Godofredo Iommi. Cálculo Real

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1 Godofredo Iommi Cálculo Rel

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3 Prefcio Ests so ots costruíds prtir de diversos cursos de cálculo dictdos e l Potifici Uiversidd Ctólic de Chile etre 8 y 4. Los coteidos icluídos correspode proximdmete quellos de los progrms de dichos cursos. Existe u gr ctidd de muy bueos textos de cálculo y de álisis e u vrible y ests ots est bsds e prte e dichos textos. He icluído lists de ejercicios l fil de cd cápitulo. Vrios de los problems propuestos est bsdos e rtículos publicdos e diverss revists especilizds. El objetivo es que los estudites se fmilirice cuto tes co l lectur de l litertur cietífic. Agrdezco Bstiá Glsso por trscribir prte de ests ots y por hcer los gráficos que quí prece. Este texto fue escrito utlizdo el softwre svmoo de Spriger y fue prcilmete ficido por Ceter of Dymicl Systems d Relted Fields código ACT3 y por los proyectos Fodecyt 4 y 75. Godofredo Iommi Stigo, Agosto 4. V

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5 Ídice geerl. Números Reles Axiom del Supremo Límite de Sucesioes Subsucesioes Sucesioes de Cuchy Límites Ifiitos Series Ejercicios Referecis Fucioes Reles Límite de Fucioes Límites Lterles Límites Ifiitos Fucioes Cotius Discotiuiddes Fucioes Cotius e el Itervlo Ejercicios Referecis L Derivd Defiició y Ejemplos Iterpretcioes de l Derivd Aproximció liel de u fució Iterpretció geométric de l derivd Iterpretció físic de l derivd Técics de derivció y derivds de fucioes elemetles Fucioes derivbles e u itervlo Derivds de Orde Superior Fórmul de Tylor Regl de L Hopitl Máximos y Míimos Fucioes cócvs y covexs Asítots Gráfico de Curvs Fucioes cotius o diferecibles e igú puto Ejercicios Referecis VII

6 VIII Ídice geerl 4. L Itegrl L itegrl de Riem Sums de Drboux L itegrl superior y l itegrl iferior Fucioes Itegrbles L defiició de Riem Teorem Fudmetl del Cálculo Técics de itegrció Itegrció por Prtes Cmbio de Vrible Sustitucioes Trigoométrics Frccioes Prciles Logritmo y Expoecil Itegrles impropis Itegrles Impropis de tipo Itegrles impropis de tipo Ejemplos Ejercicios Referecis A. Números Nturles A.. Iducció A.. Progresioes Aritmétics y Geométrics A.3. Sumtoris A.4. Teorem del Biomio B. Cojutos umerbles y o umerbles C. Cotiuidd Uiforme

7 Cpítulo Números Reles.. Axiom del Supremo El cojuto de los úmeros reles, que deotremos por R, stisfce diverss propieddes. Desde l perspectiv lgebric es u cuerpo. Es decir, (R,+, ), stisfce todos los xioms de cuerpo, por ejemplo, mbs opercioes so socitivs, comuttitivs, posee iversos y demás so distributivs. El cojuto de los úmeros rcioles, que deotremos por Q, tmbié posee estructur de cuerpo. Es posible, demás, dotr l cojuto de los reles de u orde. E efecto, pr ello bst defiir l clse de úmeros positivos P. Así, diremos que es myor que b si b P. Notemos que los úmeros rcioles tmbié posee u estructur de orde, de hecho es l mism que se hered de los úmeros reles. E est secció estudiremos u propiedd que es exclusiv de los úmeros reles y que o l stisfce el cojuto de los úmeros rcioles, sber, l completitud. Defiició.. Se A subcojuto de R y b R tl que pr todo A se tiee que b, decimos que b es u cot superior de A. Si A es u cojuto tl que posee cots superiores diremos que A cotdo superiormete. Ejemplo.. El úmero x = 5 es cot superior pr el cojuto A = {x R : x < }. Ejemplo.. El cojuto (, ) o posee cot superior. Defiició.. Aálogmete defiimos cot iferior. Diremos que b R es cot iferior de A si pr todo A, se tiee que b, e tl cso diremos que A es cotdo iferiormete. Ejemplo.3. El úmero x = es cot iferior pr el cojuto { }, N. Defiició.3. Diremos que el cojuto A es cotdo si es cotdo superior e iferiormete. Observció.. Ls cots superiores e iferiores o so úics, e efecto si b es cot superior pr el cojuto A, etoces b + es cot superior de A pr >. Defiició.4. Se A u cojuto cotdo superiormete (resp. iferiormete) de modo tl que b es cot superior (resp. iferior). Si b A etoces diremos que b es máximo (resp. míimo) de A. Ejemplo.4. El cojuto { } : N, o posee míimo, pero el máximo es igul.

8 Números Reles Ejemplo.5. El cojuto posee míimo y es igul, mietrs que o posee míimo. A = {x R : x }, B = {x R : x > }, Ejemplo.6. El cojuto (,3] posee máximo igul 3 y o posee míimo. Defiició.5. Se A u cojuto o vcío cotdo superiormete. Diremos que el úmero R es el supremo de A, que deotremos por supa =, si stisfce ls siguietes propieddes:. El úmero es cot superior de A;. Si b es cot superior de A, etoces b. Es decir, es el supremo de A si es l meor de ls cots superiores. Observció.. U codició equivlete l segud prte de l defiició es,. Si b <, etoces existe x A tl que b < x. Otr form de expresr l codició terior es que pr todo ε >, existe x A tl que ε < x. Aálogmete podemos defiir el ífimo. Defiició.6. Se A u cojuto o vcío cotdo iferiormete. Diremos que el úmero rel es el ífimo de A, que deotremos por ífa =, si. el úmero es cot iferior de A.. Si b es cot iferior de A, etoces b. Es decir, es el ífimo de A si es l myor de ls cots iferiores. Al igul que e l defiició de supremo, teemos u codició equivlete l segud prte de l defiició,. Pr todo ε >, existe x A tl que x < + ε. Defiició.7 (Axiom del Supremo). Todo subcojuto A de R, o vcío y cotdo superiormete posee supremo. Observció.3. U cojuto que stisfce el Axiom del supremo se dice completo. Así el cojuto de los úmeros reles es u cuerpo ordedo y completo. Observció.4. Es posible deducir directmete prtir del Axiom del supremo que todo subcojuto A de R, o vcío y cotdo iferiormete posee ífimo. Ejemplo.7. Pruebe que si A =(,b), etoces ífa =. Solució. Por defiició del cojuto A, teemos que x = es cot iferior de A. Probremos hor que es l myor de ls cots iferiores. Ddo < ε < b, otmos que el úmero es tl que c = + ε +( + ε) =, < c < + ε, y demás pr vlores suficietemete cercos cero de ε teemos que c A, por lo que es l myor cot iferior. Si supoemos que ε b, etoces b + ε, de dode tmbíe se obtiee el resultdo.

