmete cuado el crédito se utiliza para fiaciar ua iversió física cocreta, es ecesario u periodo de carecia. La carecia puede afectar a las cuotas de amortizació y por lo tato sólo se paga itereses o al térmio amortizativo completo. 9

10 1.4 Préstamo: Amortizació co periodos de carecia Carecia e las cuotas de amortizació E los primeros s periodos de carecia sólo se paga itereses (C 0 i) y por lo tato e el periodo s el capital vivo es C 0 (como u préstamo americao simple). A partir del periodo s + 1 se empieza tambié a amortizar el préstamo (a s+1, a s+2,, a ). La ecuació de equivalecia fiaciera es C 0 = a r (1 + i) (r s) r=s+1 E fució de cada tipo de préstamo, dicha ecuació tiee ua forma cocreta. Para el caso del método fraces es C 0 = a a s i (obteiédose a) y para el caso del método de cuotas de amortizació costates es C 0 = ( s) A (obteiédose A) Carecia total E este caso e los primeros s periodos o se debe aboar igua catidad. Como o se ha aboado los itereses e el periodo s el capital vivo o es C 0, sio C s = C 0 (1 + i) s dode se ha acumulado los itereses o pagados. Por lo tato la ecuació de equivalecia es C s = C 0 (1 + i) s = a r (1 + i) (r s) r=s+1 E el caso del método fracés dicha ecuació se traduce e C 0 (1 + i) s = a a s i que coicide co el plateamieto de la ecuació e el orige (reta aticipada) C 0 = a s /a s i = a (1 + i) s a s i. E el caso del método de cuotas costates la ecuació de equivalecia es C 0 (1 + i) s = ( s) A 10