anual, bienal, etc. y nos referimos al número de capitales que vencen cada año como frecuencia (por

Transcripción

1 Tema 35 Valoración de rentas Conceptos generales Una renta es una sucesión de capitales con vencimientos periódicos. Su periodicidad es el tiempo que transcurre entre dos vencimientos consecutivos y el periodo de maduración de la renta el intervalo constante de tiempo que transcurre entre estos vencimientos. Así, hablamos de renta mensual, trimestral, anual, bienal, etc. y nos referimos al número de capitales que vencen cada año como frecuencia (por ejemplo, una renta mensual tiene frecuencia 12) pospagable prepagable Los términos de la renta, denotados por a i, son las cuantías de los capitales que la forman y supondremos que sus vencimientos corresponden, bien al extremo inferior del periodo (renta prepagable), bien al extremo superior (renta pospagable). En ambos casos nos referimos a t 0 como el origen de la renta, a t i como el final del periodo i y a t n como el final de la renta. La duración de la renta es el número de periodos que transcurren desde su inicio hasta su final. Si este número es finito diremos que la renta es temporal y denotamos por n el número de términos. Si este número es infinito diremos que la renta es perpetua. Los fines prácticos fundamentales que se persiguen con el pago de una renta son la amortización de una deuda y la constitución de un capital disponible en un futuro. Nuestro objetivo es valorar la renta mediante 1091

2 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS una ley de capitalización compuesta en un momento determinado del tiempo. El valor de la renta en el origen recibe el nombre de valor actual y en su final el de valor final. Cuando el momento de valoración coincide con el origen o el final de la renta diremos que ésta es inmediata. Si el origen de la renta es posterior al momento de valoración diremos que la renta es diferida y nos referiremos al tiempo transcurrido entre ambos como diferimiento. A su vez, si el final de la renta es anterior al momento de valoración diremos que la renta es anticipada Valoración de rentas de términos constantes El primer paso para la valoración de rentas es obtener el valor actual de una renta pospagable constante de n términos de cuantía a en base al tanto de interés del periodo i. Para ello, calculamos los valores en el origen de cada uno de sus términos y los sumamos utilizando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica de razón r = (1 + i) 1 A = a(1 + i) 1 + a(1 + i) a(1 + i) n = a(1 + i) 1 a(1 + i) n (1 + i) 1 1 (1 + i) n = a 1 (1 + i) 1 i Denotamos por a n i el factor que multiplica la cuantía del término, de forma que tenemos A = aa n i con a n i = 1 (1 + i) n i PROYECTO MATECO Página 1092

3 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS Tomando límite cuando n tiende a infinito obtenemos el valor actual de una renta perpetua A = aa i = a i Como factor a n i toma n términos consecutivos de igual cuantía y los deja un periodo antes del vencimiento del primer término de la renta y corresponde al valor actual en base al tanto de interés del periodo i de una renta unitaria de n términos, Para obtener el valor final de una renta constante de n términos de cuantía a en base al tanto de interés del periodo i, capitalizamos el valor actual de la renta hasta su final multiplicando por (1 + i) n. S = aa n i (1 + i) n = a 1 (1 + i) n (1 + i) n = a (1 + i)n 1 i i Denotamos por s n i el factor que multiplica la cuantía de forma que tenemos S = as n i con s n i = (1 + i)n 1 i Como factor s n i toma n términos consecutivos de igual cuantía y los deja en el vencimiento del último término de la renta y corresponde al valor final en base al tanto de interés del periodo i de una renta unitaria de n términos, Las fórmulas son validas siempre y cuando el tanto y los periodos estén expresados en las mismas unidades Página 1093 PROYECTO MATECO

4 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Si fijamos el interés, como función del número de pagos a n i aumenta a medida que aumenta el número de pagos con límite 1/i correspondiente a una renta perpetua Si fijamos el número de pagos, como función del interés a n i disminuye a medida que aumenta el interés con límite cero. Su valor máximo es n correspondiente a un interés cero. Ejemplo 35.1 Calcular los valores actual y final de un sueldo mensual de 600 durante 8 meses considerando un tanto de interés mensual del 1 %. Cuál sería su valor 3 meses antes de su comienzo? Y 4 meses después de su final? Para calcular el valor actual multiplicamos la cuantía por a ( ) 8 A = = 600 7, = 4591, 01 Para calcular el valor final tenemos dos posibilidades: calcularlo directamente multiplicando la cuantía por s o multiplicar por (1 + i) n el valor actual S = 600 ( ) = 600 8, = 4971, 40 PROYECTO MATECO Página 1094

