PRODUCTOS NOTABLES GUIA CIU NRO:

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1 Repúlic Bolivrin de Venezuel Ministerio de l Defens Universidd Ncionl Eperimentl Politécnic de l Fuerz Armd Núcleo Crcs Curso de Inducción Universitri CIU Cátedr: Rzonmiento Mtemático PRODUCTOS NOTABLES GUIA CIU NRO: COMISIÓN DE APOYO DE RAZONAMIENTO MATEMATICO INTEGRANTES: Ing. Belin Gómez Ing. Elvi Moreno Ing. Mief Rojs Lic. Teres Gómez Prof. Neid González

2 Productos Notles En mtemátics eisten productos de epresiones lgerics que dds sus especiles crcterístics, se les h desrrolldo fórmuls de solución direct. Tles productos son conocidos como productos notles son herrmients fundmentles l momento de fctorizr (siguiente cpítulo). Son tn importntes que en el trnscurso de culquier crrer en cursos vnzdos, se presentn productos notles en muchs situciones práctics en l solución de ejercicios. Vmos estudir estos productos notles con lgunos ejemplos, pero el solo estudio no rindrá el dominio necesrio, tienen que prcticr ejercitrse!!!! Cso.- Binomio l cudrdo: Es un producto de l form ( ± ).) Si los términos se sumn. ( ) ( )( ) Aplicndo l propiedd distriutiv l últim epresión : ( )( ) Recuerde que ( ).) Si los términos se restn. ( ) ( )( ) Aplicndo l propiedd distriutiv l últim epresión: ( )( ) Recuerde que ( ) Podemos concluir que: ( ± ) ± El desrrollo de un inomio elevdo l cudrdo result un Trinomio Cudrdo Perfecto. Dicho desrrollo del inomio es: Curso de Inducción Universitri

3 Productos Notles El primer término () l cudrdo: ± el dole producto del primer término por el segundo: El segundo término () l cudrdo: Donde el segundo término del trinomio llev el signo del segundo término del inomio. Además, el primer tercer términos del trinomio siempre son positivos. ERROR COMUN: ( ) lo correcto es ( ) 0 ( ) lo correcto es ( ) Evite confusiones nlice mu ien los siguientes ejemplos. Ej..Desrrolle ( ) Identificmos los términos del polinomio es el primer término es el segundo término Aplicmos l fórmul pr un inomio l cudrdo ( ) ( ) Ej..Desrrolle ( m ) ( ) () () Identificmos los términos del polinomio m es el primer término, es el segundo término El primero l cudrdo dos veces el primero por el segundo el segundo l cudrdo. Aplicmos l fórmul pr un inomio l cudrdo ( ) ( m ) m m ( m) () () m El primero l cudrdo - dos veces el primero por el segundo el segundo l cudrdo. Curso de Inducción Universitri

4 Productos Notles ERROR COMUN:. ( m ) m ( m ) ( ) ( ) L solución correct es l Este signo está repetido pues fue considerdo en el desrrollo: -m() m m m ( ) que se dá en el ejemplo Ej..Desrrolle ( ) Identificmos los términos del polinomio es el primer término, es el segundo término Aplicmos l fórmul pr un inomio l cudrdo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Recuerde que l elevr () h que l elevr l cudrdo mos fctores, por eso result. Ej..Desrrolle ( ) Identificmos los términos del polinomio es el primer término, es el segundo término Aplicmos l fórmul pr un inomio l cudrdo ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ej..Desrrolle ( ) Recuerde l operción Potenci de un Potenci, ( ), se coloc l mism se se multiplicn los eponentes Curso de Inducción Universitri