9 . Axiom del Supremo 3 Ejemplo.8. Cosideremos el subcojuto de Q defiido por Determie el supremo de A. A = { Q : x < } Solució. Es clro que supa = pero Q. E prticulr teemos que Q o es u cuerpo ordedo completo, y que o stisfce el xiom del supremo. Desde l perspectiv del Aálisis l myor creci de los rcioles es que o es completo. Teorem. (Propiedd Arquimidi). Ddo u úmero rel x R, existe u úmero turl N tl que x <. Demostrció. Cbe otr que l firmció terior es equivlete decir que el cojuto de los úmeros turles o es cotdo superiormete. Ahor, supogmos por el cotrrio que si lo es y que c = supn. Etoces c o es cot superior de N, es decir, existe N tl que c <. Así c < +, pero + N y c = supn, lo que es u cotrdicció. Por lo tto, N o es cotdo superiormete. Ejemplo.9. Pruebe que el ífimo del cojuto es igul cero. A = { } : N Demostrció. El úmero x = es cot iferior del cojuto y que todos los elemetos de éste so positivos. Supogmos que = ífa >. Es decir, pr todo N se tiee que < <. Teemos etoces que pr todo N se cumple < / cotrdiciedo l propiedd rquimide. Ejemplo.. Demuestre que el ífimo del cojuto { si() A = } : N es igul cero. Solució. Notemos que el úmero x = es cot iferior pr el cojuto A, y que si() y > por lo que l primer prte e l defiició de supremo se stisfce. Probremos hor que x = es l myor de ls cots iferiores. Ddo ε >, debemos probr que existe N tl que Recordemos que si(), luego < si() si() < ε.. E virtud del Ejemplo.9 existe N tl que / < ε. Por lo tto,

10 4 Números Reles < si( ) < ε. Es decir, el úmero x = es l myor de ls cots iferiores. Ejemplo.. Pruebe que íf {( ) : N} =. Solució. Notemos que pr cd N se tiee que (/) >, por lo tto x = es u cot iferior del cojuto. Notemos que pr todo úmero turl N se tiee que >, es decir, / < /. Se ε >, como íf{/ : N} = existe N tl que / < ε y por lo tto, Es decir, x = es l myor de ls cots iferiores. Ejemplo.. Se A B. Pruebe que sup A sup B. < < ε. Solució. Notemos que supb es cot superior de B, es decir, pr todo x B se tiee que x supb. E prticulr, si y A, como A B, teemos que y supb. Luego como supa es l meor cot superior de A, cocluimos que supa supb. Ejemplo.3. Se A R u cojuto cotdo iferiormete y se A = { x : x A}. Pruebe que A es cotdo superiormete y que sup{ A} = íf{a}. Solució. Se cot iferior de A, es decir, pr todo x A se tiee que x. De dode x. Recordemos que u elemeto y A es de l form y = x. Es decir, pr todo y A teemos que y. De dode, el cojuto A es cotdo superiormete y por lo tto, posee supremo, sup{ A}. Por otr prte, otemos que ddo ε >, existe x A tl que sup{ A} ε < x < sup{ A}, es decir, sup{ A} < x < ε sup{ A}. Por lo tto sup{ A} = íf{a}. Ejemplo.4. Se A R u cojuto o vcío y cotdo. Ddo c > cosidere el cojuto ca := {cx : x A}. Pruebe que el cojuto ca es cotdo (superior e iferiormete) y que sup(ca)=csupa. Solució. Se R cot superior de A, es decir, pr todo x A se tiee que x. Como c > teemos que cx c. Es decir c es cot superior de ca. Aálogmete, se b R cot iferior de A, es decir, pr todo x A se tiee que x b. Como c > teemos que cx cb. Es decir cb es cot iferior de ca. Así el cojuto ca es cotdo. Notemos que como = supa es cot superior de A teemos que sup(ca) csupa. E prticulr csupa es cot superior de ca. Por otr prte, otemos que ddo ε >, existe x A tl que Multiplicdo por c > obteemos que supa ε c < x supa. csupa ε < cx csupa. Por lo tto sup(ca) < csupa.

11 . Límite de Sucesioes 5 Ejemplo.5. Se X R. U fució f : X R es cotd cudo f (X) es u cojuto cotdo. Diremos que el supremo de u fució f es sup f = sup{ f (x) : x X}. Pruebe que si f,g : X R so cotds superiormete, etoces tmbié lo es f + g y sup( f + g) sup f + sup g. Solució. Se cot superior de f y cot superior de g, etoces es clro que pr todo x X se tiee que f (x)+g(x) +, es decir, ( f + g)(x) es cotdo superiormete y posee supremo. Como sup f + supg es cot superior teemos que sup( f + g) sup f + supg. (.) Observció.5. Notemos que o siempre teemos iguldd e l ecució (.). E efecto, se f (x)=x y g(x)= x dode f,g : [,] R. Teemos que sup f = y supg =, si embrgo ( f +g)(x)=x x =, es decir, sup( f + g) =. Ejemplo.6. Cosidere el cojuto A = Pruebe que A posee supremo e ífimo. { +! +! ! : N }. Solució. Se = +! +! !. Clrmete < pr todo N, y demás +.Más ú < < 3, pr todo N, es decir, el cojuto A es cotdo. El resultdo se sigue e virtud del xiom del supremo. Teorem. (Teorem de los Itervlos Ecjdos). Cosidere u sucesió decreciete de itervlos cerrdos y cotdos I I I 3... I... co I =[,b ], etoces existe c R tl que c I. Demostrció. Ls iclusioes I I + sigific que b... b b El cojuto A = {,,...,,...} es cotdo y por lo tto, posee supremo c = supa. Clrmete c pr todo N, y demás como cd b es cot superior de A, etoces se tiee que c < b, luego c I pr todo N... Límite de Sucesioes U sucesió es u fució f : N R cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles. E vez de l otció usul, sber f (), utilizremos l siguiete: (x ) N o veces simplemete (x ). Así x = f (). Defiició.8. Se (x ) u sucesió rel. Diremos que el ite de (x ) cudo tiede ifiito es igul, lo que deotremos por

12 6 Números Reles x =, si y sólo si pr todo ε >, existe N > tl que pr cd N se tiee x < ε. Observció.6. U sucesió que posee ite se dice covergete. E cso cotrrio, diremos que l sucesió es divergete. Ejemplo.7. Se ( ) = /, demuestre que = =. Solució. Se ε >. Como x = es el ífimo de ( ) teemos que existe N tl que / < ε. Además como + <, tedremos que / < ε pr todo, es decir, < ε, pr todo. Ejemplo.8. L sucesió ( ) = es clrmete covergete co =. Teorem.3 (Uicidd del ite). Se ( ) u sucesió covergete. Si se tiee que Etoces = b. = y = b. Demostrció. Supogmos que = y b. Se ε = b /, etoces los itervlos ( ε, + ε) y (b ε,b + ε) so disjutos. Como =, existe N tl que ( ε, + ε) pr todo, es decir, (b ε,b + ε). Luego, Ejemplo.9. L sucesió o es covergete. b. { si es pr ( ) = si es impr Teorem.4. Tod sucesió covergete es cotd. Demostrció. Se = y ε =. Existe N tl que pr todo se tiee que (, + ). Cosideremos hor el cojuto de elemetos de l sucesió ú o estudidos, se F = {,,...,,,+}, c = míf y d = máxf, etoces c d. Por lo tto, { } es cotd. Ejemplo.. L sucesió ( ) = es divergete. Solució. Es divergete pues o es cotd. E efecto, ddo R y ε > se tiee que > + ε pr lo suficietemete grde.