5 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS S = 4591, 01( ) 8 = 4971, 40 Para calcular el valor tres meses antes de que comience (diferida 3 periodos) multiplicamos el valor actual por (1 + i) 3. A = 4591, 01( ) 3 = 4455, 99 Para calcular el valor final cuatro meses después de que termine (anticipada 4 periodos) tenemos dos posibilidades: multiplicar por (1 + i) 8+4 el valor actual o multiplicar por (1 + i) 4 el valor final S = 4591, 01( ) 12 = 5173, 26 S = 4971, 40( ) 4 = 5173, 26 Ejemplo 35.2 Calcular el valor actual y final de una renta anual, inmediata, postpagable, formada por diez términos de cuantía y valorada al 5 % anual para los seis primeros años y al 7 % para los cuatro últimos. A = 1000a a (1+0.05) 6 = ( ) 6 1 ( ) (1+0.05) 6 = 7603, S = A( ) 6 ( ) 4 = 13355, 86 Ejemplo 35.3 Calcular el valor actual de una renta pospagable de 400 euros trimestrales, valorando al 12 % nominal, a la que tendremos derecho dentro de un año y recibiremos durante los 5 siguientes. Solución: 5.287,38 euros. Página 1095 PROYECTO MATECO

6 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Ejemplo 35.4 Una finca tiene un valor estimado de euros, pero está gravada con un censo que se paga cada 2 años por un importe de euros. Si el próximo censo vence dentro de 2 años, cuál es el valor neto de la finca suponiendo un tipo de interés efectivo anual del 8 5 %? Solución: ,28 euros. Ejemplo 35.5 Un club deportivo compra terrenos adicionales por un valor de euros pagando euros al contado y comprometiéndose a pagar el resto en 6 pagos anuales iguales al final de cada año. Cuál deberá ser el importe anual de cada pago si el tipo de interés pactado es el 10 % anual? Solución: 3.444,11 euros. Ejemplo 35.6 Determínese el número de términos pospagables de cuantía constante euros necesarios para cancelar una deuda de euros sabiendo que para su valoración se utiliza un rédito periodal constante del 10 %. Si el resultado obtenido no es entero redondearlo por defecto y considerar un pago complementario al contado. Solución: 11 pagos de euros y 257,41 euros al contado. Ejemplo 35.7 Mediante el pago de euros al final de cada año se pretende cancelar una deuda de euros. Si el tanto de valoración es el 10 % anual. Cuál será el número de pagos a efectuar? Si el resultado obtenido no es entero redondearlo por exceso y modificar la cuantía de los pagos. Solución: 15 pagos de 1.972,11 euros. Ejemplo 35.8 El valor al contado de una vivienda es de y nos proponemos adquirirlo entregando en el momento de la compra y el resto en 20 pagos anuales de 5.000, efectuándose el primero al año de la compra. Qué tanto de interés nos cobran por los pagos aplazados? Solución: 7.75 % Ejemplo 35.9 Calcular el valor actual de una renta postpagable de 10 términos anuales cuyos tres primeros son de 800, cada uno de los 4 siguientes de y los restantes de El tipo de interés es del 8 % para los 4 primeros años y del 10 % para los restantes. Solución: 6.922,54 euros. Para la valoración de rentas prepagables en primer lugar consideramos una renta constante de n términos de cuantía a. PROYECTO MATECO Página 1096

7 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS.Ȧ) Para obtener su valor actual ( tenemos en cuenta que desde un periodo antes de su comienzo la podemos ver como una renta pospagable cuyo valor conocemos (A). Solo hace falta capitalizar este valor un periodo para obtener el valor actual de la renta prepagable en el origen. Análogamente, el valor final de la renta prepagable (.. S ) se obtiene capitalizando un periodo el valor final de la renta pospagable (S )..... A= A(1 + i) = aa n i (1 + i) = aä n i S = S (1 + i) = as n i (1 + i) = a s n i Hemos denotado por ä n i el factor que multiplica a la cuantía en el valor actual. Este factor toma n términos consecutivos de cuantía constante a y los deja en el vencimiento del primer término. A su vez, hemos denotado por s n i el factor que multiplica a la cuantía en el valor final, que deja los términos un periodo después del vencimiento del último término. Los factores que multiplican a la cuantía no dependen de la escala temporal y solo dependen del número de términos y del interés del periodo. El valor final también se puede obtener capitalizando el valor actual. Las rentas diferidas y anticipadas se valoran análogamente multiplicando por los factores de descuento y capitalización adecuados. Ejemplo Una compañía de telefonía móvil nos ofrece un contrato de tarifa plana de conexión a internet por 20 durante un año a pagar al principio de cada mes. Calcular los valores actual y final de la oferta valorando al 5 % anual. Cuál sería el valor hoy de la oferta si la contrataremos dentro de tres meses? Página 1097 PROYECTO MATECO

8 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Solución Como la renta es mensual necesitamos el tanto mensual efectivo i 12 = ( ) 1/12 1 = 0, Para obtener el valor actual multiplicamos la cuantia por ä n i y a partir de él obtenemos el valor final.. A= 20ä 12 0, = 20a 12 0, (1 + 0, ) = 234, 72.. S =.Ȧ (1 + 0, )12 = 246, 46 Para obtener el valor tres meses antes basta con descontar el valor actual este tiempo X =.Ȧ (1 + 0, ) 3 = 231, 87 Ejemplo Calcular los valores inicial y final de una renta discreta, inmediata, formada por 10 términos de cuantía euros y valorada a un tanto periodal del 5 %. Distinguir los casos prepagable y pospagable. Solución: 7.721, ,89. (pos.) 8.107, ,79 (prep.) Ejemplo Calcular la diferencia entre los valores actuales, valorando al 13 %, de dos rentas de cuantía constante anual 500, prepagables e inmediatas de 100 años de duración una e indefinida la otra. Solución: 0,0214 euros. PROYECTO MATECO Página 1098