5 Productos Notles Es preferile colocr el término positivo primero pr evitr confusiones, es decir se plic l propiedd conmuttiv de l sum. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ej..Desrrolle Recuerde que l elevr un frcción l cudrdo se elev numerdor denomindor l mism potenci Ej. 7.Desrrolle ( ) Oserve que mos términos son negtivos. En l próim sección se estudi l fctorizción comprenderá que l fctorizr por (-), podemos trnsformr l epresión. De momento es importnte ser que nte un situción como ést, result práctic mtemáticmente correct l siguiente iguldd: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) Amos términos hn cmido de signo sin lterr el vlor del resultdo, sólo porque el eponente es pr. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Respuest: ( ) ( ) 0 Otr solución es (-- ) (-) - (-). (-) 0, recuerde que el primer término es - el segundo es -. Al plicr l fórmul, no se escrie el signo del segundo término del trinomio que ést lo que consider previmente. Curso de Inducción Universitri

6 Productos Notles Cso.- Producto de dos inomios con un término común: Es un producto de l form ( )( ) donde el término común (en este cso) es. Al desrrollr este producto plicndo l propiedd distriutiv, tenemos: ( ) ( ) ( ) Es decir: ( ) ( ) ( ) El cudrdo del término común ( ) el producto del término común () por l sum lgeric de los no comunes () el producto de los términos no comunes (). Ej..Desrrolle ( )( ) El término común es, términos no comunes Ej..Desrrolle ( )( 7 ( )( ) ( ) ( )( ) ) El término común es, términos no comunes -7 ( )( 7) ( ) ( 7)( ) ( )( 7) ( )( ) Ej. 0.Desrrolle Curso de Inducción Universitri

7 Productos Notles 7 El término común es, términos no comunes Ej..Desrrolle ( ) ( ) El término común es, términos no comunes ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Ej..Desrrolle ( )( ) El término común es, términos no comunes Note que en este cso el término común no prece como primer término de mos inomios. Es posile ordenr ntes de efectur el desrrollo. ( )( ) [ ] ) )( ( ) ( Qué ps cuándo los términos no comunes sólo difieren en el signo? Pues ien, se nos present el cso de producto notle conocido como sum por diferenci de inomios. El cul será desrrolldo más delnte. Ej..Desrrolle Curso de Inducción Universitri

8 Productos Notles Estos términos se grupn pr plicr l regl Los términos comunes son, Términos no comunes Se simplificn ls frcciones Cso.- Sum por diferenci de Binomios: Es un producto de l form ( ) ( ) Oserve que el término común está representdo por los términos no comunes son los mismos pero de signo contrrio. Aplicmos el método del prtdo nterior otenemos: ( )( ) ( ) ( )( ) Es decir: ( ) ( ) El producto de l sum por l diferenci es un diferenci de cudrdos. Su desrrollo es el término común l cudrdo menos el término no común l cudrdo. Vemos lgunos ejemplos: Ej..Desrrolle ( )( ) ( )( ) () ) ( Curso de Inducción Universitri

9 Productos Notles No tiene importnci cul fctor v primero, l sum o l diferenci, que el producto cumple con l propiedd conmuttiv, es decir: Ej..Desrrolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ej..Desrrolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Note que el término común es ( ) los no comunes (-) () sólo difieren en el signo. Ej. 7.Desrrolle ( ) ( ) En este cso, notmos que los términos de los inomios () () tienen signos contrrios, es decir no eisten términos comunes, por lo tnto no podemos plicr l regl de Sum Por Diferenci, este ejemplo podemos trtrlo de l siguiente mner: ( ) ( ) Se plic l propiedd distriutiv Reducción de términos semejntes. Ej..Desrrolle ( ) ( ) Curso de Inducción Universitri

10 Productos Notles 0 En este cso notmos que los términos que convienen seleccionr pr plicr el producto de sum por diferenci son: siguiente mner: ( ) ( ). Entonces lo trtmos de l ( ) ( ) Ordenndo qued: ( ) ( ) Cso.- Binomio l cuo: Es un epresión de l form ( ± ), vmos estudir los csos por seprdos: Cso. A. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Aplicndo l propiedd distriutiv Aplicmos l fórmul pr el inomio l cudrdo grupndo términos semejntes tenemos: ( ) Es decir, el cuo del er término veces el cudrdo del er. término por el do. término veces el er. término por el cudrdo del do. término el cuo del do. término Oserve: h h h Los dos términos centrles tienen como fctor. Término término, v descendiendo de grdo:,, 0. Término término, v scendiendo de grdo: 0,,,. Curso de Inducción Universitri