13 . Límite de Sucesioes 7 Observció.7. Existe sucesioes cotds que o so covergetes. Por ejemplo, { si es pr ( ) = si es impr Diremos que l sucesió ( ) es creciete si pr todo < m se tiee que m. Aálogmete diremos que l sucesió ( ) es decreciete si pr todo < m se tiee que m. E cso que ls desigulddes se estricts diremos que ls sucesioes so estrictmete crecietes y estrictmete crecietes, respectivmete.u sucesió se dice moóto si es creciete o decreciete. Teorem.5. Tod sucesió moóto y cotd es covergete. Demostrció. Probremos el cso e que l sucesió es creciete, el cso decreciete es completmete álogo. Se ( ) tl que 3... y se = sup{ : N}. Afirmmos que =. E efecto, ddo ε > existe N tl que ( ε, + ε). Como l sucesió es moóto, pr todo teemos que ε < <, es decir, ( ε, + ε) pr. Ejemplo.. Cudo = y =, l sucesió ( ) es costte y e cosecueci, covergete. Cudo = l sucesió oscil y por tto, o coverge. Si > etoces l sucesió o es cotd y por lo tto diverge, y lo mismo sucede cudo <. Cosideremos el cso e que (,). Etoces l sucesió,,, 3,... es decreciete y cotd. Afirmmos que =. E efecto, otemos que pr b > l sucesió x = b es creciete y o es cotd superiormete. Esto es cosecueci de l desiguldd de Beroulli (ver ejemplo A.3), si b = +d se tiee que pr N teemos que b + d. Así pr cd N existe N N tl que N. Luego, ddo ε >, existe N tl que si >, etoces < ε. Ejemplo.. Se < < y = Pruebe que =. Solució. Notemos que = +, luego = + = +. E virtud del ejemplo 3.48 teemos que ddo ε >, existe N tl que si > etoces + < ε. Luego, si > etoces + < ε, es decir, < ε. Ejemplo.3. Demuestre que l siguiete sucesió es covergete: cote el vlor de su ite. = 3 5 ( ), 4 6

14 8 Números Reles Solució. L sucesiò ( ) es decreciete y cotd iferiormete, e efecto:. Es clro que pr todo N se tiee que <, y que es el cuociete de reles positivos. Por lo tto es cotd iferiormete.. Notemos que + = + y + <, es decir + <. Por lo tto l sucesió es decreciete. Luego, l sucesiò es covergete. Se = L. Notemos que L = íf{ : N}, = y que todos los elemetos de l sucesiò so positivos, por lo tto L. Ejemplo.4. Demuestre que, l sucesió defiid por es covergete. Clcule su ite. = + = + 6 pr >, Solució. L sucesió es creciete. E efecto, probremos el resultdo por iducció. Notemos que el resultdo es válido pr los dos primeros térmios Supogmos hor que < +. Etoces + = + 6 = < 4 =. < = +. Por lo tto l sucesió es creciete. Notemos demás que es cotd superiormete. E efecto, = < 6. Supogmos que < 6, etoces + = + 6 < Hemos porbdo que l sucesió es creciete y cotd superiormete. Por lo tto es covergete. Deotemos por L su ite. Así, por álgebr de ites, Luego De dode = L = + = = + 6 = L + 6. L = L + 6 L = 6. Ejemplo.5. Se >. Defiimos l siguiete sucesió x =, x + = (x + x ). Demuestre l sucesió es decreciete, cotd iferiormete y que x =

15 . Límite de Sucesioes 9 Solució. Probremos que pr l sucesió es cotd iferiormete por. Es decir, ) (x + x. Elevdo l cudrdo, l expresió terior es equivlete ( x + x ) 4. Teemos que pr todo x > ( x x ), es decir x + x. Sumdo 4 obteemos que Luego De dode Por lo tto, pr todo teemos que x + + x 4. ( x + ) = x + + x x 4 =( ). x + = ( x + ). x (x + x ). Probremos hor que l sucesió es decreciete. Notemos que si x etoces ( x + 4 x ) 4 ) (x + x = x. x E prticulr, como x teemos que x + x. Como todos los térmios de l sucesió so positivos podemos coluir que x + x. Hemos probdo que l sucesió (x ) es decreciete y cotd iferiormete, por lo tto es covergete. Se L = x, etoces por álgebr de ites ) L = x = (x + x = ( ) x + = ( L + ). x L De dode Como L cocluimos que L =. L = L +, Teorem.6. Se ( ),(b ) dos sucesioes. Si ( ) es tl que y (b ) es u sucesió cotd, etoces =

16 Números Reles (icluso si (b ) o es covergete.) b =. Demostrció. Sbemos que existe C > tl que b < C pr todo N. Ddo ε >, como, existe tl que si >, etoces < ε/c. Luego, b = b < C ε C = ε. Ejemplo.6. Se x R, etoces si(x) =, y que l sucesió = / coverge y si(x). Ejemplo.7. Se [,], etoces como l sucesió ( ) es cotd y / teemos que =. Ejemplo.8. Se =( ), etoces se sigue directmete del Teorem.6 que ( ) 3 =. Teorem.7. Se ( ),(b ) b dos sucesioes tles que = y b = b. Etoces. ( + b )= + b.. ( b )=b. 3. Si b etoces = b b. Demostrció. Probremos sólo el primer cso. Ddo ε > existe, N tles que si > etoces x < ε/. Por otr prte, si > etoces y b < ε/. Se = máx{, }. Si > teemos que (x + y ) ( + b) x + y b ε. Observció.8. Es importte otr que el teorem.7 sólo es válido bjo l hipótesis de que tto l sucesió ( ) como l sucesió (b ) coverge. De otro modo o es posible hcer igu tipo de firmció como vemos e los siguietes ejemplos. Se c = l sucsió costte igul cero, etoces = c = ( ) + ( ). Se d = l sucesió costte igul uo. Eotces = d =. Teorem.8 (Sdwich). Se (x ),(y ),(z ) tres sucesioes tles que x z y pr todo N. Si x ey cudo, etoces z cudo. Demostrció. Ddo ε >, existe, > tles que si >, etoces x ( ε, + ε) y si >, etoces y ( ε, + ε). Si tommos = máx{, }, etoces pr todo > tedremos Ejemplo.9. L sucesió defiid por = ε x z y + ε ,

17 . Límite de Sucesioes pr todo N, coverge. E efecto, otemos que pr todo N teemos que Luego Por otr prte, pr todo N teemos que Así Luego, ( ) + = = ( ) + = + +. = + + =. Por le Teorem del Sdwich (Teorem.8) teemos que =. Teorem.9. Se (x ),(y ) dos sucesioes covergetes. Si x y pr todo N, x x e y y, etoces x y. Demostrció. E efecto si x = x > y = y, etoces < x y = (x y ). De dode podemos cocluir que pr suficietemete grde x > y. Est cotrdicció prueb elresultdo. Observció.9. Si sólo supoemos x < y o es posible cocluir que x < y. Bst cosiderr ls sucesioes x = ey = /. El resto de est secció está dedicdo desrrollr ejemplos. Ejemplo.3. Clcule Solució. Ejemplo.3. Clcule ( 3 = + ) =. ) 4 ( ( ) 3. Solució. ( ( ) 4 ) 3 = 4 ( ) 4 ( 3 ( ) 3 = = 4 3