9 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS Ejemplo Cierta persona ha venido realizando durante 7 años imposiciones de euros al principio de cada semestre en una entidad financiera que capitaliza a redito constante semestral del 4 %. Determínese el montante del que podrá disponer en este momento sabiendo que hace un año que realizo la última imposición. Solución: ,53 euros. Ejemplo Calcular el valor actual de una renta prepagable de cuantía anual de euros y 5 años de duración, si para su valoración se utiliza un rédito constante anual del 11 % los 3 primeros años y del 10 % los restantes. Solución: 8.216,87 euros. Ejemplo Cierta persona con derecho a percibir dentro de 3 años una renta pospagable semestral de cuantía euros y con duración indefinida solicita hoy sustituirla por otra renta trimestral de 20 años de duración, recibiendo el primer término en este mismo momento. Si los tantos nominales semestrales de valoración son del 9 % para los 10 primeros años y del 10 % para los siguientes, determínese la cuantía trimestral a percibir. Solución: 429,20 euros. Ejemplo Un señor necesita disponer de un capital de euros dentro de ocho años. Determínese la cuantía de las imposiciones a realizar en los casos: a) Ocho imposiciones anuales prepagables de cuantía constante A en una entidad que capitaliza al 8 %. b) Imposiciones anuales pospagables de cuantía B los seis primeros años y de cuantía 2B los restantes valorando al 8 %. c) Imponer al principio de cada año una cuantía constante C durante los ocho años, valorando en este caso al 7 % los 5 primeros años y al 9 % para los restantes. Solución: A=3.482,03 euros B=3.145,49 euros. C=3.465,65 euros. Ejemplo Un inversor acude a una entidad bancaria para constituir un fondo de ,48 euros, ésta le propone imposiciones durante los próximos 12 años de euros al principio de cada semestre de Página 1099 PROYECTO MATECO

10 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS los 4 primeros años y de euros al principio de cada semestre de los 8 restantes. Qué tanto de interés anual efectivo ha utilizado la entidad bancaria para la valoración? Solución 3 % Ejemplo Una empresa prevé unos gastos diversos durante 10 años que suponen euros trimestrales prepagables durante los cinco primeros años y euros trimestrales prepagables durante los cinco restantes. Calcular el valor actual de dichos gastos valorando al 3 % efectivo anual. Solución ,81 euros Ejemplo Una empresa prevé unos ingresos de euros cada tres años. Si el próximo ingreso se producirá dentro de un año. Calcular el valor actual de dichos ingresos de los próximos 22 años, valorando al 4 % anual efectivo. Solución ,14 euros Ejemplo Una empresa tiene unos gastos al final de cada trimestre de cuantía constante euros salvo el último trimestre de cada año cuya cuantía es de euros. Calcular la cantidad que tiene que ingresar la empresa el 1 de enero del primer año, en una entidad que aplica un interés del 4 %, para pagar los gastos de los próximos 3 años. Solución ,53 euros Ejemplo Calcular el valor al comienzo del primer año de los gastos que tendrá una empresa en los próximos cinco años, valorando al 2 % anual efectivo, sabiendo que son gastos mensuales de euros al final de los 9 primeros meses de cada año. Solución ,79 euros Ejemplo Dentro de cuatro años tendremos derecho a recibir una renta de euros anuales durante 10 años. Cuál es su valor hoy si valoramos los pagos al 5 % anual? Y su valor dentro de 20 años? Y su valor hoy si la renta fuese perpetua? Distinguir si la renta es pospagable o prepagable Solución: , , ,25 (pos) , , ,76 (pre). Ejemplo Una sociedad posee un local por el que recibe cierta cantidad trimestral en concepto de alquiler que valora al 5 % PROYECTO MATECO Página 1100

11 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS a) Cuál es el valor actual de los ingresos si se alquila durante 10 años por trimestrales? Y el valor final? b) Por cuánto tendría que alquilar el local para que el valor actual de estos ingresos sea al menos de ? Solución (a) , ,31. (b) 7.850,21. Ejemplo Determinar la cantidad que tendremos ahorrada al cabo de 10 años si depositamos en un banco cierta cantidad al final de cada cuatrimestre en los siguientes casos. a) Ingresamos 600 euros todos los años y nos aplican un 4 % anual. b) Ingresamos 600 euros todos los años y nos aplican un 4 % anual los 6 primeros años y un 3 % anual los restantes. c) Ingresamos 600 euros los 4 primeros años y 800 los restantes y nos aplican un 4 % anual todos los años. d) Ingresamos 600 euros los 4 primeros años y 800 los restantes y nos aplican un 4 % anual los 6 primeros años y un 3 % anual los restantes. Solución (a) ,63 (b) ,80 (c) ,01euro (d) , Valoración de rentas de términos variables en progresión aritmética y geométrica Una renta es variable en progresión aritmética si cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada diferencia, que se denota por d (la renta es creciente para d > 0 y decreciente para d < 0). Página 1101 PROYECTO MATECO