11 Productos Notles Ej..Desrrolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Cso. B. ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) distriutiv propiedd Aplicndo l grupndo términos semejntes tenemos: ( ) Es decir: el cuo del er término - veces el cudrdo del er. término por el do. término veces el er. término por el cudrdo del do. término - el cuo del do. término Ej. 0.Desrrolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )() ( )() 7 7 Ej..Desrrolle ( ) Curso de Inducción Universitri

12 Productos Notles ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ej..Desrrolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cso.- Binomio de Newton: Cundo se tiene un inomio elevdo un potenci enter positiv, eiste un desrrollo generl conocido como el Teorem del Binomio de Newton, el cul utiliz un serie de coeficientes que siguen un modelo conocido como el Triángulo de Pscl. Este método es mu útil pr desrrollr inomios ( [ n entero positivo] el Triángulo de Pscl viene ddo por: ) n ()... () () () () () () 0 Curso de Inducción Universitri

13 Productos Notles Con l ecepción de los coeficientes unitrios etremos, los otros coeficientes resultn de l sum de los dos números que están sore él. Por ejemplo, pr los coeficientes encerrdos en círculo tenemos, h El coeficiente, es l sum de ; h El coeficiente es l sum de 0 Así, todos los coeficientes de los inomios se genern, sumndo los coeficientes que están por encim de él, l derech l izquierd Ej..Desrrolle ( ) Al plicr el inomio de Newton el producto es igul : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) Oserve: hsi el inomio tiene potenci n, el resultdo tendrá n términos hlos dos términos etremos están elevdos l potenci del inomio. h Los términos centrles tienen como coeficientes los elementos de l fil n del Triángulo de Pscl. h Término término, el er. elemento del inomio v descendiendo de grdo:,,,, 0. h Término término, el do. elemento del inomio v scendiendo de grdo: 0,,,,,. En generl, pr un inomio () n tenemos: h h n n n n n n ( ) c c c n n K donde: cn, cn, cn, cn, Kcn n son los coeficientes que están en l (n)-fil del Triángulo de Pscl Si el inomio tiene potenci n, el resultdo tendrá (n) términos Los dos términos etremos están elevdos l potenci del inomio, n. n n Curso de Inducción Universitri

14 Productos Notles h h Término término, el er. elemento del inomio v descendiendo de grdo: n,(n- ),..., 0. Término término, el do. elemento del inomio v scendiendo de grdo: 0,,,... (n-),n Ej..Desrrolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hemos utilizdo el Triángulo de Pscl, donde el er. término del inomio es el do. término es. Los coeficientes del inomio son:,,,. ( t. fil del Triángulo de Pscl) los términos cumplen con l siguiente condición: Ls potencis del er. elemento,, vn decreciendo:,,,, 0. Los potencis del do. elemento,, vn creciendo: 0,,,,. Continuemos desrrollndo el ejemplo: ( ) Ej..Desrrolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) 0( ) ( ) ( )( ) ( ) Oserve como los signos se vn lternndo cundo el do. elemento del inomio está restndo, empezndo por el signo luego -,, -,,-,... Ej..Desrrolle Vmos utilizr el Binomio de Newton pr resolver este producto: Curso de Inducción Universitri

15 Productos Notles ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicios de plicción: Ej. 7. Utilice productos Notles pr clculr el volumen del siguiente cuo - Primero recordemos que el cuo tiene tods sus dimensiones de igul medid, es decir: lrgo ncho ltur Luego oservemos que l fórmul pr el volumen de un sólido sustituimos: ( ) ( ) ( ) ( ) rg lto ncho o l V Aplicndo ls propieddes de multiplicción de potencis de igul se Por último desrrollmos el producto notle: ( ) ( ) ( ) ( ) ) (.() ) ( Ej..Un piez cudrd de crtón es utilizd pr construir un cj sin tp, cortndo de cd esquin un cudrdo de cm de ldo; luego se doln los ordes pr formr los ldos de l cj. Hllr l fórmul que permit conocer ls dimensiones de l piez de crton pr que el volumen de l cj se de.00 cm? Primero representmos gráficmente l piez de crtón: Curso de Inducción Universitri