18 Números Reles Ejemplo.3. Clcule Solució. +. ( + = + ) ( = + ) =. Ejemplo.33. Demuestre que l sucesió defiid por es covergete. Solució. Notemos que el ite L buscdo es, =, + = +, = L. E primer lugr probremos que l sucesió es creciete, es decir que pr todo N se tiee que +. Notemos que = = +. Supogmos que +. Teemos que + si y sólo si si y sólo si + +. Probremos hor que l sucesió es cotd superiormete por C =, es decir que pr todo N se tiee que. Notemos que =. Supogmos que. Teemos que + = +. Así, l sucesió ( ) es creciete y cotd superiormete, por lo tto es covergete. Deotemos por L el vlos del ite. Si sumimos que =, lo que es cierto, pero ú o hemos demostrdo (ver Corolrio.5). Etoces L = + L si y sólo si L L =. Luego, como >, teemos que Ejemplo.34. Clcule Solució. = L = Ejemplo.35. Cosidere l sucesió ( + )= ( + ) ( + + ) ( + + ) + = + + = = + +

19 . Límite de Sucesioes 3 ( ) + =. Decid su covergeci. Solució. Teemos que por l fórmul del biomio, teemos ( ) + = + ( ) ( )( ) ! = + + ( ) + ( )( ) +...! 3!... + ( )( ) (... ).! Así l sucesió { } es creciete y que medid que crece o solo el úmero de sumdos umet (estos so positivos) sio que demás cd sumdo crece. Probmos e el Problem.6 que l sucesió + +! +...! es cotd. Como... +! ( + + (! )( )... ) + ( 3! ( )( ) +... ) + +! +...! obteemos el resultdo. Deotremos por e el ite de ést sucesió. Ejemplo.36. Cosidere l sucesió Decid su covergeci. = Solució. Probremos que l sucesió es decreciete, como todos sus térmios so positivos, esto implic su covergeci. Notemos que > + + si y sólo si + > ( + ). E efecto, bst elevr l poteci ( + ). Es decir, ( > +. ) Como e virtud de los poblems teriores teemos que ( 3 > +. ) El resultdo es válido prtir de = 3. Así hemos probdo que es decreciete ( prtir de su tercer térmio) y cotd por lo tto coverge. Ejemplo.37. Si x > y x + x = <, etoces x =. Solució. E efecto, se < c <, etoces pr suficietemete grde, teemos que < x + x < c,

20 4 Números Reles es decir, < x + = x + x x < cx < x. Luego, l sucesió (x ) es moóto y cotd y por lo tto covergete. Se b = x. Como teemos que si etoces Pero como b y c >, cocluimos que b =. x + < cx, b cb ( c)b. Ejemplo.38. Como plicció del ejemplo terior, teemos que si k N, >, etoces k =! =! =. Solució. E efecto, si cosidermos x = k /, etoces teemos que x + ( + )k = x : k ( + )k = k = ( + ) k = ( + k, ) Así Si y = /!, etoces es decir, Si z =!/, etoces x + = x <. y + y = + ( + )! :! = +, y + =. y z + z = ( + )!! : ( + ) (+) = ( )!( + )!( + )( + ) =, + luego ( ) z + = = z + e <.... Subsucesioes Se ( ) N u sucesió y se N N u subcojuto de crdilidd ifiit de los úmeros turles. Llmremos subsucesió de ( ) N l sucesió ( ) N. Ejemplo.39. Cosidere l siguiete sucesió { si es pr; = si es impr. Ls siguietes so lgus subsucesioes de ( ). L sucesió formd por los úmero pres ( ) N y l sucesió formd por los úmero impres ( ) N. Ambs subsucesioes so covergetes, e efecto

21 . Límite de Sucesioes 5 = y =. L demostrció del siguiete resultdo es secill. Teorem.. Se ( ) u sucesió covergete co ite igul b, etoces tod subsucesió coverge b. Demostrció. E efecto, se ( ) N us sub-subsucesió. Ddo ε > existe N tl que pr todo > se tiee que (b ε,b + ε). Como el subcojuto N es de crdilidd ifiit, existe N tl que >. Luego, pr todo N tl que > se tiee que (b ε,b + ε). Ejemplo.4. Cosideremos l sucesió = pr >. Demuestre que =. Solució. Si > l sucesió es decreciete y si (,) l sucesió es creciete. E mbos csos es cotd, por lo que posee ite. Se L :=. Teemos que L >, e efecto, si (,) etoces / > pr todo N, de dode L. Si > etoces / >, de dode L. Cosideremos l subseucesió /((+)). Notemos que Luego Ejemplo.4. Demuestre que =. ( + ) = +. L = /((+)) / = /(+) = L L =. Solució. Y hemos probdo que est sucesió coverge. Se l =. Notemos que l = íf{ / : N}, por lo tto l. Cosideremos l subsucesió () /. Teemos que Como l teemos que l =. ( ) l = () ( ) = () = = = l. Ejemplo.4. Se {b k } u sucesió cotd. Se defie u sucesió { } por medio de: Demuestre que { } es covergete. = sup{b k ; k }. Solució. Recordemos que si A B etoces supa supb. Como {b k : k +} {b k : k } teemos que + = sup{b k : k + } {b k : k } =, es decir, l sucesió es decreciete. Por otro ldo, como {b } es cotd iferiormete existe m R tl que pr todo N se tiee que m b. Como demás, pr todo k se tiee que b, obteemos que pr todo N se tiee que { } es cotd iferiormete. por lo tto es covergete. Llmremos ite superior l úmero := supb. Teorem.. Tod sucesió ( ) posee u subsucesió moóto. Demostrció. Se A = {i N : i j excepto pr u úmero fiito de ídices j}