12 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Una renta es variable en progresión geométrica si cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón, que se denota por q con q > 0 (la renta es creciente para q > 1 y decreciente para q < 1). Las fórmulas que vamos a obtener corresponden a rentas pospagables y, en ellas, los valores actuales toman n términos consecutivos y los dejan un periodo antes del vencimiento del primer término. Las fórmulas de valores finales toman n términos consecutivos y los dejan en el vencimiento del último término. Las fórmulas de las rentas prepagables se obtienen de las de las pospagables multiplicando por 1 + i. El primer paso es obtener el valor actual de una renta variable en progresión aritmética, cuyo primer término es a y cuya diferencia es d, en base al tanto de interés del periodo i. Para ello, calculamos los valores en el origen de cada uno de sus términos A = a(1 + i) 1 + (a + d)(1 + i) 2 + (a + 2d)(1 + i) (a + (n 1)d)(1 + i) n = a ( (1 + i) 1 + a(1 + i) 2 + (1 + i) (1 + i) n) + d ( (1 + i) 2 + 2(1 + i) (n 1)(1 + i) n) Si denotamos por R el factor que multiplica la diferencia tenemos A = aa n i + dr Para calcularlo, multiplicamos R por 1+i y restamos R a la expresión obtenida, con lo que tenemos que ir = (1 + i)r R = (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + (1 + i) (1 + i) n n(1 + i) n = a n i n(1 + i) n PROYECTO MATECO Página 1102

13 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS Despejando R y sustituyendo su valor tenemos A = aa n i + d a n i n(1 + i) n i El valor final se obtiene capitalizando n periodos el valor actual S = as n i + d s n i n i Tomando límites obtenemos el valor actual de una renta perpetua A = a i + d i 2 Nota Una fórmula equivalente para calcular el valor actual de una renta variable en progresión aritmética, cuyo primer término es a y cuya diferencia es d, en base al tanto de interés del periodo i es (a + d i + dn)a n i dn i Ejemplo Valorando al 4 % anual, calcular los valores inicial y final de una renta pospagable de duración diez años cuyo primer término es de y los restantes aumentan 500 cada año. A = 2000a a ( ) 10 = 33162, s s S = 0.04 = 49088, 55 A( ) 10 Ejemplo Obtener el valor actual al 4 % de una renta perpetua semestral prepagable de primera cuantía y que aumenta en 25 cada semestre. Página 1103 PROYECTO MATECO

14 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Como la renta es semestral necesitamos calcular primero el interés efectivo del periodo i 2 = ( ) 1/2 1 = 0, Como es prepagable multiplicamos el valor de la pospagable por 1 + i 2 ( A = , , ) (1 + 0, ) = , 3451 Al igual que hicimos con las progresiones aritméticas, el primer paso es obtener el valor actual de una renta variable en progresión geométrica, cuyo primer término es a y cuya razón es q, en base al tanto de interés del periodo i. Para ello, calculamos los valores en el origen de cada uno de sus términos y los sumamos A = a(1 + i) 1 + aq(1 + i) 2 + aq 2 (1 + i) aq n 1 (1 + i) n Tenemos que distinguir dos casos, ya que los sumandos forman una progresión geométrica de razón r = q(1 + i) 1, que es contante cuando r = 1 y esto sucede cuando q = 1 + i. Cuando q = 1 + i todos los sumandos son iguales al primero y su suma se obtiene multiplicando el primeo por el número de términos A = na(1 + i) 1 = an 1 + i Cuando q 1 + i calculamos la suma mediante la fórmula correspondiente a la suma de n términos de una progresión geométrica de razón r = q(1 + i) 1, multiplicando numerador y denominador por (1 + i) y sacando a factor común tenemos A = a(1 + i) 1 aq n 1 (1 + i) n q(1 + i) 1 = a 1 qn (1 + i) n 1 q(1 + i) i q PROYECTO MATECO Página 1104

15 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS El valor final se obtiene capitalizando el valor actual n periodos A = a 1 qn (1 + i) n 1 + i q a n 1 + i q 1 + i q = 1 + i = S = a (1 + i)n q n 1 + i q an(1 + i) n 1 q 1 + i q = 1 + i El caso correspondiente a una renta perpetua solo tiene sentido si el factor de actualización es mayor que la razón de la progresión, lo que sucede si q < 1 + i. Tomando límites en este caso tenemos A = a 1 + i q Ejemplo Una persona deposita al final de cada año en un fondo de inversión que le rinde un 2 % anual cantidades que crecen un 1 % acumulativo, siendo la primera de Obtener el capital que tendrá ahorrado después de realizar ocho imposiciones. S = 5000 ( ) = 44401, 34 Ejemplo Calcular el valor actual de los ingresos que percibirá una empresa en los próximos 6 años, sabiendo que la producción del primer año se valora al final del año en euros y que será incrementada cada año sobre el anterior en euros si para la valoración se utiliza el 10 %. Solución: ,49 euros. Ejemplo Cierta persona impone en un banco el primero de enero de cierto año la cantidad de euros y en la misma fecha de los años siguientes impone una cantidad que es un 10 % mayor que la del año anterior. Qué cantidad reunirá al cabo de 8 años de efectuar la primera imposición, si la entidad capitaliza al tanto del 5 % anual? Distinguir si ha vencido el noveno término o no. Solución: ,39 euros (si) ,80 euros. (no) Página 1105 PROYECTO MATECO