16 Productos Notles -0-0 Fig. Fig. Llmmos l ldo de l piez cudrd de crtón. En l Fig., cortmos ls esquins l prte somred represent el fondo de l cj ls pestñs de l piez cortd de cm. represent l ltur de l cj. El volumen V de l cj será: V l rg o ncho lto V ( 0) ( 0) V ( 0) Semos, por el enuncido del prolem, que el volumen de l cj es igul.00 cm, es decir V ( 0) ( 0).00 ( 0). 00 Respuest: l fórmul desed es ( 0) 00, oserve que es un producto notle. Ejercicios Propuestos: I. Desrrolle los siguientes inomios l cudrdo: ) ( ) ) ( ) Curso de Inducción Universitri

17 Productos Notles 7 c) ( ) e) ( ) g) ( ) d) f) h) i) ( ) j) II. Desrrolle los siguientes inomios l cuo: ) ( ) ) ( ) c) ( ) d) e) ( ) f) ( ) III. Desrrolle los siguientes productos de inomios utilizndo Productos Notles: ) ) ( )( ) c) ( )( ) ( )( ) d) e) f) h) g) ( )( ) Curso de Inducción Universitri

18 Productos Notles IV. Desrrolle utilizndo el Binomio de Newton el Triángulo de Pscl: ) ( ) ) ( ) c) ( ) e) ( ) d) f) V. Desrrolle los siguientes productos utilizndo productos notles ) ( ) ) c) ( ) e) d) n n n n f) ( ) ( ) g) n n n n VI. Responde cd un de los siguientes plntemientos ) Qué diferenci oservs entre ( )? ) Es ( ) ( )? Justific tu respuest. ( ) ) c) Es (? Justific tu respuest. d) Si 7 -, Cuánto vle -? Curso de Inducción Universitri

19 Productos Notles VII. Utilice Productos Notles pr determinr l fórmul que permit clculr el volumen de cd uno de los siguientes cuos: ) ) c) - Utilice Productos Notles pr determinr l fórmul que permit clculr el áre de cd uno de ls siguientes figurs: d) e) - Resuelv los siguientes prolems: f) Si un cudrdo de áre es igul se le sum un ldo 0 cm l otro cm, Cuál es l fórmul que permite clculr el áre de l nuev figur? g) Encuentre un fórmul que permit clculr el áre de l se de un prlelepípedo de se rectngulr, siendo que ls dimensiones son: cm de ltur, en l se el lrgo es uniddes menos que l ltur el ncho es uniddes más que l ltur. h) Un envse tiene form de cuo contiene un volumen igul cm. Con l finlidd de disminuir costos, l empres reducir el tmño del envse restndo n uniddes (con n<) l rist del cuo originl. Qué fórmul permite conocer el volumen del nuevo envse? i) Un tnque en form de prlelepípedo se encuentr lleno de gu. Ls dimensiones del tnque que son: lrgo ; ncho ltur Curso de Inducción Universitri

20 Productos Notles 0 si l rir l llve el nivel de gu se reducen en cm, cuál es el volumen de gu que qued dentro del tnque? Respuests de los ejercicios propuestos: Prte I ) 0 ) c) e) g) i) j) d) f) h) Prte II ) 7 ) 7 c) e) f) d) 7 7 Prte III ) c) d) ) 0 e) f) 0 0 Curso de Inducción Universitri

21 Productos Notles g) h) Prte IV ) ) c) d) e) ( ). f) 7 Prte V ) 0 ) c) d) 7 7 e) g) 0 n n n n f) n n n Prte VII ) Resp: V ( ) ) Resp: V ( ) 7 Curso de Inducción Universitri

22 Productos Notles c) Resp: V ( ) 00 0 d) Resp: A( ) e) Resp: A ( ) f) Resp: A( ) 0 g) Resp: V ( ) h) Resp: V ( n) 7n n n i) Resp: 0 Curso de Inducción Universitri