22 6 Números Reles B = {i N : i j excepto pr u úmero fiito de ídices j}, y cosideremos demás el complemeto C = N \ (A B). Si el cojuto A cotiee ifiitos elemetos etoces pr cd i A existe j A co j > i tl que i j. Por lo tto podemos defiir u subsucesió moóto decreciete escogiedo los ídices del siguiete modo: = mía y k+ = mí{i A : k+ > k y k k+ }. Si cojuto B cotiee ifiitos elemetos etoces podemos costruir u subsucesió o creciete de mer álog. E cso que tto A como B se cojutos fiitos, etoces pr cd i C existe eteros j,k C co j > i, k > i tl que i < j y i > k. Del mismo modo podemos costruir subsucesioes decrecietes y crecietes. Corolrio.. Tod sucesió cotd posee u subsucesió covergete. Demostrció. Bst otr que como tod sucesió ( ) posee u subsucesió moóto. Si supoemos demás que ( ) es cotd, etoces existe u subsucesió moóto y cotd. Ejemplo.43. Demuestre que si ( ) es u sucesió cotd tl que etoces existe u subsucesió (b ) de ( ) tl que l sucesió ( b+ b ) coverge. Solució. Cosidermos dos csos. Supogmos e primer lugr que existe ε > tl que k ε pr ifiitos vlores k N. Se (b ) l subsucesió formd or dichos elemetos. Etoces b + sup{ k : k N}. b ε Como l sucesió de los cuocietes es cotd existe u subsucesió covergete. Cosideremos hor el cso restte. Existe u subsucesió (b ) tl que b + < b. E este cso l sucesió del módulo de los cuocietes tmbié es cotd, de dode se tiee el resultdo. Cocluimos est sub-secció co el siguiete lem probdo por Michel Fekete e 939. Probremos que u sucesió sub-ditiv coverge. Ejemplo.44. Demuestre que si l sucesió ( ) es sub-ditiv, es decir, pr todo,m N se tiee que +m + m etoces el ite, existe o es igul meos ifiito. Solució. Supodremos que el ite o es meos ifiito. L prueb e ese cso es más secill y se deduce de l que presetmos. Se α = íf { : N }. Se ε > ym N tl que m m < ε + α. Noteos que todo úmero turl, puede escribirse de l form = qm+r dode r Z es tl que o r m. Defiimos =. Teemos etoces = qm+r m + m +... m + r = q m + r. Así = qm+r qm + r q m + r qm + r = m qm m qm + r + r. El resultdo se obtiee otdo que

23 . Límite de Sucesioes 7 α qm < (α + ε) qm + r + r.... Sucesioes de Cuchy Es posible dr u defició equivlete de covergeci pr u sucesió. L vetj de l siguiete crcterizció de suscesió covergete es que o es ecesrio coocer el ite. E efecto, bst probr que pr pr vlores suficietemete grdes los ídices,m N los vlores de l sucesió x y x m está rbitrrimete cerc. Defiició.9. Se (x ) u sucesió. Diremos que (x ) es u sucesió de Cuchy si ddo ε >, existe N tl que pr todo,m > se tiee que x x m < ε. Teorem.. U sucesió (x ) es covergete si y sólo si es u sucesió de Cuchy. Demostrció. Probremos e primer lugr que tod sucesió covergete es de Cuchy. Supogmos que x =. Es decir, ddo ε > existe N N tl que si > N etoces x < ε/ y si m > N etoces x m < ε/. Luego, si,m > N teemos que Por lo tto (x ) es u sucesió de Cuchy. x m x x + x m < ε + ε = ε. Probremos hor que tod sucesió de Cuchy es cotd. Pr ello cosideremos ε = y N tl que pr todo,m > se tiee que x x m <. Luego si > teemos que x x <. Cosiderdo x := máx{x,x,...,x,x,x +} y x := mí{x,x,...,x,x,x +} teemos que pr todo N x [x,x ]. A cotiució probremos que si u sucesió de Cuchy (x ) posee u subsucesió que coverge l puto etoces x =. Ddo ε > existe N N tl que si > N etoces x < ε/. Existe tmbié > tl que x < ε/. Luego pr > teemos que x x x + x < ε. Filmete podemos probr que tod sucesió de Cuchy coverge, Pr ellos bst otr que es cotd y que por lo tto posee u subsucesió covergete. E vist de lo terior l sucesió coverge...3. Límites Ifiitos Se (x ) u sucesió de úmeros reles. Diremos que (x ) tiede más ifiito, x =+, si y sólo si pr todo A >, existe N tl que pr todo se tiee que x > A. Ejemplo.45. El siguiete resultdo es cosecueci direct de l propiedd rquimide. =+.

24 8 Números Reles Ejemplo.46. Si >, etoces =+. Solució. E efecto, si >, etoces podemos escribir = + h co h >. Se A >, etoces = ( + h) > + h > A, siempre que > (A )/h. Luego, bst escoger > (A )/. Observció.. E geerl, u sucesió creciete es covergete si es cotd, y tiee ite ifiito si o es cotd. Ejemplo.47. pr p N. p =+, Aálogmete diremos que l sucesió (x ) tiede meos ifiito, y otremos x =, si ( x ) = +. Ejemplo.48. L sucesió x =( ) o tiee ite i + i. E efecto l subsucesió (x ) tiede más ifiito y l subsucesió (x ) tiede meos ifiito. Ejemplo.49. L sucesió { si = k +,k N, = k si = k,k N o posee ite. E efecto, l subsucesió ( + ) coverge cero, mietrs que l subsucesió ( ) tiede más ifiito. Observció.. Los úmeros + y o so úmeros reles. Por lo tto si = l sucesió ( ) o coverge. Teorem.3 (Opercioes Aritmétics co Límites Ifiitos). Se (x ),(y ) dos sucesioes, etoces se tiee que. Si x =+ e (y ) es cotd iferiormete, etoces (x + y ) = +.. Si x =+ y existe c > tl que y > c pr todo N, etoces 3. Se x > pr todo N, etoces 4. Si x,y, etoces x y =+. x = =+. x () Si existe c > tl que x > c pr todo N y si y =, etoces (b) Si (x ) es cotd y y =+, etoces x =+. y x =. y

25 . Límite de Sucesioes 9 Observció.. No es posible decir r e el cso que x =+ y y = Ejemplo.5. + =. = ( ) = +. Observció.3. Tmpoco es posible hcer igu firmció geerl e el cso de u cuociete del tipo ifiito sobre ifiito. Ejemplo.5. Ejemplo.5. Se >, etoces + =. =+. =+. Solució. E efecto, si tommos = + h co h >, luego si y por lo tto, y como se tiee el resultdo. =( + h) + h + + h + h, ( ) h, ( + h + ) h =+, Ejemplo.53. Se >, etoces =+. Solució. E efecto, si tommos = + h co h >, luego si 3 y por lo tto, y por lo tto, =( + h) + h + ( ) h + ( )( ) h 3, 3! + h + h + ( )( ) h 3, 3! =+. Ahor, co esto podemos demás deducir que ddo p N, se tiee que Ejemplo.54. Pr todo rel >, se tiee que p =+.! =+.

26 Números Reles Solució. E efecto, se N tl que / >, etoces si deotmos K =!/ teemos que pr todo >,! = K ( + ) ( + ) > K, luego! =+, es decir,! =+..3. Series U serie es u sum ifiit. Pr dr u setido preciso est expresió cosidermos u sucesió de úmeros reles ( ). Defiimos l sucesió de sums prciles (S ) por Llmremos serie l ite S = = S = Si tl ite existe diremos que l serie coverge (o que es covergete), cso cotrrio diremos que diverge. Ejemplo.55. L siguiete serie coverge y podemos clculr su sum, E efecto, otemos que = M M = ( + ) = = ( + ) = i=. ( + ) =. M M = i= i. ( ) ( = ) =. + M M + Otro ejemplo e el que es posible clculr l sum el de l serie geométric (ver tmbié Ejemplo.). Ejemplo.56. Se R \{} y r > l serie geométric coverge si y sĺoo si r <. E efecto, teemos que r = M = r, = M = Es decir, l serie coverge sólo si r > y e tl cso r = M r = = r. U codició ecesri pr l covergeci es l siguiete, ( r r ).