16 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Ejemplo Una persona que percibe actualmente un sueldo neto anual de euros ahorra el 25 % de sus ingresos y los deposita al final de cada año en una entidad bancaria que capitaliza al 5 %. Determínese la cuantía de que podrá disponer al cabo de 10 años en el supuesto de que las subidas salariales sean del 8 % anual acumulativo durante los 5 primeros años y del 6 % durante los restantes. Solución: ,83 euros. Ejemplo Una persona se plantea depositar al final de cada año durante 10 años un 10 % de su sueldo en un fondo de inversión que le rinde un 2 % anual. a) Obtener el capital que tendría ahorrado si el primer año cobra euros y prevé que las subidas del salario sean de un 1 % acumulativo cada año. b) Cuánto tendría que cobrar para ahorrar en las mismas condiciones euros? c) Qué capital ahorraría si el fondo rindiera un 2 % los primeros 4 años y un 3 % los restantes? d) Qué sucedería en los distintos casos si las subidas del salario son de 2000 cada año? Solución (a) ,15 (b) ,32 (c) ,87 (d) ,81e; ,42e; ,65 Ejemplo Una sociedad posee un local por el que actualmente recibe 6000 euros anuales en concepto de alquiler. a) Cuál es el valor actual de los ingresos si los valora al 4 % y se alquila durante 10 años, esperando subidas de euros cada año? Y el valor final? b) Por cuánto tendría que alquilarlo el primer año en las mismas condiciones para que el valor actual sea al menos de euros? c) Cuál sería el valor actual de los ingresos si los valora al 4 % los 4 primeros años y al 3 % los restantes? Y el valor final? d) Qué sucedería en los distintos casos si el alquiler sube un 3 % acumulativo cada año? Solución (a) ,60e, ,89 (b) 4.713,91e; (c) ,49e, ,88 (d) 57469, , , ,29e, ,48 PROYECTO MATECO Página 1106

17 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS Valoración de rentas fraccionadas Una renta fraccionada es una renta cuyos n periodos están divididos en k fracciones iguales de tal forma que dentro de cada periodo la cuantía de la renta se mantiene constante (el número total de términos es nk). En particular, las rentas constantes dentro del año y variable en progresión geométrica/aritmética año a año son rentas fraccionadas. El procedimiento que utilizaremos para valorarlas comienza convirtiendo la renta en una renta anual, llevando los términos de cada año a principio o a final del año (obtendremos una renta prepagable en el primer caso y pospagable en el segundo). A continuación valoramos la renta anual obtenida con la fórmula correspondiente al caso. Ejemplo Calcular el valor final de los ingresos de una empresa durante los próximos 4 años si se prevé que sean de 500 trimestrales constantes durante el primer año creciendo un 2 % anual acumulativo y se valoran al 5 % anual efectivo. Como la renta es trimestral necesitamos calcular primero el interés efectivo del periodo i 4 = ( ) 1/4 1 = Convertimos la renta en anual llevando los ingresos de cada año a final del año S 1 = 500s = ( ) = 2037, 12 S 2 = s = 500s = 2037, Página 1107 PROYECTO MATECO

18 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Al calcular los primeros términos observamos que tenemos una renta anual variable en progresión geométrica de razón 1,02 con 4 términos y cuyo primer término es S 1 = 2037, 12 (pospagable pues hemos llevado los términos a final de año). S = 2037, 12 ( ) = Ejemplo Calcular el valor actual de una subvención de la U.E. a una empresa durante tres años, valorando al 5 % anual efectivo, si esta subvención es de al final de cada trimestre durante el primer año y sus cuantías se incrementan en los años sucesivos en 30 trimestrales cada año (manteniéndose constante durante el año). Como la renta es trimestral necesitamos calcular primero el interés efectivo del periodo i 4 = ( ) 1/4 1 = Convertimos la renta en anual llevando los términos de cada año a principio del año 1 ( ) 4 A 1 = 1500a = = 5820, 34 A 2 = ( )a = 1500a a = 5820, , 41 PROYECTO MATECO Página 1108

19 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS Al calcular los primeros términos observamos que tenemos una renta anual variable en progresión aritmética de diferencia D = 116, 41 con 4 términos y cuyo primer término es A 1 = 5820, 34 (prepagable pues hemos llevado los términos a principio de año). A = (5820, 34a , 41 a ) 4( ) 4 ( ) = El procedimiento utilizado para valorar rentas fraccionadas se puede aplicar también en la valoración de una renta irregular dentro de cada periodo pero constante o variable en progresión geométrica/aritmética periodo a periodo (no es una renta fraccionada). Para ello, valoramos la renta obtenida llevando los términos de cada periodo al principio o al final del periodo (obtendremos una renta prepagable en el primer caso y pospagable en el segundo). Ejemplo Calcular el valor actual de los ingresos por la explotación de un kiosco de helados durante los próximos 4 años, valorando al 5 % anual efectivo, si se estima que los ingresos ascenderán a al final de cada mes durante los meses de mayo a septiembre que permanece abierto. Como la renta es mensual necesitamos calcular primero el interés efectivo del periodo i 12 = ( ) 1/12 1 = Convertimos la renta en anual llevando los términos de cada año a final del año Página 1109 PROYECTO MATECO

20 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS S = 1000s ( ) 3 = ( )4 1 ( ) 3 = La renta anual obtenida es constante 1 ( ) 4 A = a = = Ejemplo Los gastos de una empresa durante los próximos 4 años se prevé que sean de 500 euros trimestrales constantes durante el primer año creciendo un 2 % anual acumulativo. a) Calcular el valor final de los gastos si se valoran al 5 % anual efectivo. b) Calcular el valor final de los gastos si se valoran al 5 % anual efectivo los dos primeros años y al 3 % los restantes. c) Qué sucedería en los distintos casos si las subidas de los gastos no son acumulativas y cada año suben un 2 % de la cantidad inicial? Solución (a) 9.036,26 (b) 8.786,97 (c) 9.032,94e; 8.783,70 Ejemplo Un chiringuito permanece abierto durante los meses de mayo a septiembre y quiere valorar los ingresos de los próximos 6 años. Calcular con fecha 1 de enero el valor actual al 5 % de los ingresos correspondientes a los meses que permanece abierto en los siguientes casos: a) Los ingresos son de euros cada mes. b) Los ingresos son de euros cada mes del primer año y aumentan un 3 % acumulativo cada año. c) Los ingresos son de euros cada mes del primer año y aumentan 300 euros cada año. d) Qué sucedería en los distintos casos si se valora al 5 % anual efectivo los tres primeros años y al 3 % los restantes?. Solución (a) ,09 (b) ,94 (c) ,07 (d) , ,52e; ,60 PROYECTO MATECO Página 1110

21 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS Ejemplo En una línea de ferrocarril existe un paso a nivel que tiene que ser guardado por vigilantes cuyos salarios ascienden a euros anuales, mediante pagos iguales al final de cada mes. La construcción de un puente asciende a de euros y tiene que ser reemplazado cada 20 años, siendo sus gastos de conservación de euros anuales (supuestos vencidos). Valorando al 5 %, le interesa a la compañía construir el puente? Solución: Valor actual salarios ,56 euros. Valor actual puentes ,74 euros. Si. Ejemplo Calcúlese con fecha 1 de enero, el valor actual al 5 % de los ingresos que pueden obtenerse por la explotación de un kiosco de venta de helados durante los próximos 10 años, si se estima que los ingresos ascenderán a euros al final de cada mes durante los meses de mayo a septiembre en que permanece abierto. Solución: ,24 euros. Ejemplo La empresa Teletrabajo que tiene actividad sólo en los meses de marzo, abril y mayo, desea estimar los gastos que tendrá en los próximos 15 años. Si los gastos en cada uno de los meses de actividad del primer año ascienden a y en los años sucesivos se estima que estas cantidades aumentan 125 respecto del mismo mes del año anterior, calcular el valor actual de dichos gastos si valoramos a un tanto anual efectivo del 6 %. Solución: ,25 Ejemplo Un estudiante prevé que va a tener los siguientes gastos durante los cinco años de carrera: Gastos de matrícula 600 euros los dos primeros años, subiendo a 800 euros en los tres siguientes. Estas cantidades se pagan el 50 % el 1 de octubre de cada año y el resto el 1 de enero del año siguiente. Gastos de material 200 euros al comienzo de cada uno de los tres trimestres del curso. Gastos de manutención y alojamiento 600 euros mensuales a pagar al final de cada mes durante los nueve meses de curso (de octubre a junio) durante el primer año, incrementándose a razón de un 8 % acumulativo anual en años sucesivos. Página 1111 PROYECTO MATECO

22 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Determínese la cantidad que tendrá que depositar en estos momentos, al inicio de la carrera, en una entidad financiera que capitaliza al 5 % anual, para poder hacer frente a estos pagos. Solución: ,06 euros. Ejemplo Una empresa para resolver sus problemas de transporte, puede decidir entre las siguientes opciones: a) Adquisición cada 4 años de un vehículo que le cuesta euros y tiene unos gastos de conservación y reparación que se estiman en euros anuales al final de cada año. b) Adquisición cada 6 años de un vehículo que le cuesta euros y tiene unos gastos de conservación y reparación de euros anuales al final de cada año. Suponiendo un interés del 15 % anual. Cuál de las dos opciones es más interesante para la empresa si al final de la vida útil se efectúan las correspondientes renovaciones con carácter indefinido? Solución: Ga = ,12 euros Gb = ,76 euros (a) Una renta constante se puede valorar también como renta fraccionada Renta constante V = a a nk ik Renta fraccionada Valor final de los términos de un año Valor actual de la renta anual equivalente A = a s k ik = a (1 + i k) k 1 i k = a 1 + i 1 i k = a i i k PROYECTO MATECO Página 1112