27 .3 Series Teorem.4. Si i= es u serie covergete etoces =. Demostrció. Si S := teemos que (S ) coverge. E prticulr Por lo tto S = S. = (S S )=. El recíproco de este resultdo es flso como se muestr e el siguiete ejemplo. Ejemplo.57. L serie rmóic se defiie por = /. Teemos que el térmio geerl es tl que =, y si embrgo l serie diverge. E efecto, otemos que como los sumdos de l serie so positivos l sucesió de sums prciles es creciete. Probremos que o es cotd superiormete. E efecto, otemos que Cd expresió ( S k = + ( ) ( + + ) ( ) 8 k + + k k j + + j j cotiee j térmios y cd térmio es myor que / j. Por lo tto S k > + k. Así k S k =, y como l sucesió (S ) es moóto creciete teemos que S =. Es decir, l serie rmóic diverge. Ejemplo.58. L serie = diverge y que su térmio geerl o tiede cero. ( ) = El siguiete resultdo es imedito de ls propieddes de sucesioes, Teorem.5 (Algebr de series). Si = = Ay = b = B etoces. Pr todo c R se tiee que = c = ca. = ( + b )=A + B El resultdo terior puede etederse como que ls series covergetes puede sumrse de l mer usul y que stisfce l propiedd distributiv. No hy, si embrgo, firmció lgu sobre el producto de series. Esto se debe que l propiedd comuttiv es más delicd como veremos más delte. E el siguiete Teorem se estblece u criterio pr determir l covergeci de u serie. Teorem.6 (Criterio de comprció). = x y = series de térmios positivos. + )

28 Números Reles. Si = es covergete y existe N N yk> tles que pr todo > N se tiee que x k etoces = x coverge.. Si = es divergete y existe N N yk> tles que pr todo > N se tiee que x k etoces = x diverge. Demostrció. Se S := x + + x, l sucesió de térmios positivos (S ) coverge si y sólo si es cotd. El resultdo hor se deduce directmete de ls hipótesis. Ejemplo.59. Se r >, l serie coverge si y sólo si r >. Notemos que si r (,] etoces = r, r. Como l serie = / diverge teemos que pr r (,) l serie = r tmbié diverge. Cosideremos hor el cso r >. Como los térmios de l serie so positivos, pr probr l covergeci de l serie bst probr que existe u subsucesió covergete. Se m = etoces S m = + ( r + 3 r ) + ( 4 r + 5 r + 6 r + 7 r ) r r ( )r = i= ( ) r ( ) i r. Como l serie geométric i= ( r ) i coverge, teemos que pr todo m = S m i= ( ) i r = C <. Por lo tto l sucesió (S m ) m es moóoto y cotd, es decir coverge. De dode se tiee el resultdo. Defiició.. Diremos que u serie = es bsolutmete covergete si = es covergete. Teorem.7. Tod serie bsolutmete covergete es covergete. Demostrció. Si = es covergete etoces ddo ε > existe N tl que si > etoces pt todo p N se tiee p < ε. El resultdo se sigue de l desiguldd trigulr, y que p p < ε. Teorem.8 (El test de l rzó). Se = u serie de térmios positivos.. Si ( + / ) < etoces l serie coverge.. Si ( + / ) > etoces l serie coverge. Demostrció. Demostrremos el resultdo supoiedo que todos los térmios so positivos. Supog que ( +/ )=L <. Se ε >, etoces existe N N tl que si > N etoces

29 .3 Series 3 L ε < + < L + ε. Se r = L+ε, Etoces pr > N teemos que + < r. Es decir, N+ < r N+ < r N. Iductivmete obteemos < N+ r N+. Como l serie geométric coverge el resultdo se obtiee por el criterio de comprció. Pr probr l segud firmció bst otr que si etoces N+ > ra N+ > r N+. Es decir y por lo tto l serie diverge. Observció.4. E cso que ( +/ )=L > =, ( +/ )= d podemos cocluir co respecto l covergeci de l serie. E efecto, ote que pr ls siguietes series el ite es igul uo, = y =, mietrs que l primer diverge y l segud coverge. Observció.5. E itereste otr que u versió más fuerte del Teorem.8 es válido. E efecto se = u serie de térmios positivos.. Si sup ( + / ) < etoces l serie coverge.. Si if ( + / ) > etoces l serie coverge. Ejemplo.6. Se > demuestre que l siguiete serie cioverge Notemos que Como + (+)!! =!. = +. + = el test de l rzó os permite cocluir que l serie coverge. El siguiete es otro test de covergeci Teorem.9 (El test de l ríz). Se = u serie de térmios positivos.. Si < etoces l serie coverge.. Si > etoces l serie coverge. Demostrció. Demostrremos el resultdo supoiedo que todos los térmios so positivos. Se = ρ < y cosidere ρ (ρ,). Pr vlores suficietemete grdes de teemos que < ρ. Como

30 4 Números Reles = ρ coverge, el criterio de comprció os permite cocluir que l serie = coverge. Del mismo modo si = ρ > y cosidere ρ (,ρ) teemos que > ρ. Como = ρ diverge, el criterio de comprció os permite cocluir que, e este cso, l serie = diverge. Observció.6. E itereste otr que u versió más fuerte del Teorem.9 es válido. E efecto se = u serie de térmios positivos.. Si sup < etoces l serie coverge.. Si if > etoces l serie coverge. Notemos demás que si sup = el test o os permite cocluir d. E efecto ote que pr ls siguietes series = y =, teemos que sup = y e u cso l serie diverge mietrs que e le otro coverge. Ejemplo.6. Demuestre que l siguiete serie coverge 3. Aplicdo el test de l ríz teemos que = Por lo tto l serie coverge. 3 = 3 <. Observció.7. Es itereste otr que el test de l ríz es más fuerte que el de l rzó. E efecto bst otr que pr tod sucesió ( ) costd de úmeros reles teemos que + if if sup El siguiete resultdo es u versió del Criterio de Cuchy pr series, + sup. Teorem. (Criterio de Cuchy). U serie = es covergete si y sólo si pr todo ε > existe N tl que si > yp N etoces Demostrció. Bst otr que p < ε p = S +p S y plicr el criterio de Cuchy de sucesioes (ver Teorem.) (S ) Es importte otr que o tod serie covergete es bsolutmete covergete. Es más, teemos el siguiete resultdo. Teorem. (Test de Leibiz). Se ( ) u sucesió o creciete tl que = etoces l serie ( ) es covergete. =