23 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS V = ( ) a s k ik an i = a i i i a n i = k a a n i = k a a n i i k k i k J k Esto permite valorar la renta multiplicando el valor de una renta anual cuyos términos corresponden al total bruto anual (k a a n i ) por el cociente i J k La situación es análoga para los valores finales, que recibe el nombre de factor de corrección El uso de los factores de corrección se extiende a las rentas fraccionadas variables en progresión. En cualquier caso, no se debe confundir una renta fraccionada variable anualmente con una renta que varía en cada periodo Renta variable en progresión aritmética V = a a nk ik + d i k ( ank ik n(1 + i k ) nk) Renta fraccionada variable en progresión aritmética anualmente Obtenemos el valor final de los términos del primer año y de la correspondiente diferencia para calcular el valor de la renta anual equivalente V = ( as k ik ) an i + ds k i k i ( an i n(1 + i) n) También podemos calcularlo multiplicando por el factor de corrección el valor de una renta anual cuyos términos corresponden al total bruto anual V = [ k a a n i + k d ( an i n(1 + i) n)] i i J k Página 1113 PROYECTO MATECO

24 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Renta variable en progresión geométrica V = a 1 qnk (1 + i k ) nk 1 + i k q a n k (1 + i k ) 1 q 1 + i k q = 1 + i k Renta fraccionada variable en progresión geométrica anualmente Obtenemos el valor final de los términos del primer año para calcular el valor de la renta anual equivalente V = ( ask ik ) 1 q n (1 + i) n 1 + i q ( ) ask ik n(1 + i) 1 q 1 + i q = 1 + i También podemos calcularlo multiplicando por el factor de corrección el valor de una renta anual cuyos términos corresponden al total bruto anual V = k a 1 qn (1 + i) n 1 + i q k a n(1 + i) 1 i J k i J k q 1 + i q = 1 + i PROYECTO MATECO Página 1114

25 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS Ejercicios del tema Ejemplo Mediante la entrega de euros al término de cada año y durante 11 años se pretende constituir un capital que permita percibir durante los 20 años siguientes una renta constante. Calcular el termino de la misma si la operación se evalúa al tanto anual del 9 %, distinguiendo si la nueva renta es pospagable o prepagable. Solución: 6.732,84 euros (pos) Ejemplo Al objeto de que su hijo de 14 años de edad, reciba al alcanzar los 23 años la suma de euros, el Sr. López entrega cierta cantidad al final de cada año en una entidad que computa intereses al 8 5 % para este tipo de depósitos. Transcurridos cinco años el banco eleva el tipo de interés al 9 %. Se pide la anualidad que entregaba el Sr. López y la anualidad necesaria después de la subida del tanto para obtener la misma suma. Qué cuantía podría retirar el hijo si se continuasen depositando los mismos importes? Solución: 784,24 euros. 752,33 euros ,89 euros Ejemplo Una inmobiliaria pone en venta pisos cuyo precio de contado asciende a euros y ofrece a sus compradores las siguientes formas de pago: a) Dar entrada del 25 %, el 50 % mediante 10 letras semestrales, la primera dentro de 6 meses, y el 25 % restante es financiado mediante una hipoteca cuya amortización se realiza en 12 años a razón de 3.228,74 euros anuales. b) Entregar euros de entrada, euros al cabo de 6 meses y el resto en letras mensuales durante 10 años, siendo el vencimiento de la primera dentro de un año. Sabiendo que la inmobiliaria carga un 21 % de interés en los pagos aplazados, cuál será la cuantía de estos en cada una de las modalidades? Qué tanto de interés se aplica para constituir la hipoteca? Cuál es el tanto global de la primera opción?. Qué modalidad le interesaría más a un posible comprador desde el punto de vista financiero? Solución: 6.509,82 euros (a) 1.252,27 euros (b), 12 %, % 1ª. Página 1115 PROYECTO MATECO

26 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Ejemplo Para asegurarme unos ahorros abrí un fondo de inversión en el que he estado aportando 650 euros trimestrales al principio de cada trimestre durante 15 años. Sabiendo que la entidad financiera aplicó un 4 % nominal capitalizable trimestralmente los 10 primeros años y semestralmente los restantes, calcular la cantidad que podré retirar hoy si hace nueve meses que realicé la última imposición. Ejemplo Hemos estado imponiendo al principio de cada semestre 200 durante 7 años en un banco que capitaliza a un tanto nominal del 5 % y vamos a dejar el capital invertido durante 5 años más a un tanto anual efectivo del 4,75 % para obtener al final del plazo un complemento a nuestro sueldo de 150 mensuales hasta agotar el fondo. Cuántas mensualidades cobraremos si se valora al 1,75 efectivo trimestral?. Indicar si es necesario la cuantía del pago suplementario que realizará el banco en el vencimiento del último sueldo. Ejemplo Los gastos mensuales de alquiler de un estudiante a pagar al comienzo de cada mes durante los 9 meses del curso (de octubre a junio) son de 250 euros durante los 2 próximos años y de 300 euros mensuales durante los 2 siguientes. Calcular la cuantía que habría que ingresar al comienzo del primer curso (principio de octubre) para pagar los gastos de los próximos cuatro años en una entidad que aplica un tanto nominal del 5 % capitalizable mensualmente. Indicación: Considerar los años en vez de Enero a Diciembre, de Octubre a Septiembre y tomar como momento 0 el 1 de Octubre. Ejemplo El concesionario de la explotación de una patente tiene convenido con el inventor indemnizarle en la siguiente forma: Al final de cada año durante 8 años le entregará cantidades crecientes comenzando por euros y aumentando cada año en euros, en los años del 9 al 12 se percibirá la cuantía del octavo y a partir del año 13 se comenzará a ir disminuyendo las entregas en euros cada año respecto del anterior. Después de pagado el cuarto plazo deciden de común acuerdo sustituir los pagos restantes por cuantías constantes en el mismo número de las que quedan por vencer. Si el tipo de interés de valoración es el 12 % anual, determinar el valor actual de las cuantías a abonar por la concesión y la cuantía constante a abonar después del cuarto año. Solución: ,34 euros ,96 Ejemplo La Sociedad Anónima X estudia un proyecto consistente en el montaje de un determinado servicio, cuyas instalaciones significan un gasto inicial de euros y unos gastos periódicos de cuan- PROYECTO MATECO Página 1116