31 .4 Ejercicios 5 Demostrció. Este resultdo puede demostrrse utilizdo el criterio de Cuchy. Ejemplo.6. L serie ( ) = es covergete por el test de Liebiz, si embrgo o es bsolutmete covergete. Cocluiremos l secció de series estudido reordemietos. Defiició.. Cosideremos l serie =. L serie = b es u reordemieto de = si existe u biyecció φ : N N tl que pr todo N teemos que b = φ(). Teorem.. Si l serie = coverge bsolutmete etoces todo reordemieto coverge l mismo ite. Demostrció. Supogmos e primer lugr que pr todo N se tiee que. Se (b ) u reordemieto de ( ) ddo por l biyecció φ. Se m = máx{φ(i) : i {,,...,}}. Etoces i= φ(i) Utilizdo φ podemos otr que pr todo m N existe N tl que i= φ(i) m i= i. Por lo que podemos cocluir que mbs sums so igules. El cso geerl se reduce seprdo l port positiv de l egtiv de. Teorem.3 (Riem). Se = u serie covergete, pero o bsolutmete covergete. Ddo c R existe u reordemieto = b de = tl que m i= b = c. = Demostrció. Ddo c R, sume los térmios positivos de ( ) hst que l sum se myor que c. Esto es posible y que l sum de los térmios positivos es igul ifiito. Sume hor los térmios egtivos hst que l sum se meor que c. Esto es posible y que l sum de los térmios egtivos es igul meos ifiito. Procediedo de est mer obteemos u uev serie que es u reordemieto de de l origil. Ls sums prciles o sólo oscil lrededor de c, sio que coverge ese vlor. i..4. Ejercicios Alguos de los siguietes ejercicios prece e los textos de Bor y Khoury [], Bressoud [3], Hrdy [], Lim [4] y del texto de Póly y Szegö [5].. Demuestre que el ífimo del cojuto { } cos A := : N, es igul cero.. Se (,). Demuestre que el ífimo del cojuto es igul cero. A := { : N},

32 6 Números Reles 3. Determie el ífimo y el supremo del cojuto { } m A := + m + : m, N. 4. Determie el ífimo y el supremo del cojuto { } m A := m + : m Z y N. 5. Determie el ífimo y el supremo del cojuto { } m A := 4m + : m, N. 6. Se A,B R dos subcojutos o vcíos y cotdos de úmeros positivos. Defiimos el cojuto AB := {xy : x A,y B}. Demuestre que AB es u cojuto cotdo y determie el supremo de AB. 7. Dds dos fucioes f,g : [,] R cotds demuestre que el producto f g : [,] R es u fució cotd co sup( f g) sup f supg y íf( f g) íf f ífg. 8. Se f u fucio positiv y cotd superiormete demuestre que sup( f ) = (sup f ). 9. De u ejemplo de u fució cotd que o lcz su supremo.. Demuestre que si A,B R so dos cojutos cotdos tles que pr todo s A y S B se tiee que s S, etoces supa = ífb si y sólo si pr todo ε > existe s A y S B tles que S s < ε.. Utilizdo el Teorem de los itervlos ecjdos demuestre que el cojuto de los úmero reles es o umerble.. Se ( ),(b ) b dos sucesioes tles que = y b = b. Demuestre que ) ( b )=b. b) =, si b. b b 3. De u ejemplo de u sucesió ( ) tl que =, pero l sucesió ( ) o coverge. 4. Pruebe que si (x y )=y x = etoces y =. 5. Se = +. Demuestre que l sucesió es moóto decreciete y cotd. Clcule su ite. 6. Determie si l sucesió defiid por = 3, + = ( ), coverge. 7. Pruebe que pr todo úmero rciol r Q se tiee que 8. Clcule los siguietes ites: ) ( + r ) = e r.

33 .4 Ejercicios 7 ( + ), b) c) ( + ) 4, + ( ) (+) Se yb. Demuestre que + b = máx{,b}.. Demuestre que, si x = etoces x + x +...x =.. Demuestre que si = y todos los térmios de l sucesió so positivos etoces. Demuestre que 3. Clcule 4. Clcule el ite de l sucesió defiid por =... =. 4 ( + )( + )... = e. ( ) Clcule 6. Ddo p N fijo, clcule 7. Se,b,c >. Clcule 8. Clcule 9. Clcule los siguietes ites ) b) c) ( + ( + ) + + ) (). p + p + + p. ( ) + b. + c e +. (!) ( 3 ) + 3,,

34 8 Números Reles 3. Demuestre que l sucesió defiid por = , es covergete y que su ite pertece l itervlo [/,]. 3. Demuestre que si ( ) es u sucesió de térmios o egtivos tl que existe K (,) de modo que pr todo N se tiee que + K. Etoces =. 3. Se B >. Demuestre que l sucesió defiid por = (B ) coverge. 33. Se ( ) u sucesió creciete y (b ) u sucesió decreciete. Demuestre que si pr todo N se tiee que < b etoces ls dos sucesioes coverge. 34. Se ( ) u sucesió tl que ( + )=c. Demuestre que = c. 35. Se r N u úmero turl y x R u úmero rel. Estudie l covergeci de l sucesió defiid por = r x. 36. Se β >. Cosideremos l sucesió defiid por = ( β ). Demuestre que l sucesió coverge. Defi demás l siguiete fució, f : (, ) R, f (β) := ( β ). Demuestre que f (β) (/β). 37. Se < β <. Cosideremos l sucesió defiid por = ( β ). Demuestre que l sucesió coverge. Pruebe que l fució f : (, ) R, defiid por f (β) := ( β ), stisfce l siguiete propiedd f (/β)= f (β). 38. Se = ( ( ) ). Demuestre que =. 39. Se x R. Clcule el ite π rct(x). E teorí de úmeros l fució defiid por f (x)= π rct(x), es llmd sigo de x. 4. Se x Q u úmero rciol. Estudie l covergeci de l sucesió defiid por = se(!xπ).

35 .4 Ejercicios 9 4. Se S := {(,b) N N : b y + b = }. Deotemos por = b + b + + m b m. m Dode ( i,b i ) S. Es decir es el promedio ritmético de los prductos de los todos los pres (,b) S. Demuestre que = Se ( ) u sucesió super-ditiv, es decir, existe u costte C > tl que pr todo m, N se tiee + m < +m +C. Demuestre que el ite o bie existe o bie es igul ifiito. 43. Todo úmero x (,) puede escribirse como frcció cotiu de l form x = =[ 3...], (.) dode i N. U resultdo clásico e teorí de úmeros firm que x (,) es irrciol si y sólo si su expsió e frccioes cotius es ifiit, es decir x =[ 3...]. Defi los siguietes úmeros rcioles p q =[... ]. Demuestre que p = x. q 44. E [] se sugiere u ltertiv secill pr demostrr que ( + = ) Pruebe que r= y deduzc el resultdo. 45. Se defie recursivmete l sucesió ( ) por ( r! > + > ) r= r= r! = e. r! 3, = ; + = 3, pr =,, 3,... Demuestre que ( ) es sucesió covergete y ecuetre su ite. 46. L sucesió de Fibocci se defie recursivmete por Kepler otó l siguiete relció: = =, y + = + +.