27 TEMA 35. VALORACIÓN DE RENTAS tía euros durante los tres primeros años, decreciendo después a razón de un 8 % anual sobre esta cantidad. Los ingresos se estiman en el 70 % de los gastos anuales durante los tres primeros años creciendo un 10 % acumulativo a partir del tercero. Suponiendo que la explotación del servicio se realice durante 15 años al cabo de los cuales se traspasa a un tercero por euros, calcular el valor actual de los beneficios tomando como tanto de valoración el 5 % y plantear la ecuación que nos da el tanto interno de rendimiento del proyecto. Solución: ,83 euros. 15 % Ejemplo La Sociedad Ferroviaria X pretende construir un ramal de ferrocarril para dar salida a la producción de una fábrica de cementos de reciente creación. Se estima que la instalación de vías y adquisición de material (máquinas, vagones, etc.) alcanzará un millón de euros. Los diversos gastos de carácter mensual se elevan a euros durante el primer año incrementándose en lo sucesivos a razón de euros anuales. Cada ocho años es preciso empezar a reponer el tendido de la vía, operación que tarda en realizarse cuatro años, importando anualmente euros. Cada diez años se prevén unos gastos de material de euros. Sobre la base de este informe técnico y valorando a un tanto del 10 % constante anual, ha de fijarse el precio base que la Sociedad Ferroviaria X debe cobrar por tonelada transportada suponiendo una producción de salida de la fábrica constante de toneladas mensuales. La duración de la concesión del transporte es de 30 años. Transcurrido este tiempo las instalaciones pasan a ser propiedad de la fábrica de cementos. Solución: 0,175 euros/tm Ejemplo Tres compañeros de la Escuela de Empresariales, tras finalizar sus estudios en la misma, deciden crear una empresa que ofrece el servicio de conexión a Internet. Para ello, alquilan un local que les cuesta euros mensuales y piden un crédito que les supone un gasto de 3.949,67 euros cada cuatrimestre al final del mismo, y con el que afrontan los pagos que les ha supuesto adquirir la franquicia que les permite ser servidores de Internet. Estiman unos gastos de mantenimiento bimestrales de 500 euros. Los ingresos se estima que aumentarán cada mes en un 15 % acumulativo durante los tres primeros años, estabilizándose en el mismo nivel que el último mes del tercer año los tres restantes. Para la valoración se utiliza un tanto de interés compuesto anual del 9 % y un horizonte temporal de seis años. Página 1117 PROYECTO MATECO

28 Bloque IX. MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS a) Cuáles deberán ser los ingresos del primer mes para que la empresa no incurra en pérdidas ni tenga beneficios? b) Cuál es el importe del préstamo pedido por los tres amigos si el tanto de interés anual compuesto aplicable al mismo es del 12,4864 %? Solución: a) 30,72 euros b) euros. Ejemplo Una empresa quiere alquilar un edificio para sus oficinas durante 20 años y le ofrecen un edificio en el centro, por el que pagaría mensuales y tiene unos gastos de semestrales, y un edificio en las afueras, por el que tiene que pagar mensuales y tiene unos gastos de trimestrales y conlleva una fianza de , que sería devuelta al finalizar el periodo de alquiler. Calcular el valor actual de ambas opciones y determinar cuál es la más económica para la empresa valorando a un tanto anual del 6 Solución: , ,90 Ejemplo Una persona que decidió dejar de fumar ha estado ingresando en una entidad financiera durante 10 años, 150 al principio de cada mes que es lo que estimó que se ahorraba con esta decisión. La entidad financiera le ha aplicado un tanto de interés bienal efectivo del 4.75 % durante los seis primeros años y un tanto de interés nominal del 2.40 % capitalizable bimensualmente en el resto. Calcular el dinero que tiene ahorrado hoy sabiendo que han transcurrido 11 años y 8 meses desde el inicio de la operación. Cuál es el tanto anual efectivo de la operación realizada? Solución: ,85 3,10 % PROYECTO MATECO Página 1118