36 3 Números Reles + = + 5. Demuestre l observció de Kepler. 47. Se,b R co < b. Defiimos recursivmete ls sucesioes (x ) e (y ) por x = b; y = + b ; x + = x y ; y + = x + y, pr >. Demuestre que mbs sucsioes coverge l mismo ite. 48. Clcule los siguietes ites ) b) ((log( + ) log)). + se(π/) El siguiete resultdo puede ecotrrse e el rtáculo de Joes [8, p.683]. Se ( ) N = u sucesió de úmeros o egtivos. Se { } k := sup + j : k {,...,N }. k Demuestre que 5. Se ( ) u sucesió tl que Demuestre que j= crd{ N : λ} λ + = p. = p. N. = 5. E 65 Glileo otó qu l sucesió de los úmeros impres tiee l siguiete propiedd 3 = = =. Glileo observó que est es l úic progresió ritmétic co est propiedd. Determie si l firmció de Glileo es correct. Cosidere sucesioes pr ls cules l rzó de l sum de los primeros térmios sobre l sum de los siguietes térmios es costte (ver []). 5. Se ( ) u sucesió o creciete de úmeros o egtivos, + pr todo N. (.3) Deotrremos por C l siguiete codició: Pr cd x > yu R el siguiete ite existe u u< ux Se ( ) tl que stisfce.3. Demuestre que si ( ) tmbié stisfce C etoces existe. El recíproco de este resultdo tmbié es válido (ver [3]). 53. J.H. Cowy cosideró l siguiete sucesió (ver []),.,,,,3,4,4,4,5,6,7,7,8,8,8,8,9,...

37 .4 Ejercicios 3 defiid recursivmete del siguiete modo, = = y pr 3 = +. Demuestre que =. 54. L sucesió de Goly-Rudi-Shpiro (ver [4]) se defie recursivmete por =, = y + =( ). Se s()= k= k. Demuestre que pr todo N se tiee que s() >. 55. Dd u sucesió ( ) podemos costruir u uev sucesió (b m ) m del siguiete modo (ver [4]). Se d N, pr cd m N defimos b m como el m ésimo térmio de l sucesió que se costruye coctedo d veces el térmio, del siguiete modo:,..., } {{ },,...,, } {{ } 3,..., 3,... } {{ } d, térmios d, térmios 3d, 3 térmios Por ejemplo si = y d = etoces (b m ) m viee dd por,,,3,3,3,4,4,4,4,... Demuestre que b m = f (m). Dode f : N N se defie por f (m)= m d + y x = mí{ Z : x }. 56. S. Ulm itrodujo l siguiete sucesió, se u = yu =. Costruimos u sucesió creciete de eteros. U úmero etero u perteece l sucesió si puede escribirse de mer úic como l sum de dos úmeros perteecietes l sucesió, es decir u = u m + u k co m,k <. Los primeros térmios so,,3,4,6,8,,3,6,8,6,8,36,38,47,48,53,57,... Aprte de + = 3 puede l sum de dos elemetos cosecutivos de l sucesió perteecer l sucesió, u + u + = u m? Existe gps rbitrrimete lrgos e est sucesió? (ver [6]). 57. Se ( ) y (b ) dos sucesioes tles que Demuestre que l sucesió defiid por es tl que = y = b + b +...b b r = b + b + 3 b + + b, r =. r + r +...r 58. Se,,..., l eteros positivos distitos de uo y si fctores comues. Deotemos por A el úmero de solucioes eters, o egtivs de l ecució Demuestre que x + x + + l x l =.

38 3 Números Reles A l = l (l )!. 59. Demuestre que si ( ) es u sucesió tl que tod subsucesió (b ) es tl que b +, b etoces existe lo más dos putos los que coverge tod subsucesió covergete. 6. De u ejemplo de u sucesió ( ) N tl que pr todo m N existe u subsucesió ( ) Nm, de modo ést que coverj m. 6. Se ( ) u sucesió cotd tl que, pr todo N. Demuestre que existe u subsucesió (b ) tl que l sucesió ( ) b+, coverge (ver [5]). 6. Utilizdo l defició de ite superior dd e el ejemplo.4 demuestre que ) sup(x + y ) supx + supy. b) sup(y x ) (supx )(supy ). Costruy ejemplos dode ls desigulddes so estricts. 63. Se ( ) u sucesió de úmeros positivos tl que b =. Demuestre que existe ifiitos ídices i N pr los que i > m, dode m N es tl que m > i. 64. Demuestre que log( + ) =. log 65. Demuestre que 66. Se (x ),(y ) dos sucesioes, demuestre que! =. ) Si x =+ e (y ) es cotd iferiormete, etoces (x + y ) = +. b) Si x =+ y existe c > tl que y > c pr todo N, etoces c) Se x > pr todo N, etoces x y =+. x = =+. x 67. Se (x ) e (y ) dos sucesioes tles que x,y. Demuestre que () Si existe c > tl que x > c pr todo N y si y =, etoces (b) Si (x ) es cotd y y =+, etoces x =+. y

39 .4 Ejercicios Se ( ) u sucesió tl que x =. y m + < m+ < m + +. Demuestre que el siguiete ite existe. Es más, si deotmos por ω el vlor del ite etoes ω < < ω Se ( ) u sucesió de úmeros positivos y se t = Se Demuestre que ) si α < etoces l sucesió (t ) coverge, b) si α > etoces l sucesió (t ) diverge. 7. Defiimos el -ésimo iterdo de l fució seo por Demuestre que si sex > etoces Es más loglog sup = α. se x = sex y se x = se(se x). se x =. 3 se x =. 7. Se ( ) y (b ) dos sucesioes de úmeros reles. Supog que (b ) es estrictmete creciete y o cotd y que el siguiete ite existe + = L. b + b Demuestre que 7. Se ( ) l sucesió defiid por = L. b = Demuestre que pesr de que ( ) es divergete, pr todo p N teemos que ( +p )=. 73. El siguiete resultdo lo utiliz P. Wlters e su demostrció del Teorem de Oseledets [7, Lemm]. Demuestre que si,b > pr etoces

40 34 Números Reles ( ) sup log( + b )=máx sup log,sup logb y ( if log( + b ) máx if log,if ) logb. 74. Costruy u sucesió de úmeros turles ( ) (cero o es cosiderdo como úmero turl) tles que =, mietrs que <. Observe que cd sucesió de úmeros turles se le puede socir, medite l descomposició e frccioes cotius, u úmero rel e el itervlo [, ]. Los ejemplos costruídos e este ejercicio puede etederse como ejemplos de úmeros reles pr los que su descomposició e frccioes cotius posee ls propieddes tes meciods. Es posible demostrr que csi todo úmero rel e [,] stisfce ls propieddes requerids (ver [6, p.83]). 75. Costruy u sucesió de úmeros turles ( ) tles que sup <, y uo de los siguietes ites exist mietrs que el el otro o: y 76. El siguiete resultdo prece e [3, Lemm 3.]. Se ( ) u sucesió de úmeros reles y se c = sup. Existe u sucesió (b ) de úmeros reles positivos tles que y b exp( s)= = b =. b + { fiito s > c. s c, 77. Diremos que u sucesió ( ) coverge e el setido de Cesáro si el siguiete ite existe: ) Se ( ) =(,,,,,,,...). Clcule i= i. b) Costruy otros ejemplos de sucesioes que o coverge, pero que se covergetes e el setido de Cesáro. c) Demuestre que si u sucesió ( ) coverge etoces coverge e el setido de Cesáro y el ite es el mismo. 78. Se (p ) N {} u sucesió de térmios positivos tles que i= i.

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